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ana19.tex

@@ -88,19 +88,23 @@
 				\[
 					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
 				\]
-				Womit wir erhalten:
+				Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus:
 				\[
 					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
 				\]
-				Wegen Monotonie gilt:
+				Außerdem gilt
 				\[
-					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
+					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2}
+				\]
+				und aufgrund der Monotonie:
+				\[
+					 \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
 				\]
 				Somit können wir folgern:
 				\begin{salign*}
-					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + 2\lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
+					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
 					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
-					&\leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
+					&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
 				\end{salign*}
 				woraus folgt
 				\begin{salign*}
@@ -249,7 +253,7 @@
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
 				\[
-					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi = \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
+					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
 				\]
 				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
 		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
@@ -282,7 +286,7 @@
 			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
 			& r(y(a),y(b)) = 0
 		\end{salign*}
-	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungne erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
+	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
 		\[
 			r\left( y(t_{1}),...,y(t_{k}) \right) = 0.
 		\]
@@ -326,7 +330,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{bem}
-	Lösung des inhomogenen DLG-System ist der Form:	
+	Eine Lösung des inhomogenen DLG-System ist von der Form:	
 		\[
 			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
 		\]
@@ -377,7 +381,7 @@
 	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
 	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
 		\[
-			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0-
+			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
 		\]
 	Daraus folgen alle Behauptungen.
 \end{proof}