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@@ -88,19 +88,23 @@ |
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\[ |
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y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0). |
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\] |
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Womit wir erhalten: |
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Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus: |
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\[ |
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\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right). |
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\] |
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Wegen Monotonie gilt: |
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Außerdem gilt |
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\[ |
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\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}. |
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\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} |
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\] |
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und aufgrund der Monotonie: |
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\[ |
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\left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}. |
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\] |
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Somit können wir folgern: |
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\begin{salign*} |
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\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + 2\lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\ |
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\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\ |
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&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\ |
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&\leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} |
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&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} |
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\end{salign*} |
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woraus folgt |
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\begin{salign*} |
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@@ -249,7 +253,7 @@ |
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\begin{enumerate}[1)] |
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\item Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann: |
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\[ |
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y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi = \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b. |
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y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b. |
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\] |
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Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3). |
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\item Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann: |
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@@ -282,7 +286,7 @@ |
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& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\ |
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& r(y(a),y(b)) = 0 |
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\end{salign*} |
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Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungne erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA: |
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Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA: |
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\[ |
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r\left( y(t_{1}),...,y(t_{k}) \right) = 0. |
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\] |
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@@ -326,7 +330,7 @@ |
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\end{definition} |
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\begin{bem} |
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Lösung des inhomogenen DLG-System ist der Form: |
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Eine Lösung des inhomogenen DLG-System ist von der Form: |
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\[ |
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y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s. |
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\] |
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@@ -377,7 +381,7 @@ |
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weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\ |
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Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet |
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\[ |
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\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0- |
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\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0 |
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\] |
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Daraus folgen alle Behauptungen. |
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\end{proof} |
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