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\documentclass{../lectures/lecture} |
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\geometry{ |
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top=10mm, |
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left=15mm, |
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right=20mm, |
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bottom=10mm} |
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\begin{document} |
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\thispagestyle{plain} |
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\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}} |
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\setcounter{chapter}{4} |
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\setcounter{section}{6} |
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Seien im Folgenden |
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$S$ und $S'$ zwei Koordinatensysteme, wobei sich $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$ bewege, |
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sodass zum Zeitpunkt $ct = ct' = 0$ auch $x = x' = 0$ gelte. |
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Das Ereignis $A$ liege im gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S'$. |
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\section{Geometrischer Vergleich zwischen Lorentz-Transformationen und Rotationen} |
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Rotationen (links) und Lorentz-Transformationen (rechts) erzeugen deutlich verschiedene Geometrien. |
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\begin{salign*} |
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\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} |
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= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} |
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\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad |
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\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} |
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= \begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{pmatrix} |
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\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} |
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.\end{salign*} |
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Das fehlende Minuszeichen in den |
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Lorentz-Transformationen, führt dazu, dass die Achsen für positive Rapidität zueinander geschert werden |
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und die hyperbolischen Funktionen dazu, dass die Linien von gleichem $s^2$, also die Linien, |
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auf denen die Lorentzinvariante $s^2 = (ct)^2 - x^2$ konstant ist, hyperbelförmig sind, im Gegensatz |
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zu den kreisförmigen Linien gleichen Radius bei Rotationen. |
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\section{Kausale Struktur der Raumzeit} |
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Die Raumzeit ist durch eine ausgezeichnete Linie getrennt. Diese erfüllt |
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die Gleichung $x = ct$. Hier ist $s^2 = 0$ und Ereignisse auf dieser Linie werden \textbf{lichtartig} gennant. |
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Lichtsignale, die im Ursprung eines Koordinatensystems losgeschickt werden, verlaufen auf dieser (Null-)Linie. |
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Die Nulllinie trennt Ereignisse in der Raumzeit in zwei Gruppen: Die \textbf{zeitartig} getrennten, |
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mit $s^2 > 0$ und die \textbf{raumartig} getrennten mit $s^2 < 0$. Der Bereich der Raumzeit, wo $s^2 > 0$ gilt, |
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wird auch \textbf{Lichtkegel} genannt. Innerhalb des Lichtkegels |
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liegt eine absolute zeitliche Ordnung der Ereignisse vor: Ein Ereignis $B$, das in $S$ nach $A$ stattfindet, |
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findet auch in $S'$ nach $A$ statt. Außerhalb des Lichtkegels, also für raumartig getrennte Ereignisse |
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gilt das nicht: Es kann $v$ immer so gewählt werden, dass $B$ unterhalb der $x'$-Achse liegt. Dann |
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findet $B$ in $S'$ vor $A$ statt. |
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Außerdem kann $A$ nur zeitartigen Ereignissen $B$ Lichtsignale senden, da dort das Lichtsignal ankommt, |
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bevor $B$ stattfindet. |
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Bei raumartigen Ereignissen $C$ kann jedoch ein Lichtsignal von $A$ nicht ankommen, |
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da wenn das Lichtsignal die räumlichen Koordinaten von $C$ erreicht hat, $B$ schon passiert ist. |
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\section{Relativistische Effekte} |
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\begin{itemize} |
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\item Relativität der Gleichzeitig: Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt, |
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ist keine zeitliche Ordnung der Ereignisse außerhalb des Lichtkegels gegeben. |
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\item Zeitdilatation: Eine in $S'$ ruhende Uhr, scheint von $S$ aus betrachtet langsamer |
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zu gehen. Genauer: $\Delta t = \gamma \Delta t'$. Dieser Effekt ist symmetrisch und wird |
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von der Transformation erzeugt. |
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\item Längenkontraktion: Längenmaßstäbe in einem bewegten System erscheinen verkürzt. Genauer: |
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$\Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta x'$. Auch dieser Effekt ist symmetrisch und wird nur durch |
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die Transformation erzeugt. |
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\end{itemize} |
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\section{Eigenzeit} |
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\thispagestyle{plain} |
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Sei eine Trajektorie $x^{\mu}(\tau)$ durch ein Koordinatensystem gegeben. Die Uhr eines Insassen eines |
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Raumschiffes, das sich auf dieser Trajektorie bewegt, zeigt die sogenannte \textbf{Eigenzeit} $\tau$ des |
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Systems an. Die Tangente $u^{\mu}(\tau) = \frac{\d{x}^{\mu}}{\d{\tau}}$ gibt die Geschwindigkeit |
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des Teilchens auf der Trajektorie an. |
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Durch Berechnung der Lorentz-Invariante $s^2$ erhalten wir $s^2 = (c\tau)^2$ im Ruhesystem |
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des Teilchens. Da dieser Zusammenhang auch infinitesimal gilt, folgt insgesamt für |
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die vom Ereignis $A$ zum Ereignis $B$ vergangene Eigenzeit |
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\begin{salign*} |
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\tau = \int_{A}^{B} \d{\tau} = \int_{A}^{B} \frac{\d{t}}{\gamma} |
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\end{salign*} |
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für Start- und Endpunkte $A$ und $B$. |
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\end{document} |
