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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -88,6 +88,19 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
     (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
 \end{bem}
 
+\begin{definition}
+    Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$.
+    Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt
+    triangulierte Unterkategorie, wenn gilt
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn
+            $T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und
+        \item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
+            der dritte.
+    \end{enumerate}
+    \label{def:triangulated-subcategory}
+\end{definition}
+
 \begin{definition}[Triangulierter Funktor]
     Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
     heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
@@ -559,7 +572,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
 \begin{lemma}
     Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
     \[
-        H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
+        H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
     .\]\label{hom-compl-cohomgroups}
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -583,6 +596,23 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
     wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
 \end{proof}
 
+\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites]
+    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$
+    direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen
+    \[
+        \com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X}) 
+    \] und
+    \[
+        \com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n)
+    \] Isomorphismen.
+    \label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen,
+    Komplexhomomorphismen bilden.
+\end{proof}
+
 \begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
     Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
     Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
@@ -629,7 +659,7 @@ eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
     \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
         $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$
         (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$)
-        existiert und
+        existiert, und
     \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit
         von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält.
 \end{enumerate}
@@ -658,6 +688,7 @@ Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:
     Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann
     hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive
     Auflösung.
+    \label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
 \end{satz}
 
 Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
@@ -667,28 +698,37 @@ Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
 Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven
 Komplexen entwickelt.
 
-\begin{bem}
-    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
+\begin{lemma}[]
+    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt
+    \begin{align*}
+        \com{X}  \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\
+        \com{X}  \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
+    .\end{align*}
+    \label{lemma:mork-crit-for-k-inj}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
     genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex
     $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass
     $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$.
-    Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also
-    \[
-        \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
-    .\]
-    Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir
-    \[
-        \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
-    \]
-\end{bem}
+    Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
+\end{proof}
 
-\begin{bem}
-    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
-    \begin{proof}
-        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
-        $\com{X} \stackrel{\sim }{=}  0$ in $\K$.
-    \end{proof}
-\end{bem}
+\begin{lemma}
+    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$
+    ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X})
+    \stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
+    $\com{X} \stackrel{\sim }{=}  0$ in $\K$.
+\end{proof}
+
+Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$
+mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und
+$X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her:
 
 \begin{satz}
     Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau
@@ -700,15 +740,15 @@ Komplexen entwickelt.
 \begin{proof}
     Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen
     aller Pfeile.
-    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
-    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
+    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to  N \to  P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
+    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$:
 \[\begin{tikzcd}
     0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
     & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
-    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
+    M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0
 \end{tikzcd}\]
-Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
-$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
+Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist
+$v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
 
 ,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
 Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
@@ -717,40 +757,45 @@ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
     0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
     \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
     \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
-    S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
+    S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
 \end{tikzcd}
 .\] 
-Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
-$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
+Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
+$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[]
-    \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
-        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
-            dann auch der dritte.
-    \end{enumerate}
+    Die volle Unterkategorie der K-projektiven (bzw. K-injektiven) Komplexe in $\mathcal{K}$ ist
+    eine triangulierte Unterkategorie.
     \label{satz:k-proj-triangulated}
 \end{satz}
     
 \begin{proof}
+    Wir zeigen Bedingungen (i) und (ii) aus \ref{def:triangulated-subcategory} in
+    der K-projektiven Version, die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
+        \item Das folgt aus \ref{lemma:mork-crit-for-k-inj}
+            und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
             exakt und
             \[
             \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
-            .\] 
-        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
-            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
-            ist dann mit \ref{hom-cohom-func}
+            .\]
+        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$
+            mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
+            und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
+            ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge
             \[
-                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
-                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
-                \to
+            \begin{tikzcd}
+                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r}
+                & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r}
+                & 
                 \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
+            \end{tikzcd}
+            .\] 
+            \[
             \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
-            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
-            mit \hyperref[TR2]{TR2}.
+            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv.
+            Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -785,34 +830,34 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
             \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
             \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
         \end{tikzcd}
-    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.
+    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus.
 
     (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
-    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
+    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$.
     Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
     injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
     ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
     \[
     \begin{tikzcd}
-        & \com{M} & \\
+        & \com{Y} & \\
         \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
     \end{tikzcd}
-    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
+    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
     kommutiert
     \[
     \begin{tikzcd}
         & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
-        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
-        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
+        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
+        & \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\
     \end{tikzcd}
     .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.
 
     (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
     $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
     \[
-        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
-        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
-        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
+        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} )
+        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} )
+        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0
     .\]
 \end{proof}
 
@@ -823,13 +868,13 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
         \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
             \[
             \begin{tikzcd}
-                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
-                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
+                & \com{X} \arrow{d}{s}  \\
+                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\
             \end{tikzcd}
-            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
             $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
-        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
-            $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
+        \item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
+            $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -840,7 +885,8 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
             & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
             \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
         \end{tikzcd}
-    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
+    .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$.
+    Also existiert genau ein
     $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
     (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.
 
@@ -850,16 +896,18 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
         & \com{S} \arrow{d}{s} \\
         \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
     \end{tikzcd}
-    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.
+    .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist,
+    existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$.
 
-    (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
+    (iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
     $\com{S} \in \mathcal{K}$
     $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
     Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
-    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
-    Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
+    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $
+    mit $ft = 0$.
+    Also existiert mit (iii) ein $g\colon \com{P} \to \com{T} $, sodass $tg = \text{id}_{\com{P} }$, also
     \[
-        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
+        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}g = 0
     .\] 
     Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
     \[
@@ -894,23 +942,17 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
                 \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                 \com{X} 
             \end{tikzcd}
-            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm
             kommutiert.
-        \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
-            $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
+        \item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
+            $g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
     \label{satz:mork=mord-for-k-inj}
 \end{satz}
 
 \subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}
 
-In der Notation von 
-\ref{satz:existence-derived-functors} 
-möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$
-für die Funktoren
-$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden.
-
-Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive
+Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive und eine K-projektive
 Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.
 
 \begin{definition}[Spezielles inverses System]
@@ -931,11 +973,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen
             $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
             Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
     \end{enumerate}
+    \label{def:special-inv-system}
 \end{definition}
 
-Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
-abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:
-
 % TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
 %\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
 %    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
@@ -974,143 +1014,180 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol
     $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
 \end{proof}
 
-Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller
-inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug.
-
-Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
-$\mathcal{A}b$.
+Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse der K-injektiven Komplexe 
+abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu zeigen wir zunächst, dass dies für die Klasse
+der exakten Komplexe gilt. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir dafür ein
+technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
 
 \begin{definition}
-    Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
-    Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
-    von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.
+    %Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
+    %Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
+    %von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.
 
-    Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
+    Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
     (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $I$ genügt Bedingung (S).
         \item $M_1 = 0$.
-        \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
+        \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
     \end{enumerate}
+    %Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
+    %(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
+    %\begin{enumerate}[(i)]
+    %    \item $I$ genügt Bedingung (S).
+    %    \item $M_1 = 0$.
+    %    \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
+    %\end{enumerate}
+    \label{def:cond-r}
 \end{definition}
 
+\begin{bsp}
+    Spezielle inverse Systeme erfüllen (R).
+\end{bsp}
+
 \begin{lemma}
-    Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien
-    $(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
+    Seien
+    $(A_n)_{n \in \N}$, $(B_{n})_{n \in \N}$, $(C_n)_{n \in \N}$ und $(D_n)_{n \in \N}$
     inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
     \begin{equation}
     \begin{tikzcd}
-        (A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
-        (C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
+        (A_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(f_n)_{n \in \N}} & (B_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(g_n)_{n \in \N}} &
+        (C_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(h_n)_{n \in \N}} & (D_n)_{n \in \N}
     \end{tikzcd}
     \label{eq:0.11-inv-systems}
     \end{equation}
-    Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
-    für $i \in I$ und sei
+    Morphismen von inversen Systemen mit $g_n \circ f_n = 0 = h_n \circ g_n$
+    für $n \in \N$ und sei
     \[
     \begin{tikzcd}
         A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
     \end{tikzcd}
-    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
-    seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
-    der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
-    und $D_i \to D_{i-1}$.
+    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $n \in \N$ mit $n > 1$
+    seien $A_n'$, $B_n'$, $C_n'$ und $D_n'$ die jeweiligen Kerne
+    der Übergangsabbildungen $A_n \to A_{n-1}$, $B_n \to B_{n-1}$, $C_n \to C_{n-1}$
+    und $D_n \to D_{n-1}$.
 
-    Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
+    Sei weiter $N \in \N$, s.d. für alle $n > N$ die Folge
     \[
     \begin{tikzcd}
-        A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
+        A_n' \arrow{r} & B_n' \arrow{r} & C_n' \arrow{r} & D_n'
     \end{tikzcd}
     \] exakt ist.
 
     Dann ist die natürliche Abbildung
     \[
-    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
+    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N
     \] ein Isomorphismus.
     \label{0.11}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
-    $j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
+    Sei
+    $N \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das folgende kommutative Diagramm und
+    mache Diagrammjagd.
     \begin{equation}
         \begin{tikzcd}
-            A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
-                                     & \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
+            A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r}
+                                     & \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d}
                                      & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
                                      & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
                                      & D \arrow{d} \\
-            A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
-                             & \text{ker } g_j \arrow{r}
-                             & B_j \arrow{r}{g_j}
-                             & C_j \arrow{r}{h_j}
-                             & D_j \\
-            A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
-                                       & \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
-                                       & B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
-                                       & C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
-                                       & D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
-            \text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
-                                       & \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
-                                       & \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
-                                       & \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
+                                     A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r}
+                             & \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r}
+                             & B_N \arrow{r}{g_N}
+                             & C_N \arrow{r}{h_N}
+                             & D_N \\
+                             A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}}
+                             & \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
+                                       & \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
+                                       & B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B}
+                                       & C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C}
+                                       & D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\
+                                       \text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & &
+                                       & \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
+                                       & \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
+                                       & \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\
         \end{tikzcd}
         \label{eq:0.11-diag}
     \end{equation}
-    Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
-    Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
-    existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
-    $y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
-    ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
-    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
-    $b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
+    Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$.
+    Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist,
+    existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei
+    $y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist,
+    folgt
+    \[
+        p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N
+    .\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles
+    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist
+    $b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$,
     existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
-    sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
-    setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
-    $f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
-    $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
-    Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
-    $a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
-    liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
-    $f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$
-
-    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
-    $y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
+    sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun
+    setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
+    \[
+        f_{N+1}(a_{N+1}) = f_{N+1}(\tilde{x} + x) = b_{N+1} - y + y = b_{N+1}
+    \] 
+    und
+    \[
+        p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) =  a_N
+    ,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
+    Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze
+    $a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
+    liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$.
+
+    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein
+    $y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$.
     Aufgrund der Kommutativität von
     \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
-    $p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
-    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
-    $h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
-    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
-    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
-    Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
+    \[
+    p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0
+    ,\] 
+    also
+    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt
+    \[
+    h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0
+    .\] 
+    Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
+    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
+    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und
+    \[
+    p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b
+    .\] 
+    Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$.
     Dann konstruiere induktiv eine kompatible
-    Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
-    oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
-    \eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
-    $b_j = b$.
+    Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie
+    oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
+    \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist.
 \end{proof}
 
+\begin{bem}
+    Falls in der Situation von \ref{0.11}, $N= 1$ gewählt werden kann, folgt wegen $A_1 = B_1 = C_1 = D_1 = 0$,
+    dass die Folge
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C
+    \end{tikzcd}
+    \] exakt ist.
+\end{bem}
 
-\begin{lemma}
-    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\begin{korollar}
+    Die Klasse $\mathcal{E}$ der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
 
     \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
-\end{lemma}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
-    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
-    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
+    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{E}$-spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
+    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{def:cond-r}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
     \[
         (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
-    \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
-    exakt ist. Also ist
+    \] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$,
+    da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
+    exakt ist. Also ist die Folge
     \[
     \begin{tikzcd}
         \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
         (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
     \end{tikzcd}
-    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
+    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
@@ -1126,9 +1203,10 @@ $\mathcal{A}b$.
 
 \begin{proof}
     Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
-    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
+    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, denn
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
+        \item $F(S_1) = F(0) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der (inverse)
+            Limes des leeren Diagramms
             ist.
         \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
             \[
@@ -1144,7 +1222,7 @@ $\mathcal{A}b$.
             \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
             $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
     \end{enumerate}
-    Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
+    Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}[]
@@ -1157,26 +1235,26 @@ $\mathcal{A}b$.
 \end{korollar}
 
 \begin{proof}
-    Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
-    $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
+    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
+    $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
     $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
-    ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
+    ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$.
+    $\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
     die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:
 
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
-            $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
-        \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
-            vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
+            $\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+        \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites.
+            Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
             gradweise zerfallende Folgen.
     \end{enumerate}
-    Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
+    Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$
     abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
-
-    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
+    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird.
 \end{proof}
 
-Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:
+Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}:
 
 \begin{definition}[Spezielles direktes System]
     Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
@@ -1198,8 +1276,8 @@ Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebniss
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
-Ebenfalls analog gilt:
+Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
+und insbesondere die folgenden Ergebnisse:
 
 % brauche ich nicht
 %\begin{lemma}