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\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}}
\newcommand{\final}[1]{\underset{\rightarrow}{#1}}

\begin{document}

@@ -16,6 +19,116 @@

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

\section{Grundlagen}


% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M_1 = 0$
\item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
\end{enumerate}

\begin{lemma}
Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (I) genügt und seien
$(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
(A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
(C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-inv-systems}
\end{equation}
Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
für $i \in I$ und sei
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
\end{tikzcd}
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
und $D_i \to D_{i-1}$.

Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
\[
\begin{tikzcd}
A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
\end{tikzcd}
\] exakt ist.

Dann ist die natürliche Abbildung
\[
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
\] ein Isomorphismus.
\label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
$j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
& \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
& B \arrow{r}{g} \arrow{d}
& C \arrow{r}{h} \arrow{d}
& D \arrow{d} \\
A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
& \text{ker } g_j \arrow{r}
& B_j \arrow{r}{g_j}
& C_j \arrow{r}{h_j}
& D_j \\
A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
& C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
& D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
\text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
& \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-diag}
\end{equation}
Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
$y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
$b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
$f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
$\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
$a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
$f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$

Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
$y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
Aufgrund der Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ist dann
$p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
$h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
Dann konstruiere induktiv eine kompatible
Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
$b_j = b$.
\end{proof}

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
@@ -469,12 +582,15 @@ Ebenfalls analog gilt:

\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}

\subsubsection{Linksauflösungen}

Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
äquivalent:

% TODO: wirklich notwendig die beschränkung nach oben??
\begin{enumerate}[(1)]
\item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$.
nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt.
\item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
$H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
@@ -508,6 +624,8 @@ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.

Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
$K$-projektiv.

\label{bsp:bounded-above-projectives}
\end{bsp}

Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
@@ -518,24 +636,373 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
$f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
\label{lemma:constr-dir-system}
\end{lemma}

\begin{proof}
Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
$f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.

Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert. Dann
Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
$a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.

Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A} $ nach oben beschränkt ist und $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$.
Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
$C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
$g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
$\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da gradweise
$C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ ist $g = (g_i)_{i \in \Z}$ ist $g$ gradweise
gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.

Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
\[
\begin{tikzcd}
\cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
& Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
\cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
\tag{$*$} \label{eq:1}
\end{tikzcd}
\] In Matrixnotation ist
\begin{align*}
d_{C_f} &= \begin{pmatrix} d_{P}[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}
\intertext{Also folgt}
d_{C_f}[-1] &= - d_{C_f} = \begin{pmatrix} -d_{P}[1] & 0 \\ -f[1] & -d_{B} \end{pmatrix}
.\end{align*}
Auswerten von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
\begin{align}
d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
g''d_Q &= -fg' - d_Bg'' \label{eq:g''}
.\end{align}
Aus \eqref{eq:g'-comp-hom} folgt, dass $g'\colon \com{Q} \to \com{P} $ ein
Komplexhomomorphismus ist. Setze nun
$h\colon \com{C}_{-g'} \to \com{B} $ durch
\[
h(x,y) = g''[1](x) + f(y)
.\]
Betrachte nun für $i \in \Z$ das folgende Diagramm:
\[
\begin{tikzcd}
\cdots \arrow{r} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}{d_{C_{-g'}}} \arrow{d}{h} & Q^{i+2} \oplus P^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{h}
& \cdots \\
\cdots \arrow{r} & B^{i} \arrow{r}{d_{B}} & B^{i+1} \arrow{r} & \cdots
\end{tikzcd}
.\] In Matrixnotation ist
\begin{salign*}
h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\ -g'[1] & d_P \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
g''[1] d_Q[1] - f g'[1] & f d_P
\end{pmatrix} \\
&\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
\begin{pmatrix}
d_B g'' & f d_P
\end{pmatrix} \\
&\stackrel{\eqref{}}{=}
\begin{pmatrix}
d_B g'' & d_B f
\end{pmatrix} \\
&= d_B h
.\end{salign*}
Also ist $h$ Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.

Es ist gradweise für $ i \in \Z$
\[
C_h^{i} = C_{-g}^{i+1} \oplus B^{i} = (Q^{i+2} \oplus P^{i+1}) \oplus B^{i}
= Q^{i+2} \oplus (P^{i+1} \oplus B^{i})
= Q^{i+2} \oplus C_f^i
= C_{-g}^{i}[1]
.\] Für die Differentiale gilt, wieder in Matrixnotation:
\begin{align*}
d_{C_h} = \begin{pmatrix}
d_{C_{-g'}}[1] & 0 \\
h[1] & d_B \end{pmatrix}[1]
= \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
-g'[1] & d_P
\end{pmatrix}[1] & 0 \\
\begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}[1] & d_B
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-d_Q & 0 & 0 \\
g' & -d_P & 0 \\
g'' & f & d_B
\end{pmatrix}
.\end{align*}
Analog folgt
\begin{align*}
d_{C_{-g}[1]} =
\begin{pmatrix}
d_Q[1] & 0 \\
-g & d_{C_f[-1]}
\end{pmatrix} [1]
= \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
\begin{pmatrix} -g' \\ -g'' \end{pmatrix}[1]
& \begin{pmatrix} d_P[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}[-1]
\end{pmatrix}[1]
= \begin{pmatrix}
- d_Q & 0 & 0 \\
g' & -d_P & 0 \\
g'' & f & d_B
\end{pmatrix}
.\end{align*}
Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist
und Verschieben Exaktheit erhält,
folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_{-g}[1]$.

Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$. Da nach
Voraussetzung $\com{P} $ und $\com{Q} $ nach oben beschränkt sind, ist auch
$\com{C}_{-g'}$ nach oben beschränkt.

Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
$P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
$\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
zerfallende exakte Folgen:
\[
\begin{tikzcd}
0 \arrow{r} & P^{i} \arrow{r}{p_{n-1}} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}
& Q^{i+1} \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
.\]
Also ist $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
also kommutiert
\[
\begin{tikzcd}
\com{P}_{n-1} \arrow{r}{p_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}}
& \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
\tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
\end{tikzcd}
\] und $(f_n)_{n \ge -1}$ ist ein direktes System.
\end{proof}

Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:

\begin{satz}
Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
$\colim$ ist exakt.

Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
$\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.

\label{satz:existence-left-resolutions}
\end{satz}

\begin{proof}
Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$, $(f_n)_{n \ge -1}$ wie
in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und
sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites
in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann
$\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$.

Wir erhalten ebenfalls
\[
f\coloneqq \colim f_n \colon \com{P} \longrightarrow \colim \tau_{\le n}\com{A}
= \com{A}
.\] Da $\colim$ exakt, folgt für $i \in \Z$:
\[
H^{i}(f) = H^{i}(\colim f_n) = \colim \underbrace{H^{i}(f_n)}_{\text{Isomorphismus}}
.\] Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
$\colim$ ist exakt.

Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
\end{korollar}

\begin{proof}
Wähle $\mathcal{P}$ wie in Beispiel \ref{bsp:bounded-above-projectives} und wende
\ref{satz:existence-left-resolutions} an.
\end{proof}

\subsubsection{Rechtsauflösungen}

Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
dass $\mathcal{J}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:

\begin{enumerate}[(1)]
\item Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{J}$ und
$\com{I}$ nach unten beschränkt.
\end{enumerate}

\begin{bsp}
Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir dual zu Beispiel
\ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{J}$ als die Klasse
der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
\end{bsp}

Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
\ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:

\begin{lemma}[]
Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{J}$-spezielles
inverses System $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und ein inverses System von
Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
$f_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
\label{lemma:constr-inv-system}
\end{lemma}

\begin{satz}[]
Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
$\lim$ ist exakt.

Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
$\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Rechtsauflösung.

\label{satz:existence-right-resolutions}
\end{satz}

Mit (1) existiert ein Quasiisomorphismus $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$.
\begin{bem}
Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
$R$ ein Ring keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.

Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
$f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
Wir können uns der speziellen Struktur des inversen Systems
$(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ bedienen, um für $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ zu zeigen,
dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
\end{bem}

\begin{satz}[]
Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Rechtsauflösung.
\end{satz}

\begin{proof}
Seien $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und $(f_n)_{n \ge -1}$ wie in
\ref{lemma:constr-inv-system}. Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und
$f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist.

Sei $i \in \Z$ beliebig. Für $n > 1$ haben wir folgendes kommutative Diagramm:
\[
\begin{tikzcd}
\com{I} \arrow{r} \arrow{d}{f} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} \arrow{d}{f_n} & \com{I_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}} \\
\com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -n} \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -(n-1)} \com{A}
\end{tikzcd}
\] Wende nun $H^{i}(-)$ auf dieses Diagramm an:
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
H^{i}(\com{I}) \arrow{r} \arrow{d}{H^{i}(f)} & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
\arrow{d}{H^{i}(f_n)}[swap]{\sim} & H^{i}(\com{I_{n-1}}) \arrow{d}{H^{i}(f_{n-1})}[swap]{\sim} \\
H^{i}(\com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -n} \com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})
\end{tikzcd}
\label{eq:diag-hi-in}
.\end{equation}
Die rechten beiden vertikalen Pfeile sind Isomorphismen, da $f_k$ ein
Quasiisomorphismus ist für alle $k \ge -1$.

Sei nun $n \ge -i+1$. Dann ist $i \ge -n + 1 \ge -n$, also ist
$H^{i}(\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})$. Also
sind die Abbildungen in der unteren Zeile in \eqref{eq:diag-hi-in} Isomorphismen und
damit ist
$H^{i}(p_n)\colon H^{i}(\com{I}_n) \to H^{i}(\com{I}_{n-1})$
ein Isomorphismus.

Betrachte nun die kurze exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1}
\arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
.\] Das liefert eine lange exakte Kohomologiefolge:
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
H^{i-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{i-1}(p_n)} & H^{i-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r}
& H^{i}(\text{ker } p_n) \arrow{r}
& H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
& H^{i}(\com{I}_{n-1})
\end{tikzcd}
\label{eq:long-ex-hi-in}
\end{equation}
Anwenden des obigen Arguments auf $i-1$ liefert für
$n \ge -(i-1) + 1 = -i+2 \ge -i+1$ Isomorphismen $H^{i}(p_n)$ und $H^{i-1}(p_n)$.
Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass
$H^{i}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -i+2$.

Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist
für alle $n > N$:
\[
H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n)
.\]
Also ist die Folge
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
\text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} &
\text{ker } p_n^{m} \arrow{r} &
\text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} &
\text{ker } p_n^{m+2}
\end{tikzcd}
\end{equation}
für $n > N$ exakt. Das System
\begin{equation*}
\begin{tikzcd}
(I_n^{m-1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
(I_n^{m})_{n\ge -1} \arrow{r} &
(I_n^{m+1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
(I_n^{m+2})_{n\ge -1}
\end{tikzcd}
\end{equation*}
erfüllt damit die Bedingungen von \ref{0.11}. Also ist die natürliche Abbildung
\[
H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N)
\] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
$n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\newpage

\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}

Sei $A$ ein kommutativer Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $A$-Moduln.

\subsection{K-flache Komplexe}

Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Komplexen.

\begin{definition}[K-flacher Komplex]
Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn für jeden exakten Komplex
$\com{S} \in \mathcal{K}$ auch $\com{M} \otimes_A \com{S}$ exakt ist.
\end{definition}

\begin{satz}
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ mit $M^{i} = 0$ für $i \neq 0$. Dann ist
$\com{M} $ genau dann K-flach, wenn $M^{0}$ flacher $A$-Modul ist.
\end{satz}

\begin{proof}
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ wie im Satz. Dann ist für $\com{S} \in \mathcal{K}$ und
$n \in \Z$:
\[
(\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{J}
= M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
\] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
\[
d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
= \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
= m \otimes_A d_S(s)
= d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
.\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
die Behauptung aus den Definitionen.
\end{proof}

\begin{satz}[]
Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\com{M} $ ist K-flach.
\item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
(i)$\implies$(ii): Sei ^
\end{proof}

\end{document}

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