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ws2020/theo/uebungen/vl19.tex

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+\documentclass{../lectures/lecture}
+
+\geometry{
+    top=10mm,
+    left=15mm,
+    right=20mm,
+    bottom=10mm}
+\begin{document}
+\thispagestyle{plain}
+
+\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
+\setcounter{chapter}{4}
+\setcounter{section}{6}
+
+Seien im Folgenden
+$S$ und $S'$ zwei Koordinatensysteme, wobei sich $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$ bewege,
+sodass zum Zeitpunkt $ct = ct' = 0$ auch $x = x' = 0$ gelte.
+Das Ereignis $A$ liege im gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S'$.
+
+\section{Geometrischer Vergleich zwischen Lorentz-Transformationen und Rotationen}
+
+Rotationen (links) und Lorentz-Transformationen (rechts) erzeugen deutlich verschiedene Geometrien.
+\begin{salign*}
+\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad
+\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{pmatrix}
+\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} 
+.\end{salign*}
+Das fehlende Minuszeichen in den
+Lorentz-Transformationen, führt dazu, dass die Achsen für positive Rapidität zueinander geschert werden
+und die hyperbolischen Funktionen dazu, dass die Linien von gleichem $s^2$, also die Linien,
+auf denen die Lorentzinvariante $s^2 = (ct)^2 - x^2$ konstant ist, hyperbelförmig sind, im Gegensatz
+zu den kreisförmigen Linien gleichen Radius bei Rotationen.
+
+\section{Kausale Struktur der Raumzeit}
+
+Die Raumzeit ist durch eine ausgezeichnete Linie getrennt. Diese erfüllt
+die Gleichung $x = ct$. Hier ist $s^2 = 0$ und Ereignisse auf dieser Linie werden \textbf{lichtartig} gennant.
+Lichtsignale, die im Ursprung eines Koordinatensystems losgeschickt werden, verlaufen auf dieser (Null-)Linie.
+
+Die Nulllinie trennt Ereignisse in der Raumzeit in zwei Gruppen: Die \textbf{zeitartig} getrennten,
+mit $s^2 > 0$ und die \textbf{raumartig} getrennten mit $s^2 < 0$. Der Bereich der Raumzeit, wo $s^2 > 0$ gilt,
+wird auch \textbf{Lichtkegel} genannt. Innerhalb des Lichtkegels
+liegt eine absolute zeitliche Ordnung der Ereignisse vor: Ein Ereignis $B$, das in $S$ nach $A$ stattfindet,
+findet auch in $S'$ nach $A$ statt. Außerhalb des Lichtkegels, also für raumartig getrennte Ereignisse
+gilt das nicht: Es kann $v$ immer so gewählt werden, dass $B$ unterhalb der $x'$-Achse liegt. Dann
+findet $B$ in $S'$ vor $A$ statt.
+
+Außerdem kann $A$ nur zeitartigen Ereignissen $B$ Lichtsignale senden, da dort das Lichtsignal ankommt,
+bevor $B$ stattfindet.
+Bei raumartigen Ereignissen $C$ kann jedoch ein Lichtsignal von $A$ nicht ankommen,
+da wenn das Lichtsignal die räumlichen Koordinaten von $C$ erreicht hat, $B$ schon passiert ist.
+
+\section{Relativistische Effekte}
+
+\begin{itemize}
+    \item Relativität der Gleichzeitig: Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt,
+        ist keine zeitliche Ordnung der Ereignisse außerhalb des Lichtkegels gegeben.
+    \item Zeitdilatation: Eine in $S'$ ruhende Uhr, scheint von $S$ aus betrachtet langsamer
+        zu gehen. Genauer: $\Delta t = \gamma \Delta t'$. Dieser Effekt ist symmetrisch und wird
+        von der Transformation erzeugt.
+    \item Längenkontraktion: Längenmaßstäbe in einem bewegten System erscheinen verkürzt. Genauer:
+        $\Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta x'$. Auch dieser Effekt ist symmetrisch und wird nur durch
+        die Transformation erzeugt.
+\end{itemize}
+
+\section{Eigenzeit}
+\thispagestyle{plain}
+
+Sei eine Trajektorie $x^{\mu}(\tau)$ durch ein Koordinatensystem gegeben. Die Uhr eines Insassen eines
+Raumschiffes, das sich auf dieser Trajektorie bewegt, zeigt die sogenannte \textbf{Eigenzeit} $\tau$ des
+Systems an. Die Tangente $u^{\mu}(\tau) = \frac{\d{x}^{\mu}}{\d{\tau}}$ gibt die Geschwindigkeit
+des Teilchens auf der Trajektorie an.
+
+Durch Berechnung der Lorentz-Invariante $s^2$ erhalten wir $s^2 = (c\tau)^2$ im Ruhesystem
+des Teilchens. Da dieser Zusammenhang auch infinitesimal gilt, folgt insgesamt für
+die vom Ereignis $A$ zum Ereignis $B$ vergangene Eigenzeit
+\begin{salign*}
+    \tau = \int_{A}^{B}  \d{\tau} = \int_{A}^{B} \frac{\d{t}}{\gamma}
+\end{salign*}
+für Start- und Endpunkte $A$ und $B$.
+
+\end{document}

ws2020/wtheo/uebungen

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-Subproject commit 25ed8ff2ef2e122a6fc1ff1127ee1245d9d17843
+Subproject commit d4b5b7a47bd70aa5b98bb79d9d92ba4e388bcf8d