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2020-06-02 12:10:05 +02:00
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sose2020/ana/lectures
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ws2019/ana/lectures/analysis.pdf
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ws2019/ana/lectures/analysis.tex
+1 -2
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@@ -1,4 +1,4 @@
\documentclass[titlepage]{../../../lecture} \documentclass[titlepage]{../../../sose2020/ana/lectures/lecture}
\usepackage{standalone} \usepackage{standalone}
\usepackage{tikz} \usepackage{tikz}
@@ -15,7 +15,6 @@
\restoregeometry \restoregeometry
\tableofcontents \tableofcontents
\newpage
\input{analysis1-2.tex} \input{analysis1-2.tex}
\input{analysis3.tex} \input{analysis3.tex}
ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex
+4 -4
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@@ -2,9 +2,9 @@
\begin{document} \begin{document}
\section{Grundlagen} \chapter{Grundlagen}
\subsection{Mengen und Aussagen} \section{Mengen und Aussagen}
\begin{definition} \begin{definition}
Seien $A$ und $B$ Mengen. Seien $A$ und $B$ Mengen.
@@ -31,7 +31,7 @@
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Wahrheitstabellen} \section{Wahrheitstabellen}
\label{sec:wahrheitstafeln} \label{sec:wahrheitstafeln}
\begin{definition} \begin{definition}
@@ -129,7 +129,7 @@
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Abbildungen} \section{Abbildungen}
\begin{definition}[Abbildungen] \begin{definition}[Abbildungen]
Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\ Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\
ws2019/ana/lectures/analysis11.tex
+2 -2
View File
@@ -2,8 +2,8 @@
\begin{document} \begin{document}
\section{Folgen und Reihen} \chapter{Folgen und Reihen}
\subsection{Folgen} \section{Folgen}
\begin{definition}[Folgen] \begin{definition}[Folgen]
Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$. Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.
ws2019/ana/lectures/analysis13.tex
+3 -3
View File
@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{document} \begin{document}
\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$} \section{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$
@@ -38,7 +38,7 @@ Aus Definitionen:
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')} \section{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
\begin{definition} \begin{definition}
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
@@ -145,7 +145,7 @@ Aus Definitionen:
Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent. Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
\end{bsp} \end{bsp}
\subsubsection{Konvergenzkriterien} \subsection{Konvergenzkriterien}
Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
Folge der Partialsummen. Folge der Partialsummen.
ws2019/ana/lectures/analysis14.tex
+3 -3
View File
@@ -160,7 +160,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Umordnen von Reihen} \section{Umordnen von Reihen}
\begin{definition}[Umordnung] \begin{definition}[Umordnung]
Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: \N \to \N$ eine Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: \N \to \N$ eine
@@ -207,7 +207,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert). gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert).
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Das Cauchy-Produkt von Reihen} \section{Das Cauchy-Produkt von Reihen}
\begin{satz}[Cauchy-Produkt] \begin{satz}[Cauchy-Produkt]
Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$
@@ -298,7 +298,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Potenzreihen} \section{Potenzreihen}
\begin{definition} \begin{definition}
Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist
ws2019/ana/lectures/analysis15.tex
+3 -3
View File
@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{document} \begin{document}
\section{Funktionen und Stetigkeit} \chapter{Funktionen und Stetigkeit}
\begin{definition}[Funktion] \begin{definition}[Funktion]
Es sei $D \subset \R$ eine nichtleere Teilmenge. Eine Es sei $D \subset \R$ eine nichtleere Teilmenge. Eine
@@ -19,7 +19,7 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{definition} \end{definition}
\subsection{Grenzwerte bei Funktionen} \section{Grenzwerte bei Funktionen}
\begin{definition}[Berührpunkt] \begin{definition}[Berührpunkt]
Sei $D \subset \R$. Ein Punkt $a \in \R$ heißt Berührpunkt von $D$, falls Sei $D \subset \R$. Ein Punkt $a \in \R$ heißt Berührpunkt von $D$, falls
@@ -199,7 +199,7 @@
\end{itemize} \end{itemize}
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Stetigkeit} \section{Stetigkeit}
\begin{definition}[Stetigkeit] \begin{definition}[Stetigkeit]
Sei $f: D \to \R$, und $a \in D$. $f$ heißt stetig im Punkt $a$, falls Sei $f: D \to \R$, und $a \in D$. $f$ heißt stetig im Punkt $a$, falls
ws2019/ana/lectures/analysis16.tex
+1 -1
View File
@@ -81,7 +81,7 @@ in dieser Umgebung.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen} \section{Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen}
\begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen] \begin{definition}[offene, abgeschlossene, kompakte Mengen]
Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall x \in D$ Eine Menge $D \subset \R$ heißt offen, falls $\forall x \in D$
ws2019/ana/lectures/analysis18.tex
+2 -2
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@@ -29,7 +29,7 @@
trivial. trivial.
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Gleichmäßige Stetigkeit} \section{Gleichmäßige Stetigkeit}
\begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit] \begin{definition}[gleichmäßige Stetigkeit]
Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt Eine Funktion $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$ heißt
@@ -110,7 +110,7 @@
als gleichmäßige Stetigkeit) als gleichmäßige Stetigkeit)
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Trigonometrische Funktionen} \section{Trigonometrische Funktionen}
\begin{satz} \begin{satz}
Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und
ws2019/ana/lectures/analysis19.tex
+1 -1
View File
@@ -111,7 +111,7 @@
genauso für $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$. genauso für $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$.
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Die Zahl $\pi$} \section{Die Zahl $\pi$}
Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$. Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
\begin{satz}[und Definition] \begin{satz}[und Definition]
ws2019/ana/lectures/analysis20.tex
+2 -2
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@@ -2,9 +2,9 @@
\begin{document} \begin{document}
\section{Differentiation} \chapter{Differentiation}
\subsection{Ableitung} \section{Ableitung}
\begin{definition} \begin{definition}
Sei $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$, eine Funktion. Definiere Sei $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$, eine Funktion. Definiere
ws2019/ana/lectures/analysis21.tex
+2 -2
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@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{document} \begin{document}
\subsection{Mittelwertsatz und Satz von Rolle} \section{Mittelwertsatz und Satz von Rolle}
\begin{definition}[globales / lokales Extremum] \begin{definition}[globales / lokales Extremum]
Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
@@ -168,7 +168,7 @@
f(b) = f(a)$. f(b) = f(a)$.
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor} \section{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor}
\begin{definition} \begin{definition}
Ist $f\colon D \to \R$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$ Ist $f\colon D \to \R$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$
ws2019/ana/lectures/analysis22.tex
+1 -1
View File
@@ -170,7 +170,7 @@
trivial. trivial.
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Die Regeln von de l'Hospital} \section{Die Regeln von de l'Hospital}
Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder
$f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ: $f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ:
ws2019/ana/lectures/analysis23.tex
+4 -4
View File
@@ -2,19 +2,19 @@
\usepackage{pgf,tikz} \usepackage{pgf,tikz}
\usepackage{pgfplots} \usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{intersections} \usetikzlibrary{interchapters}
\usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{positioning} \usetikzlibrary{positioning}
\tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt} \tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt}
\begin{document} \begin{document}
\section{Integration} \chapter{Integration}
Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen
berechnen. berechnen.
\subsection{Riemannintegral} \section{Riemannintegral}
\begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte] \begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte]
Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
@@ -252,7 +252,7 @@ berechnen.
.\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$. .\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$.
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals} \section{Eigenschaften des Riemann-Integrals}
\begin{satz}[Additivität] \begin{satz}[Additivität]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
ws2019/ana/lectures/analysis24.tex
+1 -1
View File
@@ -264,7 +264,7 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung} \section{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung] \begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
Es sei $a < b$, $f \colon [a,b] \to \R $ stetig. Es sei $a < b$, $f \colon [a,b] \to \R $ stetig.
ws2019/ana/lectures/analysis25.tex
+2 -2
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@@ -33,7 +33,7 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Integrationsformeln} \section{Integrationsformeln}
\begin{lemma}[Partielle Integration] \begin{lemma}[Partielle Integration]
$f, g\colon [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar. Dann gilt $f, g\colon [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar. Dann gilt
@@ -107,7 +107,7 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Uneigentliche Integrale} \section{Uneigentliche Integrale}
\begin{satz}[Uneigentliches R.-Integral Typ 1] \begin{satz}[Uneigentliches R.-Integral Typ 1]
Sei $f\colon (a, b] \to \R$ auf $(a, b]$ Sei $f\colon (a, b] \to \R$ auf $(a, b]$
ws2019/ana/lectures/analysis26.tex
+1 -1
View File
@@ -2,7 +2,7 @@
\begin{document} \begin{document}
\subsection{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale} \section{Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale}
\begin{satz}[Cauchy-Kriterium] \begin{satz}[Cauchy-Kriterium]
Es sei $-\infty < a < b \le + \infty$ und $f\colon [a,b) \to \R$ lokal Es sei $-\infty < a < b \le + \infty$ und $f\colon [a,b) \to \R$ lokal
ws2019/ana/lectures/analysis3.tex
+2 -2
View File
@@ -1,7 +1,7 @@
\documentclass{lecture} \documentclass{lecture}
\begin{document} \begin{document}
\subsection{Vollständige Induktion} \section{Vollständige Induktion}
\begin{bsp} \begin{bsp}
Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt: Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
@@ -87,7 +87,7 @@ $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
.\end{align*} .\end{align*}
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Elemente der Kombinatorik} \section{Elemente der Kombinatorik}
Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch: Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
\[ \[
ws2019/ana/lectures/analysis4.tex
+2 -2
View File
@@ -63,7 +63,7 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen} \section{Grundlegendes über Zahlenmengen}
\[ \[
\N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen} \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
.\] Auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$'' .\] Auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
@@ -107,7 +107,7 @@ a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
\end{cases} \end{cases}
.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' einen ,,Körper''. .\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' einen ,,Körper''.
\subsection{Was ist ein Körper?} \section{Was ist ein Körper?}
Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''. Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
ws2019/ana/lectures/analysis5.tex
+2 -2
View File
@@ -101,9 +101,9 @@ Es folgt aus den Eigenschaften:
Siehe Lehrbuch Siehe Lehrbuch
\end{proof} \end{proof}
\section{Die Reellen Zahlen} \chapter{Die Reellen Zahlen}
\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen} \section{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
\begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel] \begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale
ws2019/ana/lectures/analysis7.tex
+2 -2
View File
@@ -116,7 +116,7 @@ Fortsetzung Beweis:
Für $b=2$ : dijadische Entwicklung Für $b=2$ : dijadische Entwicklung
\end{bem} \end{bem}
\subsubsection{Zusammenfassung} \subsection{Zusammenfassung}
Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge
$(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen. $(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen.
@@ -151,7 +151,7 @@ Konstruktion nach Cantor, 1873
Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'', Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'',
,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''. ,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''.
\subsection{Der Körper $\R$} \section{Der Körper $\R$}
Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$
zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen. zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen.
ws2019/ana/lectures/analysis8.tex
+2 -2
View File
@@ -75,11 +75,11 @@
.\end{align*} .\end{align*}
\end{bem} \end{bem}
\subsection{Wichtige Aussage} \section{Wichtige Aussage}
$\R$ ist vollständig, da alle C.F. in $\R$ haben einen Grenzwert in $\R$. $\R$ ist vollständig, da alle C.F. in $\R$ haben einen Grenzwert in $\R$.
\subsection{Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit von $\R$ zu charakterisieren} \section{Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit von $\R$ zu charakterisieren}
\begin{definition}[Maximum, Minimum, obere/untere Schranke, Supremum, Infimum] \begin{definition}[Maximum, Minimum, obere/untere Schranke, Supremum, Infimum]
Sei $M \subset \R, M \neq \emptyset$. Sei $M \subset \R, M \neq \emptyset$.
ws2019/ana/lectures/analysis9.tex
+2 -2
View File
@@ -134,7 +134,7 @@ Heute: Längstes deutsches Wort!
.\] .\]
\end{bsp} \end{bsp}
\subsection{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ } \section{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }
\begin{definition}[Mächtigkeit] \begin{definition}[Mächtigkeit]
Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.
@@ -229,7 +229,7 @@ Heute: Längstes deutsches Wort!
.\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion. .\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion.
\end{proof} \end{proof}
\subsection{Die Komplexen Zahlen $\C$} \section{Die Komplexen Zahlen $\C$}
\[ \[
\C := \R \times \R = \{ z = (x, y) \mid x, y \in \R\} \C := \R \times \R = \{ z = (x, y) \mid x, y \in \R\}
.\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$: .\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$: