final version
This commit is contained in:
@@ -201,7 +201,7 @@
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}
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% replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
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\regex_replace_all:nnN
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{ (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
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{ (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
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{ \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
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\l__lec_text_tl
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\l__lec_text_tl
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Binary file not shown.
+315
-165
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
Binary file not shown.
+309
-181
@@ -16,17 +16,22 @@ $N$ die Adjunktion
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\[
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- \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
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\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
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die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
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die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
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Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
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die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
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Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
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folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
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\begin{satz}[]
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$\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
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ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
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\[
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\begin{tikzcd}
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0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
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\end{tikzcd}
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\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
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||||
\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
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\[
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\begin{tikzcd}
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\underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
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@@ -38,25 +43,18 @@ folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
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und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
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$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
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\end{proof}
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\section{Neuer Ableitungsbegriff}
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Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
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Um einen allgemeineren zu finden,
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betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
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%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
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%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
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%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
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%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
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Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
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genügend viele Injektive.
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Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
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$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
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$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
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\[
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\begin{tikzcd}
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0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
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\end{tikzcd}
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\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in
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Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
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und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.
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\begin{bem}[Erinnerung]
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Sei $X \in \mathcal{A}$.
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
|
||||
$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
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\begin{equation}
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\begin{tikzcd}
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||||
\cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
|
||||
@@ -64,132 +62,107 @@ $\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
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\label{eq:resolution}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{equation}
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||||
einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
|
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den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
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des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das
|
||||
heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt.
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ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
|
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den Kohomologiegruppen induziert.
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Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun
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die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren
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Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex
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in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei
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$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven
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Auflösungen von $X$ übereinstimmt.
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||||
\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
|
||||
des Komplexes $F(\com{I})$.
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Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene
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mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
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also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
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in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
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Dazu kann man zunächst zur
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Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
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||||
Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
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Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
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Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
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||||
$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten
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von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
|
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Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor
|
||||
$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.
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||||
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||||
Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
|
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$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
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einer natürlichen Transformation
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$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
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zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.
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||||
Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
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Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
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auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
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nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
|
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mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
|
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erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
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||||
unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit
|
||||
seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein.
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||||
Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung
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einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn
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$F$ von einem additiven Funktor
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$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.}
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||||
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
|
||||
Analog zur klassischen
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Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
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\begin{enumerate}[(1)]
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||||
\item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
|
||||
eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
|
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\item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
|
||||
\item Wohldefiniert.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
|
||||
Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
|
||||
aus $\mathcal{J}$.
|
||||
\end{bem}
|
||||
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||||
Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
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sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
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hat das in seiner
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Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
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||||
für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
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an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
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\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
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||||
Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
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||||
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||||
Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
|
||||
zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
|
||||
angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
|
||||
Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
|
||||
indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
|
||||
$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend,
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||||
denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen
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von $\com{M}$ nach $\com{N}$.
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%Die Idee
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%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von
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%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus
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%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$,
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%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert,
|
||||
%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
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%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte
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%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt
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%werden. Bezeichne im Folgenden
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%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor.
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||||
|
||||
%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
|
||||
%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor
|
||||
%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
|
||||
%mit einer natürlichen Transformation
|
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%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt
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||||
%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$
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%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist.
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||||
%Falls $F$ linksexakt ist,
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%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen
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%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$
|
||||
%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das
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%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten.
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||||
%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$
|
||||
%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren
|
||||
%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass
|
||||
%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren
|
||||
%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex
|
||||
%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für
|
||||
%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die
|
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%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert
|
||||
%also für $n \in \Z$
|
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\begin{bem}[Idee]
|
||||
Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in
|
||||
\mathcal{K}(\mathcal{A})$:
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n})
|
||||
\] mit Differential
|
||||
\[
|
||||
d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}}
|
||||
.\]
|
||||
Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
|
||||
\item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Dann erhält man den Zusammenhang
|
||||
\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
|
||||
Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
und einem kanonischen Funktor
|
||||
$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
|
||||
Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Mengentheorie]
|
||||
Es gibt mengentheoretische Probleme.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Totalableitung]
|
||||
Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
|
||||
Funktor plus $(*)$.
|
||||
Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
|
||||
$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
|
||||
einer natürlichen Transformation
|
||||
$\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
|
||||
eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
|
||||
Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
|
||||
und jede natürliche Transformation
|
||||
$\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
|
||||
eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
|
||||
\[
|
||||
H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N})
|
||||
.\]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
|
||||
& G \circ Q_{\mathcal{A}}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\]
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
|
||||
$\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
|
||||
\item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
|
||||
Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
|
||||
\item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
|
||||
Komplexe mit injektiven Objekten.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
|
||||
$\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
|
||||
\item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
|
||||
ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
|
||||
und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}
|
||||
|
||||
Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[]
|
||||
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
|
||||
mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
|
||||
\item und
|
||||
\[
|
||||
H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
|
||||
\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
|
||||
.\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
|
||||
@@ -202,7 +175,7 @@ $\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
|
||||
\end{definition}
|
||||
Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
|
||||
und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
|
||||
Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen
|
||||
Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
|
||||
(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
|
||||
|
||||
Für
|
||||
@@ -214,7 +187,17 @@ $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
|
||||
$\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
|
||||
jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
|
||||
nullhomotop ist.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
|
||||
(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
@@ -231,52 +214,197 @@ Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
|
||||
|
||||
Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
|
||||
|
||||
Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
|
||||
K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
|
||||
jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
|
||||
einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
|
||||
klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
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\begin{bsp}
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Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
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jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
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nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
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man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
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\end{bsp}
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Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
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Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
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in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
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unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
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Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.
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Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.
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Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex
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$\com{M}$ so abzuschneiden, dass
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die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
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$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.
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Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
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und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.
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Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
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$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
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$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
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aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
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der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
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So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
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$f\colon \com{M} \to \com{I}$.
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||||
Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.
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Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
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$f\colon \com{M} \to \com{I}$
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a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$.
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Mithilfe einer Variante des
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Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
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\begin{definition}
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||||
Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
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||||
$(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
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\begin{enumerate}[(1)]
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||||
\item $\com{I}_1 = 0$
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\item Für $n > 1$ ist
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die kurze Folge
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\[
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\begin{tikzcd}
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0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
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||||
& \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
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||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
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||||
Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
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||||
Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen
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||||
wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den
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||||
K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass
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||||
jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache
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||||
Auflösung besitzt.
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||||
Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
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||||
speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
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||||
$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.
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||||
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||||
Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen
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||||
Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
|
||||
$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen.
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||||
Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$
|
||||
und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen
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||||
der beteiligten Komplexe die
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||||
Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$
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||||
zurückführen.
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||||
Dazu beobachtet man
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||||
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\begin{lemma}
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||||
Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
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\end{lemma}
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||||
\begin{proof}
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||||
Diagrammjagd.
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{lemma}
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||||
Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
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$\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
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||||
Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
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||||
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
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||||
Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
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||||
|
||||
Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
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||||
inversen Limites.
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||||
\end{lemma}
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||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
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||||
$\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{korollar}[]
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||||
Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
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||||
ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
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||||
\end{korollar}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
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||||
dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
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||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
|
||||
unter speziellen inversen Limites. Mit
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||||
\[
|
||||
\mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
|
||||
\com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
|
||||
\] folgt jetzt die Behauptung.
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||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
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||||
Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
|
||||
von $\com{M} $ liefert.
|
||||
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||||
\begin{definition}[Abschneiden]
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||||
Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
|
||||
\[
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
|
||||
& \arrow{r} M^{-n+1}
|
||||
& \arrow{r} M^{-n+2}
|
||||
& \cdots
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[]
|
||||
Dann ist für $i \ge -n$
|
||||
\[
|
||||
H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
|
||||
.\]
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
|
||||
mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
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||||
Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
|
||||
$\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.
|
||||
|
||||
Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
|
||||
Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
|
||||
Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
|
||||
erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.
|
||||
|
||||
\begin{bem}[]
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
|
||||
$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
|
||||
$(f_n)_{n \in \N}$.
|
||||
\item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
|
||||
$f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
|
||||
insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
|
||||
\item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
|
||||
$f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
|
||||
\end{korollar}
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||||
|
||||
\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
|
||||
Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
|
||||
Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[K-flach]
|
||||
Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
K-projektiv $\implies$ K-flach
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Es existieren K-flache Auflösungen.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
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||||
Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
|
||||
$\com{I} \in \mathcal{K}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
|
||||
ein natürlicher Isomorphismus
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||||
\[
|
||||
R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
|
||||
= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
|
||||
.\]
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
|
||||
wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
|
||||
dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$
|
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||||
\end{document}
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Reference in New Issue
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