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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -7,6 +7,9 @@
 
 \newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
 \newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}}
+\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}}
+\newcommand{\final}[1]{\underset{\rightarrow}{#1}}
 
 \begin{document}
 
@@ -16,6 +19,116 @@
 
 \section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}
 
+\section{Grundlagen}
+
+
+% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen
+
+Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
+$\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingung
+(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
+\begin{enumerate}[(i)]
+    \item $M_1 = 0$
+    \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
+\end{enumerate}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (I) genügt und seien
+    $(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
+    inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
+    \begin{equation}
+    \begin{tikzcd}
+        (A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
+        (C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
+    \end{tikzcd}
+    \label{eq:0.11-inv-systems}
+    \end{equation}
+    Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
+    für $i \in I$ und sei
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
+    \end{tikzcd}
+    \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
+    seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
+    der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
+    und $D_i \to D_{i-1}$.
+
+    Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
+    \end{tikzcd}
+    \] exakt ist.
+
+    Dann ist die natürliche Abbildung
+    \[
+    \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{0.11}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
+    $j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
+    \begin{equation}
+        \begin{tikzcd}
+            A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
+                                     & \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
+                                     & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
+                                     & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
+                                     & D \arrow{d} \\
+            A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
+                             & \text{ker } g_j \arrow{r}
+                             & B_j \arrow{r}{g_j}
+                             & C_j \arrow{r}{h_j}
+                             & D_j \\
+            A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
+                                       & \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
+                                       & B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
+                                       & C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
+                                       & D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
+            \text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
+                                       & \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
+                                       & \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
+                                       & \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
+        \end{tikzcd}
+        \label{eq:0.11-diag}
+    \end{equation}
+    Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
+    Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
+    existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
+    $y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
+    ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
+    System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
+    $b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
+    existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
+    sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
+    setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
+    $f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
+    $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
+    Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
+    $a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
+    liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
+    $f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$
+
+    Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
+    $y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
+    Aufgrund der Kommutativität von
+    \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
+    $p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
+    folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
+    $h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
+    ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
+    $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
+    Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
+    Dann konstruiere induktiv eine kompatible
+    Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
+    oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
+    \eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
+    $b_j = b$.
+\end{proof}
+
 \section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}
 
 Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
@@ -469,12 +582,15 @@ Ebenfalls analog gilt:
 
 \subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}
 
+\subsubsection{Linksauflösungen}
+
 Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
 äquivalent:
 
+% TODO: wirklich notwendig die beschränkung nach oben??
 \begin{enumerate}[(1)]
     \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
-        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$.
+        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt.
     \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
         $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
         einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
@@ -508,6 +624,8 @@ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.
 
     Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
     $K$-projektiv.
+
+    \label{bsp:bounded-above-projectives}
 \end{bsp}
 
 Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
@@ -518,24 +636,373 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
     Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
     ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
     $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
+    \label{lemma:constr-dir-system}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
     Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
     $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.
 
-    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert. Dann
+    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
     setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
     $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
     und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.
 
-    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A} $ nach oben beschränkt ist und $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$.
+    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
+    $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
+    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
+    $\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da gradweise
+    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ ist $g = (g_i)_{i \in \Z}$ ist $g$ gradweise
+    gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.
+
+    Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
+                         & Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
+        \cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
+        P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
+        \tag{$*$} \label{eq:1}
+    \end{tikzcd}
+    \] In Matrixnotation ist
+    \begin{align*}
+        d_{C_f} &= \begin{pmatrix} d_{P}[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix} 
+        \intertext{Also folgt}
+        d_{C_f}[-1] &= - d_{C_f} = \begin{pmatrix} -d_{P}[1] & 0 \\ -f[1] & -d_{B} \end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    Auswerten von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
+    \begin{align}
+        d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
+        g''d_Q &= -fg' - d_Bg'' \label{eq:g''}
+    .\end{align}
+    Aus \eqref{eq:g'-comp-hom} folgt, dass $g'\colon \com{Q} \to \com{P} $ ein
+    Komplexhomomorphismus ist. Setze nun
+    $h\colon \com{C}_{-g'} \to \com{B} $ durch
+    \[
+        h(x,y) = g''[1](x) + f(y)
+    .\]
+    Betrachte nun für $i \in \Z$ das folgende Diagramm:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \cdots \arrow{r} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}{d_{C_{-g'}}} \arrow{d}{h} & Q^{i+2} \oplus P^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{h}
+               & \cdots \\
+        \cdots \arrow{r} & B^{i} \arrow{r}{d_{B}} & B^{i+1} \arrow{r} & \cdots
+    \end{tikzcd}
+    .\] In Matrixnotation ist
+    \begin{salign*}
+        h d_{C_{-g'}} &= \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}
+        \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\ -g'[1] & d_P \end{pmatrix}  \\
+            &= \begin{pmatrix} 
+                g''[1] d_Q[1] - f g'[1] & f d_P
+            \end{pmatrix} \\
+            &\stackrel{\eqref{eq:g''}}{=}
+            \begin{pmatrix} 
+                d_B g'' & f d_P
+            \end{pmatrix}  \\
+            &\stackrel{\eqref{}}{=}
+            \begin{pmatrix} 
+                d_B g'' & d_B f
+            \end{pmatrix}  \\
+            &= d_B h
+    .\end{salign*}
+    Also ist $h$ Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
+    ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
+    exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.
+
+    Es ist gradweise für $ i \in \Z$
+    \[
+        C_h^{i} = C_{-g}^{i+1} \oplus B^{i} = (Q^{i+2} \oplus P^{i+1}) \oplus B^{i}
+        = Q^{i+2} \oplus (P^{i+1} \oplus B^{i})
+        = Q^{i+2} \oplus C_f^i
+        = C_{-g}^{i}[1]
+    .\] Für die Differentiale gilt, wieder in Matrixnotation:
+    \begin{align*}
+        d_{C_h} = \begin{pmatrix}
+            d_{C_{-g'}}[1] & 0 \\
+            h[1] & d_B \end{pmatrix}[1]
+            = \begin{pmatrix}
+                \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
+                    -g'[1] & d_P
+                \end{pmatrix}[1] & 0 \\
+                    \begin{pmatrix} g''[1] & f \end{pmatrix}[1] & d_B
+            \end{pmatrix} 
+            = \begin{pmatrix} 
+                -d_Q & 0 & 0 \\
+                g' & -d_P & 0 \\
+                g'' & f & d_B
+            \end{pmatrix}
+    .\end{align*}
+    Analog folgt
+    \begin{align*}
+        d_{C_{-g}[1]} =
+        \begin{pmatrix}
+            d_Q[1] & 0 \\
+            -g & d_{C_f[-1]}
+        \end{pmatrix} [1]
+        = \begin{pmatrix} d_Q[1] & 0 \\
+            \begin{pmatrix} -g' \\ -g'' \end{pmatrix}[1]
+            & \begin{pmatrix} d_P[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}[-1]
+        \end{pmatrix}[1]
+        = \begin{pmatrix} 
+            - d_Q & 0 & 0 \\
+            g' & -d_P & 0 \\
+            g'' & f & d_B
+        \end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist
+    und Verschieben Exaktheit erhält,
+    folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_{-g}[1]$.
+
+    Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$. Da nach
+    Voraussetzung $\com{P} $ und $\com{Q} $ nach oben beschränkt sind, ist auch
+    $\com{C}_{-g'}$ nach oben beschränkt.
+
+    Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
+    Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
+    $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
+    $\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
+    zerfallende exakte Folgen:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & P^{i} \arrow{r}{p_{n-1}} & Q^{i+1} \oplus P^{i} \arrow{r}
+                    & Q^{i+1} \arrow{r} & 0
+    \end{tikzcd}
+    .\]
+    Also ist $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
+    Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
+    also kommutiert
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \com{P}_{n-1} \arrow{r}{p_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}}
+        & \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
+        \tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
+    \end{tikzcd}
+    \] und $(f_n)_{n \ge -1}$ ist ein direktes System.
+\end{proof}
+
+Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
+
+\begin{satz}
+    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
+    $\colim$ ist exakt.
+
+    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
+    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.
+
+    \label{satz:existence-left-resolutions}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$, $(f_n)_{n \ge -1}$ wie
+    in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und
+    sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites
+    in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann
+    $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$.
+
+    Wir erhalten ebenfalls
+    \[
+    f\coloneqq \colim f_n \colon \com{P} \longrightarrow \colim \tau_{\le n}\com{A}
+    = \com{A} 
+    .\] Da $\colim$ exakt, folgt für $i \in \Z$:
+    \[
+        H^{i}(f) = H^{i}(\colim f_n) = \colim \underbrace{H^{i}(f_n)}_{\text{Isomorphismus}}
+    .\] Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
+    $\colim$ ist exakt.
+
+    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Wähle $\mathcal{P}$ wie in Beispiel \ref{bsp:bounded-above-projectives} und wende
+    \ref{satz:existence-left-resolutions} an.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Rechtsauflösungen}
+
+Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
+dass $\mathcal{J}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
+        Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{J}$ und
+        $\com{I}$ nach unten beschränkt.
+\end{enumerate}
+
+\begin{bsp}
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir dual zu Beispiel
+    \ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{J}$ als die Klasse
+    der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
+\end{bsp}
+
+Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
+\ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:
+
+\begin{lemma}[]
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{J}$-spezielles
+    inverses System $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und ein inverses System von
+    Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
+    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
+    \label{lemma:constr-inv-system}
+\end{lemma}
+
+\begin{satz}[]
+    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
+    $\lim$ ist exakt.
+
+    Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
+    $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Rechtsauflösung.
+
+    \label{satz:existence-right-resolutions}
+\end{satz}
 
-    Mit (1) existiert ein Quasiisomorphismus $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$.
+\begin{bem}
+    Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
+    $R$ ein Ring keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.
+
+    Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
+    $f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
+    Wir können uns der speziellen Struktur des inversen Systems
+    $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ bedienen, um für $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ zu zeigen,
+    dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
+    hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Rechtsauflösung.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Seien $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und $(f_n)_{n \ge -1}$ wie in
+    \ref{lemma:constr-inv-system}.  Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und
+    $f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist.
+
+    Sei $i \in \Z$ beliebig. Für $n > 1$ haben wir folgendes kommutative Diagramm:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \com{I} \arrow{r} \arrow{d}{f} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} \arrow{d}{f_n} & \com{I_{n-1}} \arrow{d}{f_{n-1}} \\
+        \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -n} \com{A} \arrow{r} & \tau^{\ge -(n-1)} \com{A} 
+    \end{tikzcd}
+    \] Wende nun $H^{i}(-)$ auf dieses Diagramm an:
+    \begin{equation}
+    \begin{tikzcd}
+        H^{i}(\com{I}) \arrow{r} \arrow{d}{H^{i}(f)} & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
+        \arrow{d}{H^{i}(f_n)}[swap]{\sim} & H^{i}(\com{I_{n-1}}) \arrow{d}{H^{i}(f_{n-1})}[swap]{\sim} \\
+        H^{i}(\com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -n} \com{A}) \arrow{r} & H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A}) 
+    \end{tikzcd}
+    \label{eq:diag-hi-in}
+    .\end{equation}
+    Die rechten beiden vertikalen Pfeile sind Isomorphismen, da $f_k$ ein
+    Quasiisomorphismus ist für alle $k \ge -1$.
+
+    Sei nun $n \ge -i+1$. Dann ist $i \ge -n + 1 \ge -n$, also ist
+    $H^{i}(\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{A}) = H^{i}(\tau^{\ge -(n-1)} \com{A})$. Also
+    sind die Abbildungen in der unteren Zeile in \eqref{eq:diag-hi-in} Isomorphismen und
+    damit ist
+    $H^{i}(p_n)\colon H^{i}(\com{I}_n) \to H^{i}(\com{I}_{n-1})$
+    ein Isomorphismus.
+
+    Betrachte nun die kurze exakte Folge
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1}
+        \arrow{r} & 0
+    \end{tikzcd}
+    .\] Das liefert eine lange exakte Kohomologiefolge:
+    \begin{equation}
+    \begin{tikzcd}
+        H^{i-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{i-1}(p_n)} & H^{i-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r}
+                                       & H^{i}(\text{ker } p_n) \arrow{r}
+                                       & H^{i}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{i}(p_n)}
+                                       & H^{i}(\com{I}_{n-1})
+    \end{tikzcd}
+    \label{eq:long-ex-hi-in}
+    \end{equation}
+    Anwenden des obigen Arguments auf $i-1$ liefert für
+    $n \ge -(i-1) + 1 = -i+2 \ge -i+1$ Isomorphismen $H^{i}(p_n)$ und $H^{i-1}(p_n)$.
+    Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass
+    $H^{i}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -i+2$.
+
+    Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist
+    für alle $n > N$:
+    \[
+        H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n)
+    .\] 
+    Also ist die Folge
+    \begin{equation}
+        \begin{tikzcd}
+            \text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} &
+            \text{ker } p_n^{m} \arrow{r} &
+            \text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} &
+            \text{ker } p_n^{m+2}
+        \end{tikzcd}
+    \end{equation}
+    für $n > N$ exakt. Das System
+    \begin{equation*}
+        \begin{tikzcd}
+            (I_n^{m-1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
+            (I_n^{m})_{n\ge -1} \arrow{r} &
+            (I_n^{m+1})_{n\ge -1} \arrow{r} &
+            (I_n^{m+2})_{n\ge -1}
+        \end{tikzcd}
+    \end{equation*}
+    erfüllt damit die Bedingungen von \ref{0.11}. Also ist die natürliche Abbildung
+    \[
+    H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N) 
+    \] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
+    $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
 \end{proof}
 
 \newpage
 
 \section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}
 
+Sei $A$ ein kommutativer Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $A$-Moduln.
+
+\subsection{K-flache Komplexe}
+
+Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Komplexen.
+
+\begin{definition}[K-flacher Komplex]
+    Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn für jeden exakten Komplex
+    $\com{S} \in \mathcal{K}$ auch $\com{M} \otimes_A \com{S}$ exakt ist.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ mit $M^{i} = 0$ für $i \neq 0$. Dann ist
+    $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn $M^{0}$ flacher $A$-Modul ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ wie im Satz. Dann ist für $\com{S} \in \mathcal{K}$ und
+    $n \in \Z$:
+    \[
+        (\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{J}
+        = M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
+    \] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
+    \[
+    d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
+    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
+    = m \otimes_A d_S(s)
+    = d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
+    .\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
+    die Behauptung aus den Definitionen.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\com{M} $ ist K-flach.
+        \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
+            K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei ^
+\end{proof}
+
 \end{document}