add ex. 25 & 27
This commit is contained in:
BIN
Binary file not shown.
+123
-2
@@ -4,12 +4,61 @@
|
||||
\author{Josua Kugler, Christian Merten}
|
||||
|
||||
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
|
||||
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
|
||||
\usepackage{stmaryrd}
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp}
|
||||
|
||||
\punkte[25]
|
||||
|
||||
\stepcounter{aufgabe}
|
||||
\begin{aufgabe}[]
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Beh.: $\mathbbm{p}(k) = e^{-\lambda p } \frac{(\lambda p)^{k}}{k!}$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})$ W-Raum mit Ereignissen
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A_n &\colon \text{,,Anzahl 7-Meter pro Spiel''} \\
|
||||
B_n &\colon \text{,,Anzahl Treffer per 7-Meter pro Spiel''}
|
||||
\end{align*}
|
||||
mit $\mathbb{P}(A_n) = \frac{\lambda ^{n}}{n!} e^{-\lambda}$ und
|
||||
$\mathbb{P}(B_k \mid A_n) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$, wobei
|
||||
$\binom{n}{k} = 0$ für $k > n$.
|
||||
|
||||
Dann ist $(A_n)_{n \in \N}$ eine Partition von $\Omega$. Damit folgt
|
||||
mit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\mathbbm{p}(k) &= \mathbb{P}(A_n) \\
|
||||
&= \mathbb{P}(A_n \cap \Omega) \\
|
||||
&= \sum_{n \in \N_0} \mathbb{P}(A_n) \mathbb{P}(B_k \mid A_n) \\
|
||||
&= \sum_{n \in \N_0} \frac{\lambda^{n}}{n!} e^{-\lambda} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\
|
||||
&= e^{-\lambda} p^{k} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{k}\lambda^{n-k}}{n!} \frac{n!}{k!(n-k)!} (1-p)^{n-k} \\
|
||||
&= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}
|
||||
(1-p)^{n-k} \\
|
||||
&= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!}
|
||||
(1-p)^{n} \\
|
||||
&= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} e^{\lambda(1-p)} \\
|
||||
&= e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!}
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\item Seien $X$ bzw. $Y$ die Lebensdauer in Tagen von Lampe 1 bzw. Lampe 2 mit
|
||||
$X \sim \text{Poi}_{\lambda_1}$ und $Y \sim \text{Poi}_{\lambda_2}$. Nach Vorraussetzung
|
||||
ist $X \indep Y$, also
|
||||
$X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$.
|
||||
Nach VL hat $\text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$ die Zähldichte
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
(\mathbbm{p}_1 * \mathbbm{p}_2)(n)
|
||||
&= \sum_{k=0}^{n} \mathbbm{p}_1(n-k) \mathbbm{p}_2(k) \\
|
||||
&= \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^{n-k}}{(n-k)!} e^{- \lambda_1}
|
||||
\frac{\lambda_2^{k}}{k!} e^{- \lambda_2} \\
|
||||
&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}
|
||||
\underbrace{\frac{n!}{(n-k)!k!}}_{= \binom{n}{k}} \lambda_1^{n-k}
|
||||
\lambda_2^{k} \\
|
||||
&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{n}}{n!}
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
Also folgt $X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1 + \lambda_2}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
@@ -47,7 +96,79 @@
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\stepcounter{aufgabe}
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
(i)-(iii) bezeichne im Folgenden die Eigenschaften von $\E$ aus Satz 20.01.
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Sei $(X_n)_{n \in \N}$ mit $X_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$. Dann setze
|
||||
$S_n \coloneqq \sum_{k=1}^{n} X_k$. Dann ist $S_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$ und
|
||||
$S_n \uparrow \sum_{n \in \N} X_n$. Damit folgt
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\E\left( \sum_{n \in \N} X_n\right) &\stackrel{\text{(ii)}}{=}
|
||||
\lim_{n \to \infty} \E(S_n) \\
|
||||
&= \lim_{n \to \infty} \E\left( \sum_{k=1}^{n} X_n \right) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(i)}}{=}
|
||||
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \E(X_n) \\
|
||||
&= \sum_{n \in \N} \E(X_n)
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ,,$\implies$'': Sei $\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i$ und
|
||||
$(X_i)_{i \in I}$ mit $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Sei weiter
|
||||
$\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich.
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item Seien $X_i$ Bernoulli ZV mit $X_i = \mathbbm{1}_{A_i}$ und
|
||||
$A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$. Da
|
||||
$\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i \implies \indep_{i \in I} A_i$.
|
||||
Dann gilt
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\E\left( \prod_{j \in J}^{} X_j \right)
|
||||
&= \E\left( \prod_{j \in J}^{} A_j \right) \\
|
||||
&= \E( \mathbbm{1}_{\bigcap_{j \in J} A_j} ) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(iii)}}{=} \mathbb{P}(\bigcap_{j \in J} A_j) \\
|
||||
&\stackrel{\indep_{i \in I} A_i}{=}
|
||||
\prod_{j \in J}^{} \mathbb{P}(A_j) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_j}) \\
|
||||
&= \prod_{j \in J}^{} \E(X_j)
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\item Seien nun $X_i$ einfache positive numerische ZV. Dann ist
|
||||
$\prod_{j \in J}^{} X_j $ eine Summe von Produkten aus skalierten
|
||||
Bernoulli-ZV. Mit (a), (ii) und Schritt (1) folgt die Behauptung für
|
||||
$(X_i)_{i \in I}$.
|
||||
\item Seien nun $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Für
|
||||
$i \in I$ ex. dann eine Folge $(X_{in})_{n \in \N}$ mit $X_{in} \uparrow X_i$
|
||||
und $X_{in}$ einfach positiv numerische ZV.
|
||||
Da $J$ endlich folgt dann
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\prod_{i \in J} X_i = \prod_{i\in J}^{} \lim_{n \to \infty}
|
||||
X_{in} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i \in J}^{} X_{in}
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
Also folgt $\prod_{j \in J} X_{in} \uparrow \prod_{j \in J}^{} X_i $. Damit folgt
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\E \left( \prod_{j \in J}^{} X_j \right) &=
|
||||
\E\left( \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} X_{jn} \right) \\
|
||||
&= \E \left( \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} X_{jn} \right) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(ii)}}{=} \lim_{n \to \infty}
|
||||
\E\left( \prod_{j \in J}^{} X_{jn} \right) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(2)}}{=} \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} \E(X_{jn}) \\
|
||||
&= \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} \E(X_{jn}) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(ii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(X_j)
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item ,,$\impliedby$'': Sei $(A_i)_{i \in I}$ mit $A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$.
|
||||
Z.z.: $\indep_{ i \in I} A_i$. Dazu sei $\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich.
|
||||
Betrachte $X_i \coloneqq \mathbbm{1}_{A_i}$. Dann ist nach Vorraussetzung
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in J} A_i \right)
|
||||
&\stackrel{\text{(iii)}}{=}
|
||||
\E \left( \mathbbm{1}_{\bigcap_{i \in J} A_i} \right) \\
|
||||
&= \E\left( \prod_{i \in J}^{} \mathbbm{1}_{A_i} \right) \\
|
||||
&\stackrel{\text{Vorr.}}{=} \prod_{i \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_i}) \\
|
||||
&\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{i \in J}^{} \mathbb{P}(A_i)
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user