christian
/
uni
1
0
Fork 0
Koodi Ongelmat 0 Pull-pyynnöt 0 Julkaisut 0 Wiki Activity
Selaa lähdekoodia

update

master
flavis 4 vuotta sitten
vanhempi
3d16368ee4
commit
0fe0e42864
2 muutettua tiedostoa jossa 247 lisäystä ja 169 poistoa
Jaettu näkymä
Diff Options
Show Stats Download Patch File Download Diff File
  1. BIN
      sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf
  2. +247
    -169
      sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

BIN
sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf Näytä tiedosto


+ 247
- 169
sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex Näytä tiedosto

@@ -88,6 +88,19 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
(TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
\end{bem}

\begin{definition}
Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$.
Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt
triangulierte Unterkategorie, wenn gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn
$T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und
\item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
der dritte.
\end{enumerate}
\label{def:triangulated-subcategory}
\end{definition}

\begin{definition}[Triangulierter Funktor]
Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
@@ -559,7 +572,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
\begin{lemma}
Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
\[
H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
.\]\label{hom-compl-cohomgroups}
\end{lemma}
\begin{proof}
@@ -583,6 +596,23 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
\end{proof}

\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites]
Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$
direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen
\[
\com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X})
\] und
\[
\com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n)
\] Isomorphismen.
\label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits}
\end{lemma}

\begin{proof}
Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen,
Komplexhomomorphismen bilden.
\end{proof}

\begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
@@ -629,7 +659,7 @@ eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
\item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
$\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$
(bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$)
existiert und
existiert, und
\item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit
von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält.
\end{enumerate}
@@ -658,6 +688,7 @@ Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:
Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann
hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive
Auflösung.
\label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
\end{satz}

Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
@@ -667,28 +698,37 @@ Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven
Komplexen entwickelt.

\begin{bem}
Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
\begin{lemma}[]
Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt
\begin{align*}
\com{X} \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\
\com{X} \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
.\end{align*}
\label{lemma:mork-crit-for-k-inj}
\end{lemma}

\begin{proof}
Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex
$\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$.
Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also
\[
\com{X} \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
.\]
Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir
\[
\com{X} \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
\]
\end{bem}
Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
\end{proof}

\begin{bem}
Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
\begin{proof}
Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
$\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$.
\end{proof}
\end{bem}
\begin{lemma}
Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$
ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
\end{lemma}

\begin{proof}
Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X})
\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
$\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$.
\end{proof}

Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$
mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und
$X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her:

\begin{satz}
Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau
@@ -700,15 +740,15 @@ Komplexen entwickelt.
\begin{proof}
Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen
aller Pfeile.
,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to N \to P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
$f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to N \to P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
$f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$:
\[\begin{tikzcd}
0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
& 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist
$v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.

,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
@@ -717,40 +757,45 @@ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
\arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
\arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
\end{tikzcd}
.\]
Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof}

\begin{satz}[]
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
\item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
dann auch der dritte.
\end{enumerate}
Die volle Unterkategorie der K-projektiven (bzw. K-injektiven) Komplexe in $\mathcal{K}$ ist
eine triangulierte Unterkategorie.
\label{satz:k-proj-triangulated}
\end{satz}
\begin{proof}
Wir zeigen Bedingungen (i) und (ii) aus \ref{def:triangulated-subcategory} in
der K-projektiven Version, die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
\item Das folgt aus \ref{lemma:mork-crit-for-k-inj}
und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
exakt und
\[
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
.\]
\item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
ist dann mit \ref{hom-cohom-func}
.\]
\item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$
mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge
\[
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
\to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
\to
\begin{tikzcd}
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r}
& \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r}
&
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
\end{tikzcd}
.\]
\[
\] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
mit \hyperref[TR2]{TR2}.
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv.
Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}.
\end{enumerate}
\end{proof}

@@ -785,34 +830,34 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
\end{tikzcd}
.\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.
.\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus.

(ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
\ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
\ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$.
Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
\[
\begin{tikzcd}
& \com{M} & \\
& \com{Y} & \\
\com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S}
\end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
\] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
kommutiert
\[
\begin{tikzcd}
& \com{S} \arrow{d}{s} & \\
\com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
& \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
\com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
& \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\
\end{tikzcd}
.\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.

(iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
$\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
\[
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
\stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} )
\stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} )
= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0
.\]
\end{proof}

@@ -823,13 +868,13 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
\[
\begin{tikzcd}
& \com{M} \arrow{d}{s} \\
\com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
& \com{X} \arrow{d}{s} \\
\com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\
\end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
$sg= f$ in $\mathcal{K}$.
\item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
\item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
\end{enumerate}
\end{satz}

@@ -840,7 +885,8 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
& \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
\com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
\end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
.\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$.
Also existiert genau ein
$g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
(iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

@@ -850,16 +896,18 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
& \com{S} \arrow{d}{s} \\
\com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P}
\end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.
.\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist,
existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$.

(iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
(iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
$\com{S} \in \mathcal{K}$
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $
mit $ft = 0$.
Also existiert mit (iii) ein $g\colon \com{P} \to \com{T} $, sodass $tg = \text{id}_{\com{P} }$, also
\[
f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}g = 0
.\]
Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
\[
@@ -894,23 +942,17 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
\com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
\com{X}
\end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm
kommutiert.
\item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
\item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
\end{enumerate}
\label{satz:mork=mord-for-k-inj}
\end{satz}

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

In der Notation von
\ref{satz:existence-derived-functors}
möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$
für die Funktoren
$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden.

Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive
Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive und eine K-projektive
Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
@@ -931,11 +973,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen
$\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
\end{enumerate}
\label{def:special-inv-system}
\end{definition}

Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:

% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
% $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
@@ -974,143 +1014,180 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol
$\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller
inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug.

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$.
Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse der K-injektiven Komplexe
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu zeigen wir zunächst, dass dies für die Klasse
der exakten Komplexe gilt. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir dafür ein
technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.

\begin{definition}
Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.
%Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
%Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
%von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.

Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $I$ genügt Bedingung (S).
\item $M_1 = 0$.
\item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
\item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
\end{enumerate}
%Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
%(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
%\begin{enumerate}[(i)]
% \item $I$ genügt Bedingung (S).
% \item $M_1 = 0$.
% \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
%\end{enumerate}
\label{def:cond-r}
\end{definition}

\begin{bsp}
Spezielle inverse Systeme erfüllen (R).
\end{bsp}

\begin{lemma}
Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien
$(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
Seien
$(A_n)_{n \in \N}$, $(B_{n})_{n \in \N}$, $(C_n)_{n \in \N}$ und $(D_n)_{n \in \N}$
inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
(A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
(C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
(A_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(f_n)_{n \in \N}} & (B_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(g_n)_{n \in \N}} &
(C_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(h_n)_{n \in \N}} & (D_n)_{n \in \N}
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-inv-systems}
\end{equation}
Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
für $i \in I$ und sei
Morphismen von inversen Systemen mit $g_n \circ f_n = 0 = h_n \circ g_n$
für $n \in \N$ und sei
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
\end{tikzcd}
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
und $D_i \to D_{i-1}$.
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $n \in \N$ mit $n > 1$
seien $A_n'$, $B_n'$, $C_n'$ und $D_n'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_n \to A_{n-1}$, $B_n \to B_{n-1}$, $C_n \to C_{n-1}$
und $D_n \to D_{n-1}$.

Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
Sei weiter $N \in \N$, s.d. für alle $n > N$ die Folge
\[
\begin{tikzcd}
A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
A_n' \arrow{r} & B_n' \arrow{r} & C_n' \arrow{r} & D_n'
\end{tikzcd}
\] exakt ist.

Dann ist die natürliche Abbildung
\[
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N
\] ein Isomorphismus.
\label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
$j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
Sei
$N \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das folgende kommutative Diagramm und
mache Diagrammjagd.
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
& \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r}
& \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d}
& B \arrow{r}{g} \arrow{d}
& C \arrow{r}{h} \arrow{d}
& D \arrow{d} \\
A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
& \text{ker } g_j \arrow{r}
& B_j \arrow{r}{g_j}
& C_j \arrow{r}{h_j}
& D_j \\
A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
& C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
& D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
\text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
& \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r}
& \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r}
& B_N \arrow{r}{g_N}
& C_N \arrow{r}{h_N}
& D_N \\
A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}}
& \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
& \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
& B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B}
& C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C}
& D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\
\text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & &
& \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
& \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
& \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-diag}
\end{equation}
Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
$y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
$b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$.
Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist,
existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei
$y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist,
folgt
\[
p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N
.\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist
$b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$,
existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
$f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
$\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
$a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
$f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$

Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
$y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun
setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
\[
f_{N+1}(a_{N+1}) = f_{N+1}(\tilde{x} + x) = b_{N+1} - y + y = b_{N+1}
\]
und
\[
p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) = a_N
,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze
$a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$.

Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein
$y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$.
Aufgrund der Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ist dann
$p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
$h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
\[
p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0
,\]
also
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt
\[
h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0
.\]
Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und
\[
p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b
.\]
Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$.
Dann konstruiere induktiv eine kompatible
Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
$b_j = b$.
Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie
oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist.
\end{proof}

\begin{bem}
Falls in der Situation von \ref{0.11}, $N= 1$ gewählt werden kann, folgt wegen $A_1 = B_1 = C_1 = D_1 = 0$,
dass die Folge
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C
\end{tikzcd}
\] exakt ist.
\end{bem}

\begin{lemma}
Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\begin{korollar}
Die Klasse $\mathcal{E}$ der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

\label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{lemma}
\end{korollar}

\begin{proof}
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{E}$-spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{def:cond-r}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
\[
(S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
\] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
exakt ist. Also ist
\] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$,
da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
exakt ist. Also ist die Folge
\[
\begin{tikzcd}
\lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
(\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
\end{tikzcd}
\] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
\] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist.
\end{proof}

\begin{satz}
@@ -1126,9 +1203,10 @@ $\mathcal{A}b$.

\begin{proof}
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
$(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
$(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, denn
\begin{enumerate}[(i)]
\item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
\item $F(S_1) = F(0) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der (inverse)
Limes des leeren Diagramms
ist.
\item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
\[
@@ -1144,7 +1222,7 @@ $\mathcal{A}b$.
\] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
$\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
\end{enumerate}
Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
@@ -1157,26 +1235,26 @@ $\mathcal{A}b$.
\end{korollar}

\begin{proof}
Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
$\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
$\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
$\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$.
$\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:

\begin{enumerate}[(i)]
\item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
$\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
$\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites.
Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
gradweise zerfallende Folgen.
\end{enumerate}
Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird.
\end{proof}

Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:
Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}:

\begin{definition}[Spezielles direktes System]
Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
@@ -1198,8 +1276,8 @@ Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebniss
\end{enumerate}
\end{definition}

Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
Ebenfalls analog gilt:
Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
und insbesondere die folgenden Ergebnisse:

% brauche ich nicht
%\begin{lemma}


Write Preview
Loading…
Peruuta
Tallenna