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\documentclass{../../../lecture}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{pgfplots}
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\usetikzlibrary{quotes, angles}
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\usepackage[]{wrapfig}
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\begin{document}
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Heute: Längstes deutsches Wort!
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,,Intervallschachtelungseigenschaft hat ganze 33 Buchstaben'' meint Kostina.
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\begin{proof}[Fortsetzung des Beweises vom letzten Mal]
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Ab jetzt: $n$ statt $k$.
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Zu zeigen: Es existiert eine Wurzel für $0 < a < 1$.
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Definiere Menge $M := \{y \in \R | 0 < y < 1, y^{n} < a\} $ \\
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$M \neq \emptyset$, weil $\frac{1}{2} a \in M$. $M$ ist auch
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beschränkt, untere Schranke $0$, obere Schranke $1$.
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Da $\R$ vollständig $\implies \exists$ sup $M =: x$.
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Zu zeigen: $x^{n} = a$
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Annahme: $x^{n} < a$. Wegen $(x+1) \not\in M$ gilt $(x+1)^{n} > a$.
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Konstruiere:
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\[
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\tau := \frac{\overbrace{a-x^{n}}^{>1}}{(x+1)^{n}-x^{n}}
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.\]
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\begin{align*}
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(x+\tau)^{n} &= x^{n} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \tau^{k}x^{n-k} \\
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&< x^{n} + \tau \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \\
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&= x^{n} + \tau((x + 1)^{n}-x^{n}) \\
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&\stackrel{\text{Def. }\tau}{=} x^{n} + (a-x^{n}) = a
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.\end{align*}
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$\implies$
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\[
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(x+\tau)^{n} < a \implies(x+\tau) \in M
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.\] und damit:
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\[
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x + \tau > x \qquad \text{Widerspruch zu } x = \text{sup } M
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.\]
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(folgt aus der binomischen Formel: $(x+1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k})$
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Annahme: $x^{n} > a$
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Nach der Ungleichung von Bernoulli gilt für $\tau := \frac{x^{n} - a}{n x^{n}}$.
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$\left( 0 < \tau < \frac{x^{n} - a}{x^{n}} < 1 \right) $
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Damit:
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\begin{align*}
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(x-\tau x)^{n} &= x^{n} ( 1 - \tau) \ge x^{n} ( 1 - n \tau) \\
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&= x^{n} \left(1 - \frac{x^{n} - a}{x^{n}}\right) = a
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.\end{align*}
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$\implies$ Für $y \in M$ gilt:
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\[
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y^{n} < a < (x - \tau x)^{n}
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.\] $\implies$
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\[
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0 < (x- \tau x)^{n} - y^{n} = \underbrace{(x - \tau x - y) \sum_{k=0}^{n} (x - \tau x)^{n-1-k} y^{k}}_{> 0}
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.\]
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$\implies x - \tau x - y > 0$ \\
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$\implies y < x - \tau x < x \implies x - \tau x < x$ eine obere
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Schranke von M. Widerspruch zu $x = \text{sup }M$
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(Formel: $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k}$)
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\end{proof}
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\begin{bem}[Ungleichung von Bernoulli]
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Sei $x \ge -1$, dann gilt:
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\[
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(1+x)^{n} \ge 1 + nx, \forall n
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.\]
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\end{bem}
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\begin{definition}[Allgemeine rationale Potenzen]
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$a^{q}, q = \frac{r}{s} \in \Q, a > 0, a \in \R$ wird definiert durch
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\[
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a^{q} = a^{\frac{r}{s}} := \left( \sqrt[s]{a} \right)^{r}
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.\]
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\end{definition}
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\begin{bem}
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\begin{itemize}
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\item Regeln für das Rechnen mit Wurzeln
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\[
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\left( \sqrt[s]{a} \right)^{r} = (a^{\frac{1}{s}})^{r}
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= a^{\frac{r}{s}} = \left( a^{r} \right) ^{\frac{1}{s}}
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= \sqrt[s]{a^{r}}
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.\]
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\item Für $a \in \R_+$ wird unter $\sqrt[k]{a} $ \textbf{immer}
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die positive $k$-te Wurzel verstanden.\\
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$\implies$ Aussage $\sqrt{a^2} = a $ ist falsch.\\
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Korrekt: $\sqrt{a^{2}} = |a|$
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Die Gleichung $x^{2} = a$ hat zwei Lösungen:
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$x_1 = \sqrt{a}, x_2 = -\sqrt{a} $
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\end{itemize}
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\end{bem}
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\begin{bem}[Reelle Potenzen]
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$a \in \R_+, r \in \R, a^{r}$ - ?
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$\exists (q_n)_{n\in\N} \to r, q_n \in \Q$, damit:
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\[
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a^{r} := \lim_{n \to \infty} a^{q}
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.\]
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Noch zu überprüfen: ob der Grenzwert existiert und eindeutig ist
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\end{bem}
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\begin{bsp}
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$\sqrt{2} , (q_n) = \{1.4, 1.41, 1.414, \ldots\} $
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\[
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a^{\sqrt{2} } = \lim_{n \to \infty} a_n, a_1 = a^{1.4}, a_2 = a^{1.41}, \ldots
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.\] Analog über Intervallschachtelung:
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\begin{align*}
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I_1 &= \left[ 1.4; 1.5 \right] \\
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I_2 &= \left[ 1.41; 1.42 \right] \\
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I_3 &= \left[ 1.414; 1.415 \right] \\
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I_n &= \left[ r_n, s_n \right]
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.\end{align*}
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\[
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a^{\sqrt{2} } = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \overline{I_n}
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.\]
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Alternative Definition über $\exp$ und $\ln$
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\[
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a^{r} = \exp(r \ln a)
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.\] und Reihenentwicklung:
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\[
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\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
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.\] oder
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\[
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\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n}
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.\]
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\end{bsp}
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\section{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }
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\begin{definition}[Mächtigkeit]
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Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.
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Eine Menge ist ,,unendlich'', wenn eine bijektive Abbildung
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$f: A \to \text{Echte Teilmenge von }A$ existiert.
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Dann $|A| = \infty$.
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Eine unendliche Menge, deren Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlen
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durchnummeriert werden kann, heißt ,,abzählbar (unendlich)'', sonst
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,,überabzählbar''.
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Abzählbarkeit heißt: Es existiert eine bijektive Abbildung $f\colon \N \to A$.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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\begin{itemize}
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\item $A = \{a_1, a_2, a_3\} $ dann $|A| = 3$
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\item $\N, \Q, \R$ sind unendliche Mengen
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\end{itemize}
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Abzählbarkeit]
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$\Z$ und $\Q$ sind abzählbar, $\R$ ist überabzählbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}[$\Z$ Abzählbar]
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$\Z$ ist abzählbar, weil $\{z_n \mid n \in \N\} $ mit $z_n = \frac{1}{2}n$ für $n$ gerade
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und $z_n = \frac{1}{2}(1-n)$ für $n$ ungerade ist eine Abzählung von $\Z$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[$\Q$ Abzählbar]
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Argumentation nach Cantor
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$p \in \Q$, $q = \frac{n}{m}$
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\begin{tikzpicture}
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%\begin{axis}[grid=both,ymin=-5,ymax=5,xmax=5,xmin=-5,xticklabel=\empty,yticklabel=\empty,
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% minor tick num=1,axis lines = middle,xlabel=$x$,ylabel=$y$,label style =
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% {at={(ticklabel cs:1.1)}}]
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% \draw[-, color=red] (0,0) -- (1000,1000);
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|
%
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%\end{axis}
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\draw[help lines, color=gray!30, dashed] (-0.5, -0.5) grid (6.9, 6.9);
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\draw[->, thick] (-0.5,0) -- (7,0) node[right]{$x$};
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\draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 7) node[above]{$y$};
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\draw[-, color=red] (1,1) node[below](){$1$}
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-- (2,1) node[below](){$2$}
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-- (1,2) node[left](){$\frac{1}{2}$}
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-- (1,3) node[left](){$\frac{1}{3}$}
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-- (3,1) node[below](){$3$}
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-- (4,1) node[below](){$4$}
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-- (3,2) node[above](){$\frac{3}{2}$}
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-- (2,3) node[above](){$\frac{2}{3}$}
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-- (1,4) node[left](){$\frac{1}{4}$}
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-- (1,5) node[left](){$\frac{1}{5}$}
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-- (5,1) node[below](){$5$}
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-- (6,1) node[below](){$6$}
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-- (5,2) node[above](){$\frac{5}{2}$}
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-- (4,3) node[above](){$\frac{4}{3}$}
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-- (3,4) node[above](){$\frac{3}{4}$}
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-- (2,5) node[above](){$\frac{2}{5}$}
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-- (1,6) node[left](){$\frac{1}{6}$}
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-- (1,7);
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\end{tikzpicture}
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Hier werden Punkte ausgelassen, für die $n$ und $n$ nicht teilerfremd sind. Die Gitterpunkte
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werden durchnummeriert $\implies \{z_n \mid n \in \N\} = \{1, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3, \ldots\} $.
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\end{proof}
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\begin{proof}[$\R$ ist überabzählbar]
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Wir zeigen, dass $[0, 1)$ nicht abzählbar ist.
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Angenommen: $[0,1)$ ist abzählbar, dann sei $\{z_n \mid n \in \N\} $ eine Abzählung, z.B.:
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\begin{align*}
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z_1 &= 0,d_{11}d_{12}d_{13}\ldots \\
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z_2 &= 0,d_{21}d_{22}d_{23}\ldots \\
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\vdots
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\end{align*}
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Dann Zahl $y := 0,d_1d_2d_3, \ldots$ mit
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\[
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d_n := \begin{cases}
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2 & \text{falls } d_{nn} = 1 \\
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1 & \text{falls } d_{nn} \neq 1
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\end{cases}
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\]
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liegt in $[0,1)$, $d_i \neq 9 \forall i$, aber $y \not\in \{z_n \mid n \in \N\} $, denn falls
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$y = z_k$ für ein $k \implies$
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\[
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y = 0,d_{k1},d_{k2},d_{k3}, \ldots, d_{kk}, \ldots
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|
.\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion.
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\end{proof}
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\section{Die Komplexen Zahlen $\C$}
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\[
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\C := \R \times \R = \{ z = (x, y) \mid x, y \in \R\}
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|
.\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$:
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\[
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z_1 + z_2 := (x_1+x_2, y_1+y_2)
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.\] Multiplikation in $\C$ :
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\[
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z_1\cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)
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.\]
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\newpage
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\begin{satz}[$\C$ ist ein Körper]
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Körperaxiome gelten (nachrechnen!)
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Nullelement $0 := (0, 0)$ \\
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Einselement $1 := (1, 0)$ \\
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Imaginäre Einheit $i := (0,1)$ mit $i^{2} = (0,1)\cdot (0,1) = (-1,0) = -1$
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Inverse der Addition $-z := (-x, -y)$ \\
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Inverse der Multiplikation $z^{-1} := \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2} } , \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2} }\right) $
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Schreibweise / Normaldarstellung\\
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$z = (x, y)$ oder $z = x+iy$ mit $i^{2} = -1$.
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\end{satz}
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\begin{bem}[Rechnen in $\C$]
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\[
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(x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2+i^2y_1y_2 + i y_1x_2 + ix_1y_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_2y_1+x_1y_2)
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.\]
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\end{bem}
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\begin{definition}
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Für $z = (x, y) = x+iy \in \C$ heißt
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$x = \text{Re}(z)$ Realteil von $z$ \\
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$y = \text{Im}(z)$ Imaginärteil von $z$
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$|z| := \sqrt{x^2 + y^2} $ Betrag von $z$ \\
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$\overline{z} := x - iy = (x, -y)$ zu $z$ konjugierte komplexe Zahl
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\begin{tikzpicture}
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\draw[->, thick] (-0.5,0) -- (2,0) coordinate (x) node[right]{$x$};
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\draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 2) coordinate (y) node[above]{$y$};
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\draw[-] (0, 0) coordinate (origin) -- (1.6, 1.3) coordinate (z) node[right]{$z$};
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\draw[-, dotted] (1.6, 1.3)
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-- (1.6, 0) coordinate (re) node[below]{Re($z$)}
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pic[solid,draw=black, angle radius=1cm]{angle=re--origin--z};
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\node[] () at (0.7,0.25) {$\varphi$};
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\draw[-, dotted] (1.6, 1.3) -- (0, 1.3) node[left](im){Im($z$)};
|
|
\end{tikzpicture}
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$\text{Re}(z) = |z| \cos(\varphi)$ \\
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$\text{Im}(z) = |z| \sin(\varphi)$ \\
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$\implies z = r (\cos\varphi + i \sin\varphi) = r e^{i\varphi}$ mit $r = |z|$.
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\end{definition}
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\end{document}
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