update theo and num

lecture.cls

@@ -213,7 +213,7 @@
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-      { (\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
+      { (\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
       { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
       \l__lec_text_tl
   \l__lec_text_tl

sose2020/ana/lectures

@@ -1 +1 @@
-Subproject commit f4c36cb12910467bc75b2e19d99fa0090c9a9b4e
+Subproject commit 0368910241ebb1c6cc82f15ad0ddfabe8a4fbaca

sose2020/num/uebungen/num4.tex

@@ -98,7 +98,7 @@
                 \quad \text{also insbes.} \quad m \Vert u_{k} \Vert_{\infty} \le \Vert u_k \Vert_1
                 \quad \forall k \in \N
                 .\] 
-                Wegen $\Vert u_k \Vert = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also
+                Wegen $\Vert u_k \Vert_{\infty} = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also
                 \[
                 m \le \Vert u_k\Vert_1 \quad \forall k \in \N \quad \contr \text{ zu } \Vert u_k \Vert
                 \xrightarrow{k \to \infty} 0

sose2020/theo/uebungen/theo5.tex

@@ -33,8 +33,10 @@
                 \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
                 &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\
                 \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion}
-                H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
-                - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta
+                H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\
+                &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
+                - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\
+                &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta
             .\end{align*}
         \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist
             die kinetische Energie des Systems gegeben als
@@ -51,23 +53,23 @@
             \begin{align*}
                 \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
             = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\
-            \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta
-            = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta}
+            \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta + mg R \sin\vartheta
+            = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta + g) = \dot{p}_{\vartheta}
             .\end{align*}
         \item
             Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt
             \begin{align*}
-                mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0
+                mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta +g ) &= 0
             .\end{align*}
             Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist
-            $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also
+            $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $mRg = 0$, dies ist also
             nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind.
 
             Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt
             \begin{align*}
-                \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\
-                \implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\
-                \implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right)
+                \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta + g) &= 0 \\
+                \implies R \omega^2 \cos\vartheta + g &= 0 \\
+                \implies \vartheta &= \arccos \left( -\frac{g}{R\omega^2} \right)
             .\end{align*}
             Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$.
     \end{enumerate}
@@ -134,20 +136,21 @@
                 \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right)
                 + \frac{c}{v^2}R = 0
             .\end{align*}
-        \item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
+        \item Sei $c > 0$ und $\omega^2 = c$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
             Aus der DGL für $R$ folgt
             \begin{align*}
-                &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
-                \implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
-                + \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
-                \implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\
-                \implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)  \\
-                \implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r}
+                &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{r \frac{\partial \tilde R}{\partial r} - \tilde{R}}{r^2} \right) + \frac{\omega^2}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
+                \implies &\frac{1}{r} \left( \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
+                + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
+                \implies & \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R = 0 \\
+                \implies & \tilde{R} = A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right) \\
+                \implies & R = \frac{A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right)}{r}
+                \intertext{Mit der Vorraussetzung $R$ bei $r=0$ stetig folgt $B=0$:}
+                &R = \frac{A}{r} \sin \left( \frac{\omega}{v}r \right) 
             .\end{align*}
             Damit folgt
             \[
-                q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta)
-                \left(  A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right) 
+                q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t - \delta) \sin\left(\frac{\omega}{v} r\right)
             .\] 
 \end{enumerate}
 \end{aufgabe}