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\documentclass{lecture}

\begin{document}
    
\section{Grundlagen}
\begin{definition}[Positivität]
    Sei $\left( K, +, \cdot, > \right)$ ein angeordneter Körper.
    $a \in K $ heißt positiv falls $a > 0$.
    $a \in  K$ heißt negativ falls $a < 0$.

    \[
        K^{+} := \{a \in K  \mid a > 0\}
    .\] 
    \[
        K^{-} := \{a \in K  \mid a < 0\} 
    .\] 

    Ordnungsrelation für $a, b \in K$
    \begin{align*}
        a < b \iff b - a \in K^{+} \\
        b > a:\iff a < b \\
        a \le b: \iff a < b \wedge a = b \\
        b \ge a: \iff a \le b \\
    .\end{align*}

    Für je zwei $a \in K, b \in K$ gilt genau eine der Relationen
    $a<b, a = b, a >b$.
\end{definition}

Es gelten Regeln:
\begin{itemize}
    \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
    \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
    \item $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c, c \in K^{+}$
    \item $a \ge b, b \ge a \iff a = b$
    \item $a < b, a > 0, b > 0 \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
\end{itemize}

\begin{bsp}[Positivität auf $\Q$]
    \[
    \Q^{+} := \left\{a \in Q  \mid  a = \frac{r}{s} , r, s \in \N\right\} 
    .\] 
\end{bsp}

\begin{definition}[Absolutbetrag]
    Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
    Dann
    \[
    |a| := \begin{cases}
        a & \text{für } a > 0 \\
        0 & \text{für } a = 0 \\
        -a & \text{für } a < 0 \\
    \end{cases}
    .\] 

    Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
    \begin{itemize}
        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) 
        \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
        \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{proof}[Beweis der Dreiecksungleichung]
    Beobachtung: $\pm a \le |a| \implies a + b \le |a| + |b|
    \implies -(a+b) \le  |a| + |b|$
\end{proof}

Es folgt aus den Eigenschaften:
\begin{itemize}
    \item $|a-b| = 0 \implies a = b$
    \item $|-a| = |a|$
    \item $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$
    \item $| |a| - |b| | \le  |a - b|   $
        (folgt aus: $|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$ und
        $|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$)
\end{itemize}

\begin{satz}[Dezimalbruchdarstellung]
    Jede rationale Zahl $a$ besitzt eine endliche
    oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
    \[
        a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
    .\] bzw. 
    \[
        a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
    .\] 
    $a_0 \in N_0, d_1\ldots d_s \in \{0, 1, \ldots ,9\}$ Ziffern

    Umgekehrt stellt jede Dezimalbruchzerlegung dieser Art eine rationale
    Zahl dar.\\
    Hier: bei periodischen Dezimalbrüchen ist die Periode $\overline{9}$
    nicht zugelassen:
    \[
        a_0,d_1\ldots d_{k-1} d_k \overline{9}
        := a_0 + 0,d_1\ldots d_k (d_k+1), d_k < 9
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Siehe Lehrbuch
\end{proof}

\section{Die Reellen Zahlen}

\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}

\begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
    Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale
    Lösung.
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
    Angenommen: Es existiert eine rationale Lösung
    \[
    x := \sqrt{2} = \frac{r}{s}
    .\] mit Zahlen $r \in \Z$ und $s \in \N$.

    O.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) nehmen wir
    an, dass $r$ und $s$ teilerfremd sind.

    Dann gilt: $r \neq 0$ und $r^2 = 2s^2$ und $\frac{1}{2}r^2 = s^2$.
    Also muss $r^2$ und auch $r$ gerade sein, denn $(2n+1)^2 = 4n^2+ 4n +1$
    ungerade (Kontraposition).
    Damit sind auch $\frac{1}{2}r^2$ gerade und $s^2$ gerade.

    Aber wegen Teilerfremdheit können $r^2$ und $s^2$ nicht beide
    durch zwei teilbar sein. $\implies$ Widerspruch zur Annahme
\end{proof}

\begin{bem}
Allgemeiner: ,,quadratische'' Gleichung
\[
a+bx +c x^2 = 0
.\] ist nicht für beliebig gewählte $a, b, c \in \Q$ durch
ein $x \in \Q$ lösbar.
\end{bem}

\begin{bem}[Beweisarten]
    Direkter Beweeis:
    \[
    E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
    .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
    falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
    Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
\end{bem}

\textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
Gleichung $x^2 = 2$ mit zunehmender Genauigkeit erfüllen,
z.B. rekursiv durch Einschließung mit Hilfe von Dezimalbrüchen.

Wir nutzen die Eigenschaft: $a, b > 0$ und $a^2 < b^2 \implies a < b$, folgt
aus:
\[
    b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), (b+a > 0)
.\]

Start: $a_1 := 1,4$, $b_1 := 1,5$ mit
$a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$

2 Fälle:

Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
\[
    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
.\] 
\[
    a_n^2 < 2 < b_n^2
.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $

Die nächste Einschließung ist
\[
    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1},   d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.

und
\[
b_{n+1} := \begin{cases}
    1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
\end{cases}
.\] Nach Konstruktion:
\[
    a_n <  a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
.\] 
\[
a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
.\] 

Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
\[
    a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
.\] 
\[
    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
.\] 
\[
d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
.\] 

Die nächste Einschließung
\[
    a_{n+1} := 1,d_1 \ldots d_{n}, d_{n+1}, d_{n+1} \in {0, 1, \ldots, 9}
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß, aber $a_{n+1}^2 < 2$.

\[
b_{n+1} = \begin{cases}
    1,d_1\ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le  8 \\
    1,d_1\ldots d_{m-1}(d_m + 1) 0 \ldots 0 & \text{für } d_{n+1} = 9
\end{cases}
.\] Der Fall b) kann nur endlich oft hintereinander auftreten, dann wäre
$a_n = b_n$ ab einem gewissen n und folglich $a_n ^2 = 2$

Nach Konstruktion:
\[
a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
.\] 
\[
a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
.\] Wir erhalten 2 Folgen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in N}$ mit
den Eigenschaften
\[
1,4 = a_1 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n \le \ldots b_1 = 1,5
.\] Konkret: $a_1 = 1,4$, $a_2 = 1,41$, $a_3 = 1,414$
$b_1 = 1,5$, $b_2 = 1,42$, $b_3 = 1,415$

Abstand $b_n - a_n \le 10^{-n}$, $n \in \N$ wird immer kleiner
$\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!

\begin{definition}[Zahlenfolge]
    Eine Menge $(a_n)_{n \in \N}$ nummerierter rationaler Zahlen wird
    ,,Folge'' genannt.
\end{definition}

\begin{bsp}
    $a_n = 1 + \frac{1}{n}$

    $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$
\end{bsp}

Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
bzw.
\[
    \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
.\] d.h. Folge konvergiert gegen 1

\begin{definition}[Konvergenz]
    Eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent, gegen einen ,,Limes''
    a, wenn gilt:
    \[
    |a_n - a| \to 0, n \to \infty
    .\] Falls $|a_n|$, $n \to \infty$ heißt $(a_n)_{n \in \N}$
    strikt divergent.

    Präziser (Cauchy)

    Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ ist ,,konvergent'' gegen einen
    Grenzwert a, wenn:
    \[
        \forall \epsilon > 0: \exists n := n(\epsilon) = n_{\epsilon}
    .\] sodass
    \[
        |a_n - a| < \epsilon \text{ für } n \ge n_{\epsilon}
    .\] 
\end{definition}

\end{document}