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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{array}
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\usepackage{mathtools}
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\title{Übungsblatt Nr. 5}
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\author{Christian Merten, Mert Biyikli}
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\begin{document}
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\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
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\hline
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Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
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Punkte & & & & & & \\[5mm] \hline
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\end{tabular}
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\vspace{5mm}
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\begin{aufgabe}
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Es sei $K$ Körper, $M$ eine Menge und $m_0 \in M$ ein fest gewähltes
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Element. In \\$V = \text{Abb}(M, K)$ betrachten wir die Teilmengen
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$U = \{f \in V \mid f(m_0) = 0\} $ und
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\\$W = \{f \in V \mid \forall x, y \in M \colon f(x) = f(y)\} $
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum. Damit wird
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$V = \text{Abb}(M, K)$ mit $0_V(m) = 0 \text{ } \forall m \in M$ zum K-Vektorraum.
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Damit eine Teilmenge $M \subset V$ zum Untervektorraum von $V$ wird, muss gelten:
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\[
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m_1 + m_2 \in M \text{ } \forall m_1,m_2 \in M
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.\] und
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\[
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a m_1 \in M \text{ } \forall m_1 \in M, a \in K
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.\] Die Inversen der zugehörigen Untergruppe sind gegeben durch
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\[
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m^{-1} = (-1)_K m \in M \text{ } \forall m \in M
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.\]
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Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
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\begin{proof}
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Seien $f_1, f_2 \in U$, $a \in K$ beliebig. Zu zeigen:
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$(f_1 + f_2)(m_0) = 0 $ und $(a f_1)(m_0) = 0$.
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\[
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(f_1 + f_2)(m_0) = f_1(m_0) + f_2(m_0) = 0 + 0 = 0
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.\] $\implies (f_1 + f_2) \in U$.
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\[
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(a f_1)(m_0) = a f_1(m_0) = a \cdot 0 = 0
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.\] $\implies (a f_1) \in U$.
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\end{proof}
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Beh.: $W \subset V$ ist Untervektorraum
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\begin{proof}
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Seien $f_1, f_2 \in W$, $a \in K$ und $x, y \in M$ beliebig.
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Zu zeigen:
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$(f_1 + f_2)(x) = (f_1 + f_2)(y)$
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und $(a f_1)(x) = (a f_1)(y)$.
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\begin{align*}
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(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) = f_1(y) + f_2(y)
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= (f_1 + f_2)(y)
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.\end{align*}
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$\implies (f_1 + f_2) \in W$.
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\[
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(a f_1)(x) = a f_1(x) = a f_1(y) = (a f_1)(y)
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|
.\] $\implies (a f_1) \in W$.
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\end{proof}
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\item Beh.: $U \cap W = \{0\} $
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\begin{proof}
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Zunächst: $0_V(m_0) = 0 \implies 0_V \in U$ und
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$0_V(x) = 0 = 0_V(y) \text{ } \forall x,y \in M \implies 0_V \in W$. Daraus folgt
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$0_V \in U \cap W \implies U \cap W \neq \emptyset$.
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Sei $f \in U \cap W$ beliebig:
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\begin{align*}
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&\forall m \in M \colon f(m) = f(m_0) \land f(m_0) = 0 \\
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\implies &\forall m \in M \colon f(m) = 0 \\
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\implies &f = 0_V
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Beh.: $V = U + W$
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\begin{proof}
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Sei $f \in V$ beliebig.
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Zu zeigen: $\exists u \in U, \exists w \in W \colon f = u + w$
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Dann wähle $u \in U$, s.d.
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\[
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u(m) = \begin{cases}
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f(m) - f(m_0) & m \neq m_0 \\
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0 & m = m_0
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\end{cases}
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.\] und $w \in W$, s.d.
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\[
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w(m) = f(m_0) \text{ } \forall m \in M
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|
.\] $u$ und $w$ sind wohldefiniert, da $f$ Abbildung ist.
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Damit folgt:
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\[
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f(m) = u(m) + w(m) = \begin{cases}
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f(m) - f(m_0) + f(m_0) = f(m) & m \neq m_0 \\
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0 + f(m_0) = f(m_0) & m = m_0
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|
\end{cases}
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|
.\]
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\end{proof}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Es sei $K$ ein Körper,
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$U = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n\}, K\right) $ und
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$V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
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\begin{align*}
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\psi\colon V &\to K^{n+2} \\
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f &\mapsto \left( f(0), f(1), \ldots, f((n+1) \right) \\
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\partial\colon V &\to U \\
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f &\mapsto \left( i \mapsto (i + 1) \cdot f(i+1) \right)
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.\end{align*}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Beh.: $\psi$ ist linear.
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\begin{proof}
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Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ beliebig.
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Zunächst: $\psi(v_1)$ wohldefiniert, da $v_1$ Abbildung ist und jedes Tupelelement genau
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einem Bild von $v_1$ zugeordnet wird.
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\begin{align*}
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\psi(v_1 + v_2) &= \left( (v_1+v_2)(0), (v_1 + v_2)(1), \ldots, (v_1+v_2)(n+1) \right) \\
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&= \left( v_1(0) + v_2(0), v_1(1) + v_2(1), \ldots, v_1(n+1) + v_2(n+1) \right) \\
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&= \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right)
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+ \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) \\
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&= \psi(v_1) + \psi(v_2)
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.\end{align*}
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\begin{align*}
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\psi(a v_1) &= \left(a v_1(0), a v_1(1), \ldots, a v_1(n+1)\right) \\
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&= a (v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \\
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&= a \psi(v_1)
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.\end{align*}
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\end{proof}
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Beh.: $\partial$ ist linear.
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\begin{proof}
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Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ und $i \in \{0, 1, \ldots, n\} $ beliebig.
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Zunächst: $\partial(v_1)$ wohldefiniert, da $v_1$ Abbildung ist.
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\begin{align*}
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\partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
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&= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
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&= (i+1) \cdot v_1(i+1) + (i+1) \cdot v_2(i+1) \\
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&= \partial(v_1)(i) + \partial(v_2)(i)
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.\end{align*}
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\begin{align*}
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\partial(a v_1)(i) &= (i + 1) \cdot (a v_1)(i+1) \\
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&= a (i+1) \cdot v_1 (i+1) \\
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&= a \cdot \partial(v_1)(i)
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Beh.: $\psi$ ist Isomorphismus.
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\begin{proof}
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Zu zeigen: $\psi$ ist bijektiv.
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Seien $v_1, v_2 \in V$ mit $\psi(v_1) = \psi(v_2)$. Dann
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\begin{align*}
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&\psi(v_1) = \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right)
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= \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
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\implies& v_1(k) = v_2(k) \text{ }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
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\implies& v_1 = v_2
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.\end{align*}
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$\implies \psi$ ist injektiv.
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Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $v \in V$, s.d.
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\begin{align*}
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&v(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
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\implies &\psi(v) = c
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.\end{align*}
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$\implies \psi$ ist surjektiv.
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\end{proof}
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\item Beh.: $\partial$ surjektiv
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$\iff \text{char}K \notin \{2, \ldots, n+1\} $
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\begin{proof}
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Damit $\partial$ surjektiv ist, muss für alle $u \in U$
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ein $v \in V$ existieren, s.d. $\partial(v) = u$.
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Sei $u \in U, k \in \{0, \ldots, n\}$ beliebig, dann muss
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für $v$ gelten:
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\begin{align*}
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&\partial(v)(k) = (k + 1) \cdot v(k+1) = u(k)
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.\end{align*}
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Dies ist genau dann wohldefiniert, wenn $k+1 \neq 0$, denn genau
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dann ex. ein Inverses zu $k+1$ und damit:
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\begin{align*}
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&v(k+1) = (k+1)^{-1} \cdot u(k)
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.\end{align*}
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Bleibt zu zeigen: char$K \not\in \{2, \ldots, n+1\} \iff
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k+1 \neq 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\} $.
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\begin{align*}
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&k + 1 \neq 0 \\[-2mm]
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\stackrel{\mathclap{\strut k \ge 0}}{\qquad \iff \qquad} &k + 1 \neq \text{char}K \\[-2mm]
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\stackrel{\mathclap{\strut 1 \le k + 1 \le n + 1}}{\qquad \iff \qquad} &\text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\[1mm]
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|
\qquad \iff \qquad & \text{char}K \not\in \{2, \ldots, n+1\}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Bestimmen Sie $\psi(\text{ker }K) \subset K^{n+2}$.
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\begin{proof}[Lösung]
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\begin{align*}
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&\ker \partial =
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\{f \in V \mid \left( \partial(f) \right)(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots n\} \}
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.\end{align*}
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Damit $f \in \text{ker } \partial$, muss folglich gelten:
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\begin{align*}
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&(\partial(f))k = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
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.\end{align*}
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$\iff$
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\begin{align*}
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(k+1) \cdot f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
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|
.\end{align*}
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|
$\stackrel{K \text{ Körper}}{\iff}$
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\begin{align*}
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k+1 = 0 \lor f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
|
|
.\end{align*}
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Aus (c) folgt: $k+1 \neq 0 \iff \text{char K} \not\in \{2, \ldots, n+1\} $.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\text{char }K \not\in \{2, \ldots, n+1\} $: Dann ist $k + 1 \neq 0$, d.h.
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\begin{align*}
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&f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} \\
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|
\implies &f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \\
|
|
\implies & \text{ker } \partial = \{f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \}
|
|
.\end{align*}
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Damit folgt:
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|
\[
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|
\psi(\text{ker }\partial) =
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\{(a, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \mid a \in K\}
|
|
.\]
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|
\item $\text{char }K \in \{2, \ldots, n+1\} $: Dann gilt für $k = \text{char }K-1$:
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\[
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|
k + 1 = \text{char } K - 1 + 1 = \text{char } K = 0_K
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|
.\]
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Für alle $k \in \{0, 1, \ldots, n\}, k \neq \text{char } K - 1$, folgt analog zu (i):
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\[
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|
f(k + 1) = 0
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|
.\]
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Damit folgt:
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\[
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|
\text{ker } \partial
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= \left\{ f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}
|
|
\setminus \{\text{char } K\} \right\}
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|
.\] Damit ergibt sich:
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\[
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|
\psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2}
|
|
\mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K\} \}
|
|
.\]
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|
\end{enumerate}
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|
\end{proof}
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|
\end{enumerate}
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|
\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear, ist auch die duale
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Abbildung $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ linear.
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\begin{proof}
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Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ und $a \in K$ beliebig.
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|
Zunächst: $f^{*}(\varphi_1)$ wohldefiniert, weil $\varphi_1$ und $f$ Abbildungen sind.
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|
\begin{align*}
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|
f^{*}(\varphi_1 + \varphi_2) &=
|
|
(\varphi_1 + \varphi_2) \circ f
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|
= \varphi_1 \circ f + \varphi_2 \circ f
|
|
= f^{*}(\varphi_1) + f^{*}(\varphi_2) \\
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|
f^{*}(a \varphi_1) &=
|
|
(a \varphi_1) \circ f
|
|
=
|
|
a (\varphi_1 \circ f)
|
|
= a f^{*}(\varphi_1)
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|
.\end{align*}
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\end{proof}
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\item Beh.: Die Auswertungsabbildung ev: $U \to (U^{*})^{*}$, mit
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\[
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|
u \mapsto (f \mapsto f(u))
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|
\] ist linear.
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\begin{proof}
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Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
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|
Zunächst: $(\text{ev}(u_1))(f)$ wohldefiniert, weil $f\colon U \to K$ Abbildung ist.
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|
\begin{align*}
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|
(\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &=
|
|
f(u_1 + u_2)
|
|
\stackrel{f \text{ linear}} {=} f(u_1) + f(u_2)
|
|
= (\text{ev}(u_1))(f) + (\text{ev}(u_2))(f) \\
|
|
\left(\text{ev}(a u_1)\right)(f) &=
|
|
f(a u_1)
|
|
\stackrel{f \text{ linear}} {=} a f(u_1)
|
|
= a \cdot (\text{ev}(u_1))(f)
|
|
.\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{aufgabe}
|
|
|
|
\begin{aufgabe}
|
|
Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
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|
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|
\begin{enumerate}[a)]
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|
\item Beh.: Die Abbildung $*$:
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|
$\text{Hom}_K(U,V) \to \text{Hom}_K(V^{*}, U^{*})$
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|
ist linear.
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\begin{proof}
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|
Seien $f_1, f_2 \in \text{Hom}_K(U,V)$,
|
|
$\varphi \in V^{*}$
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|
und $a \in K$ beliebig.
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|
Zunächst: $(*(f_1))(\varphi) = \varphi \circ f_1$ wohldefiniert, weil $\varphi$ und $f_1$
|
|
Abbildungen.
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\begin{align*}
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|
(*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi)
|
|
= \varphi \circ (f_1 + f_2)
|
|
\stackrel{\varphi \text{ linear}}{=} \varphi \circ f_1 + \varphi \circ f_2
|
|
= (*(f_1))(\varphi) + (*(f_2))(\varphi) \\
|
|
(*(a f_1))(\varphi)
|
|
&= ((a f_1)^{*})(\varphi)
|
|
= \varphi \circ (a f_1)
|
|
\stackrel{\varphi \text{ linear}}{=} a \cdot (\varphi \circ f_1)
|
|
= a\cdot (*(f_1))(\varphi)
|
|
.\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
\item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
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|
$f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ injektiv.
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in \text{Hom}_K(V,K) = V^{*}$ mit
|
|
$f^{*}(\varphi_1) = f^{*}(\varphi_2)$. Dann folgt:
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|
\begin{align*}
|
|
\varphi_1 \circ f = \varphi_2 \circ f
|
|
.\end{align*}
|
|
das heißt:
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|
\begin{align*}
|
|
\forall u \in U\colon \varphi_1(f(u)) = \varphi_2(f(u))
|
|
.\end{align*}
|
|
Wegen $f$ surjektiv gilt: $V = f(U)$ und damit:
|
|
\begin{align*}
|
|
& \forall v \in V\colon \varphi_1(v) = \varphi_2(v)
|
|
.\end{align*}
|
|
$\implies \varphi_1 = \varphi_2$ \\
|
|
$\implies f^{*}$ injektiv
|
|
\end{proof}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{aufgabe}
|
|
|
|
\end{document}
|