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wtheo7.tex

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 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
 
 \renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
 \usepackage{stmaryrd}
 \begin{document}
 
+\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp}
+
 \punkte[25]
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $\mathbbm{p}(k) = e^{-\lambda p } \frac{(\lambda p)^{k}}{k!}$.
+            \begin{proof}
+                Sei $(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})$ W-Raum mit Ereignissen
+                \begin{align*}
+                    A_n &\colon \text{,,Anzahl 7-Meter pro Spiel''} \\
+                    B_n &\colon \text{,,Anzahl Treffer per 7-Meter pro Spiel''}
+                \end{align*}
+                mit $\mathbb{P}(A_n) = \frac{\lambda ^{n}}{n!} e^{-\lambda}$ und
+                $\mathbb{P}(B_k  \mid A_n) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$, wobei
+                $\binom{n}{k} = 0$ für $k > n$.
+
+                Dann ist $(A_n)_{n \in \N}$ eine Partition von $\Omega$. Damit folgt
+                mit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
+                \begin{salign*}
+                    \mathbbm{p}(k) &= \mathbb{P}(A_n) \\
+                    &= \mathbb{P}(A_n \cap \Omega) \\
+                    &= \sum_{n \in \N_0} \mathbb{P}(A_n) \mathbb{P}(B_k  \mid A_n) \\
+                    &= \sum_{n \in \N_0} \frac{\lambda^{n}}{n!} e^{-\lambda} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\
+                    &= e^{-\lambda} p^{k} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{k}\lambda^{n-k}}{n!} \frac{n!}{k!(n-k)!} (1-p)^{n-k} \\
+                    &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}
+                    (1-p)^{n-k} \\
+                    &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!}
+                    (1-p)^{n} \\
+                    &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} e^{\lambda(1-p)} \\
+                    &= e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!}
+                .\end{salign*}
+            \end{proof}
+        \item Seien $X$ bzw. $Y$ die Lebensdauer in Tagen von Lampe 1 bzw. Lampe 2 mit
+            $X \sim \text{Poi}_{\lambda_1}$ und $Y \sim \text{Poi}_{\lambda_2}$. Nach Vorraussetzung
+            ist $X \indep Y$, also
+            $X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$.
+            Nach VL hat $\text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$ die Zähldichte
+            \begin{salign*}
+                (\mathbbm{p}_1 * \mathbbm{p}_2)(n)
+                &= \sum_{k=0}^{n} \mathbbm{p}_1(n-k) \mathbbm{p}_2(k) \\
+                &= \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^{n-k}}{(n-k)!} e^{- \lambda_1}
+                \frac{\lambda_2^{k}}{k!} e^{- \lambda_2} \\
+                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}
+                \underbrace{\frac{n!}{(n-k)!k!}}_{= \binom{n}{k}} \lambda_1^{n-k}
+                \lambda_2^{k} \\
+                &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{n}}{n!}
+            .\end{salign*}
+            Also folgt $X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1 + \lambda_2}$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
@@ -47,7 +96,79 @@
    \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    (i)-(iii) bezeichne im Folgenden die Eigenschaften von $\E$ aus Satz 20.01.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $(X_n)_{n \in \N}$ mit $X_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$. Dann setze
+            $S_n \coloneqq \sum_{k=1}^{n} X_k$. Dann ist $S_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$ und
+            $S_n \uparrow \sum_{n \in \N} X_n$.  Damit folgt
+            \begin{salign*}
+                \E\left( \sum_{n \in \N} X_n\right) &\stackrel{\text{(ii)}}{=}
+                \lim_{n \to \infty} \E(S_n) \\
+                &= \lim_{n \to \infty} \E\left( \sum_{k=1}^{n} X_n \right) \\
+                &\stackrel{\text{(i)}}{=}
+                \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \E(X_n) \\
+                &= \sum_{n \in \N} \E(X_n)
+            .\end{salign*}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item ,,$\implies$'': Sei $\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i$ und
+                    $(X_i)_{i \in I}$ mit $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Sei weiter
+                    $\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich.
+
+                    \begin{enumerate}[(1)]
+                        \item Seien $X_i$ Bernoulli ZV mit $X_i = \mathbbm{1}_{A_i}$ und
+                            $A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$. Da
+                            $\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i \implies \indep_{i \in I} A_i$.
+                            Dann gilt
+                            \begin{salign*}
+                                \E\left( \prod_{j \in J}^{} X_j  \right)
+                                &= \E\left( \prod_{j \in J}^{} A_j  \right) \\
+                                &= \E( \mathbbm{1}_{\bigcap_{j \in J} A_j} ) \\
+                                &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \mathbb{P}(\bigcap_{j \in J}  A_j) \\
+                                &\stackrel{\indep_{i \in I} A_i}{=}
+                                \prod_{j \in J}^{} \mathbb{P}(A_j) \\
+                                &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_j}) \\
+                                &= \prod_{j \in J}^{} \E(X_j) 
+                            .\end{salign*}
+                        \item Seien nun $X_i$ einfache positive numerische ZV. Dann ist
+                            $\prod_{j \in J}^{} X_j $ eine Summe von Produkten aus skalierten
+                            Bernoulli-ZV. Mit (a), (ii) und Schritt (1) folgt die Behauptung für
+                            $(X_i)_{i \in I}$.
+                        \item Seien nun $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Für
+                            $i \in I$ ex. dann eine Folge $(X_{in})_{n \in \N}$ mit $X_{in} \uparrow X_i$
+                            und $X_{in}$ einfach positiv numerische ZV.
+                            Da $J$ endlich folgt dann
+                            \begin{salign*}
+                            \prod_{i \in J} X_i = \prod_{i\in J}^{} \lim_{n \to \infty}
+                            X_{in} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i \in J}^{} X_{in}
+                            .\end{salign*}
+                            Also folgt $\prod_{j \in J} X_{in} \uparrow \prod_{j \in J}^{} X_i $. Damit folgt
+                            \begin{salign*}
+                                \E \left( \prod_{j \in J}^{} X_j  \right) &=
+                                \E\left( \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} X_{jn}  \right) \\
+                                &= \E \left( \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} X_{jn}  \right) \\
+                                &\stackrel{\text{(ii)}}{=} \lim_{n \to \infty}
+                                \E\left( \prod_{j \in J}^{} X_{jn}  \right)  \\
+                                &\stackrel{\text{(2)}}{=} \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} \E(X_{jn}) \\
+                                &= \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} \E(X_{jn}) \\
+                                &\stackrel{\text{(ii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(X_j) 
+                            .\end{salign*}
+                    \end{enumerate}
+                \item ,,$\impliedby$'': Sei $(A_i)_{i \in I}$ mit $A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$.
+                    Z.z.: $\indep_{ i \in I} A_i$. Dazu sei $\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich.
+                    Betrachte $X_i \coloneqq \mathbbm{1}_{A_i}$. Dann ist nach Vorraussetzung
+                    \begin{salign*}
+                        \mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in J} A_i \right)
+                        &\stackrel{\text{(iii)}}{=}
+                        \E \left( \mathbbm{1}_{\bigcap_{i \in J} A_i} \right) \\
+                        &= \E\left( \prod_{i \in J}^{} \mathbbm{1}_{A_i}  \right)  \\
+                        &\stackrel{\text{Vorr.}}{=} \prod_{i \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_i})  \\
+                        &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{i \in J}^{} \mathbb{P}(A_i) 
+                    .\end{salign*}
+            \end{itemize}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]