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wtheo4.tex

@@ -68,7 +68,46 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Wir benutzen den Dichtetransformationssatz. Es gilt $Y = h(X)$ mit $h(x) = -2 \log(x)$, also $h'(x) = -\frac{2}{x}$ und $h^{-1}(y) = e^{-\frac{1}{2}y}$. Wir benötigen noch die Identität
+        \[
+            \mathbbm{f}^X(e^{-\frac{1}{2}y}) = \begin{cases}
+                1 & 0 \leq e^{-\frac{1}{2}y} \leq 1\\
+                0 & \text{sonst}
+            \end{cases} = \begin{cases}
+                1 & y \geq 0\\
+                0 & y < 0
+            \end{cases}
+            = \mathbbm{1}_{\R_+}(y)
+        \]
+        Daher erhalten wir
+        \[
+            \mathbbm{f}^Y(y) = \frac{\mathbbm{f}^X(e^{-\frac{1}{2}y})}{\left|-\frac{2}{e^{-\frac{1}{2}y}}\right|} = \mathbbm{1}_{\R_+}(y) \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}y} = \mathbbm{f}_{\text{Exp}_\frac{1}{2}}(y)
+        \]
+        \item Erneut können wir den Dichtetransformationssatz anwenden, da $Y = h(X)$ mit $h(x) = \alpha x$, also $h'(x) = \alpha$ und $h^{-1}(y) = \frac{1}{\alpha}y$. Daher erhalten wir
+        \[
+            \mathbbm{f}^Y(y) 
+            = \frac{\mathbbm{f}^X(\alpha^{-1}y)}{\left| h'(\alpha^{-1}y)\right|} = \frac{\mathbbm{f}^X(\alpha^{-1}y)}{\left| \alpha\right|}
+            = \mathbbm{1}_{[0,\infty]}(y) \cdot \frac{\lambda}{\alpha} \cdot e^{-\lambda \frac{y}{\alpha}} 
+            = \mathbbm{f}_{\text{Exp}_\frac{\lambda}{\alpha}}(y)
+        \]
+        \item Da $x^2$ nicht bijektiv ist, können wir den Dichtetransformationssatz nicht anwenden. Es gilt aber
+        \[
+            \int_0^y \mathbbm{f}^Y(y') \d{y'} 
+            = \mathbbm{F}^Y(y) 
+            = \mathbbm{P}^Y([0,y]) 
+            = \mathbbm{P}(Y^{-1}([0,y])) 
+            = \mathbbm{P}([-\sqrt{y}, \sqrt{y}]) 
+            = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \mathbbm{f}^X(x) \d{x} 
+            = \frac{1}{2}x \bigg|_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \sqrt{y}.
+        \]
+        Nach dem Haupsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt daher 
+        \[
+            \mathbbm{f}^Y(y) = \frac{\d{}}{\d{y}} \int_0^y \mathbbm{f}^Y(y') \d{y'} = \frac{\d{}}{\d{y}} \sqrt{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
@@ -150,4 +189,38 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Aufgrund der Normierungsbedingung muss gelten
+        \begin{align*}
+            1 &= \int_Y \int_X \mathbbm{f}^{X,Y}(x,y) \d{x}\d{y}\\
+            &= \int_Y \int_X C_\lambda e^{-\lambda y}\mathbbm{1}_{0\leq x\leq y} \d{x}\d{y}\\
+            &= \int_Y \int_0^y C_\lambda e^{-\lambda y}\mathbbm{1}_{0\leq y} \d{x}\d{y}\\
+            &= \int_Y C_\lambda \left[x \cdot e^{-\lambda y}\mathbbm{1}_{0\leq y}\right]_{x=0}^y \d{y}\\
+            &= \int_0^\infty C_\lambda y e^{-\lambda y} \d{y}\\
+            &= \left[-C_\lambda \frac{y}{\lambda}e^{-\lambda y}\right]_{y=0}^\infty - \int_0^infty -C_\lambda\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}\d{y}\\
+            &= 0 - 0 + \left[-C_\lambda\frac{1}{\lambda^2}e^{-\lambda y}\right]_{y = 0}^\infty\\
+            &= 0 - (- C_\lambda\frac{1}{\lambda^2} e^0)\\
+            &= \frac{C_\lambda}{\lambda^2}
+        \end{align*}
+        Also gilt $C_\lambda = \lambda^2$.
+        \item Es gilt
+        \begin{equation*}
+            \mathbbm{f}^X(x) = \int_\R \mathbbm{f}^{X,Y}(x,y) \d{y} = \int_\R \lambda^2 e^{-\lambda y} \mathbbm{1}_{0\leq x\leq y} \d{y} = \int_x^\infty \lambda^2 e^{-\lambda y} \d{y} = \left[-\lambda e^{-\lambda y}\right]_x^\infty = \lambda e^{-\lambda x}
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \mathbbm{f}^Y(y) = \int_\R \mathbbm{f}^{X,Y}(x,y) \d{x} = \int_\R \lambda^2 e^{-\lambda y} \mathbbm{1}_{0\leq x\leq y} \d{x} = \int_0^y \lambda^2 e^{-\lambda y} \d{x} = \left[\lambda^2 e^{-\lambda y} x\right]_0^y = \lambda^2 y e^{-\lambda x}
+        \end{equation*}
+        \item Es gilt
+        \begin{equation*}
+            \mathbbm{P}(X \geq Y) = \int_0^\infty\int_y^\infty \mathbbm{f}^{X,Y}(x,y) \d{x}\d{y} = \int_0^\infty\int_y^\infty \lambda^2 e^{-\lambda y} \underbrace{\mathbbm{1}_{0\leq x \leq y}}_{=0} \d{x}\d{y} = 0
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \mathbbm{P}(2X \leq Y) = \int_0^\infty\int_0^{\frac{y}{2}} \mathbbm{f}^{X,Y}(x,y) \d{x}\d{y} = \int_0^\infty\int_0^{\frac{y}{2}} \lambda^2 e^{-\lambda y} \underbrace{\mathbbm{1}_{0\leq x \leq y}}_{=1} \d{x}\d{y} = \int_0^{\infty} \left[\lambda^2 e^{-\lambda y}x\right]_{x = 0}^{\frac{y}{2}} = \frac{1}{2}\int_0^\infty y\lambda^2 e^{-\lambda y} =\frac{1}{2}
+        \end{equation*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}