Merge branch 'master' of gitea:christian/uni
This commit is contained in:
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*.fdb_latexmk
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*.toc
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+7
-7
@@ -41,14 +41,14 @@
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\setlength{\parindent}{0mm}
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\theoremstyle{definition}
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\newmdtheoremenv{satz}{Satz}
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\newmdtheoremenv{lemma}{Lemma}
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\newmdtheoremenv{korrolar}{Korrolar}
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\newmdtheoremenv{definition}{Definition}
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\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
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\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
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\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar}
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\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
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\newtheorem{bsp}{Beispiel}
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\newtheorem{bem}{Bemerkung}
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\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
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\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
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\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
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\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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Binary file not shown.
@@ -3,8 +3,13 @@
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\usepackage{standalone}
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\usepackage{tikz}
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\title{Analysis I}
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\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
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\date{WS 2019/20}
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\begin{document}
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\input{analysis1-2.tex}
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\input{analysis3.tex}
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\input{analysis4.tex}
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\input{analysis5.tex}
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@@ -15,5 +20,6 @@
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\input{analysis10.tex}
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\input{analysis11.tex}
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\input{analysis12.tex}
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\input{analysis13.tex}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,261 @@
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\documentclass{../../../lecture}
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\begin{document}
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\maketitle
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\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Mengen und Aussagen}
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\begin{definition}
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Seien $A$ und $B$ Mengen.
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\begin{itemize}
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||||
%Venn Diagramme wären schön
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\item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\
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||||
$B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
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||||
\item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$.
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||||
\item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$.
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||||
\item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\
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||||
Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$
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\item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$
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||||
\item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$
|
||||
\item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$
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||||
\item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$
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||||
\item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{bem}
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||||
Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder.
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||||
\end{bem}
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||||
\subsection{Wahrheitstabellen}
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\label{sec:wahrheitstafeln}
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||||
\begin{definition}
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||||
Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\
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||||
Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt:
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\begin{tabular}{l|c|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\
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||||
\hline
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w & w & w & w \\
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||||
w & f & f & w \\
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||||
f & w & f & w \\
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f & f & f & f \\
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||||
\end{tabular}
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||||
\\
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||||
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||||
\item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt:
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||||
\begin{tabular}{l|c}
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||||
$V$ & $\neg V$ \\
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||||
\hline
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||||
w & f \\
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||||
f & w \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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||||
\item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist.
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||||
\begin{tabular}{l|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \implies E$ \\
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||||
\hline
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||||
w & w & w \\
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||||
w & f & f \\
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||||
f & w & w \\
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||||
f & f & w \\
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||||
\end{tabular}
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\\
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||||
\item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\
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||||
$V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$.
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||||
\begin{tabular}{l|c|c}
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||||
$V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\
|
||||
\hline
|
||||
w & w & w \\
|
||||
w & f & f \\
|
||||
f & w & f \\
|
||||
f & f & w \\
|
||||
\end{tabular}
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||||
\\
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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\begin{definition}[Quantoren]
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Man definiere folgende Quantoren:
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\begin{itemize}
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\item $\forall$ Allquantor, also als: für alle.
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||||
\item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein.
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||||
\item $\exists !$ als: es existiert genau ein a.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bem}
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||||
Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden):
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\begin{itemize}
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||||
\item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$
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||||
\item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{bem}
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\begin{bem}[Kontraposition]
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Zwei weitere Hilfsmittel:
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\begin{itemize}
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\item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$
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||||
\item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$
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\end{itemize}
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||||
\end{bem}
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\begin{bem}
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||||
Zu Quantoren:
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\begin{itemize}
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||||
\item Quantoren müssen immer angegeben werden.
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||||
\item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\
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Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\
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||||
$\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\
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||||
$\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch.
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\end{itemize}
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\end{bem}
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\subsection{Abbildungen}
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\begin{definition}[Abbildungen]
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Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\
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||||
Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Folgen]
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||||
Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben.
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\end{definition}
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||||
\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv]
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Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt:
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\begin{equation*}
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||||
\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}.
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||||
\end{equation*}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a).
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||||
\end{equation*}
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||||
\item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\
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Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\
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||||
Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ] \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Bild]
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Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$):
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\begin{equation*}
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f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \}
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Urbild]
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Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$):
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\begin{equation*}
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f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{definition}[Inverse]
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Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist:
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\begin{equation*}
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f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a)
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\end{equation*}
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\end{definition}
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\begin{bem}
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||||
Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\
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Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen:
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\begin{itemize}
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\item Urbild von $B$ unter $f$
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||||
\item Bild von $B$ unter $f^{-1}$
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\end{itemize}
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||||
Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert
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\end{bem}
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\begin{definition}[Komposition von Abbildungen]
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Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen.
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Dann sei:
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\begin{equation*}
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g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a))
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\end{equation*}
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Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Morphismen]
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Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\
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||||
Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt:
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\begin{equation*}
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||||
\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2})
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\end{equation*}
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||||
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Äquivalenzrelation]
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Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften
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\begin{itemize}
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||||
\item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$
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\item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$
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||||
\item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$
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||||
\item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$
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||||
\end{itemize}
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\end{definition}
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||||
\begin{definition}[Äquivalenzklasse]
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||||
$[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\
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||||
$a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$.
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||||
\end{definition}
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||||
\begin{bsp}
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$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\
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||||
Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\
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\begin{equation*}
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||||
(n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m'
|
||||
\end{equation*}
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||||
$R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\
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||||
$R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\
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||||
$R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\
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||||
$(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\
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||||
$\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\
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||||
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||||
Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz.
|
||||
\end{bsp}
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||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,261 @@
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||||
\documentclass{../../../lecture}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
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||||
Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
|
||||
gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$
|
||||
|
||||
Genauso wird die Beschränktheit und Begriff der C.F. übertragen.
|
||||
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||||
Aus Definitionen:
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\[
|
||||
|z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
|
||||
.\] und der Ungleichung:
|
||||
\[
|
||||
max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2} \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
|
||||
.\] folgt:
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $z_n \to z, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$ $\iff \text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z) $ und $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$
|
||||
\item $(z_n)_{n\in\N}$ ist eine C.F. in $\mathbb{C} \iff$ \\
|
||||
$(\text{Re}(z_n))_n$ und $\left( \text{Im}(z_n) \right)_n $ sind
|
||||
C.F. in $\R$
|
||||
\item $\mathbb{C}$ ist vollständig, d.h. jede C.F. in $\mathbb{C}$
|
||||
ist konvergent.
|
||||
\item Jede beschränkte Folge in $\mathbb{C}$ besitzt eine
|
||||
konvergente Teilfolge.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
$\frac{1+i(n+1)}{n} = \frac{1}{n} + i\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to i$, $n \to \infty$
|
||||
\item $z_n = \left( \frac{i}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{i}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{i}{8}, \frac{1}{16}, \ldots \right) $ \\
|
||||
$|z_n| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \to 0$, $n \to \infty$
|
||||
\item $q^{n} \to 0$, $n \to \infty$ $\forall q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
|
||||
betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$
|
||||
definiert durch:
|
||||
\[
|
||||
s_n := \sum_{k=1}^{\infty} a_k
|
||||
.\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert),
|
||||
wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert).
|
||||
|
||||
Im Fall von Konvergenz bezeichnet:
|
||||
\[
|
||||
s_\infty := \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
|
||||
.\] die Summe oder den Wert der Reihe.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Man kann auch Reihen $\sum_{k=l}^{\infty} a_k$ mit
|
||||
$l \in \Z$ betrachten.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots
|
||||
.\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau
|
||||
für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und
|
||||
es gilt $\sum_{0=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
|
||||
\label{geometrischereihe}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Folge der Partialsummen
|
||||
\[
|
||||
s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \begin{cases}
|
||||
\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
|
||||
n + 1 & q = 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
.\]
|
||||
Für $|q| < 1$ gilt $|q|^{n+1} \to 0$, $n \to \infty$
|
||||
\[
|
||||
\implies s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \to \frac{1}{1-q} \quad \text{für } |q| < 1
|
||||
.\]
|
||||
|
||||
Bleibt zu zeigen: $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} $ divergent für $|q| \ge 1$.
|
||||
|
||||
Angenommen $\exists q \in \mathbb{C}$ mit $|q| \ge 1$ und
|
||||
$(s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
|
||||
|
||||
Dann
|
||||
\[
|
||||
|q|^{n+1} = |\underbrace{s_{n+1}}_{\to s_*} - \underbrace{s_n}_{\to s_*}|
|
||||
.\]
|
||||
Widerspruch, da $|q|^{n+1} \ge 1$ für $|q| \ge 1$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Ist $\sum_{k}^{\infty} a_k$ konvergent, dann ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine
|
||||
Nullfolge.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$a_{n+1} = s_{n+1} - s_n \to s_{\infty} - s_{\infty} = 0$, $n \to \infty$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Die Eigenschaft von $(a_k)_{k\in\N}$ eine Nullfolge zu sein,
|
||||
reicht nicht für die Konvergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ aus!
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Harmonische Reihe]
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad \text{ist strikt divergent}
|
||||
.\]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Folge der Partialsummen ist unbeschränkt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
S_{2^{m}} &= \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k}\\
|
||||
&=
|
||||
\underbrace{1}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\ge 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \ldots +
|
||||
\underbrace{\frac{1}{2^{n-1}+1} + \ldots + \frac{1}{2^{m}}}_{\ge 2^{m-1} \cdot \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2}} \ge \frac{m}{2}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
|
||||
.\]
|
||||
\begin{enumerate}[a)]
|
||||
\item \[
|
||||
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = (1-1) + (1-1) + \ldots =
|
||||
0 + 0 + \ldots = 0
|
||||
.\]
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \ldots
|
||||
= 1 + 0 + 0 = 1
|
||||
\]
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} = \frac{1}{1 -(-1)} = \frac{1}{2}
|
||||
.\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Konvergenzkriterien}
|
||||
Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
|
||||
Folge der Partialsummen.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_{\infty} \quad \text{und} \quad \sum_{k=1}^{\infty} b_k = b_{\infty}
|
||||
.\] $\implies$
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda a_{\infty} + \mu b_{\infty} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C}
|
||||
.\]
|
||||
\item Ist $a_k \in \R$ mit $a_k \ge 0$ $\forall k \in \N$
|
||||
dann gilt: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent $\iff$ $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
(1) folgt aus der linearen Kombination von Folgen. \\
|
||||
(2) Falls $a_k \ge 0 \implies$ Folge $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ ist monoton wachsend.
|
||||
|
||||
Für solche Folgen gilt: Konvergenz $\iff$ Beschränktheit
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Leibniz-Kriterium]
|
||||
Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge, so
|
||||
ist die alternierende Reihe:
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots
|
||||
.\] konvergent mit folgender Abschätzung:
|
||||
\[
|
||||
\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} a_k \right| \le |a_n| \quad \forall n \in \N
|
||||
.\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Aus Voraussetzungen: $a_k \ge 0$, $s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$.
|
||||
\[
|
||||
s_{2n+1} = s_{2n-1} + a_{2n} - a_{2n+1} \stackrel{a_{2n} \ge a_{2n+1}}{\ge } s_{2n-1}
|
||||
.\] Folge mit ungeraden Indizes: $s_1 \le s_3 \le s_5 \le \ldots$.
|
||||
\[
|
||||
s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} \le s_{2n-2}
|
||||
.\] Folge mit geraden Indizes: $ \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
|
||||
|
||||
$s_{2n} > s_{2n+1}$ ($s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1})$ \\
|
||||
$s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$, $n \to \infty$
|
||||
|
||||
$s_1 \ge s_3 \le s_5 \le \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
|
||||
|
||||
$\implies [s_{2n+1}, s_{2n}]$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h.
|
||||
\[
|
||||
\exists s_{\infty} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} [s_{2k +1}, s_{2k}]
|
||||
.\] $s_{\infty} = \lim_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} s_{2n}$
|
||||
\[
|
||||
s_{2n+1} \le s_{\infty} \le s_{2n}
|
||||
.\] Damit gilt $\forall k \in \N$ :
|
||||
\[
|
||||
0 \le s_{\infty} - s_{2n+1} \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1}
|
||||
.\] und
|
||||
\[
|
||||
0 \ge s_{\infty} - s_{2n} \ge s_{2n+1} - s_{2n} = - a_{2n+1} \ge - a_{2n}
|
||||
.\] $\implies$
|
||||
\[
|
||||
0 \le |s_{\infty} - s_n| \le a_n \to 0 \quad n \to \infty
|
||||
.\] und
|
||||
\[
|
||||
\left|\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}_{s_{\infty}} - \sum_{k=1}^{n} a_k \right|
|
||||
= \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right| \le a_n
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[,,Alternierende harmonische Reihe'']
|
||||
\[
|
||||
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots
|
||||
.\] ist konvergent
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Eine Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent falls
|
||||
$\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $ konvergiert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ist
|
||||
konvergent nach Leibniz Kriterium, aber nicht absolut konvergent, weil
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergiert.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\sum_{k}^{} a_k $ absolut konvergent, d.h.
|
||||
$\sum_{k}^{} |a_k|$ konvergiert.
|
||||
\[
|
||||
s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k, t_n := \sum_{k=1}^{n} |a_k|
|
||||
.\] Dann gilt für $m, n \in \N$ mit $m \ge n$.
|
||||
\[
|
||||
|s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right|
|
||||
\le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| = t_m - t_n = |t_m - t_n|
|
||||
.\]
|
||||
Da $(t_n)_{n \in \N}$ konvergiert $\implies (t_n)_{n \in \N}$ ist C.F.
|
||||
|
||||
Aus $|s_m - s_n| \le |t_m - t_n| < \epsilon$
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\implies (s_n)_{n \in \N} \text{ ist auch C.F. in } \R \text{ bzw. } \mathbb{C} \\
|
||||
&\implies \sum_{k} a_k \quad \text{konvergiert}
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
@@ -1,8 +1,6 @@
|
||||
\documentclass{lecture}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\section{Grundlagen}
|
||||
|
||||
\subsection{Vollständige Induktion}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
|
||||
Binary file not shown.
@@ -1,6 +1,7 @@
|
||||
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usetikzlibrary{positioning}
|
||||
|
||||
\title{Übungsblatt 6}
|
||||
\author{Samuel Weidemaier, Christian Merten}
|
||||
@@ -27,14 +28,190 @@
|
||||
|
||||
\lstset{style=mystyle}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz, wasysym}
|
||||
\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows,shapes,shadows}
|
||||
|
||||
\tikzstyle{abstract}=[rectangle, draw=black,
|
||||
%text centered,
|
||||
anchor=north, text=black, text width=15cm, rounded corners]
|
||||
|
||||
\tikzstyle{subgroup}=[rectangle, draw=blue,
|
||||
%text centered,
|
||||
anchor=north, text=black, text width=3.5cm, rounded corners]
|
||||
|
||||
\tikzstyle{myarrow}=[->, >=stealth, thick]
|
||||
\tikzstyle{gestrichen}=[->, >=stealth, dashed]
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\punkte
|
||||
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||||
\begin{aufgabe}
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||||
siehe Blatt.
|
||||
|
||||
\vspace{5mm}
|
||||
Marker 1:
|
||||
\vspace{-3mm}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
|
||||
|
||||
|
||||
\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) {
|
||||
Globale Umgebung
|
||||
\nodepart{second}$g$ int $1$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) {
|
||||
main() \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $2$ \\
|
||||
$b$ int $14$
|
||||
};
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1) {
|
||||
Block $1$ in main() \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $7$ \\
|
||||
$g$ int $?$
|
||||
};
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab) {
|
||||
ggT(b, a) \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $14$ \\
|
||||
$b$ int $7$ \\
|
||||
Null int $0$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, yshift=-0.7cm] (amodb) {
|
||||
$a \text{ mod } b(a,b)$ \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $14$ \\
|
||||
$b$ int $7$ \\
|
||||
$m$ int $0$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south);
|
||||
|
||||
\draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south);
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[gestrichen] (amodb.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1.7cm] ggTab);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] ([xshift=1cm] amodb.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south);
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\vspace{-10mm}
|
||||
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\nopagebreak
|
||||
|
||||
Marker 2:
|
||||
\vspace{-2mm}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
|
||||
|
||||
|
||||
\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) {
|
||||
Globale Umgebung
|
||||
\nodepart{second}$g$ int $2$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) {
|
||||
main() \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $2$ \\
|
||||
$b$ int $14$
|
||||
};
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1) {
|
||||
Block $1$ in main() \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $7$ \\
|
||||
$g$ int $?$
|
||||
};
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab) {
|
||||
ggT(b, a) \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $14$ \\
|
||||
$b$ int $7$ \\
|
||||
Null int $0$
|
||||
};
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, , xshift=1cm, yshift=-0.7cm] (ggTmod) {
|
||||
$ggT(b, a \text{ mod }b(a,b))$ \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $7$ \\
|
||||
$b$ int $0$ \\
|
||||
Null int $0$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south);
|
||||
|
||||
\draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south);
|
||||
|
||||
\draw[gestrichen] (ggTmod.west) -- ++(0,0) -| (ggTab.south);
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (ggTmod.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south);
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{center}
|
||||
Marker 3:
|
||||
\begin{center}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
|
||||
|
||||
|
||||
\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) {
|
||||
Globale Umgebung
|
||||
\nodepart{second}$g$ int $2$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) {
|
||||
main() \\
|
||||
\nodepart{second}
|
||||
$a$ int $2$ \\
|
||||
$b$ int $7$
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe} Primfaktorzerlegung
|
||||
\begin{lstlisting}[language=C++, title=Primfaktorzerlegung, captionpos=b]
|
||||
#include "cpp_headers/fcpp.hh"
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user