add theo5

sose2020/theo/uebungen/theo4.tex

@@ -45,7 +45,7 @@
                 \intertext{Damit folgt für die Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch $f'$ statt $p$}
                 H(f, f') &= \frac{f'^2}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} } - \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\
                 &= - \frac{1}{\sqrt{2 g f (1 + f'^2)}}
-                \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial t}$, folgt für die Konstante $E > 0$}
+                \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial x} = 0$, folgt für die Konstante $E > 0$}
                 E &:= - H = \frac{1}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} }
             .\end{align*}
             Damit folgt als DGL

sose2020/theo/uebungen/theo5.tex

@@ -0,0 +1,159 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Theo II: Übungsblatt 5}
+\author{Christian Merten}
+
+\usepackage[]{bbm}
+
+\begin{document}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also
+            $m g R \cos \vartheta$. Die kinetische Energie hat zwei Komponenten, einmal die Rotation
+            um $\vartheta$, gegeben als $R^2 \dot{\vartheta}^2$ und die Rotation um die $z$-Achse, die
+            abhängig ist vom Rotationsradius, also gegeben als $R^2 \omega^2 \sin^2 \vartheta$.
+        \item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}
+                &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\
+                \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion}
+                H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
+                - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta
+            .\end{align*}
+        \item Da ein Potential vorliegt, ist die Hamilton-Funktion nach VL gleich der Gesamtenergie.
+            Sie sind wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ beide zeitlich erhalten.
+        \item Für die kanonischen Gleichungen folgt
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}
+            = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\
+            \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta
+            = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta}
+            .\end{align*}
+        \item
+            Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt
+            \begin{align*}
+                mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0
+            .\end{align*}
+            Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist
+            $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also
+            nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind.
+
+            Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt
+            \begin{align*}
+                \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\
+                \implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\
+                \implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right)
+            .\end{align*}
+            Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Für Lagrange- und Hamiltonfunktion ist
+            \begin{align*}
+                L &= T - V = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{m}{2} \omega^2 q^2 = \frac{m}{2}
+                (\dot{q}^2 + \omega^2q^2) \\
+                H &= \dot{q}p - L = \frac{p^2}{m} - \frac{m}{2}\left( \frac{p^2}{m^2} - \omega^2 q^2 \right) 
+            .\end{align*}
+        \item Die kanonischen Gleichungen sind
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial H}{\partial p} &= \frac{p}{m} = \dot{q} \\
+                \frac{\partial H}{\partial q} &= m \omega^2 q = - \dot{p}
+                \intertext{In Matrixschreibweise folgt also}
+                \dot{\vec{y}} &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -m\omega^2 & 0 \end{pmatrix}}
+                _{=: A}
+                \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} 
+                \intertext{Als Lösung folgt}
+                \vec{y} &= e^{At} \vec{y_0} \\
+                &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^{k}}{k!} \vec{y_0}
+                \intertext{Mit $A^{2k} = (-1)^{k} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k}$
+                und $A^{2k+1} = A^{2k} \cdot A = (-1)^{k} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\
+                - m \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k+1}$
+                folgt}
+                \vec{y} &= \left(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k}}{(2k)!}
+                + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ - m \omega & 0  \end{pmatrix}
+                \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)
+                \vec{y}_0 \\
+                &= \left( \cos(\omega t) + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ -m\omega & 0 \end{pmatrix}
+                \sin(\omega t) \right) \vec{y_0}
+                \intertext{Damit folgt}
+                q &= q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{\omega m} \sin(\omega t) \\
+                p &= p_0 \cos(\omega t) - m\omega q_0 \sin(\omega t)
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Ansatz: $q(r,t) = R(r) T(t)$. Damit folgt
+            \begin{align*}
+                &\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - v^2 \Delta_{(n)} q = 0 \\
+                \implies & R \frac{\d[2]T}{\d t^2} - v^2T \Delta_{(n)} R = 0 \\
+                \implies & \frac{1}{T} \frac{\d[2] T}{\d t^2} = \text{konst.} =
+                \frac{v^2}{R} \Delta_{(n)} R =: -c
+            .\end{align*}
+            Damit folgt für $T$:
+            \[
+                \frac{\d[2]T}{\d t^2} + cT = 0
+            .\] Für $n = 2$ gilt für $R$:
+            \begin{align*}
+                &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right) 
+                + \frac{1}{r^2} \underbrace{\frac{\partial^2 R}{\partial \varphi^2}}_{= 0}
+                + \frac{c}{v^2} R = 0 \\
+                \implies &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right)
+                + \frac{c}{v^2}R = 0
+            .\end{align*}
+            Für $n = 3$ folgt analog
+            \begin{align*}
+                \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right)
+                + \frac{c}{v^2}R = 0
+            .\end{align*}
+        \item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$.
+            Aus der DGL für $R$ folgt
+            \begin{align*}
+                &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\
+                \implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r}
+                + \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\
+                \implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\
+                \implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)  \\
+                \implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r}
+            .\end{align*}
+            Damit folgt
+            \[
+                q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta)
+                \left(  A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right) 
+            .\] 
+\end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Die Hamilton-Funktion ist definiert als
+            \[
+                H(q, p) = \dot{q}_i p_i - L
+            .\] und ist, falls die Kräfte Potentialkräfte sind und nur
+            zeitunabhängige Zwangsbedingungen vorliegen, gleich der Gesamtenergie des Systems.
+
+            Die kanonischen Gleichungen sind DGL 1. Ordnung, die die Bewegung des Systems im Phasenraum
+            beschreiben.
+        \item Wenn von $N$-Massepunkten zu einem kontinuierlichen System übergegangen wird,
+            geht die Lagrange-Funktion in ein räumliches Integral über eine Lagrange-Dichte über.
+            \[
+                L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l}  \text{Lagrange-Dichte} \d x
+            .\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion.
+        \item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung
+            zweiter Ordnung.
+            \[
+            \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0
+            .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige Funktionen $g$ und $h$ gegeben als
+            \[
+                q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt)
+            ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}