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sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex

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+\documentclass{arbeit}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
+\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+
+\begin{document}
+
+\section{Motivation}
+
+Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul
+$N$ die Adjunktion
+\[
+    - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
+\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
+Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
+die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
+
+Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
+folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
+\[
+\begin{tikzcd}
+    0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
+\end{tikzcd}
+\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
+\[
+\begin{tikzcd}
+    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
+    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r}
+                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r}
+                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)
+\end{tikzcd}
+.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$
+und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
+$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
+
+\section{Neuer Ableitungsbegriff}
+
+Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
+Um einen allgemeineren zu finden,
+betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
+%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
+%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
+%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
+%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
+Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
+genügend viele Injektive.
+Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
+$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
+$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
+\[
+\begin{tikzcd}
+    0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
+\end{tikzcd}
+\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in
+\begin{equation}
+\begin{tikzcd}
+    \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
+    \cdots  \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
+    \label{eq:resolution}
+\end{tikzcd}
+\end{equation}
+einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
+den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
+des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das
+heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt.
+
+Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun
+die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren
+Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex
+in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei
+$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven
+Auflösungen von $X$ übereinstimmt.
+
+Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene
+mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
+also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
+in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
+Dazu kann man zunächst zur
+Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
+Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
+Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
+Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
+$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten
+von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
+Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor
+$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.
+
+Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
+$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
+einer natürlichen Transformation
+$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
+zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.
+
+Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
+Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
+auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
+nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
+mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
+erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
+unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit
+seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein.
+
+Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung
+einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn
+$F$ von einem additiven Funktor
+$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.}
+$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
+Analog zur klassischen
+Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
+        eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
+    \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
+\end{enumerate}
+In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
+Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
+aus $\mathcal{J}$.
+
+Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
+sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
+hat das in seiner
+Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
+für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
+an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
+\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
+Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
+
+Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
+zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
+angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
+Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
+indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
+$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend,
+denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen
+von $\com{M}$ nach $\com{N}$.
+
+%Die Idee
+%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von
+%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus
+%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$,
+%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert,
+%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
+%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte
+%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt
+%werden. Bezeichne im Folgenden
+%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor.
+
+%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
+%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor
+%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+%mit einer natürlichen Transformation
+%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt
+%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$
+%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist.
+%Falls $F$ linksexakt ist,
+%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen
+%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$
+%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das
+%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten.
+
+%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$
+%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren
+%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass
+%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren
+%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex
+%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für
+%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die
+%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert
+%also für $n \in \Z$
+
+\begin{definition}
+Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in
+\mathcal{K}(\mathcal{A})$:
+\[
+\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n})
+\] mit Differential
+\[
+    d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}}
+.\]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Dann erhält man den Zusammenhang
+    \[
+    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N})
+    .\]
+\end{lemma}
+
+\begin{definition}
+Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
+$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für
+$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
+\[
+    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) =
+    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+\] erhält.
+\end{definition}
+Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
+und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
+Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen
+(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
+
+Für
+$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
+\begin{definition}
+    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn
+    der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive
+    Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus
+    $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
+\end{definition}
+
+Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
+(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
+
+\begin{lemma}
+    Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist
+    \[
+    \text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I})
+    = H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0
+    .\]
+\end{proof}
+
+Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
+
+Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
+K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
+jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
+einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
+klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
+
+Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
+Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
+in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
+unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
+Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.
+
+Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex
+$\com{M}$ so abzuschneiden, dass
+die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
+$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.
+
+Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
+$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
+$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
+aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
+der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
+So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
+$f\colon \com{M} \to \com{I}$.
+
+Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
+$f\colon \com{M} \to \com{I}$
+a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$.
+Mithilfe einer Variante des
+Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
+
+Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
+Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
+Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen
+wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den
+K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass
+jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache
+Auflösung besitzt.
+
+Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen
+Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
+$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen.
+Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$
+und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen
+der beteiligten Komplexe die
+Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$
+zurückführen.
+
+\end{document}