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TeX
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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Vollständige Induktion}
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\begin{bsp}
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Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
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\[
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\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
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.\]
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\begin{proof}
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Induktionsanfang für $n=1$:
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\[
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\sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
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.\]
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Induktionsschritt
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\[
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\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
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= \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
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.\]
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\end{proof}
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\end{bsp}
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\begin{definition}
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Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
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$a_{m}, a_{m+1}, \ldots, a_n \in \R$. Dann
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$a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
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Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Definiere rekursiv für $x \in \R$:
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$x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
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Betrachte
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\[
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\sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
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.\]
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Dann heißt
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\[
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\sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
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\] geometrische Summenformel.
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\begin{proof}
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Induktionsanfang für $n = 1$:
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\[
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1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
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.\]
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Induktionsschritt: $n \to n + 1$
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\begin{align*}
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\sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
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&= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
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&= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
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&= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
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\begin{align*}
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1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^{n+1} \\
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&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
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&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
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&= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \sum_{k=0}^{n} x^{k} \\
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&= (1-x) \sum_{k=0}^{n} x^{k}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\end{bsp}
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Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
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$ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
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\begin{align*}
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a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
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\end{align*}
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\begin{proof}
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Für $a=0$ und $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
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Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
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\begin{align*}
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&1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
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= (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k \quad \Big| \cdot a^{n}\\
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\implies &a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\section{Elemente der Kombinatorik}
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Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
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\[
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1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
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.\] Per Definition $0! := 1$
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\begin{satz}[Permutationen]
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Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Induktionsanfang:
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$n=1$: Eine Anordnung 1 \\
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$n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21
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Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
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die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
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anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
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Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
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$n!(n+1) = (n+1)!$
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\end{proof}
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\begin{definition}[Binomialkoeffizient]
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Für $n, k \in \N_0$ definieren wir:\\
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\begin{align*}
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n \ge k \ge 1\colon & \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
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k = 0\colon & \binom{n}{0} := 1
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\end{align*}
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$\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
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\begin{align*}
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\binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
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&= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
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&= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}
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.\end{align*}
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Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
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$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
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\end{definition}
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\end{document}
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