lower compatibility option for pgf plot

ana1.tex

@@ -93,7 +93,7 @@
     $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
     \[
         \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
-        := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
+        \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
         \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
@@ -138,7 +138,7 @@
 \end{bem}
 
 \begin{bsp}
-    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
+    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
         | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
@@ -188,7 +188,7 @@
     Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
     $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
     \[
-        \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
+        \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
     .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
     abgeschlossen ist.
 \end{definition}
@@ -240,7 +240,7 @@
                 \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
             .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
             $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
-            $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
+            $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
 
             Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
             \[
@@ -262,7 +262,7 @@
 \begin{definition}
     Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
     \[
-        C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
+        C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
     ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
 \end{definition}
 
@@ -306,7 +306,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
     $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
-        f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
+        f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
         \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\

ana10.tex

@@ -42,6 +42,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Banachscher Fixpunktsatz]
+    \label{satz:banach-fix}
     Sei $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ eine Funktion mit den Eigenschaften
     \begin{enumerate}[1)]
         \item $g(M) = M$ für ein $M \subseteq D$, $M$ abgeschlossen

ana12.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
 Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.

ana13.tex

@@ -11,7 +11,7 @@
 				\begin{salign*}
 					f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}  \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
 				\end{salign*}
-.		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
+		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
 				\begin{salign*}
 					f(x+h) - f(x) = f'(x+ \tau h) \cdot h.
 				\end{salign*}
@@ -22,7 +22,7 @@
 	\end{enumerate}
 \end{bem}
 \begin{satz}[Mittelwertsatz]
-	Seien $D \in \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h \right)_{2} = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}\right)^{T} \cdot h.
 	\end{salign*}	 	
@@ -32,9 +32,9 @@
 	\end{salign*}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R ,g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
+	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R, \ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
-		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \ \ \stackrel{\text{MWS}}{=} \ \ \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s}  \ \ \ \ \stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \ \ \ \ \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
+		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \overset{\text{HDI}}{=} \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \overset{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
 	\end{salign*}
 	Ist $m = 1$, so gilt:
 	\begin{salign*}
@@ -50,7 +50,7 @@
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \left( \nabla^{T} f(x+sh) \cdot h \right)\d{s} = \nabla^{T} f(x+\tau h) \cdot h.
 	\end{salign*}
-	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
+	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber nicht (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) \neq J_{f}(x + \tau h) \cdot h.
 	\end{salign*}
@@ -75,10 +75,10 @@
 \end{proof}
 \begin{definition}
 	$D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\
-	Geometrisch: für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
+	Geometrisch: Für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
 \end{definition}
 \begin{korollar}
-	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{n}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon}
 	\end{salign*}
@@ -95,9 +95,9 @@
         \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh) h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ &\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \cdot \norm{h}_{2} \\ \hfill \\ \implies \ & \norm{f(x+h) - f(x)}_{2} = \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh)h \d{s}}_{2} \leq M \cdot \norm{x+h-x}_{2}.
 	\end{salign*}
 	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
-	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,...,m\}$:
+	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,\dotsc,m\}$:
 	\begin{salign*}
-		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{i}-x_{i}) \d{s}.
+		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{j}-x_{j}) \d{s}.
 	\end{salign*}
 	Und damit in Vektorform:
 	\begin{salign*}
@@ -110,7 +110,7 @@
 	\end{salign*}	
 \end{proof}
 \begin{bem}
-	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/Jacobi-Matrix von $f$. 
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/\allowbreak Jacobi-Matrix von $f$. 
 \end{bem}
 
 \section{Taylor-Entwicklung}
@@ -119,18 +119,18 @@
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sei $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ partiell differenzierbar. Seien alle partiellen Ableitungen $$\partial_{i}f: D \to \R^{m}, \ \partial_{i}f = \begin{pmatrix}
 			\partial_{i} f_{1} \\ \vdots \\ \partial_{i}f_{m}
-		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,...,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$
+		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,\dotsc,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}\dots \partial_{i_{1}}f$
-        \ ($i_{k},...,i_{1} \in \{1,...,n\}$) partiell differenzierbar sind.
+        \ ($i_{k},\dotsc,i_{1} \in \{1,\dotsc,n\}$) partiell differenzierbar sind.
 		\item 	$f: D \to \R^{m}$ ist $k$-mal stetig partiell differenzierbar, wenn $f$ \ $k$-mal differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der $k$-ten Ordnung stetig sind ($f \in C^{k}(D,\R^{m})$).
 		\item 	Es gilt:
 				\begin{salign*}
-					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\} \\
+					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\} \\
-					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\}, k \in \{1,...,m\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\}, k \in \{1,\dotsc,m\} \\
 					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
 				\end{salign*}
-		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
+		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,\dotsc,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
-		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}\dots\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},\dotsc,i_{k} \in \{1,\dotsc,n\}.$$
 	\end{enumerate}
 	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
 	\begin{enumerate}[(1)]
@@ -148,4 +148,149 @@
 				\end{salign*}
 	\end{enumerate}
 \end{bem}
+\begin{satz}[Taylor-Formel]
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $x \in D$, $h \in \R^{n}$ mit $\{x+th \ | \ t \in [0,1] \} \subset D$ und $f \in C^{r+1}(D,\R)$. Dann existiert ein $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \underbrace{f(x) + \sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k} = 1}^{n} \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(x) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}}_{\text{Taylor-Polynom}} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{(r+1)!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{r+1} = 1}^{n} \partial_{i_{r+1}}\dots\partial_{i_{1}}f(x+\theta h) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{r+1}}}_{\text{Restglied}}
+	\end{salign*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Sei $g \colon [0,1] \to \R, g(t) \coloneqq f(x+th)$. Es gilt $g \in C^{r+1}([0,1], \R)$ und
+	\begin{equation} \label{eq::taylor-hilfsfkt}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}}(x+th) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.
+	\end{equation}
+	Wir zeigen (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) durch Induktion nach $k$. \\
+	(IA) \ $k=1$ \ Es ist $g \in C^{1}$ und nach Kettenregel gilt: $$ \frac{\d{g}}{\d{t}}(t) = \frac{\d}{\d{t}}f(x+th) = \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x+th)}{x_{i}} \cdot h_{i}. $$
+	(IV) Für ein $k \in \N$ gilt (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}). \\
+	(IS) \ $k \mapsto k+1$ \ Nach Induktionsvoraussetzung gilt: $$\frac{\text{d}^{k} g(t)}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.$$
+	Aus $f \in C^{k+1}(D, \R)$ folgt, dass $\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}} \in C^{1}([0,1], \R)$, womit nach Kettenregel folgt:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k+1} g(t)}{\d{t^{k+1}}} &= \frac{\d}{\d{t}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \\  
+		&= \sum_{j=1}^{n} \pdv{}{x_{j}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \cdot h_{j} \\
+		&= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k+1}=1}^{n} \frac{\partial^{k+1}f(x+th)}{\partial x_{i_{k+1}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k+1}}.
+	\end{salign*}
+	Ferner liefert die Taylor-Formel in $\R$ für $g$ die Existenz eines $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		g(1) - g(0) = f(x+h) - f(x) = \left(\sum_{k=1}^{r} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \right) + \frac{g^{(r+1)}(\theta)}{(r+1)!}.
+	\end{salign*}
+	Einsetzen von (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) liefert die Behauptung.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Um die Notation vieler, verschieden indizierter partieller Ableitungen zu erleichtern, führen wir die \underline{Multiindex-Notation} ein: \\
+	Für $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n}) \in \N_{0}^{n}$ seien:
+	\begin{salign*}
+		\vert \alpha \vert  \ &\coloneqq \ \alpha_{1} + \dots +\alpha_{n} \in \N_{0} \\
+		\partial^{\alpha}f \ &\coloneqq \ \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, & \ \text{für} \ f \in C^{\vert \alpha \vert}(D, \R), \\
+		\alpha ! \ &\coloneqq \ \alpha_{1} ! \dotsm \alpha_{n} ! \in \N_{0}, \\
+		h^{\alpha} \ &\coloneqq \ h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \in \R, & \ \text{für} \ h = (h_{1},\dotsc,h_{n})^{T} \in \R^{n}.
+	\end{salign*}	 
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+	Seien $n = 3$, $\alpha= (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$. Multiindizes der Ordnung $\vert \alpha \vert = 2$ sind: \\
+	\begin{table}[h]
+	\centering
+	\setlength{\tabcolsep}{8pt}
+	\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
+	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+		$\alpha$ & $(2,0,0)$ & $(0,2,0)$ & $(0,0,2)$ & $(1,1,0)$ & $(1,0,1)$ & $(0,1,1)$ \\
+		\hline 
+		$\alpha !$ & $2! \cdot 0! \cdot 0! = 2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
+		\hline 
+		$\partial^{\alpha}f$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}$, & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}$
+	\end{tabular}
+	\end{table} \\
+	Summennotation für partielle Ableitungen $2$-ter Ordnung:
+	$$ \sum_{\vert \alpha \vert = 2} \partial^{\alpha}f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}. $$
+\end{bsp}
+\begin{bem}
+	Mit dieser Notation lässt sich die Taylor-Formel kompakt schreiben als:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha} f(x)}{\alpha !} h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha} f(x+\theta h)}{\alpha !} h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+\end{bem}
+\begin{proof}
+	Die Reihenfolge der Differenzierung kann vertauscht werden. Daraus folgt für alle $k$-Tupel $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ mit $i_{j} \in \{1,\dotsc,n\}$ für $j \in \{1,\dotsc,k\}$: $$\partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(y)\cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(y) \cdot h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} = \partial^{\alpha} f(y) \cdot h^{\alpha} $$
+	wobei $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n})$ mit $\alpha_{s} \coloneqq \#\{ i_{j} \ | \ i_{j} = s \ \text{für} \ j \in \{1,\dotsc,k\} \}$ (Anzahl wie oft Index $s$ in $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ vorkommt). \\
+	Ohne Beweis (siehe S.72 Skript Ana2 Rolf Rannacher): für $\alpha\in \N_{0}^{n}$ mit $\vert \alpha \vert = k$ gilt: die Anzahl von $k$-Tupeln $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ bei denen der Index $s$ genau $\alpha_{s}$-mal vorkommt ist $$\frac{k!}{\alpha_{1}! \dotsm \alpha_{n}!} = \frac{k!}{\alpha!}.$$
+	Daraus folgt
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) &= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha_{1}!\dotsm \alpha_{n}!} \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(x+th) h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(x+th)h^{\alpha},
+	\end{salign*}
+	womit insbesondere auch gilt 
+	\begin{salign*}
+		\sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x+th)}{\alpha!}h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+	Und können ferner festhalten:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=} \sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(0)+ \frac{1}{(r+1)!} \frac{\text{d}^{r+1} g(\theta)}{\d{t^{r+1}}}\\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \frac{1}{(r+1)!}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert\leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\text{Restglied in Lagrange-Form}} \\
+		\intertext{und analog:}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=}\sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \frac{\text{d}^{r+1}g(t)}{\d{t^{k+1}}}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{(r+1) \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t}}_{\text{Restglied in Integral-Form}}
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar} \label{kor::taylor-omega-form}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f\in C^{r+1}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, für die $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$) $$f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \omega_{r+1}(x, h),$$ sodass $$\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0,$$ also $\omega_{r+1}(x,h) = o(\norm{h}^{r+1})$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Da $D$ offen ist, existiert ein $\delta > 0$ mit $K_{\delta}(x) \subset D$. Nach Taylor-Formel existiert für alle $h \in \R^{n}$ mit $\norm{h} < \delta$ ein $\theta \in [0,1]$ sodass 
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\eqqcolon \, \omega_{r+1}(x,h)}
+	\end{salign*}
+	Nun gilt noch zu zeigen, dass: $\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0$. \\
+	Es gilt: 
+	\begin{salign*}
+		\vert h^{\alpha} \vert = \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \leq \norm{h}^{\alpha_{1}} \dotsm \norm{h}^{\alpha_{n}} = \norm{h}^{\vert \alpha \vert}.
+	\end{salign*}
+	Womit wir abschätzen können:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\vert \omega_{r+1}(x,h) \vert}{\norm{h}^{r+1}} &= \frac{1}{\norm{h}^{r+1}} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \cdot \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \\
+		&= \frac{\vert h^{r+1} \vert}{\norm{h}^{r+1}}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \\
+		&\stackrel{\vert h^{r+1} \vert \leq \norm{h}^{r+1}}{\leq} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \underbrace{\vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert}_{\oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0, \ \text{weil alle} \ \partial^{\alpha}f \text{ stetig sind}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f \in C^{2}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, sodass $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$):
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2} + \omega_{2}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{2}(x,h)}{\norm{h}^{2}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Dabei ist $H_{f}(x)$ die Hesse-Matrix von $f$. Das heißt das Taylor-Polynom 2. Ordnung ist eine quadratische Approximation von $f$. Für $f \in C^{1}(D,\R)$ gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \omega_{1}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{1}(x,h)}{\norm{h}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Das heißt das Taylor-Polynom 1. Ordnung ist eine lineare Approximation von $f$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Folgt aus \ref{kor::taylor-omega-form} mir $r+1=2$ bzw. $r+1 = 1$ sowie:
+	\begin{salign*}
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 0} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= f(x), \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{1!} \cdot \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x)}{x_{i}} \cdot  h_{i} = \left( \nabla f(x), h \right)_{2}, \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 2} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}} h_{i} \cdot h_{j} = \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2}.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{definition}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ beliebig oft partiell differenzierbar, $x \in D$. Dann heißt die \underline{Taylor-Reihe von $f$ in $x$}:
+	$$ T_{\infty}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{\infty} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}.$$
+\end{definition}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann gilt $$ T_{r}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} f(x+h),$$ wenn  
+	\begin{equation} \label{eqq::taylor-rest-gegen-null}
+		R_{r+1}^{f}(x,h) \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} 0, \ \ \ \ \ x \in D.
+	\end{equation}
+	Eine hinreichende Bedingung für (\ref{eqq::taylor-rest-gegen-null}) ist $$\sup_{\vert \alpha \vert \geq 0} \ \sup_{x \in D} \vert \partial^{\alpha} f(x) \vert \leq M_{f} < \infty,$$ das heißt alle partiellen Ableitungen von $f$ sind gleichmäßig beschränkt. 
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Siehe Skript Ana2 Rolf Rannacher, Seite 74, Übungsaufgabe 3.23.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Taylor Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$, wenn die Funktion $f$ durch eine Potenzreihe beschrieben wird (also wenn $f$ analytisch ist).
+\end{bem}
+
+
+
 \end{document}

ana14.tex

@@ -0,0 +1,354 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\def\mathunderline#1#2{\color{#1}\underline{{\color{black}#2}}\color{black}}
+\section{Extremwertaufgaben}
+
+\begin{definition}[lokales Maximum/Minimum]
+    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
+\end{definition}
+\begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
+    \label{satz:notwendig-extremum}
+Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Für $i = 1,\dots,n$, betrachte $g_i(t)\coloneqq f(x + te_i)$. Da $D$ offen ist, sind alle $g_i$ auf einem Intervall $(-\delta, \delta), \delta > 0$ wohldefiniert und differenzierbar. $g_i(t)$ hat in $t = 0$ ein lokales Minimum/Maximum , also gilt $\forall i = 1, \dots, n$ \[\dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} = 0.\]
+    Aufgrund der totalen Differenzierbarkeit von $f$ folgt
+    \[ 0 =  \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{j = 1}^{n}\pdv{f(x)}{x_j} \cdot \delta_{ij} = \pdv{f(x)}{x_i} \qquad \forall i = 1\dots, n
+    \]
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    Die Umkehrung ist falsch, z.B. $f(x) = x^3,\; f\colon \R \to \R$, hat in $x=0$ $\nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f(x) = x^3$.\\
+    $f\colon \R^2 \to \R,\; f(x_1, x_2) = x_1x_2$ hat in $x = \begin{pmatrix}
+        0\\0
+    \end{pmatrix} \nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f$.
+\end{bem}
+\begin{satz}[Hinreichende Bedingung für lokales Extremum]\ 
+    Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\in C^2(D,\R)$ und $x\in D$ mit $\nabla f(x) = 0$. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $H_f(x)$ positiv definit $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ negativ definit $\implies x$ striktes lokales Maximum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ indefinit $\implies x$ kein lokales Extremum.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nach Taylor gilt lokal um $x$:
+    \[f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x), h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h)\] mit $\frac{\omega_2(x,h)}{\norm{h}^2} \oldstackrel{h \to 0}{\to} 0$
+    \begin{enumerate}
+        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$ nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
+        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{\left(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h}\right)_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
+        Wähle $\delta > 0$ klein, sodass $\forall \norm h < \delta$ gilt $|\omega_2(x,h)| \leq \frac{\alpha}{4}\norm h^2$ (weil $\omega_2(x,h) = o(\norm h^2)$). Damit gilt $\forall h, \norm h < \delta$
+        \[f(x+h) = f(x) + (\underbrace{\nabla f(x)}_{=0}, h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h) \geq f(x) + \frac{\alpha}{2}\norm h^2 - \frac{\alpha}{4}\norm h^2 > f(x)\]
+        $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item Ersetze $f$ durch $-f$, dann 1)
+        \item $\exists h \in \R^n$ mit $(H_f(x)h, h)_2 = \alpha > 0$, sodass
+        \[
+          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t \ll 1}{>} f(x)
+        \]
+        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t \ll 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 + 2y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\4y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & 4
+        \end{pmatrix}$ positiv definit. $\implies \begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = 0$ striktes lokales Minimum (sogar global).
+        \begin{tabular}{cll}
+            $f(x)\leq f(y)$ &$\forall y\in D$ & globales Minimum\\
+            $f(x) < f(y)$ &$\forall y\in D\setminus\{x\}$ &striktes globales Minimum
+        \end{tabular}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 - y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\-2y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & -2
+        \end{pmatrix}$ indefinit. $\implies 0 \in \R^2$ kein lokales Extremum.
+        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_3(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
+        Es gilt
+        \[
+            \nabla f_i(0) = 0\in \R^2,\; H_{f_i}(0) = \begin{pmatrix}
+                2 & 0\\
+                0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            \forall i =1,2,3
+        \]
+        Die Hesse-Matrix ist positiv semidefinit. Es gilt
+
+        \begin{tabular}{lcl}
+            für $f_1$:& Punkt 0 ist ein& \underline{striktes} lokales Maximum,\\
+            für $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
+            für $f_3$:& Punkt 0 ist ein& Sattelpunkt.
+        \end{tabular}
+    \end{enumerate}
+    \begin{figure}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 + 2*y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 - y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Links: $f(x,y) = x^2 +2y^2$ ist ein Paraboloid, Rechts: $f(x,y) = x^2-y^2$ ist eine Sattelfläche}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+\section{Implizite Funktionen und Umkehrabbildung.}
+Frage: \underline{Umkehrabbildung:} Auflösen von $x = g(y)$, d.h.
+\begin{equation}
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        x_1&=g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        x_n&=g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\} \Leftrightarrow
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        0&=x_1-g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        0&=x_n-g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\}\tag{*}\label{star}
+\end{equation}
+$n$ Gleichungen, $n$ Unbekannte $y_1,\dots, y_n$.
+Gesucht: Abbildung $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
+
+\paragraph{Implizite Funktion} $m$ Gleichungen, $m$ Unbekannte $y_1,\dots, y_m$.
+\begin{equation}
+    \left.\begin{array}{rl}
+        0&=F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\\
+        \vdots&\\
+        0&=F_m(x_1,\dots, x_n,y_1,\dots,y_m)
+    \end{array}\right\}\tag{**}\label{doublestar}
+\end{equation}
+$0 = F(x,y)$ Auflösen nach $y$, d.h.
+Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar} (lokal um eine Lösung $(x_0,y_0):F(x_0,y_0) = 0$)
+\begin{bsp}
+    $m=1,\;n=1,\; F(x,y) = x^2 + y^2-1$
+
+    \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {$(x_0,y_0)$} (0,1.5);
+            \draw[->] (-1.5,0) -- node[below,pos=1.3] {$F(x,y) = 0$} (1.5,0);
+            \draw (0,0) circle (1cm);
+            \draw[fill] (0,1) circle (2pt);
+            \draw[fill=red,draw=red] (0,0) circle (2pt);
+            \node[color=red] at (.3,0) {)};
+            \node[color=red] at (-.3,0) {(};
+            \draw[fill=blue,draw=blue] (1,0) circle (2pt);
+            \node[color=blue] at (1.3,0) {)};
+            \node[color=blue] at (.7,0) {(};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
+        An der Stelle $\mathunderline{red}{x_0 = 0,\; y_0 = 1}$ gilt  $F(0,1)=0$,\\ also
+        $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y^2 = 1-x^2$.
+        \[\implies \mathunderline{red}{f(x)\coloneqq \sqrt{1-x^2}}\text{ für } |x| < 1\] $\mathunderline{red}{\text{ erfüllt }F(x,f(x)) = 0},\; |x| < 1$.
+    \end{minipage}
+
+Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung von $x_0 = 1$, sodass \[\mathunderline{blue}{\exists f\colon U(x_0) \to \R\text{ mit }F(x,f(x)) = 0}.\]
+\end{bsp}
+\begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
+    \label{satz:sif}
+    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F^1 \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
+    \[
+        D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
+            \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
+            \pdv{F_m}{y_1}&\dots&\pdv{F_m}{y_m}
+        \end{pmatrix}
+    \]
+    sei im Punkt $(\hat x, \hat y)$ invertierbar. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exists$ offene Umgebungen $U(\hat x) \subset D^x,\; U(\hat y)\subset D^y$  um $\hat x$ und $\hat y$ und $\exists$ eine stetige Funktion $f\colon U(\hat x) \to U(\hat y)$, s.d.
+        \[F(x,f(x)) = 0\quad\forall x\in U(\hat x)\]
+        \item $f$ ist eindeutig bestimmt, d.h. $F(x,y) = 0$ für $(x,y) \in U(\hat x)\times U(\hat y)\Leftrightarrow y = f(x)$
+        \item $f$ ist in $\hat x$ stetig differenzierbar und $J_f(\hat x) = D_xf(\hat x)\in \R^{m \times n}$ ist \[D_xf(\hat x) = -(D_yF(\hat x, \hat y))^{-1}D_xF(\hat x, \hat y).\]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item O.B.d.A. sei $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ (sonst betrachte $F(x,y) - F(\hat x, \hat y)$). Die Matrix $J_y \coloneqq D_yF(0,0)$ ist regulär. Definiere $G\colon D^x\times D^y \to \R^m,\; G(x,y) \coloneqq y - J^{-1}_yF(x,y)$. $G$ ist stetig differenzierbar und erfüllt: $G(0,0) = 0$ und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow G(x,y) = y$. Jacobi-Matrix von $G(x,y)$ bzgl. $y$:
+        \[D_yG(x,y) = \mathbb{I} - J_y^{-1} D_yF(x,y) \text{ und insb. } D_yG(0,0) = \mathbb{I} - J_y^{-1}J_y = 0.\]
+        $F$ stetig differenzierbar $\implies D_yG(x,y)$ stetig $\implies \exists K_r^x(0) \times K_r^y(0) \subset D^x \times D^y$ mit Radius $r$, sodass $\norm{D_yG(x,y)}_2\leq \frac{1}{2},\; (x,y)\in K_r^x(0)\times K_r^y(0)$. $G(0,0) = 0\implies \exists K_s^x(0)\subset K_r^x(0)$ mit Radius $0< s\le r$ sodass 
+        \[\norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2} r,\; x\in K_s^x(0)\]
+        Ziel: Konstruiere $f\colon K_s^x(0)\to K_r^y(0)$ stetig mit $G(x,f(x)) = f(x)\; (\Leftrightarrow F(x,f(x)) = 0)$. Betrachte Fixpunktgleichung
+        \[G(x,y) = y,\; x\in K_s^x(0).\]
+        Für $(x,y_1),\; (x,y_2)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt 
+        \[\norm{G(x,y_1) - G(x,y_2)}_2 \oldstackrel{\text{MWS}}{\le} \sup_{(x,y)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)}\norm{D_yG(x,y)}_2 \cdot \norm{y_1-y_2}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}_2.\]
+        Sei $y\in \overline{K_r^y(0)}$
+        \[\norm{G(x,y)}_2 \le \norm{G(x,y)-G(x,0)}_2 + \norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y}_2 + \frac{1}{2}r\le r\]
+        d.h. $G(x,\cdot)$ ist eine Selbstabbildung der abgeschlossenen Kugel $\overline{K_r^y(0)}$.
+        
+        Außerdem, $\norm{G(x,y_1) -G(x,y_2)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}\implies G(x,\cdot)$ ist eine Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $L=\frac{1}{2}$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz (\ref{satz:banach-fix})
+        folgt $\forall x \in K_s^x(0) \exists!$ ein Fixpunkt $y(x)\in K_r^y(0)$ von $G(x,\cdot)$:
+        \[y(x) = \lim\limits_{k\to \infty} y^{(k)}(x),\; y^{(k)}(x)=G(x,y^{(k-1)}(x)),\; k\in \N\] mit Startpunkt $y^{(0)}(x)\coloneqq 0$.
+        Es gilt die Fehlerabschätzung $\forall x \in K_s^x(0)$:
+        \[\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}_2 \le 2^{-k}\norm{y^{1}(x)-y^{(0)}(x)}_2 = 2^{-k}\norm{G(x,0)-0}_2 \le 2^{-k} \frac{1}{2}r\]
+        Für $k\in \N$ gilt \[y^{(k)}(x) = G(x,y^{(k-1)}(x)) = y^{(k-1)}(x)-J_y^{-1}\underbrace{F(x,y^{(k-1)}(x))}_{\text{stetig}}\]
+        Induktiv folgt $y^{(k)}(x)$ stetig in $x\in K_2^x(0)$. Definiere $f(x)=y(x),\; f\colon K_s^x(0) \to K_r^y(0)$ und nach Konstruktion gilt
+        \[G(x,f(x)) = f(x),\quad x\in K_s^x(0).\]
+        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} y(x)$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
+        $\implies$ 1. Behauptung für $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ mit $U(\hat x)\coloneqq K_s^x(0)$ und $U(\hat y)\coloneqq K_r^y(0)$.
+        \item Die Eindeutigkeit von $y = f(x)$ folgt nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Für $x\in K_s(\hat x)$ ist der Fixpunkt der Gleichung $G(x,y) = y$ eindeutig bestimmt.
+        \item Da $F(x,y)$ in $(0,0)$ differenzierbar ist, gilt nach Definition der Differenzierbarkeit 
+        \[
+            F(x,y) = \underbrace{F(0,0)}_{=0} + D_xF(0,0)\cdot x + \underbrace{D_yF(0,0)}_{=J_y}\cdot y + \omega(x,y),
+        \]
+        wobei $\omega \colon K_s^x(0)\times K_r^y(0) \to \R^m$ die Eigenschaft $\norm{\omega(x,y)}_2 = o(\norm{(x,y)}_2)$ besitzt. Aus dem Beweis von 1. wissen wir, dass $F(x,f(x)) = 0$ für $x\in K_s^x(0)$ gilt. Einsetzen ergibt 
+        \begin{align*}
+            0 &= F(x,f(x)) = D_xF(0,0) \cdot x + J_y \cdot f(x) + \omega(x, f(x))\\
+            f(x) &= -J_y^{-1}\cdot D_xF(0,0) \cdot x \underbrace{ - J_y^{-1} \cdot \omega(x,f(x))}_{\eqqcolon \psi(x)}\\
+            &= -J_y^{-1} D_xF(0,0) x + \psi(x)
+        \end{align*}
+        Reminder: Def. Differenzierbarkeit: $f(0 +x) = \underbrace{f(0)}_{=0} + Df(x) \cdot x + \psi(x)$ mit $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$
+        Es genügt also zu zeigen, dass $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$, d.h. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} = 0$. Wir nutzen $\omega(x,y) = o(\norm{(x,y)}_2)$, d.h. \[\frac{\norm{\omega(x,y)}_2}{\norm{(x,y)}_2} \xrightarrow{\norm{(x,y)_2}\to 0} 0 \]
+        d.h. $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta_1 \in (0,s),\; \delta_2\in (0,r)$ sodass $\forall x$ mit $\norm{x}_2\le \delta_1$ und $\forall y$ mit $\norm{y}_2 \le \delta_2$ gilt 
+        \[
+            \norm{\omega(x,y)}_2 \le \epsilon \norm{(x,y)}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{y}_2) 
+        \]
+        Da $f$ überdies auch stetig ist (siehe Beweis 1.), gibt es ein $\delta \in (0,\delta_1)$ sodass $\forall \norm{x}_2 \le \delta$ gilt $\norm{f(x)}_2\le \delta_2$. Daraus schließen wir für $x$ mit $\norm{x}_2 \le \delta$:
+        \[
+            \norm{\omega(x,f(x))}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)  
+        \]
+        Dies können wir nun auf $f(x)$ anwenden.
+        \begin{salign*}
+            f(x) &= -J_y^{-1} D_xF(0,0)\cdot x + \psi(x)
+            \intertext{Es gilt $\psi(x) = -J_y^{-1}\omega(x,f(x))$}
+            \norm{f(x)} &\le \underbrace{\norm{J_y^{-1} D_xF(0,0)}_2}_{\eqqcolon c_1} \cdot \norm{x}_2 + \underbrace{\norm{J_y^{-1}}_2}_{\eqqcolon c_2} \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2\\
+            &\le c_1 \norm{x}_2 + c_2 \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Setzen wir nun $\epsilon = \frac{1}{2c_2}$, so erhalten wir für genügend kleines $x$}
+            &\le c_1\norm{x}_2 + c_2\cdot \frac{1}{2c_2}(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)\\
+            &= \left(c_1 + \frac{1}{2}\right) \norm{x}_2 + \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2\\
+            \implies \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2 &\le \left(c_1+ \frac{1}{2}\right)\norm{x}_2
+        \end{salign*}
+        Zusammen erhalten wir also:
+        \begin{salign*}
+            \norm{\psi(x)}_2 &\le \norm{J_y^{-1}}_2 \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Für $\norm{x}_2 \le \delta$ gilt}
+            &\le c_2 \cdot \epsilon(\norm{x}_2 + (2c_1 +1)\norm{x}_2)\\
+            &\le \epsilon \cdot c_3 \cdot \norm{x}_2
+            \intertext{Daraus schließen wir}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\le \epsilon \cdot c_3
+            \intertext{Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0\\
+            \implies \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0
+        \end{salign*}
+        Daraus folgt nun schließlich für das Differential von $f$ in $x = 0$
+        \[D_xf(0) = -J_y^{-1} D_xF(0,0)\]
+        Weiter müssen wir noch zeigen, dass $D_xf(x)$ in $K_\delta^x(0) \subset K_s^x(0)$ existiert und stetig ist in $x = 0$. Da $D_yF(x,y)$ stetig in $(0,0)$ ist, gibt es ein $\delta > 0$, sodass $\forall (x,y) \in K_s^x(0) \times K_\delta^y(0) \subset K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt
+        \[
+            \norm{D_yF(0,0) - D_yF(x,y)}_2 < \frac{1}{\norm{D_yF(0,0)^{-1}}_2}  
+        \]
+        Nach dem Störungssatz (\ref{kor:stoerung})
+        ist also $D_yF(x,y)$ regulär, also $\det D_yF(x,y) \neq 0$. Die Elemente von $D_yF(x,y)^{-1}$ sind nach der Cramerschen Regel stetige Funktionen der Elemente von $D_yF(x,y)$.
+        Daher ist \[(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y)\] als Produkt stetiger Funktionen stetig und nach Definition der Stetigkeit gilt
+        \[
+            \norm{(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y) - (D_yF(0,0))^{-1}D_xF(0,0)} \xrightarrow{\norm{(x,y)}_2 \to 0} 0  
+        \]
+        Analog wie oben folgern wir
+        \[f(x+h)-f(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x)) \cdot h + \omega(x,h),\quad \omega(x,h) = o(\norm{h}_2)\]
+        Die Ableitung $D_xf(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x))$ von $f$ ist stetig in $x = 0$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    $F(x,y) \coloneqq x^2 + y^2 -1$. Dann ist $D_yF(x,y) = 2y$. Nach dem Satz über implizite Funktionen folgt,  dass $F(x,y) = 0$ in einer Umgebung von $(\hat x, \hat y)$ mit $\hat x^2 + \hat y^2 -1 = 0,\; \hat y \neq 0$ (d.h. $\hat x \neq \pm 1$) eindeutig durch $y = \sqrt{1-x^2}$ oder $y = -\sqrt{1-x^2}$ nach $y$ auflösbar ist.
+\end{bsp}
+\begin{bem}[Implizites Differenzieren]
+    SIF und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y=f(x),\; F(x,f(x)) = 0$.
+    Kettenregel: $0 = F(x,f(x))$.
+    \[
+        0 = \dv{F}{x}(x,f(x)) = \left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y} \cdot \pdv{f}{x}\right) \implies \pdv{f}{x} = -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\pdv{F}{x}
+    \]
+    Die zweiten Ableitungen erhält man durch implizites Differenzieren von $\dv{F(x,f(x))}{x} = 0$.
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+    $F\colon \R^2 \to \R,\; F(x,f(x)) = 0$
+    \begin{align*}
+        0 &=\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'&&\text{1. Ableitung}\\
+        0 &= \dv{}{x}\left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'\right) &&\text{2. Ableitung}\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + \pdv{^2F}{y\partial x}f' + \left(\pdv{^2F}{x\partial y} + \pdv{^2F}{y^2}f'\right)f' + \pdv{F}{y}f''\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2 + \pdv{F}{y}f''\\
+        f'' &= -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\left(\pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2\right)
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+\vspace*{-1cm}
+\subsection{Umkehrabbildungen}
+Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}: B_f \to \R^n$?
+\begin{definition}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen. Eine Abbildung $f\colon D\to \R^n$ heißt \underline{regulär} in $\hat x\in D$, wenn $\exists K_\delta(\hat x) \subset D$, sodass $f$ in $K_\delta(\hat x)$ stetig differenzierbar und die Jacobimatrix $J_f(\hat x)$ regulär ist. $f$ heißt regulär in $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $\hat x \in D$ regulär ist.
+\end{definition}
+\begin{satz}[Umkehrabbildung]\label{umkehrfunktion}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D\to \R^n$ regulär in $\hat x\in D$. Dann $\exists$ eine offene Umgebung $V(\hat x) \subset D$ von $\hat x$ derart, dass $U(\hat y) \coloneqq f(V(\hat x))$ eine offene Umgebung von $\hat y = f(\hat x) $ ist und $f\colon V(\hat x) \to U(\hat y)$ bijektiv. Weiter gilt: Die Umkehrabbildung $f^{-1}: U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist regulär in $\hat y$ und 
+    \[J_{f^{-1}}(\hat y) = (J_f(\hat x))^{-1},\; \det J_{f^{-1}}(\hat y) = \frac{1}{\det J_f(\hat x)}\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei $\hat x \in D$ und $\hat y \coloneqq f(\hat x)\in f(D)$.
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \coordinate (x) at (-.5,-.5);
+            \coordinate (y) at (5.5,-.5);
+            \draw[color = black] (0,0) circle (2cm);
+            \node at (0,1.5) {$D$};
+            \draw[thick, color = red] (x) circle (1cm);
+            \draw[color = blue, fill = blue!20!white] (-.5,-.5) circle (.7cm);
+            \node[color = red] at (1,0) {$U(\hat x)$};
+            \draw[->] (2,0) -- node[pos = 0.6, above] {$f$} (4,0);
+            \draw[color = black] (6,0) circle (2cm);
+            \node at (6,1.5) {$f(D)$};
+            \draw[thick, color = red, fill = blue!20!white] (y) circle (1cm);
+            \node[color = red] at (7,0) {$U(\hat y)$};
+            \node[color = blue] at (-.6,-.2) {$V(\hat x)$};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=-45:$\hat x$] at (x) {};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=0:$\hat y$] at (y) {};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+    Betrachte $F \colon \R^n \times D \to \R^n, F(y,x) = y-f(x)$. Für $(\hat x, \hat y)$ gilt $F(\hat y, \hat x) = 0$. Die Jacobimatrix $D_xF(y,x) = -J_f(x)$ ist regulär in $\hat x$. Mit Vertauschung von $x$ und $y$ folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, dass Umgebungen $U(\hat y)$, $U(\hat x)$ und genau eine stetig differenzierbare Abbildung $g:U(\hat y) \to U(\hat x)$ existieren, sodass $\forall y \in U(\hat y)$
+    \[
+        0 = F(y,g(y)) = y-f(g(y)), \implies \exists! x = g(y)\in U(\hat x) \text{ mit } y= f(x)
+    \]
+    Setze dann \[V(\hat x) \coloneqq U(\hat x) \cap f^{-1}(U(\hat y)) = \{ x\in U(\hat x)\mid f(x) \in U(\hat y)\}.\]
+    Da $U(\hat x)$ und $f^{-1}(U(\hat y))$ offen sind, ist auch $V(\hat x)$ offen. Daher ist $f\colon V(\hat x)\to U(\hat y)$ bijektiv und die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist gerade $g$.
+    \begin{align*}
+        J_{f\circ f^{-1}}(\cdot) = J_{\mathrm{id}}(\cdot) &= \mathbb{I}
+        \intertext{Mit der Kettenregel folgt}
+        J_f(\hat x) \cdot J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = \mathbb{I}\\
+        \implies J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = J_f(\hat x)^{-1}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+    Sei $D\subset \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ regulär und $O \subset D$ offen. Dann ist $f(O)$ offen.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Sei $O \subset D$ offen und $y\in f(O)$ beliebig mit $y = f(x),\; x\in O$. Nach Satz \ref{umkehrfunktion} existieren $\forall y$ Umgebungen $K_r(y)\subset f(O)$ und $K_s(x)\subset O$ sodass $K_r(y)\subset f(K_s(x))\implies f(O)$ offen.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Satz \ref{umkehrfunktion} garantiert nur die lokale Umkehrbarkeit von $f$.
+        \item Es seien $U, V$ offene Mengen in $\R^n$ und $f\colon U\to V$ stetig differenzierbar.\\ $f$ heißt \underline{Diffeomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V \to U$ stetig differenzierbar ist.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\end{document}

ana15.tex

@@ -0,0 +1,157 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen}
+
+Problemstellung: ,,Restringierte`` Optimierungsaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen.
+
+Sei $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$, $D \subseteq \R^{n}$.
+Wir suchen einen Punkt $\hat{x} \in D$, s.d. $\hat{x} \in S \coloneqq \{ x \in D  \mid g(x) = 0\} $ und
+$\exists U(\hat{x})$ s.d. $f(\hat{x}) \le f(x)$, $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$. \\
+Dann heißt $\hat{x}$ lokales Minimum unter Nebenbedingung $g(x) = 0$. Analog: lokales Maximum unter
+Nebenbedingung $\hat{x} \in S$, s.d. $\exists U(\hat{x})$ mit $f(\hat{x}) \ge f(x)$
+$\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
+
+\begin{satz}[Multiplikatorregel von Lagrange: Notwendige Bed. 1. Ordnung für lokales Minimum unter
+    Nebenbedingungen]
+    \label{satz:lagrange-mult}
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$ partiell stetig
+    differenzierbar. Sei $\hat{x} \in D$ ein Extremum unter der Nebenbedingung
+    $g(x) = 0$ und die Gradienten $\nabla g_1(\hat{x}), \ldots, \nabla g_k(\hat{x})$
+    seien linear unabhängig in $\R^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    \exists \hat{\lambda} = \begin{pmatrix} \hat{\lambda}_1 \\ \vdots \\ \hat{\lambda}_k \end{pmatrix}
+    \in \R^{k} \text{ mit }
+    \sum_{i=1}^{k} \hat{\lambda}_i \nabla g_i(\hat{x}) = \nabla f(\hat{x})
+    (\iff \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = \nabla f(\hat{x}))
+    .\]
+    Die Zahlen $\hat{\lambda}_1, \ldots, \hat{\lambda}_k$ heißen \underline{Lagrange-Multiplikatoren}.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Nach Voraussetzungen gilt
+    \[
+        \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x} =
+        \underbrace{\left( \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_n} \right)}_{i = 1\ldots k, \text{linear unabhängige Vektoren}}
+    .\] Also hat $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x}) \in \R^{k \times n}$ Rang $k$.
+    O.B.d.A. die ersten $k$ Spalten von $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ bilden
+    eine quadratische invertierbare Matrix.
+    Dann lassen sich $x$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ aufspalten:
+    \[
+        x = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} 
+            \quad
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times n}}
+            =
+            \Big( \underbrace{\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times k}} ;
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times (n-k)}} \Big)
+    .\] mit $y \in \R^{k}$, $z \in \R^{n-k}$ und
+    $\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \in \R^{k \times k}$ regulär.
+
+    Setze $\hat{x} = \begin{pmatrix} \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix}$.
+    Wende nun Satz \ref{satz:sif} auf $g(x) = g(y,z) = 0$ an. Dann existieren
+    Umgebungen $U(\hat{z}) \subseteq \R^{n-k} $, $U(\hat{y}) \subseteq \R^{k}$ und
+    eine eindeutige Abbildung
+    \begin{align*}
+        \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
+        z &\mapsto \varphi(z) = y
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
+        \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$
+        \item $\varphi \in C^{1}\left( U(\hat{z}), \R^{k} \right) $ stetig differenzierbar.
+        \item $\underbrace{\varphi'(\hat{x})}_{D_x\varphi(\hat{x})} =
+            - \left(\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})\right)^{-1} \cdot
+            \left( \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x}) \right)$
+    \end{enumerate}
+    Betrachte $\tilde{f}(z) = f(\varphi(z), z)$, $\tilde{f}(z) \colon U(\hat{z}) \to \R$. Da
+    $\hat{x}$ Extremum von $f(x)$ unter $g(x) = 0$, ist $\hat{z}$ lokales Extremum von $\tilde{f}(z)$ in
+    $U(\hat{z})$. Mit \ref{satz:notwendig-extremum} folgt also $\forall i = 1 \ldots n-l$:
+    \begin{salign*}
+        0 &= \frac{\partial \tilde{f}(\hat{z})}{\partial z_i} \\
+        &\stackrel[\tilde{f} = f(\varphi(z), z)]{\text{Kettenregel}}{=} \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}
+        \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{z_i} + \frac{\partial f(\hat{x}) }{z_i}
+        \intertext{Damit folgt}
+        0 &= \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{\partial z}
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} \qquad (*)
+        \intertext{Definiere}
+        \hat{\lambda}^{T} &= \underbrace{\frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}}_{\left(\frac{\partial f}{\partial y_1} \ldots \frac{\partial f}{\partial y_k}\right)}
+        \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right)^{-1}
+        \intertext{Damit folgt}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} &= \hat{\lambda}^{T} \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right) 
+    .\end{salign*}
+    Mit $(*)$ folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \left( -
+        \left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial y} \right)^{-1}
+        \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z}\right)
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z}
+        = - \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z} + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = 0
+    .\end{salign*}
+    Insgesamt folgt
+    \begin{align*}
+    \begin{rcases}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \\
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})
+    \end{rcases}
+    \implies
+    \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial x} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Interpretation von Satz \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Definiere Lagrange-Funktion
+    \[
+        \mathcal{L}(x, \lambda) \coloneqq f(x) - \lambda^{T}g(x), \quad (x, \lambda) \in D \times \R^{k}
+    .\] Falls $\hat{x}$ lokales Minimum von $f$ unter Nebenbedingung $g(x) = 0$ und
+    $\text{Rg}\left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}\right) = k$. Dann ex.
+    genau ein $\hat{\lambda} \in \R^{k}$ s.d. $(\hat{x}, \hat{\lambda})$ ein stationärer Punkt
+    der Lagrange Funktion ist:
+    \begin{align*}
+        \nabla_x \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= \nabla f(\hat{x}) - \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = 0 \\
+        \nabla_\lambda \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= g(\hat{x}) = 0
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Anwendung von \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}$ eine symmetrische Matrix. Dann betrachte
+    \[
+        f(x) \coloneqq  (x, Ax)_2 = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j
+    .\] Bestimme Extrema von $f(x)$ unter Nebenbedingungen $\Vert x \Vert = 1$.
+
+    Definiere $g(x) = \Vert x \Vert_2^2 - 1$ und $S \coloneqq \{ x \in \R^{n}  \mid g(x) = 0\} $. Dann
+    gilt für $x \in S$: $\nabla g(x) = 2x \neq 0$, da $\Vert x \Vert_2^2 = 1$. Für
+    $f(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$ gilt für $k = 1 \ldots n$:
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f}{\partial x_k} &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\delta_{ik}x_j
+        + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i \delta_{jk} \\
+        &= \sum_{j=1}^{n} a_{kj} x_j + \sum_{i=1}^{n} a_{ik} x_i \\
+        &\stackrel{a_{ij} = a_{ji}}{=} 2 \sum_{i=1}^{n} a_{ki}x_i
+        \intertext{Also folgt}
+        \nabla f(x) &= 2 A x
+    .\end{salign*}
+    Existiert ein $\hat{x}$? Da $S$ kompakt und $f$ stetig, nimmt $f$ (auf $S$) ein
+    Maximum und Minimum an. Nach Satz \ref{satz:lagrange-mult} ex. ein $\hat{\lambda} \in \R$, s.d.
+    \begin{alignat*}{3}
+        &&\quad \nabla f(\hat{x}) &= \hat{\lambda} \nabla g(\hat{x}) \\
+        &\implies& 2 A \hat{x} &= \hat{\lambda} 2 \hat{x} \\
+        &\implies& A \hat{x} &= \hat{\lambda} \hat{x}
+    .\end{alignat*}
+    Also ist $\hat{\lambda}$ Eigenwert von $A$ zum Eigenvektor $\hat{x}$. Damit folgt
+    \[
+        f(\hat{x}) = (\hat{x}, A \hat{x})_2 = (\hat{x}, \hat{\lambda}\hat{x})_2
+        = \hat{\lambda} \underbrace{\Vert \hat{x} \Vert_2^2}_{= 1} = \hat{\lambda}
+    .\] Das bedeutet, dass
+    \[
+        \inf \{(x, Ax)_2  \mid \Vert x \Vert_2 = 1\} = f(\hat{x}) = \hat{\lambda} = \lambda_{\text{min}}
+    .\] Also folgt
+    \begin{align*}
+        \lambda_{\text{min}} &= \min_{\Vert x \Vert_2 = 1} \underbrace{x^{T} Ax}_{(x,Ax)_2}
+        = \min_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \underbrace{\frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_{2}^2}}
+        _{\text{Rayley-Quotient}} \\
+        \lambda_{\text{max}} &= \max_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_2^2}
+    .\end{align*}
+    $\lambda_{\text{min}}$ bzw. $\lambda_{\text{max}}$ sind der kleinste bzw. größte Eigenwert von $A$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana2.tex

@@ -12,7 +12,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
     Man setzt
     \[
-        \int_{a}^{b} f(x) \d x := \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x \coloneqq \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
     .\] 
 
 \end{definition}
@@ -39,10 +39,10 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         \item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
             rechtsseitigen Grenzwerte
             \[
-                f(\xi_{\pm} := \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
+                f(\xi_{\pm}) \coloneqq \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
             .\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
             \[
-                f(\xi) := \frac{f(\xi_{-} + f(\xi_{+})}{2}
+                f(\xi) \coloneqq \frac{f(\xi_{-}) + f(\xi_{+})}{2}
             .\] gesetzt.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}
     Wir definieren
     \[
-        (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
+        (f, g) \coloneqq \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
     .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
 \end{definition}
 
@@ -113,7 +113,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
             \[
                 0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
                 + \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
-            .\] Setze $\alpha := - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
+            .\] Setze $\alpha \coloneqq - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
             \begin{align*}
                 0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
                 + \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
@@ -128,7 +128,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}[$L^2$-Norm]
     Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
     \[
-        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} := (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
+        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} \coloneqq (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
     .\] 
 \end{definition}
 
@@ -170,7 +170,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
                 \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
                 \implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
             .\] 
-            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) := x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
+            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) \coloneqq x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
             \begin{figure}[h!]
                 \centering
                 \begin{tikzpicture}
@@ -249,11 +249,11 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{satz}
     Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
     \begin{align*}
-        c_k(x) &:= \begin{cases}
+        c_k(x) &\coloneqq \begin{cases}
             1 & k = 0 \\
             \cos(k x) & \text{sonst}
         \end{cases} \\
-        s_l(x) &:= \sin (l x)
+        s_l(x) &\coloneqq \sin (l x)
     \end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
     Orthogonalsystem und es gilt
     \begin{align*}
@@ -261,7 +261,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         &\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
         &\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
     \intertext{Hier sei}
-    &\delta_{kl} := \begin{cases}
+    &\delta_{kl} \coloneqq \begin{cases}
         1 & k = l \\
         0 & k \neq l
     \end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}

ana4.tex

@@ -48,9 +48,9 @@
 \begin{definition}
 	(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
 	\begin{enumerate}[N1]
-		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$.
+		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$. \label{def:N1}
-		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$.
+		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$. \label{def:N2}
-		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.
+		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$. \label{def:N3}
 	\end{enumerate}
 	Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
 \end{definition}

ana5.tex

@@ -81,9 +81,9 @@
 \begin{definition}[Inneres, Abschluss]
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
     \begin{itemize}\vspace*{-3mm}
-        \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
+        \item Die Menge $M^{\circ} \coloneqq M \setminus \partial M$ heißt das
             \underline{Innere} von $M$.
-        \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
+        \item Die Menge $\overline{M} \coloneqq M \cup \partial M$ heißt
             der \underline{Abschluss} von $M$.
     \end{itemize}\vspace*{-3mm}
 \end{definition}
@@ -162,7 +162,7 @@
         \item Sei
             \[
                 \left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
-            .\] Dann ist $A := \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
+            .\] Dann ist $A \coloneqq \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
         \item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
             $\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
 
@@ -270,14 +270,14 @@
         Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
         $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
         \[
-            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
+            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} \coloneqq I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
         .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
         \[
-            Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_m \coloneqq \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
         auch für einen Würfel
         \[
-            Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_{m+1} \coloneqq Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
 
         Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine

ana6.tex

@@ -75,7 +75,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 
 \begin{lemma}[Ungleichung von Young]
     Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
-    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$
+    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,y \in \R$$
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}

ana7.tex

@@ -88,16 +88,18 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     \end{itemize}
 \end{itemize}
 \begin{bsp}
-    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \textbf{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
+    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \underline{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
 \end{bsp}
 \begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen]
     Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($\ell_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($\ell_1$-Norm) in $\K^n$ sind
-    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm}$$
+    \begin{align*}
-    $$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}$$
+        \norm{A}_\infty &\coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm} \\
+        \norm{A}_1 &\coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}
+    \end{align*}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
-        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3))
+        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (\ref{def:N1}), (\ref{def:N2}) und (\ref{def:N3}))
         \item Z.z. Verträglichkeit
         $$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$
         $\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$
@@ -134,7 +136,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     \label{lemma:spektralnorm}
     Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\bar{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt
     $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
-    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$
+    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{|\lambda|, \lambda\in \sigma(A)\}$
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
@@ -160,7 +162,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
         $\lambda_i \ge 0$ reell.
 
         Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
-        mit $|\lambda_{max}| := \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
+        mit $|\lambda_{max}| \coloneqq \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
         \begin{align*}
             \Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
             &= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\

ana8.tex

@@ -38,6 +38,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
+    \label{kor:stoerung}
     Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
     $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
     ist $\tilde A$ regulär.

analysisII.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[titlepage]{lecture}
+\documentclass{lecture}
 
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
@@ -36,5 +36,7 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana11.tex}
 \input{ana12.tex}
 \input{ana13.tex}
+\input{ana14.tex}
+\input{ana15.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -28,6 +28,7 @@
 \RequirePackage{stackrel}
 
 \usetikzlibrary{quotes, angles}
+\pgfplotsset{compat=1.15} % or \pgfplotsset{compat=newest}
 
 \geometry{
     bottom=35mm