added homotopie figure

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@@ -5,3 +5,5 @@
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ana1.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
             $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
         \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
             \begin{figure}[ht!]
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -50,7 +50,7 @@
                         \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
-                \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -61,7 +61,7 @@
                          ymax=1,
                          ymin=0
                         ]
-                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                        \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
                 \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
@@ -96,7 +96,7 @@
         \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -113,7 +113,7 @@
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -124,10 +124,10 @@
                  ymax=1,
                  ymin=-0.4,
                 ]
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
-                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
         \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
@@ -141,7 +141,7 @@
     $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
-        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
+        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in \R \implies
         f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
     .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
     \[
@@ -197,10 +197,10 @@
     Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
-            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
+            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.
         \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
             \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
-            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
+            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -280,7 +280,7 @@
 Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
 
 \begin{satz}
-    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
     mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
     $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
     \[
@@ -296,7 +296,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     \begin{align*}
         \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
         &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
-        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (a-b)\\
+        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (b-a)\\
         &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
     \end{align*}
 \end{proof}
@@ -304,32 +304,32 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
 \begin{satz}\label{permutesumint}
     Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
-    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
+    $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
         f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \\
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x
     ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
+    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{k=0}^{n} f_k(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
 
-    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
+    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
     \[
-        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
+        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
     .\] Es gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x =
-        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
+        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x
     .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
     $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
     \begin{align*}
-        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
+        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
-        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
+        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)\\
-        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
+        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x   
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -338,7 +338,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
 \end{korollar}

ana10.tex

@@ -42,6 +42,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Banachscher Fixpunktsatz]
+    \label{satz:banach-fix}
     Sei $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ eine Funktion mit den Eigenschaften
     \begin{enumerate}[1)]
         \item $g(M) = M$ für ein $M \subseteq D$, $M$ abgeschlossen

ana12.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass{lecture}
 \begin{document}
 \newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
-\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
 
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
 Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.

ana13.tex

@@ -30,9 +30,10 @@
 	\begin{salign*}
 		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} J_{f}(x + sh) \d{s} \right) h.
 	\end{salign*}
+    \label{satz:mittelwertsatz}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R ,\ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
+	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R, \ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
 	\begin{salign*}
 		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \overset{\text{HDI}}{=} \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \overset{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
 	\end{salign*}
@@ -95,7 +96,7 @@
         \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh) h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ &\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \cdot \norm{h}_{2} \\ \hfill \\ \implies \ & \norm{f(x+h) - f(x)}_{2} = \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh)h \d{s}}_{2} \leq M \cdot \norm{x+h-x}_{2}.
 	\end{salign*}
 	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
-	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,...,m\}$:
+	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,\dotsc,m\}$:
 	\begin{salign*}
 		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{j}-x_{j}) \d{s}.
 	\end{salign*}
@@ -110,7 +111,7 @@
 	\end{salign*}	
 \end{proof}
 \begin{bem}
-	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen / Jacobi-Matrix von $f$. 
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/\allowbreak Jacobi-Matrix von $f$. 
 \end{bem}
 
 \section{Taylor-Entwicklung}
@@ -119,18 +120,18 @@
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sei $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ partiell differenzierbar. Seien alle partiellen Ableitungen $$\partial_{i}f: D \to \R^{m}, \ \partial_{i}f = \begin{pmatrix}
 			\partial_{i} f_{1} \\ \vdots \\ \partial_{i}f_{m}
-		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,...,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$
+		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,\dotsc,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}\dots \partial_{i_{1}}f$
-        \ ($i_{k},...,i_{1} \in \{1,...,n\}$) partiell differenzierbar sind.
+        \ ($i_{k},\dotsc,i_{1} \in \{1,\dotsc,n\}$) partiell differenzierbar sind.
 		\item 	$f: D \to \R^{m}$ ist $k$-mal stetig partiell differenzierbar, wenn $f$ \ $k$-mal differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der $k$-ten Ordnung stetig sind ($f \in C^{k}(D,\R^{m})$).
 		\item 	Es gilt:
 				\begin{salign*}
-					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\} \\
+					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\} \\
-					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\}, k \in \{1,...,m\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\}, k \in \{1,\dotsc,m\} \\
 					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
 				\end{salign*}
-		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
+		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
-		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,\dotsc,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
-		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}\dots\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},\dotsc,i_{k} \in \{1,\dotsc,n\}.$$
 	\end{enumerate}
 	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
 	\begin{enumerate}[(1)]
@@ -148,4 +149,149 @@
 				\end{salign*}
 	\end{enumerate}
 \end{bem}
+\begin{satz}[Taylor-Formel]
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $x \in D$, $h \in \R^{n}$ mit $\{x+th \ | \ t \in [0,1] \} \subset D$ und $f \in C^{r+1}(D,\R)$. Dann existiert ein $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \underbrace{f(x) + \sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k} = 1}^{n} \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(x) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}}_{\text{Taylor-Polynom}} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{(r+1)!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{r+1} = 1}^{n} \partial_{i_{r+1}}\dots\partial_{i_{1}}f(x+\theta h) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{r+1}}}_{\text{Restglied}}
+	\end{salign*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Sei $g \colon [0,1] \to \R, g(t) \coloneqq f(x+th)$. Es gilt $g \in C^{r+1}([0,1], \R)$ und
+	\begin{equation} \label{eq::taylor-hilfsfkt}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}}(x+th) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.
+	\end{equation}
+	Wir zeigen (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) durch Induktion nach $k$. \\
+	(IA) \ $k=1$ \ Es ist $g \in C^{1}$ und nach Kettenregel gilt: $$ \frac{\d{g}}{\d{t}}(t) = \frac{\d}{\d{t}}f(x+th) = \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x+th)}{x_{i}} \cdot h_{i}. $$
+	(IV) Für ein $k \in \N$ gilt (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}). \\
+	(IS) \ $k \mapsto k+1$ \ Nach Induktionsvoraussetzung gilt: $$\frac{\text{d}^{k} g(t)}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.$$
+	Aus $f \in C^{k+1}(D, \R)$ folgt, dass $\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}} \in C^{1}([0,1], \R)$, womit nach Kettenregel folgt:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k+1} g(t)}{\d{t^{k+1}}} &= \frac{\d}{\d{t}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \\  
+		&= \sum_{j=1}^{n} \pdv{}{x_{j}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \cdot h_{j} \\
+		&= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k+1}=1}^{n} \frac{\partial^{k+1}f(x+th)}{\partial x_{i_{k+1}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k+1}}.
+	\end{salign*}
+	Ferner liefert die Taylor-Formel in $\R$ für $g$ die Existenz eines $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		g(1) - g(0) = f(x+h) - f(x) = \left(\sum_{k=1}^{r} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \right) + \frac{g^{(r+1)}(\theta)}{(r+1)!}.
+	\end{salign*}
+	Einsetzen von (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) liefert die Behauptung.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Um die Notation vieler, verschieden indizierter partieller Ableitungen zu erleichtern, führen wir die \underline{Multiindex-Notation} ein: \\
+	Für $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n}) \in \N_{0}^{n}$ seien:
+	\begin{salign*}
+		\vert \alpha \vert  \ &\coloneqq \ \alpha_{1} + \dots +\alpha_{n} \in \N_{0} \\
+		\partial^{\alpha}f \ &\coloneqq \ \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, & \ \text{für} \ f \in C^{\vert \alpha \vert}(D, \R), \\
+		\alpha ! \ &\coloneqq \ \alpha_{1} ! \dotsm \alpha_{n} ! \in \N_{0}, \\
+		h^{\alpha} \ &\coloneqq \ h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \in \R, & \ \text{für} \ h = (h_{1},\dotsc,h_{n})^{T} \in \R^{n}.
+	\end{salign*}	 
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+	Seien $n = 3$, $\alpha= (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$. Multiindizes der Ordnung $\vert \alpha \vert = 2$ sind: \\
+	\begin{table}[h]
+	\centering
+	\setlength{\tabcolsep}{8pt}
+	\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
+	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+		$\alpha$ & $(2,0,0)$ & $(0,2,0)$ & $(0,0,2)$ & $(1,1,0)$ & $(1,0,1)$ & $(0,1,1)$ \\
+		\hline 
+		$\alpha !$ & $2! \cdot 0! \cdot 0! = 2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
+		\hline 
+		$\partial^{\alpha}f$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}$, & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}$
+	\end{tabular}
+	\end{table} \\
+	Summennotation für partielle Ableitungen $2$-ter Ordnung:
+	$$ \sum_{\vert \alpha \vert = 2} \partial^{\alpha}f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}. $$
+\end{bsp}
+\begin{bem}
+	Mit dieser Notation lässt sich die Taylor-Formel kompakt schreiben als:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha} f(x)}{\alpha !} h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha} f(x+\theta h)}{\alpha !} h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+\end{bem}
+\begin{proof}
+	Die Reihenfolge der Differenzierung kann vertauscht werden. Daraus folgt für alle $k$-Tupel $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ mit $i_{j} \in \{1,\dotsc,n\}$ für $j \in \{1,\dotsc,k\}$: $$\partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(y)\cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(y) \cdot h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} = \partial^{\alpha} f(y) \cdot h^{\alpha} $$
+	wobei $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n})$ mit $\alpha_{s} \coloneqq \#\{ i_{j} \ | \ i_{j} = s \ \text{für} \ j \in \{1,\dotsc,k\} \}$ (Anzahl wie oft Index $s$ in $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ vorkommt). \\
+	Ohne Beweis (siehe S.72 Skript Ana2 Rolf Rannacher): für $\alpha\in \N_{0}^{n}$ mit $\vert \alpha \vert = k$ gilt: die Anzahl von $k$-Tupeln $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ bei denen der Index $s$ genau $\alpha_{s}$-mal vorkommt ist $$\frac{k!}{\alpha_{1}! \dotsm \alpha_{n}!} = \frac{k!}{\alpha!}.$$
+	Daraus folgt
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) &= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha_{1}!\dotsm \alpha_{n}!} \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(x+th) h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(x+th)h^{\alpha},
+	\end{salign*}
+	womit insbesondere auch gilt 
+	\begin{salign*}
+		\sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x+th)}{\alpha!}h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+	Und können ferner festhalten:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=} \sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(0)+ \frac{1}{(r+1)!} \frac{\text{d}^{r+1} g(\theta)}{\d{t^{r+1}}}\\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \frac{1}{(r+1)!}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert\leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\text{Restglied in Lagrange-Form}} \\
+		\intertext{und analog:}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=}\sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \frac{\text{d}^{r+1}g(t)}{\d{t^{k+1}}}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{(r+1) \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t}}_{\text{Restglied in Integral-Form}}
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar} \label{kor::taylor-omega-form}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f\in C^{r+1}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, für die $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$) $$f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \omega_{r+1}(x, h),$$ sodass $$\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0,$$ also $\omega_{r+1}(x,h) = o(\norm{h}^{r+1})$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Da $D$ offen ist, existiert ein $\delta > 0$ mit $K_{\delta}(x) \subset D$. Nach Taylor-Formel existiert für alle $h \in \R^{n}$ mit $\norm{h} < \delta$ ein $\theta \in [0,1]$ sodass 
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\eqqcolon \, \omega_{r+1}(x,h)}
+	\end{salign*}
+	Nun gilt noch zu zeigen, dass: $\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0$. \\
+	Es gilt: 
+	\begin{salign*}
+		\vert h^{\alpha} \vert = \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \leq \norm{h}^{\alpha_{1}} \dotsm \norm{h}^{\alpha_{n}} = \norm{h}^{\vert \alpha \vert}.
+	\end{salign*}
+	Womit wir abschätzen können:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\vert \omega_{r+1}(x,h) \vert}{\norm{h}^{r+1}} &= \frac{1}{\norm{h}^{r+1}} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \cdot \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \\
+		&= \frac{\vert h^{r+1} \vert}{\norm{h}^{r+1}}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \\
+		&\stackrel{\vert h^{r+1} \vert \leq \norm{h}^{r+1}}{\leq} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \underbrace{\vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert}_{\oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0, \ \text{weil alle} \ \partial^{\alpha}f \text{ stetig sind}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f \in C^{2}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, sodass $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$):
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2} + \omega_{2}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{2}(x,h)}{\norm{h}^{2}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Dabei ist $H_{f}(x)$ die Hesse-Matrix von $f$. Das heißt das Taylor-Polynom 2. Ordnung ist eine quadratische Approximation von $f$. Für $f \in C^{1}(D,\R)$ gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \omega_{1}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{1}(x,h)}{\norm{h}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Das heißt das Taylor-Polynom 1. Ordnung ist eine lineare Approximation von $f$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Folgt aus \ref{kor::taylor-omega-form} mir $r+1=2$ bzw. $r+1 = 1$ sowie:
+	\begin{salign*}
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 0} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= f(x), \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{1!} \cdot \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x)}{x_{i}} \cdot  h_{i} = \left( \nabla f(x), h \right)_{2}, \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 2} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}} h_{i} \cdot h_{j} = \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2}.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{definition}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ beliebig oft partiell differenzierbar, $x \in D$. Dann heißt die \underline{Taylor-Reihe von $f$ in $x$}:
+	$$ T_{\infty}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{\infty} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}.$$
+\end{definition}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann gilt $$ T_{r}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} f(x+h),$$ wenn  
+	\begin{equation} \label{eqq::taylor-rest-gegen-null}
+		R_{r+1}^{f}(x,h) \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} 0, \ \ \ \ \ x \in D.
+	\end{equation}
+	Eine hinreichende Bedingung für (\ref{eqq::taylor-rest-gegen-null}) ist $$\sup_{\vert \alpha \vert \geq 0} \ \sup_{x \in D} \vert \partial^{\alpha} f(x) \vert \leq M_{f} < \infty,$$ das heißt alle partiellen Ableitungen von $f$ sind gleichmäßig beschränkt. 
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Siehe Skript Ana2 Rolf Rannacher, Seite 74, Übungsaufgabe 3.23.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Taylor Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$, wenn die Funktion $f$ durch eine Potenzreihe beschrieben wird (also wenn $f$ analytisch ist).
+\end{bem}
+
+
+
 \end{document}

ana14.tex

@@ -0,0 +1,353 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\def\mathunderline#1#2{\color{#1}\underline{{\color{black}#2}}\color{black}}
+\section{Extremwertaufgaben}
+
+\begin{definition}[lokales Maximum/Minimum]
+    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
+\end{definition}
+\begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
+    \label{satz:notwendig-extremum}
+Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Für $i = 1,\dots,n$, betrachte $g_i(t)\coloneqq f(x + te_i)$. Da $D$ offen ist, sind alle $g_i$ auf einem Intervall $(-\delta, \delta), \delta > 0$ wohldefiniert und differenzierbar. $g_i(t)$ hat in $t = 0$ ein lokales Minimum/Maximum , also gilt $\forall i = 1, \dots, n$ \[\dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} = 0.\]
+    Aufgrund der totalen Differenzierbarkeit von $f$ folgt
+    \[ 0 =  \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{j = 1}^{n}\pdv{f(x)}{x_j} \cdot \delta_{ij} = \pdv{f(x)}{x_i} \qquad \forall i = 1\dots, n
+    \]
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    Die Umkehrung ist falsch, z.B. $f(x) = x^3,\; f\colon \R \to \R$, hat in $x=0$ $\nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f(x) = x^3$.\\
+    $f\colon \R^2 \to \R,\; f(x_1, x_2) = x_1x_2$ hat in $x = \begin{pmatrix}
+        0\\0
+    \end{pmatrix} \nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f$.
+\end{bem}
+\begin{satz}[Hinreichende Bedingung für lokales Extremum]\ 
+    Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\in C^2(D,\R)$ und $x\in D$ mit $\nabla f(x) = 0$. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $H_f(x)$ positiv definit $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ negativ definit $\implies x$ striktes lokales Maximum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ indefinit $\implies x$ kein lokales Extremum.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nach Taylor gilt lokal um $x$:
+    \[f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x), h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h)\] mit $\frac{\omega_2(x,h)}{\norm{h}^2} \oldstackrel{h \to 0}{\to} 0$
+    \begin{enumerate}
+        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$ nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
+        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{\left(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h}\right)_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
+        Wähle $\delta > 0$ klein, sodass $\forall \norm h < \delta$ gilt $|\omega_2(x,h)| \leq \frac{\alpha}{4}\norm h^2$ (weil $\omega_2(x,h) = o(\norm h^2)$). Damit gilt $\forall h, \norm h < \delta$
+        \[f(x+h) = f(x) + (\underbrace{\nabla f(x)}_{=0}, h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h) \geq f(x) + \frac{\alpha}{2}\norm h^2 - \frac{\alpha}{4}\norm h^2 > f(x)\]
+        $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item Ersetze $f$ durch $-f$, dann 1)
+        \item $\exists h \in \R^n$ mit $(H_f(x)h, h)_2 = \alpha > 0$, sodass
+        \[
+          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t \ll 1}{>} f(x)
+        \]
+        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t \ll 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 + 2y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\4y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & 4
+        \end{pmatrix}$ positiv definit. $\implies \begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = 0$ striktes lokales Minimum (sogar global).
+        \begin{tabular}{cll}
+            $f(x)\leq f(y)$ &$\forall y\in D$ & globales Minimum\\
+            $f(x) < f(y)$ &$\forall y\in D\setminus\{x\}$ &striktes globales Minimum
+        \end{tabular}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 - y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\-2y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & -2
+        \end{pmatrix}$ indefinit. $\implies 0 \in \R^2$ kein lokales Extremum.
+        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_3(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
+        Es gilt
+        \[
+            \nabla f_i(0) = 0\in \R^2,\; H_{f_i}(0) = \begin{pmatrix}
+                2 & 0\\
+                0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            \forall i =1,2,3
+        \]
+        Die Hesse-Matrix ist positiv semidefinit. Es gilt
+
+        \begin{tabular}{lcl}
+            für $f_1$:& Punkt 0 ist ein& \underline{striktes} lokales Maximum,\\
+            für $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
+            für $f_3$:& Punkt 0 ist ein& Sattelpunkt.
+        \end{tabular}
+    \end{enumerate}
+    \begin{figure}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 + 2*y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 - y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Links: $f(x,y) = x^2 +2y^2$ ist ein Paraboloid, Rechts: $f(x,y) = x^2-y^2$ ist eine Sattelfläche}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+\section{Implizite Funktionen und Umkehrabbildung.}
+Frage: \underline{Umkehrabbildung:} Auflösen von $x = g(y)$, d.h.
+\begin{equation}
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        x_1&=g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        x_n&=g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\} \Leftrightarrow
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        0&=x_1-g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        0&=x_n-g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\}\tag{*}\label{star}
+\end{equation}
+$n$ Gleichungen, $n$ Unbekannte $y_1,\dots, y_n$.
+Gesucht: Abbildung $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
+
+\paragraph{Implizite Funktion} $m$ Gleichungen, $m$ Unbekannte $y_1,\dots, y_m$.
+\begin{equation}
+    \left.\begin{array}{rl}
+        0&=F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\\
+        \vdots&\\
+        0&=F_m(x_1,\dots, x_n,y_1,\dots,y_m)
+    \end{array}\right\}\tag{**}\label{doublestar}
+\end{equation}
+$0 = F(x,y)$ Auflösen nach $y$, d.h.
+Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar} (lokal um eine Lösung $(x_0,y_0):F(x_0,y_0) = 0$)
+\begin{bsp}
+    $m=1,\;n=1,\; F(x,y) = x^2 + y^2-1$
+
+    \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {} (0,1.5);
+            \draw[->] (-1.5,0) -- node[below,pos=1.3] {$F(x,y) = 0$} (1.5,0);
+            \draw (0,0) circle (1cm);
+            \draw[fill=red,draw=red] (0,1) circle (2pt);
+            \node[color=red] at (.3,1) {)};
+            \node[color=red] at (-.3,1) {(};
+            \draw[fill=blue,draw=blue] (1,0) circle (2pt);
+            \node[color=blue] at (1.3,0) {)};
+            \node[color=blue] at (.7,0) {(};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
+        An der Stelle $\mathunderline{red}{x_0 = 0,\; y_0 = 1}$ gilt  $F(0,1)=0$,\\ also
+        $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y^2 = 1-x^2$.
+        \[\implies \mathunderline{red}{f(x)\coloneqq \sqrt{1-x^2}}\text{ für } |x| < 1\] $\mathunderline{red}{\text{ erfüllt }F(x,f(x)) = 0},\; |x| < 1$.
+    \end{minipage}
+
+Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung von $x_0 = 1$, sodass \[\mathunderline{blue}{\exists f\colon U(x_0) \to \R\text{ mit }F(x,f(x)) = 0}.\]
+\end{bsp}
+\begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
+    \label{satz:sif}
+    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
+    \[
+        D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
+            \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
+            \pdv{F_m}{y_1}&\dots&\pdv{F_m}{y_m}
+        \end{pmatrix}
+    \]
+    sei im Punkt $(\hat x, \hat y)$ invertierbar. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exists$ offene Umgebungen $U(\hat x) \subset D^x,\; U(\hat y)\subset D^y$  um $\hat x$ und $\hat y$ und $\exists$ eine stetige Funktion $f\colon U(\hat x) \to U(\hat y)$, s.d.
+        \[F(x,f(x)) = 0\quad\forall x\in U(\hat x)\]
+        \item $f$ ist eindeutig bestimmt, d.h. $F(x,y) = 0$ für $(x,y) \in U(\hat x)\times U(\hat y)\Leftrightarrow y = f(x)$
+        \item $f$ ist in $\hat x$ stetig differenzierbar und $J_f(\hat x) = D_xf(\hat x)\in \R^{m \times n}$ ist \[D_xf(\hat x) = -(D_yF(\hat x, \hat y))^{-1}D_xF(\hat x, \hat y).\]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item O.B.d.A. sei $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ (sonst betrachte $F(x,y) - F(\hat x, \hat y)$). Die Matrix $J_y \coloneqq D_yF(0,0)$ ist regulär. Definiere $G\colon D^x\times D^y \to \R^m,\; G(x,y) \coloneqq y - J^{-1}_yF(x,y)$. $G$ ist stetig differenzierbar und erfüllt: $G(0,0) = 0$ und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow G(x,y) = y$. Jacobi-Matrix von $G(x,y)$ bzgl. $y$:
+        \[D_yG(x,y) = \mathbb{I} - J_y^{-1} D_yF(x,y) \text{ und insb. } D_yG(0,0) = \mathbb{I} - J_y^{-1}J_y = 0.\]
+        $F$ stetig differenzierbar $\implies D_yG(x,y)$ stetig $\implies \exists K_r^x(0) \times K_r^y(0) \subset D^x \times D^y$ mit Radius $r$, sodass $\norm{D_yG(x,y)}_2\leq \frac{1}{2},\; (x,y)\in K_r^x(0)\times K_r^y(0)$. $G(0,0) = 0\implies \exists K_s^x(0)\subset K_r^x(0)$ mit Radius $0< s\le r$ sodass 
+        \[\norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2} r,\; x\in K_s^x(0)\]
+        Ziel: Konstruiere $f\colon K_s^x(0)\to K_r^y(0)$ stetig mit $G(x,f(x)) = f(x)\; (\Leftrightarrow F(x,f(x)) = 0)$. Betrachte Fixpunktgleichung
+        \[G(x,y) = y,\; x\in K_s^x(0).\]
+        Für $(x,y_1),\; (x,y_2)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt 
+        \[\norm{G(x,y_1) - G(x,y_2)}_2 \oldstackrel{\text{MWS}}{\le} \sup_{(x,y)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)}\norm{D_yG(x,y)}_2 \cdot \norm{y_1-y_2}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}_2.\]
+        Sei $y\in \overline{K_r^y(0)}$
+        \[\norm{G(x,y)}_2 \le \norm{G(x,y)-G(x,0)}_2 + \norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y}_2 + \frac{1}{2}r\le r\]
+        d.h. $G(x,\cdot)$ ist eine Selbstabbildung der abgeschlossenen Kugel $\overline{K_r^y(0)}$.
+        
+        Außerdem, $\norm{G(x,y_1) -G(x,y_2)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}\implies G(x,\cdot)$ ist eine Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $L=\frac{1}{2}$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz (\ref{satz:banach-fix})
+        folgt $\forall x \in K_s^x(0) \exists!$ ein Fixpunkt $y(x)\in K_r^y(0)$ von $G(x,\cdot)$:
+        \[y(x) = \lim\limits_{k\to \infty} y^{(k)}(x),\; y^{(k)}(x)=G(x,y^{(k-1)}(x)),\; k\in \N\] mit Startpunkt $y^{(0)}(x)\coloneqq 0$.
+        Es gilt die Fehlerabschätzung $\forall x \in K_s^x(0)$:
+        \[\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}_2 \le 2^{-k}\norm{y^{1}(x)-y^{(0)}(x)}_2 = 2^{-k}\norm{G(x,0)-0}_2 \le 2^{-k} \frac{1}{2}r\]
+        Für $k\in \N$ gilt \[y^{(k)}(x) = G(x,y^{(k-1)}(x)) = y^{(k-1)}(x)-J_y^{-1}\underbrace{F(x,y^{(k-1)}(x))}_{\text{stetig}}\]
+        Induktiv folgt $y^{(k)}(x)$ stetig in $x\in K_2^x(0)$. Definiere $f(x)=y(x),\; f\colon K_s^x(0) \to K_r^y(0)$ und nach Konstruktion gilt
+        \[G(x,f(x)) = f(x),\quad x\in K_s^x(0).\]
+        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} y(x)$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
+        $\implies$ 1. Behauptung für $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ mit $U(\hat x)\coloneqq K_s^x(0)$ und $U(\hat y)\coloneqq K_r^y(0)$.
+        \item Die Eindeutigkeit von $y = f(x)$ folgt nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Für $x\in K_s(\hat x)$ ist der Fixpunkt der Gleichung $G(x,y) = y$ eindeutig bestimmt.
+        \item Da $F(x,y)$ in $(0,0)$ differenzierbar ist, gilt nach Definition der Differenzierbarkeit 
+        \[
+            F(x,y) = \underbrace{F(0,0)}_{=0} + D_xF(0,0)\cdot x + \underbrace{D_yF(0,0)}_{=J_y}\cdot y + \omega(x,y),
+        \]
+        wobei $\omega \colon K_s^x(0)\times K_r^y(0) \to \R^m$ die Eigenschaft $\norm{\omega(x,y)}_2 = o(\norm{(x,y)}_2)$ besitzt. Aus dem Beweis von 1. wissen wir, dass $F(x,f(x)) = 0$ für $x\in K_s^x(0)$ gilt. Einsetzen ergibt 
+        \begin{align*}
+            0 &= F(x,f(x)) = D_xF(0,0) \cdot x + J_y \cdot f(x) + \omega(x, f(x))\\
+            f(x) &= -J_y^{-1}\cdot D_xF(0,0) \cdot x \underbrace{ - J_y^{-1} \cdot \omega(x,f(x))}_{\eqqcolon \psi(x)}\\
+            &= -J_y^{-1} D_xF(0,0) x + \psi(x)
+        \end{align*}
+        Reminder: Def. Differenzierbarkeit: $f(0 +x) = \underbrace{f(0)}_{=0} + Df(x) \cdot x + \psi(x)$ mit $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$
+        Es genügt also zu zeigen, dass $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$, d.h. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} = 0$. Wir nutzen $\omega(x,y) = o(\norm{(x,y)}_2)$, d.h. \[\frac{\norm{\omega(x,y)}_2}{\norm{(x,y)}_2} \xrightarrow{\norm{(x,y)_2}\to 0} 0 \]
+        d.h. $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta_1 \in (0,s),\; \delta_2\in (0,r)$ sodass $\forall x$ mit $\norm{x}_2\le \delta_1$ und $\forall y$ mit $\norm{y}_2 \le \delta_2$ gilt 
+        \[
+            \norm{\omega(x,y)}_2 \le \epsilon \norm{(x,y)}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{y}_2) 
+        \]
+        Da $f$ überdies auch stetig ist (siehe Beweis 1.), gibt es ein $\delta \in (0,\delta_1)$ sodass $\forall \norm{x}_2 \le \delta$ gilt $\norm{f(x)}_2\le \delta_2$. Daraus schließen wir für $x$ mit $\norm{x}_2 \le \delta$:
+        \[
+            \norm{\omega(x,f(x))}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)  
+        \]
+        Dies können wir nun auf $f(x)$ anwenden.
+        \begin{salign*}
+            f(x) &= -J_y^{-1} D_xF(0,0)\cdot x + \psi(x)
+            \intertext{Es gilt $\psi(x) = -J_y^{-1}\omega(x,f(x))$}
+            \norm{f(x)} &\le \underbrace{\norm{J_y^{-1} D_xF(0,0)}_2}_{\eqqcolon c_1} \cdot \norm{x}_2 + \underbrace{\norm{J_y^{-1}}_2}_{\eqqcolon c_2} \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2\\
+            &\le c_1 \norm{x}_2 + c_2 \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Setzen wir nun $\epsilon = \frac{1}{2c_2}$, so erhalten wir für genügend kleines $x$}
+            &\le c_1\norm{x}_2 + c_2\cdot \frac{1}{2c_2}(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)\\
+            &= \left(c_1 + \frac{1}{2}\right) \norm{x}_2 + \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2\\
+            \implies \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2 &\le \left(c_1+ \frac{1}{2}\right)\norm{x}_2
+        \end{salign*}
+        Zusammen erhalten wir also:
+        \begin{salign*}
+            \norm{\psi(x)}_2 &\le \norm{J_y^{-1}}_2 \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Für $\norm{x}_2 \le \delta$ gilt}
+            &\le c_2 \cdot \epsilon(\norm{x}_2 + (2c_1 +1)\norm{x}_2)\\
+            &\le \epsilon \cdot c_3 \cdot \norm{x}_2
+            \intertext{Daraus schließen wir}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\le \epsilon \cdot c_3
+            \intertext{Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0\\
+            \implies \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0
+        \end{salign*}
+        Daraus folgt nun schließlich für das Differential von $f$ in $x = 0$
+        \[D_xf(0) = -J_y^{-1} D_xF(0,0)\]
+        Weiter müssen wir noch zeigen, dass $D_xf(x)$ in $K_\delta^x(0) \subset K_s^x(0)$ existiert und stetig ist in $x = 0$. Da $D_yF(x,y)$ stetig in $(0,0)$ ist, gibt es ein $\delta > 0$, sodass $\forall (x,y) \in K_s^x(0) \times K_\delta^y(0) \subset K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt
+        \[
+            \norm{D_yF(0,0) - D_yF(x,y)}_2 < \frac{1}{\norm{D_yF(0,0)^{-1}}_2}  
+        \]
+        Nach dem Störungssatz (\ref{kor:stoerung})
+        ist also $D_yF(x,y)$ regulär, also $\det D_yF(x,y) \neq 0$. Die Elemente von $D_yF(x,y)^{-1}$ sind nach der Cramerschen Regel stetige Funktionen der Elemente von $D_yF(x,y)$.
+        Daher ist \[(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y)\] als Produkt stetiger Funktionen stetig und nach Definition der Stetigkeit gilt
+        \[
+            \norm{(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y) - (D_yF(0,0))^{-1}D_xF(0,0)} \xrightarrow{\norm{(x,y)}_2 \to 0} 0  
+        \]
+        Analog wie oben folgern wir
+        \[f(x+h)-f(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x)) \cdot h + \omega(x,h),\quad \omega(x,h) = o(\norm{h}_2)\]
+        Die Ableitung $D_xf(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x))$ von $f$ ist stetig in $x = 0$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    $F(x,y) \coloneqq x^2 + y^2 -1$. Dann ist $D_yF(x,y) = 2y$. Nach dem Satz über implizite Funktionen folgt,  dass $F(x,y) = 0$ in einer Umgebung von $(\hat x, \hat y)$ mit $\hat x^2 + \hat y^2 -1 = 0,\; \hat y \neq 0$ (d.h. $\hat x \neq \pm 1$) eindeutig durch $y = \sqrt{1-x^2}$ oder $y = -\sqrt{1-x^2}$ nach $y$ auflösbar ist.
+\end{bsp}
+\begin{bem}[Implizites Differenzieren]
+    SIF und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y=f(x),\; F(x,f(x)) = 0$.
+    Kettenregel: $0 = F(x,f(x))$.
+    \[
+        0 = \dv{F}{x}(x,f(x)) = \left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y} \cdot \pdv{f}{x}\right) \implies \pdv{f}{x} = -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\pdv{F}{x}
+    \]
+    Die zweiten Ableitungen erhält man durch implizites Differenzieren von $\dv{F(x,f(x))}{x} = 0$.
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+    $F\colon \R^2 \to \R,\; F(x,f(x)) = 0$
+    \begin{align*}
+        0 &=\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'&&\text{1. Ableitung}\\
+        0 &= \dv{}{x}\left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'\right) &&\text{2. Ableitung}\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + \pdv{^2F}{y\partial x}f' + \left(\pdv{^2F}{x\partial y} + \pdv{^2F}{y^2}f'\right)f' + \pdv{F}{y}f''\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2 + \pdv{F}{y}f''\\
+        f'' &= -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\left(\pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2\right)
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Umkehrabbildungen}
+Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}: B_f \to \R^n$?
+\begin{definition}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen. Eine Abbildung $f\colon D\to \R^n$ heißt \underline{regulär} in $\hat x\in D$, wenn $\exists K_\delta(\hat x) \subset D$, sodass $f$ in $K_\delta(\hat x)$ stetig differenzierbar und die Jacobimatrix $J_f(\hat x)$ regulär ist. $f$ heißt regulär in $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $\hat x \in D$ regulär ist.
+\end{definition}
+\begin{satz}[Umkehrabbildung]\label{umkehrfunktion}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D\to \R^n$ regulär in $\hat x\in D$. Dann $\exists$ eine offene Umgebung $V(\hat x) \subset D$ von $\hat x$ derart, dass $U(\hat y) \coloneqq f(V(\hat x))$ eine offene Umgebung von $\hat y = f(\hat x) $ ist und $f\colon V(\hat x) \to U(\hat y)$ bijektiv. Weiter gilt: Die Umkehrabbildung $f^{-1}: U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist regulär in $\hat y$ und 
+    \[J_{f^{-1}}(\hat y) = (J_f(\hat x))^{-1},\; \det J_{f^{-1}}(\hat y) = \frac{1}{\det J_f(\hat x)}\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei $\hat x \in D$ und $\hat y \coloneqq f(\hat x)\in f(D)$.
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \coordinate (x) at (-.5,-.5);
+            \coordinate (y) at (5.5,-.5);
+            \draw[color = black] (0,0) circle (2cm);
+            \node at (0,1.5) {$D$};
+            \draw[thick, color = red] (x) circle (1cm);
+            \draw[color = blue, fill = blue!20!white] (-.5,-.5) circle (.7cm);
+            \node[color = red] at (1,0) {$U(\hat x)$};
+            \draw[->] (2,0) -- node[pos = 0.6, above] {$f$} (4,0);
+            \draw[color = black] (6,0) circle (2cm);
+            \node at (6,1.5) {$f(D)$};
+            \draw[thick, color = red, fill = blue!20!white] (y) circle (1cm);
+            \node[color = red] at (7,0) {$U(\hat y)$};
+            \node[color = blue] at (-.6,-.2) {$V(\hat x)$};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=-45:$\hat x$] at (x) {};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=0:$\hat y$] at (y) {};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+    Betrachte $F \colon \R^n \times D \to \R^n, F(y,x) = y-f(x)$. Für $(\hat x, \hat y)$ gilt $F(\hat y, \hat x) = 0$. Die Jacobimatrix $D_xF(y,x) = -J_f(x)$ ist regulär in $\hat x$. Mit Vertauschung von $x$ und $y$ folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, dass Umgebungen $U(\hat y)$, $U(\hat x)$ und genau eine stetig differenzierbare Abbildung $g:U(\hat y) \to U(\hat x)$ existieren, sodass $\forall y \in U(\hat y)$
+    \[
+        0 = F(y,g(y)) = y-f(g(y)), \implies \exists! x = g(y)\in U(\hat x) \text{ mit } y= f(x)
+    \]
+    Setze dann \[V(\hat x) \coloneqq U(\hat x) \cap f^{-1}(U(\hat y)) = \{ x\in U(\hat x)\mid f(x) \in U(\hat y)\}.\]
+    Da $U(\hat x)$ und $f^{-1}(U(\hat y))$ offen sind, ist auch $V(\hat x)$ offen. Daher ist $f\colon V(\hat x)\to U(\hat y)$ bijektiv und die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist gerade $g$.
+    \begin{align*}
+        J_{f\circ f^{-1}}(\cdot) = J_{\mathrm{id}}(\cdot) &= \mathbb{I}
+        \intertext{Mit der Kettenregel folgt}
+        J_f(\hat x) \cdot J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = \mathbb{I}\\
+        \implies J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = J_f(\hat x)^{-1}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+    Sei $D\subset \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ regulär und $O \subset D$ offen. Dann ist $f(O)$ offen.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Sei $O \subset D$ offen und $y\in f(O)$ beliebig mit $y = f(x),\; x\in O$. Nach Satz \ref{umkehrfunktion} existieren $\forall y$ Umgebungen $K_r(y)\subset f(O)$ und $K_s(x)\subset O$ sodass $K_r(y)\subset f(K_s(x))\implies f(O)$ offen.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Satz \ref{umkehrfunktion} garantiert nur die lokale Umkehrbarkeit von $f$.
+        \item Es seien $U, V$ offene Mengen in $\R^n$ und $f\colon U\to V$ stetig differenzierbar.\\ $f$ heißt \underline{Diffeomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V \to U$ stetig differenzierbar ist.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\end{document}

ana15.tex

@@ -0,0 +1,157 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen}
+
+Problemstellung: ,,Restringierte`` Optimierungsaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen.
+
+Sei $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$, $D \subseteq \R^{n}$.
+Wir suchen einen Punkt $\hat{x} \in D$, s.d. $\hat{x} \in S \coloneqq \{ x \in D  \mid g(x) = 0\} $ und
+$\exists U(\hat{x})$ s.d. $f(\hat{x}) \le f(x)$, $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$. \\
+Dann heißt $\hat{x}$ lokales Minimum unter Nebenbedingung $g(x) = 0$. Analog: lokales Maximum unter
+Nebenbedingung $\hat{x} \in S$, s.d. $\exists U(\hat{x})$ mit $f(\hat{x}) \ge f(x)$
+$\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
+
+\begin{satz}[Multiplikatorregel von Lagrange: Notwendige Bed. 1. Ordnung für lokales Minimum unter
+    Nebenbedingungen]
+    \label{satz:lagrange-mult}
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$ partiell stetig
+    differenzierbar. Sei $\hat{x} \in D$ ein Extremum unter der Nebenbedingung
+    $g(x) = 0$ und die Gradienten $\nabla g_1(\hat{x}), \ldots, \nabla g_k(\hat{x})$
+    seien linear unabhängig in $\R^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    \exists \hat{\lambda} = \begin{pmatrix} \hat{\lambda}_1 \\ \vdots \\ \hat{\lambda}_k \end{pmatrix}
+    \in \R^{k} \text{ mit }
+    \sum_{i=1}^{k} \hat{\lambda}_i \nabla g_i(\hat{x}) = \nabla f(\hat{x})
+    (\iff \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = \nabla f(\hat{x}))
+    .\]
+    Die Zahlen $\hat{\lambda}_1, \ldots, \hat{\lambda}_k$ heißen \underline{Lagrange-Multiplikatoren}.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Nach Voraussetzungen gilt
+    \[
+        \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x} =
+        \underbrace{\left( \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_n} \right)}_{i = 1\ldots k, \text{linear unabhängige Vektoren}}
+    .\] Also hat $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x}) \in \R^{k \times n}$ Rang $k$.
+    O.B.d.A. die ersten $k$ Spalten von $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ bilden
+    eine quadratische invertierbare Matrix.
+    Dann lassen sich $x$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ aufspalten:
+    \[
+        x = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} 
+            \quad
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times n}}
+            =
+            \Big( \underbrace{\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times k}} ;
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times (n-k)}} \Big)
+    .\] mit $y \in \R^{k}$, $z \in \R^{n-k}$ und
+    $\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \in \R^{k \times k}$ regulär.
+
+    Setze $\hat{x} = \begin{pmatrix} \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix}$.
+    Wende nun Satz \ref{satz:sif} auf $g(x) = g(y,z) = 0$ an. Dann existieren
+    Umgebungen $U(\hat{z}) \subseteq \R^{n-k} $, $U(\hat{y}) \subseteq \R^{k}$ und
+    eine eindeutige Abbildung
+    \begin{align*}
+        \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
+        z &\mapsto \varphi(z) = y
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
+        \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$
+        \item $\varphi \in C^{1}\left( U(\hat{z}), \R^{k} \right) $ stetig differenzierbar.
+        \item $\underbrace{\varphi'(\hat{x})}_{D_x\varphi(\hat{x})} =
+            - \left(\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})\right)^{-1} \cdot
+            \left( \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x}) \right)$
+    \end{enumerate}
+    Betrachte $\tilde{f}(z) = f(\varphi(z), z)$, $\tilde{f}(z) \colon U(\hat{z}) \to \R$. Da
+    $\hat{x}$ Extremum von $f(x)$ unter $g(x) = 0$, ist $\hat{z}$ lokales Extremum von $\tilde{f}(z)$ in
+    $U(\hat{z})$. Mit \ref{satz:notwendig-extremum} folgt also $\forall i = 1 \ldots n-l$:
+    \begin{salign*}
+        0 &= \frac{\partial \tilde{f}(\hat{z})}{\partial z_i} \\
+        &\stackrel[\tilde{f} = f(\varphi(z), z)]{\text{Kettenregel}}{=} \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}
+        \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{z_i} + \frac{\partial f(\hat{x}) }{z_i}
+        \intertext{Damit folgt}
+        0 &= \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{\partial z}
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} \qquad (*)
+        \intertext{Definiere}
+        \hat{\lambda}^{T} &= \underbrace{\frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}}_{\left(\frac{\partial f}{\partial y_1} \ldots \frac{\partial f}{\partial y_k}\right)}
+        \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right)^{-1}
+        \intertext{Damit folgt}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} &= \hat{\lambda}^{T} \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right) 
+    .\end{salign*}
+    Mit $(*)$ folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \left( -
+        \left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial y} \right)^{-1}
+        \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z}\right)
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z}
+        = - \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z} + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = 0
+    .\end{salign*}
+    Insgesamt folgt
+    \begin{align*}
+    \begin{rcases}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \\
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})
+    \end{rcases}
+    \implies
+    \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial x} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Interpretation von Satz \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Definiere Lagrange-Funktion
+    \[
+        \mathcal{L}(x, \lambda) \coloneqq f(x) - \lambda^{T}g(x), \quad (x, \lambda) \in D \times \R^{k}
+    .\] Falls $\hat{x}$ lokales Minimum von $f$ unter Nebenbedingung $g(x) = 0$ und
+    $\text{Rg}\left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}\right) = k$. Dann ex.
+    genau ein $\hat{\lambda} \in \R^{k}$ s.d. $(\hat{x}, \hat{\lambda})$ ein stationärer Punkt
+    der Lagrange Funktion ist:
+    \begin{align*}
+        \nabla_x \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= \nabla f(\hat{x}) - \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = 0 \\
+        \nabla_\lambda \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= g(\hat{x}) = 0
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Anwendung von \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}$ eine symmetrische Matrix. Dann betrachte
+    \[
+        f(x) \coloneqq  (x, Ax)_2 = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j
+    .\] Bestimme Extrema von $f(x)$ unter Nebenbedingungen $\Vert x \Vert = 1$.
+
+    Definiere $g(x) = \Vert x \Vert_2^2 - 1$ und $S \coloneqq \{ x \in \R^{n}  \mid g(x) = 0\} $. Dann
+    gilt für $x \in S$: $\nabla g(x) = 2x \neq 0$, da $\Vert x \Vert_2^2 = 1$. Für
+    $f(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$ gilt für $k = 1 \ldots n$:
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f}{\partial x_k} &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\delta_{ik}x_j
+        + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i \delta_{jk} \\
+        &= \sum_{j=1}^{n} a_{kj} x_j + \sum_{i=1}^{n} a_{ik} x_i \\
+        &\stackrel{a_{ij} = a_{ji}}{=} 2 \sum_{i=1}^{n} a_{ki}x_i
+        \intertext{Also folgt}
+        \nabla f(x) &= 2 A x
+    .\end{salign*}
+    Existiert ein $\hat{x}$? Da $S$ kompakt und $f$ stetig, nimmt $f$ (auf $S$) ein
+    Maximum und Minimum an. Nach Satz \ref{satz:lagrange-mult} ex. ein $\hat{\lambda} \in \R$, s.d.
+    \begin{alignat*}{3}
+        &&\quad \nabla f(\hat{x}) &= \hat{\lambda} \nabla g(\hat{x}) \\
+        &\implies& 2 A \hat{x} &= \hat{\lambda} 2 \hat{x} \\
+        &\implies& A \hat{x} &= \hat{\lambda} \hat{x}
+    .\end{alignat*}
+    Also ist $\hat{\lambda}$ Eigenwert von $A$ zum Eigenvektor $\hat{x}$. Damit folgt
+    \[
+        f(\hat{x}) = (\hat{x}, A \hat{x})_2 = (\hat{x}, \hat{\lambda}\hat{x})_2
+        = \hat{\lambda} \underbrace{\Vert \hat{x} \Vert_2^2}_{= 1} = \hat{\lambda}
+    .\] Das bedeutet, dass
+    \[
+        \inf \{(x, Ax)_2  \mid \Vert x \Vert_2 = 1\} = f(\hat{x}) = \hat{\lambda} = \lambda_{\text{min}}
+    .\] Also folgt
+    \begin{align*}
+        \lambda_{\text{min}} &= \min_{\Vert x \Vert_2 = 1} \underbrace{x^{T} Ax}_{(x,Ax)_2}
+        = \min_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \underbrace{\frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_{2}^2}}
+        _{\text{Rayley-Quotient}} \\
+        \lambda_{\text{max}} &= \max_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_2^2}
+    .\end{align*}
+    $\lambda_{\text{min}}$ bzw. $\lambda_{\text{max}}$ sind der kleinste bzw. größte Eigenwert von $A$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana16.tex

@@ -0,0 +1,462 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usetikzlibrary{math}
+\begin{document}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}
+
+\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
+\section{Explizite Differentialgleichungen}
+Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
+\[
+    F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  
+\] oder
+\[
+    y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
+\]
+für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
+Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
+\begin{align*}
+    x_1 &\coloneqq y\\
+    x_2 &\coloneqq y'\\
+    &\vdots\\
+    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
+\end{align*}
+also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
+\[
+    x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
+        x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
+    \end{pmatrix}
+\]
+Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
+\[
+    x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  
+\]
+Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
+        \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
+            y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
+            y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
+            y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
+        \end{align*}
+        Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
+        \[
+            my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  
+        \]
+        äquivalent zum System:
+        \begin{align*}
+            x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
+            x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
+        \end{align*}
+        \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
+        \begin{align*}
+            N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
+            N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
+            N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
+                &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
+            N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
+               & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
+        \end{align*}
+        \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{ccc}
+                succeptible & infected & removed\\
+                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
+            \end{tabular}    
+        \end{center}
+        \begin{align*}
+            N &= I + S + R\\
+            \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
+            \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
+            \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
+        \end{align*}
+        Dabei sei
+        \begin{align*}
+            \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
+            \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
+            \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
+            \beta&
+                \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
+            \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]
+        \begin{axis}%
+            [%minor tick num=4,
+             %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             %enlargelimits={abs=0.2},
+             %ymax=5,
+             %ymin=0
+             width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+             axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+             view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+             xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits
+             ymin=0, ymax=1.1,
+             domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions
+             xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks
+             xticklabels={$t_0$},
+             yticklabels={$y_0$},
+             xlabel=$t$,
+             ylabel=$y$,
+             samples=11, % How many arrows?
+             cycle list={    % Plot styles
+                     gray,
+                     quiver={
+                         u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows
+                         scale arrows=0.075,
+                         every arrow/.append style={
+                             -latex % Arrow tip
+                         },
+                     }\\
+                     red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function
+                }
+            ]
+            \addplot3 (x,y,0);
+            \addlegendentry{$f(t,y)$}
+            \addplot{(x-0.25)^2+0.15};
+            \addlegendentry{$y(t)$}
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[System erster Ordnung]
+    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
+    \begin{equation}
+        y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
+    \end{equation}
+    ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
+\end{definition}
+Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 
+    \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
+\end{enumerate}
+\begin{bem}
+    $y = \begin{pmatrix}
+        y_1\\\vdots\\y_n
+    \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
+        f_1\\\vdots\\f_n
+    \end{pmatrix}$ Dann ist 
+    \begin{align*}
+        \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
+    \end{align*}
+\end{bem}
+\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
+    AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
+    \begin{align*}
+        y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
+        y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
+    \end{align*}
+    Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\graph(y) \subset D$
+        \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
+        \item $y(t_0) = y_0$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
+    Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
+    \[
+        y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 
+    \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
+    \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
+    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
+\end{proof}
+\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
+\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
+    Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
+    \[
+        D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
+    \]
+    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
+\end{satz}
+%\begin{figure}[h]
+%    \begin{tikzpicture}
+%        \begin{axis}%
+%            [grid=none,
+%             minor tick num=4,
+%             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+%             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+%             axis lines=middle,
+%             %enlargelimits={abs=0.2},
+%             ymax=5, ymin=-1.5,
+%             xmin=2, xmax=7,
+%             xtick={5}, ytick={2},
+%             xticklabels={$t_0$},
+%             yticklabels={$y_0$},
+%             xlabel=$t$,
+%             ylabel=$x$,
+%            ]
+%            \draw (4,1) rectangle (6,3);
+%            \node at (5.8,1.3) {$D$};
+%            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};
+%            \addlegendentry{$y(t)$}
+%          \end{axis}
+%    \end{tikzpicture}
+%\end{figure}
+Reminder:
+\begin{enumerate}
+    \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
+    \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
+    \item Satz von Arzela-Ascoli:
+         Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 
+         \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 
+         \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
+        Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
+    \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 
+    \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
+    \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
+        \int_a^by_1(t)\d t\\
+        \vdots\\
+        \int_a^by_n(t)\d t
+    \end{pmatrix}\in \R^n\]
+\end{enumerate}
+\begin{proof} (Satz von Peano)\\
+    Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
+    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
+    \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
+    Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
+        \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
+        \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 
+    \end{itemize}
+    Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
+    \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={
+                    g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)
+                    f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative
+                    %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)
+                    %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative
+                }]
+            \def\h{1} % step length (accuracy of approximation)
+            \def\torig{2} % y_0
+            \def\yorig{1} % t_0
+            \begin{axis}%
+                [grid=none,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 ymax=10, ymin=-1.5,
+                 restrict y to domain=-2:12,
+                 xmin=-1, xmax=7,
+                 xtick={2,3,4,5},
+                 ytick=\empty,
+                 xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$y$,
+                 legend pos=outer north east
+                ]
+                \def\d{0}
+                \def\t{0}
+                \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),
+                                     remember=\t as \tlast (initially \torig)]
+                                    in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {
+                    \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}
+                    \colour
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};
+                    }
+                    \temp
+                    \if\i3
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) 
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});
+                        }
+                    \else
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                        }
+                    \fi
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};
+                    }
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}
+                    \temp
+                }
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$}
+    \end{figure}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
+        \[
+            \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
+        \]
+        Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
+        \begin{align*}
+            y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
+            &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
+            &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+            \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
+            &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
+            &= (t-t_0)\cdot M\\
+            &\le T\cdot M\\
+            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
+            &\le \beta
+        \end{align*}
+        Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
+        \item \begin{enumerate}[(a)]
+            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.
+                \begin{figure}[h]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);
+                        f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);
+                        f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);
+                        f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]
+                        \begin{axis}%
+                            [grid=none,
+                             %minor tick num=4,
+                             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                             axis lines=middle,
+                             %enlargelimits={abs=0.2},
+                             ymax=10, ymin=-1.5,
+                             xmin=1, xmax=6,
+                             xtick={2,3,4,5},
+                             ytick={1},
+                             xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                             yticklabels={$y_0$},
+                             xlabel=$t$,
+                             ylabel=$x$,
+                            ]
+                            \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};
+                            \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                            \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};
+                            %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};
+                            %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};
+                          \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                    \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}
+                \end{figure}
+            \begin{itemize}
+                \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
+                \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                        &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
+                    &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                    \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
+                \end{align*}
+                \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
+                    &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
+                \end{align*}
+                Daraus folgt 
+                \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
+                = |t-t'|M\]
+            \end{itemize}
+                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
+                \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
+                Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
+            \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
+            \begin{align*}
+                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
+                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
+                \\
+                &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
+                &\le M\cdot T + \norm{y_0}
+            \end{align*}
+            Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
+        \end{enumerate}
+        Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
+        \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
+        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
+        \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
+
+            Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für
+            ein $i$ gilt
+            \begin{salign*}
+                y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})
+                         + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                        \vdots \; & \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s
+                         + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\
+                         &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         - f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s
+                         + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s
+                         \tageq \label{eq:peano:1}
+            .\end{salign*}
+            Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.
+            $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+            .\]
+            Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt
+            $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+                \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon
+            .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$
+            \[
+                \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon
+                \tageq \label{eq:peano:2}
+            .\] Damit folgt
+            \begin{salign*}
+                \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert
+                \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&
+                \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}
+                \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s
+                \Bigg\Vert \\
+                \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s
+                + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\
+                =& \epsilon |t - t_0|
+                \intertext{Damit folgt}
+                \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0
+                - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s
+                \Bigg\Vert
+                \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|
+                \intertext{Also folgt}
+                \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|
+            .\end{salign*}
+            Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit
+            \[
+                y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana17.tex

@@ -0,0 +1,274 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bem}[Bedeutung des Existenzsatz von Peano]
+    Für die lokale Lösbarkeit des Systems $y' = f(t,y)$ reicht
+    die Stetigkeit der rechten Seite. Aber auch wenn $f(t,y)$ auf einem
+    Streifen $[a,b] \times \R^{n}$ stetig ist, kann nicht erwartet werden, dass die Lösung
+    der AWA im Intervall $[a,b]$ definiert ist.
+
+    Zum Beispiel: $y' = 1 + y^2$. $f(t,y) = 1 + y^2$ ist stetig auf $\R \times \R$. Als Lösung
+    folgt $y = \tan(t + c)$, denn
+    \begin{align*}
+        y' = \frac{1}{\cos^2(t+c)} = \frac{\cos^2(t+c) + \sin^2(t+c)}{\cos^2(t+c)}
+        = 1 + \tan^2(t+c) = 1 + y^2
+    .\end{align*}
+    Das heißt Lösungen sind nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert. Der Satz von Peano
+    macht eine Aussage über die Größe des Existenzintervalls (die nur von Stetigkeitseigenschaften
+    von $f(t,x)$ abhängig ist).
+\end{bem}
+\begin{figure}[h]
+    \label{fig:tan-dgl-solution}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [default 2d plot,
+             ymax=4,
+             ymin=-4,
+             xmin=-4,
+             xmax=4,
+             xtick={-3.14, -1.57, 0, 1.57, 3.14},
+             xticklabels={$\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
+            ]
+            \addplot[domain=1.58:4.70,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-1.56:1.56,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-4.72:-1.58,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Lösung $y = \tan(t+c)$ nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert.}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Fortsetzungssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
+    Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
+
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T_{*}, t_0 + T^{*})$
+    bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wiederholte Anwendung des Satz von Peano (siehe R.R. S. 111).
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die maximal fortgesetzten Lösungen nach links und rechts laufen bis der Graph von $y$ an
+    den Rand von $D$ stößt. Dabei ist es möglich, dass
+    \[
+        \text{Graph}(y) = \{ (t, y(t)) , t \in I_{\text{max}}\}
+    \] unbeschränkt ist, weil $t \to t_0 + T^{*} = \infty$ oder
+    $\Vert y(t) \Vert \xrightarrow{t \to t_0 + T^{*}} \infty$.
+
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = tan(deg(\x-2));}]
+            \begin{axis}%
+                [default 2d plot,
+                 grid=none,
+                 ymax=4,
+                 ymin=-4,
+                 xmin=0,
+                 xmax=4,
+                 xtick=\empty, ytick=\empty,
+                ]
+                \addplot[domain=0.56:3.56,samples=100,smooth,red] {f(x)};
+                \draw[dashed] (0.56, 5) -- (0.56, -5);
+                \draw[dashed] (3.45, 5) -- (3.45, -5);
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=10mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=9mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=6mm, minimum height=6mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=5mm, minimum height=5mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=4mm, minimum height=4mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.65, -4) node{$\partial D$};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Schrittweise Fortsetzung einer Lösung bis zum Rand von $D$}
+    \end{figure}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[Globale Existenz]
+    Sei $f(t,x)$ auf ganz $\R \times \R^{n}$ definiert und stetig. Seien alle lokalen Lösungen
+    $y(t)$ beschränkt durch eine stetige Funktion $\rho\colon \R \to \R$ mit
+    \[
+        \Vert y(t) \Vert \le \rho(t), \quad t \in [t_0 - T, t_0 + T]
+    .\] Dann ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wegen der Schranke, kann keine lokale Lösung auf einem beschränkten Zeitintervall
+    einen unbeschränkten Graphen haben. Also ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Regularitätssatz]
+    Sei $y$ eine Lösung der AWA $y' = f(t,y)$ auf dem Intervall $I$ und
+    sei $f \in C^{m}(D)$ mit $m \ge 1$. Dann gilt $y \in C^{m+1}(I)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Da $y(t)$ Lösung, folgt
+    \[
+        y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s)) \d s, \quad t \in I
+    .\] Sei nun $f \in C^{1}(D)$. Dann ist $y$ zweimal stetig differenzierbar
+    mit
+    \begin{align*}
+        y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t, y(t))
+        = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        + \underbrace{\frac{\partial}{\partial y} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}_{= f \text{ also stetig}}
+    .\end{align*}
+    Durch Wiederholung dieses Arguments folgt $y \in C^{m+1}$ falls $f \in C^{m}(D)$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Was kann passieren, falls $f(t,x)$ nicht stetig ist? Beispiel: Coulomb Reibung. Sei
+    $c > 0$ und $v(0) = v_0$.
+    \begin{align*}
+        \dot{s} &= v \\
+        \dot{v} &= -c \cdot \text{sign}(v)
+    .\end{align*}
+    Lösung: $v(t) = v_0 - ct$. Lösungen der DGL existieren ab $t = \frac{v_0}{c}$ nicht.
+    Abhilfe: Philipov Regel (siehe Literatur).
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = -2;}]
+            \begin{axis}%
+                [%minor tick num=4,
+                 %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 legend pos=outer north east,
+                 %enlargelimits={abs=0.2},
+                 %ymax=5,
+                 %ymin=0
+                 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+                 xmin=0, xmax=2, % Axis limits
+                 ymin=-1.1, ymax=1.1,
+                 domain=0:2, y domain=-1:1, % Domain over which to evaluate the functions
+                 xtick=\empty, ytick={1}, % Tick marks
+                 xticklabels={$t_0$},
+                 yticklabels={$v_0$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$v$,
+                 samples=7, % How many arrows?
+                ]
+                \addplot3[
+                    y domain=1:0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={-2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x,y+0.1,0);
+                \addplot3[
+                    forget plot,
+                    y domain=-1:-0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x, y-0.1,0);
+                \addlegendentry{$f(t,v) = - c \cdot \text{sign}(v)$}
+                \addplot[blue, domain=0:1] {2 - 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(1)}(t) = - c + v_0^{(1)}$}
+                \addplot[forget plot, blue, domain=0:0.5] {1 - 2*x};
+                \addplot[red, domain=0:0.75] {-1.5 + 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(2)}(t) = + c + v_0^{(2)}$}
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Mögliche Lösungen der DGL $\dot{v} = - c \cdot \text{sign}(v)$ mit
+        $v_0^{(1)} > 0$ und $v_0^{(2)} < 0$. Ab $t = \frac{v_0}{c}$ existiert keine Lösung.}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Uneindeutigkeit von AWA]
+    \label{bsp:dgl-uneindeutig}
+    Sei $y' = f(t,y) \coloneqq \sqrt{|y(t)|}$ mit $y(t_0) = y_0$. Es
+    ist $f(t,y)$ stetig auf $\R \times \R$.
+
+    Für $y_0 \ge 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:
+    \begin{align*}
+        y(t) &= \frac{(t-t_0 + 2 \sqrt{y_0})^2}{4} \qquad t_0 - 2 \sqrt{y_0} \le t < \infty
+        \intertext{Für $y_0 \le 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:}
+        y(t) &= - \frac{(t-t_0 - 2 \sqrt{-y_0})^2}{4} \qquad -\infty < t \le t_0 + 2 \sqrt{-y_0}
+        \intertext{Für $y_0 = 0$ ist jedoch $\forall t_0 \in \R$ auch}
+        y(t) &= 0
+    .\end{align*}
+    eine Lösung der AWA.
+
+    Falls $y_0 > 0$ oder $y_0 < 0$ ist $y(t; t_0, y_0)$ eindeutig bestimmt, aber für $y(t_0) = 0$
+    existieren unendlich viele Lösungen.
+    
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick={4,-4},
+                     yminorticks=false,
+                     minor tick style={draw=none},
+                     xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$, $y_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,red] {((x-6+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-10:10,samples=100,smooth,blue] {-((x-6-4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Lösungen für $y_0 > 0$ (rot) bzw. $y_0 < 0$ (blau) und ihre Fortsetzungen.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick=\empty,
+                     xticklabels={$t_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=-2:14,samples=100,smooth,orange] {0};
+                    \addplot[domain=14:20,samples=100,smooth,orange] {((x-18+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:-2,samples=100,smooth,orange] {-((x+6-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,blue] {0};
+                    \addplot[domain=10:20,samples=100,smooth,blue] {((x-14+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:2,samples=100,smooth,blue] {-((x+2-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=4:8,samples=100,smooth,red] {0};
+                    \addplot[domain=8:20,samples=100,smooth,red] {((x-12+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:4,samples=100,smooth,red] {-((x-4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Für $y_0 = 0$ existieren beliebig viele zusammengesetzte Lösungen.}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Zur Uneindeutigkeit von AWA}
+    \end{figure}
+
+    Beobachtung: $f(t,x)$ ist stetig auf $\R \times \R$, aber $f(t,x)$ ist nicht Lipschitz stetig
+    in $(t,0)$ $\forall t \in \R$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana18.tex

@@ -0,0 +1,193 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Eindeutigkeit und lokale Stabilität}
+
+\begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
+    Sei $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und $f\colon D \to \R^{n}$. $f$ ist in $D$
+    Lipschitz-stetig bzgl. $x$ mit Lipschitz-Konstante $L \ge 0$, falls $\forall (t,x), (t, \tilde{x}) \in D$ gilt
+    \[
+        \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L \Vert x - \tilde{x} \Vert
+    .\] $f$ ist lokal Lipschitz-stetig bzgl. $x$ in $D$, falls für
+    alle Punkte $(t, x) \in D$ eine Umgebung $U$ existiert, s.d.
+    $f$ in $D \cap U$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Sei $D = \R \times G$, $G \subseteq \R^{n}$ konvex
+            und $f\colon D \to \R^{n}$ stetig partiell differenzierbar nach $x$
+            mit $\displaystyle \sup_{x \in G} \left\Vert \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \right\Vert \le L(t)$,
+            dann ist $f$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$.
+            \begin{proof}
+                \begin{align*}
+                    \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert
+                    \quad \stackrel{\text{\ref{satz:mittelwertsatz}}}{=} \quad
+                    \left\Vert \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x} (t,s) \d s (x - \tilde{x}) \right\Vert
+                    \le L(t) \Vert x - \tilde{x}\Vert
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item $f(y) = \sqrt{y}$, $f\colon [0, \infty[\; \to \R$ ist nicht Lipschitz-stetig, denn
+            $|f(y) - f(0)| = \sqrt{y} $ und $\forall L \ge 0$ $\exists y \in [0, \infty[$ mit
+            $|\sqrt{y}| \ge L \cdot |y|$.
+        \item $f(y) = \sqrt{y} $, $f\colon \;]0, \infty[\; \to \R$ ist lokal Lipschitz-stetig.
+            \begin{proof}
+                Sei $y_0 \in ]0, \infty[$ fest. Betrachte
+                $U = \left[ \frac{y_0}{2}, \infty \right] \subseteq \R$. Es gilt
+                $\left| f'(y) \right| = \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} } \right| $. Dann folgt
+                \[
+                \max_{x \in U} \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} }  \right| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{y_0}}
+            .\] Damit ist mit (1) $f$ Lipschitz-stetig auf $U$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}[von Gronwall]
+    Sei $w(t) \ge 0$ stückweise stetig und genüge für $a, b \in \R$ der Integralgleichung
+    \[
+        w(t) \le a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b, \quad t \ge t_0
+    .\] Dann gilt
+    \[
+        w(t) \le e^{a(t-t_0)}b, \quad t \ge t_0
+    .\] 
+    \label{lemma:gronwall}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $t \ge t_0$. Betrachte die Funktion $\psi(t) \coloneqq a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b$. Es gilt
+    $\psi'(t) = a w(t)$ und nach Voraussetzung
+    \[
+        \psi'(t) = a w(t) \le a \left( a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b \right) = a \psi(t)
+    .\] Betrachte nun $e^{-at}\psi(t)$ und berechne
+    \begin{salign*}
+        (e^{-at} \psi(t))' = - a e^{-at}\psi(t) + e^{-at}\psi'(t)
+        = e^{-at} \underbrace{\left( \psi'(t) - a \psi(t) \right)}_{\le 0} \le 0 \tageq\label{eq:gronwall-1}
+    .\end{salign*}
+    Die Funktion $e^{-at}\psi(t)$ ist also monoton fallend. Damit folgt
+    \begin{salign*}
+        e^{-at}\psi(t) &\stackrel{\text{mon. fallend}}{\le } e^{-a t_0} \psi(t_0) = e^{-a t_0} b \\
+        e^{-at} w(t) &\stackrel{\text{(\ref{eq:gronwall-1})}}{\le} e^{-at} \psi(t) \le e^{- a t_0} b
+        \intertext{Insgesamt folgt also}
+        w(t) &\le e^{a(t - t_0)} b
+    .\end{salign*}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
+    bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
+    \[
+        y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I
+    \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
+    \[
+        \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
+    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
+    $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
+
+    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
+    gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
+    Betrachte
+    \begin{salign*}
+        h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
+        y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
+        &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s + y(t_0) - v(t_0) 
+        \intertext{Dann folgt}
+        \Vert h(t) \Vert &\le \int_{t_0}^{t} \underbrace{\Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \Vert}_{\le L_k \Vert y(s) - v(s) \Vert} \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert \\
+        &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } L_K \int_{t_0}^{t} \Vert h(s) \Vert  \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0) \Vert
+        \intertext{Damit folgt mit Lemma \ref{lemma:gronwall}}
+        \Vert h(t) \Vert &\le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \ge t_0
+    .\end{salign*}
+    Seien nun $y(t)$ und $v(t)$ zwei Lösungen der AWA
+    \[
+    \begin{cases}
+        y' = f(t,y) & t \in I = [t_0, t_0 + T], T \text{ aus Peano} \\
+        y(t_0) = y_0
+    \end{cases}
+    .\] Aus
+    \[
+       \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y_0 - y_0\Vert = 0, \quad t \in I
+   ,\] folgt $y(t) = v(t)$ auf dem gemeinsamen Existenzintervall $I$. 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Lindelöf]
+    Sei $f\colon D \to \R^{n}$ stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Dann
+    gilt $\forall (t_0, y_0) \in D$, $\exists \epsilon > 0$ und eine Lösung der AWA
+    \begin{align*}
+        &y\colon I = [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon] \to \R^{n} \\
+        &y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I \\
+        &y(t_0) = y_0
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Unabhängig vom Satz von Peano, basiert auf dem Fixpunktsatz von Banach.
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $\delta  > 0$ s.d.
+            \[
+                K\coloneqq \{ (t,x) \in \R \times \R^{n}  \mid |t-t_0| \le \delta, \Vert x - y_0 \Vert \le \delta \} \subseteq D
+            \] und $f(t,x)$ auf $K$ Lipschitz-stetig ist, d.h. es ex. ein $L_K \ge 0$, s.d.
+            \[
+            \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L_K \Vert x - \tilde{x} \Vert,
+            \quad (t,x), (t, \tilde{x}) \in K
+            .\] $K$ ist kompakt und $f$ stetig, d.h. $f$ ist beschränkt auf $K$, d.h. $\exists M \ge 0$
+            s.d. $\Vert f(t,x) \Vert \le M$, $(t,x) \in K$. Wir setzen
+            \[
+                \epsilon \coloneqq \text{min}\left( \delta , \frac{\delta }{M}, \frac{1}{2L_K} \right),
+                \quad I_{\epsilon} \coloneqq [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon]
+            .\] Definiere Vektorraum $V \coloneqq C(I_{\epsilon})$ mit Norm
+            $\Vert y \Vert_{\infty} = \max_{t \in I_\epsilon} \Vert y(t) \Vert$. Dann ist
+            $V$ ein Banach-Raum.
+        \item Definiere auf $V$ die Abbildung $g\colon V \to V$
+            \[
+                g(y)(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
+            .\] Betrachte Teilmenge
+            \[
+                V_0 \coloneqq \left\{ v \in V  \;\Big|\; \max_{t \in I_{\epsilon}} \Vert v(t) - y_0 \Vert \le \delta
+                \right\} 
+                \subseteq V
+            .\] Für $y \in V_0$ gilt für $t \in I_{\epsilon}$
+            \begin{salign*}
+                \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
+                &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s  \\
+                &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t}  \d s \\
+                &= M|t-t_0|
+                \le M\epsilon
+                \le \delta 
+            .\end{salign*}
+            Damit folgt also $g(V_0) \subseteq V_0$. Seien nun $y, v \in V_0$:
+            \begin{salign*}
+                \Vert g(y)(t) - g(v)(t) \Vert
+                &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s \right\Vert \\
+                &\le \int_{t_0}^{t} \Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s))\Vert \d s \\
+                &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } \int_{t_0}^{t} L_K \Vert y(s) - v(s) \Vert \d s \\
+                &\le L_k \max_{s \in [t_0, t]} \Vert y(s) - v(s) \Vert \int_{t_0}^{t}  \d s \\
+                &\le L_k \Vert y - v \Vert_{\infty} \underbrace{|t - t_0|}_{\le \epsilon} \\
+                &\stackrel[\epsilon \le \frac{1}{2L_K}]{}{\le} \frac{1}{2} \Vert y - v\Vert_{\infty}
+            .\end{salign*}
+            Damit ist $g$ auf $V_0$ eine Kontraktion und hat damit mit Satz \ref{satz:banach-fix}
+            genau einen Fixpunkt $y^{*}$, d.h.
+            \[
+                y^{*}(t) = g(y^{*})(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{*}(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
+            .\] Damit ist $y^{*}(t)$, $t \in I_{\epsilon}$ eindeutige lokale Lösung der
+            AWA $y'= f(t,y)$, $y(t_0 ) = y_0$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Der Beweis liefert ein Verfahren für beliebiges $y_0$ und $t \in I_{\epsilon}$:
+            \begin{align*}
+                y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
+                \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
+            .\end{align*}
+        \item Ohne die Forderung der Lipschitz-Stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
+            (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
+            immer noch.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\end{document}

ana19.tex

@@ -0,0 +1,431 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Globale Stabilität}
+
+\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]
+	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ existieren, sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
+		\[
+			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+		\]
+	eine globale Lösung $v(t)$ hat, für welche gilt:
+		\[
+			\norm{v(t) -y(t)} \leq Ae^{-\alpha (t-t_{*})} \norm{w_{*}}, \ \ \ t \geq t_{*}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Monotone AWA]
+	Die Funktion $f(t,x)$ heißt \underline{stark monoton} falls ein $\lambda > 0$  existiert, sodass für alle $(t,x), (t,y) \in D$ gilt:
+		\[
+			-\left( f(t,x) - f(t,y), x-y \right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
+	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen der AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
+	Zusatz: Gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
+		\label{satz:global-stabil}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Lösungen der AWA
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
+				\]
+				und der gestörten AWA
+				\[
+					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+				\]
+				existieren global und sind eindeutig. \\
+				Da $f$ Lipschitz-stetig ist gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x)} \leq \norm{f(t,x) - f(t,0)} + \norm{f(t,0)} \leq L\norm{x} + \norm{f(t,0)}.
+				\end{salign*}
+				Für die Lösung $y(t)$ gilt:
+				\begin{salign*} 
+					y(t) &= y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f(s,y(s)) \d{s} 
+				\intertext{und damit}
+					\norm{y(t)} &\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,y(s))} \d{s} \\
+					&\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} L \norm{y(s)} \d{s} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,0)} \d{s} 
+				\intertext{$\norm{f(s,0)}$ stetig auf $[t,t_{0}]$, also gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein $M_{t} > 0$ sodass für alle $s \in [t_{0},t]$ gilt $\norm{f(s,0)} \leq M_{t}$ und damit:}
+					&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \norm{y(s)} \d{s} + \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right|
+				\end{salign*}
+				Mit dem Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ folgt:
+				\[
+					\norm{y(t)} \leq e^{L(t-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right| \right).
+				\]
+				Somit liefern der Satz von Peano und der Fortsetzungssatz, dass $y(t)$ auf dem maximalen Existenzintervall $I_{\max} = [t_{0},t_{\max})$ existiert, wobei entweder $t_{\max} = \infty$ gilt, oder $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $. \\
+				Wir führen $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $ zum Widerspruch. Bereits gezeigt wurde, dass gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} &\leq e^{L(t-t_{0})}\left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0} \right| \right) \leq e^{L(t_{\max}-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t_{\max}}\left| t_{\max} -t_{0} \right| \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt für $t \to t_{\max}$. Dies ist ein Widerspruch, also gilt bereits $t_{\max} = \infty$. Damit existiert $y(t)$ für $t \in [t_{0},\infty)$.
+		
+		\item 	$y(t)$ ist exponentiell stabil. Dafür gilt es zu zeigen, dass für $t\geq t_{*}$:
+				\[
+					\norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\]
+				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
+				\begin{align*}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
+				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
+				\end{align*}
+				Ferner gilt:
+				\begin{align*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left(e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2}\right) = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
+				\end{align*}
+				Woraus wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
+					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})}^{2} \\
+					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})} \\
+					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\end{salign*}
+		
+		\item 	$y(t)$ ist gleichmäßig beschränkt falls $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$. Denn: \\
+				Es gilt:
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
+				\]
+				Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus:
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
+				\]
+				Außerdem gilt
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2}
+				\]
+				und aufgrund der Monotonie:
+				\[
+					 \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
+				\]
+				Somit können wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
+					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
+					&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt
+				\begin{salign*}
+					& \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} - \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} \\
+					\implies \ \ & \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \norm{f(t,0)}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Multiplikation mit $e^{\lambda(t-t_{0})}$ liefert:
+				\begin{salign*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left( e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2}\right) = e^{\lambda(t-t_{0})} \left( \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \right) \leq \frac{1}{\lambda} e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{f(t,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt:
+				\begin{salign*}
+					\int_{t_{0}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{y(s)}^{2}\right) \d{s} = e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2} - \norm{y(t_{0})}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s}
+				\end{salign*}
+				und ferner sogar
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} &\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s} \\
+					&\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} +\frac{1}{\lambda} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Wir halten fest:
+				\begin{salign*}
+					e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s} = e^{-\lambda(t-t_{0})}\left( \frac{1}{\lambda}e^{\lambda(t-t_{0})} -\frac{1}{\lambda}\right) \leq \frac{1}{\lambda}.
+				\end{salign*}
+				Somit können wir schließen:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} \leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda^{2}} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+
+
+\section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}
+
+\begin{definition}[Lineare AWA]
+	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine lineare AWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			y'(t) &= A(t)y(t) + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
+			y(t_{0}) &= y_{0}.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Lösung einer linearen AWA]
+	Seien $A \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
+		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
+	\end{enumerate}
+	\label{satz:lineare-awa}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Der Satz von Peano liefert die Existenz eines $T >0$ sodass eine lokale Lösung $y \colon [t_{0},t_{0}+T] \to \R^{n}$ der linearen AWA existieren, für welche gilt ($t \in [t_{0},t_{0}+\infty]$):
+				\begin{salign*}
+					& y(t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left( A(s)y(s) + b(s)\right) \d{s} \\
+					\implies \ \ & \norm{y(t)} \leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \left( \norm{A(s)}\cdot\norm{y(s)} + \norm{b(s)}\right) \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Das Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ liefert für $t \in [t_{0},t_{0}+T]$:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} \leq \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} \norm{A(s)} \d{s}\right)\left(\norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}\norm{b(s)} \d{s} \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt durch ein $C(T, A(\cdot), b(\cdot)) > 0$. Nach Fortsetzungssatz ist der Graph von $y(t)$ fortsetzbar bis an den Rand von $D$. Damit existiert $y(t)$ für alle $t \geq t_{0}$. \\
+				$f(t,x)$ ist Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Denn:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x) - f(t,y)} & = \norm{A(t)(x-y)} \leq \norm{A(t)}\cdot\norm{x-y}.
+				\end{salign*}
+				Damit folgt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Picard-Lindelöf.
+		
+		\item 	Sei $A(t)$ negativ definit, dann existiert ein $\lambda > 0$ sodass:
+				\begin{salign*}
+					-\left(f(t,x) - f(t,y),(x-y)\right) = - \left(A(t)(x-y), (x-y)\right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Sei $b(t)$ beschränkt, dann gilt $\sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{f(t,0)} = \sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{b(t)} < \infty$. Damit folgt nach Satz \ref{satz:global-stabil}, dass $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil ist.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
+	Ein homogenes lineares System von DGLn ist der Form
+	\begin{equation}
+		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
+	\end{equation}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
+					\[
+						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,\dots,n\}
+					\]
+				Dann ist $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
+		\item 	Sei $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraums $H$, dann ist $\{y^{1}(t),\dots,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn:
+				\begin{itemize}
+					\item 	Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$.
+					\item 	Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt:
+							\[
+								(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right).
+							\]
+							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
+				\end{itemize}
+		
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,\dots,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
+				\[
+					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
+				\]
+				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,\dots,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind. \\
+				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
+		\item 	Analog zu 2).
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Eine Basis $\{\varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ ($e^i$ Standardbasisvektor) heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},\dots,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
+		\[
+			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = \mathbb{I}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
+	Ein inhomogenes lineare System von DGLn ist der Form
+		\[
+			y'(t) = A(t)y(t) + b(t).
+		\]
+	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für konstantes $c \in \R^{n}$ ist
+				\[
+					y_{b}(t) \coloneqq \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right)
+				\]
+				eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Systems.
+		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
+				\[
+					y(t) = y_{b}(t) + v(t),
+				\]				
+				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
+		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
+				\[
+					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
+				\]
+				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
+		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
+				\[
+					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{b}) = Aw.
+				\]
+				Also bereits $w \in H$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
+				\[
+					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(\tau) \d{\tau} \right)
+				\]
+				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
+		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
+				\[
+					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
+				\]
+				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraische Argumente zurückgreift.
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Randwertaufgaben}
+\begin{bem}
+	Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
+			& r(y(a),y(b)) = 0
+		\end{salign*}
+	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
+		\[
+			r\left( y(t_{1}),\dots,y(t_{k}) \right) = 0.
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+	Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel:
+		\[
+			y'' + y = 0
+		\]
+	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
+		\begin{salign*}
+			y_{1} = y,\ y_{2} = y', && 	\begin{cases}
+											y_{1}' = y_{2} \\
+											y_{2}' = -y_{1}
+										\end{cases}.
+		\end{salign*}
+	Dieses Problem hat die allgemeine Lösung
+		\[
+			y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).
+		\]
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWA $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWA unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
+				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWA keine Lösung.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA]
+	Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\
+			& B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Eine Lösung des inhomogenen DGL-System ist von der Form:	
+		\[
+			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
+		\]
+	Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
+		\]
+	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) lösen die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
+		\]
+	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
+		\[
+			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),\dots,\varphi^{n}(t) \right].
+		\]
+	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
+		\begin{salign*}
+			y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}.
+		\end{salign*}
+	Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt:
+		\[
+			B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g.
+		\]
+	Dies lässt sich umformen zu:
+		\[
+			B_{a}(\underbrace{\varphi^{0}(a)}_{=0} + \underbrace{\phi(a)}_{=\mathbb{I}}s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
+		\]
+	Also:
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b).
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
+	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann, wenn $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte homogene RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System 
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
+		\]
+		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
+	\glqq $\Rightarrow$\grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
+		\[
+			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n},
+		\]
+	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
+	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
+		\[
+			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
+		\]
+	Daraus folgen alle Behauptungen.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
+\end{bem}
+
+Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
+	\[
+		y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
+	\]
+Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
+Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
+Wir führen die Notationen
+	\begin{salign*}
+		f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{x}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{y}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
+	\end{salign*}
+für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
+
+\begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
+	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann, wenn die lineare RWA 
+		\begin{salign*}
+			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
+			& r_{x}'(y(a),y(b))\cdot v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))\cdot v(b) = 0
+		\end{salign*}
+	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128.
+\end{proof}
+
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+
+
+
+
+
+\end{document}

ana2.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \section{Der Funktionen-Raum \texorpdfstring{$R[a,b]$}{\textit{R[a,b]}}}
 
 \begin{definition}
-    Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
+    Eine Funktion $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
     Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls $\text{Re}(f)$ und
     $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
     Man setzt
@@ -21,7 +21,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     \begin{enumerate}
         \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
             komplexwertige Funktionen
-        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
+        \item Die Rechenregeln für das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
             Integrale, insbesondere gilt:
             \begin{align*}
                 \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\
@@ -62,7 +62,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Skalarprodukt]
-    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
+    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $\langle\cdot, \cdot \rangle\colon V \times V \to \mathbb{K}$
     heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
     \begin{enumerate}[(S1)]
         \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
@@ -150,7 +150,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 
 \begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
     Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
-    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
+    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}f$, wenn gilt
     \[
         \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
     .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:

ana20.tex

@@ -0,0 +1,349 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+    \chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
+    \section{Kurven}
+    \begin{definition}[Kurve]
+        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$). Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+            \gamma_1(t)\\
+            \vdots\\
+            \gamma_n(t)
+        \end{pmatrix}.\]
+        Dabei gilt $\gamma$ stetig $\Leftrightarrow$ $\gamma_i$ stetig $\forall i = 1,\dots, n$.
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                    \draw[->,color=blue, thick] (0.5,0.5) -- node[above left] {$v$} (1.5,1.5);
+                    \draw (0,0) -- (2,2);
+                    \node at (0.5,0.5) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0.5,0.5) {$a$};
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 1, Gerade}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                    \node at (0,0) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0,0) {$a$};
+                    \draw[->, thick] (0,0) -- node[pos=.5, above left] {$r$} (1.05,1.05);
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 2, Kreis}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.35\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+                    \begin{axis}[
+                        grid = major
+                        ]
+                        \addplot3[variable=t,mesh,samples=70,domain=0:2] (cos(360*t), { sin(360* t) }, 0.5*t);
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 3, Helix}
+            \end{subfigure}
+        \end{figure}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade in $\R^n$ durch einen Punkt $a\in \R^n$ in Richtung $v \in \R^n\setminus\{0\}$:
+            \[
+                \gamma(t) = a + tv,\; I = \R.
+            \]
+            \item Kreis in $\R^2$ um $a\in \R^2$ mit Radius $r > 0$
+            \[
+                \gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                    \cos(t)\\
+                    \sin(t)
+                \end{pmatrix},\; t\in [0, 2\pi]  
+            \]
+            \item Helix in $\R^3$ mit $r > 0, c \neq 0$.
+            \[
+                \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    r\cos(t)\\
+                    r\sin(t)\\
+                    c\cdot t
+                \end{pmatrix}
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Differenzierbarkeit]
+        \begin{enumerate}
+            \item $\gamma$ heißt stetig differenzierbar, wenn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ stetig differenzierbar sind. Dabei bezeichnet man
+            \[\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                \gamma_1'(t)\\
+                \vdots\\
+                \gamma_n'(t)
+            \end{pmatrix}\]
+            als Tangential- bzw. Geschwindigkeitsvektor.
+            \item $\gamma$ heißt regulär, wenn gilt: $\forall t\in I$ gilt $\gamma'(t)\neq 0$.
+            \item $r(t) \coloneqq \norm{\gamma'(t)}_2\colon I\to \R$ heißt Geschwindigkeit von $\gamma$.
+            \[
+                \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{|\gamma_1'(t)|^2 + \dots + |\gamma_n'(t)|^2}  
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2-1},{x^3-x}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 4: nicht injektive Kurve,\\ \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = \pm 1$.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2},{x^3}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 5: Neilsche Parabel, \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = 0$ und ist ein singulärer Punkt.}
+        \end{subfigure}
+    \end{figure}
+    \begin{bsp}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade: $\gamma(t) = a + v\cdot t$.
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    v_1\\
+                    \vdots\\
+                    v_n
+                \end{pmatrix} = v,\; r(t) = \norm{v}_2 \xRightarrow{v\neq 0} \gamma \text{ ist regulär}
+            \]
+            \item Kreis: $\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                \cos(t)\\
+                \sin(t)
+            \end{pmatrix}$.
+            \[
+                \gamma'(t) = r\begin{pmatrix}
+                    -\sin(t)\\
+                    \cos(t)
+                \end{pmatrix} \xRightarrow{r \neq 0} \gamma'(t) \neq 0\;\forall t,
+            \]
+            da $\sin$ und $\cos$ keine gemeinsamen Nullstellen haben.
+            \[
+                r(t) = \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r  
+            \]
+            \item Helix: $\gamma(t) = \left(r\cos(t), r\sin(t), ct\right)^T$
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    -r\sin(t)\\
+                    r\cos(t)\\
+                    c
+                \end{pmatrix} \neq 0\; (c \neq 0)
+            \]
+            Außerdem ist
+            \[
+                r(t) = \sqrt{r^2 + c^2} > 0  
+            \]
+            \item Kurven stellen nicht notwendig injektive Abbildungen dar.
+            \[
+                \gamma\colon \R\to \R^2,\quad \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    t^2-1\\
+                    t^3-t
+                \end{pmatrix} 
+            \]
+            Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y)\in \R^2\colon y^2 = x^2 + x^3\}$. Dabei ist $\gamma(-1) = \begin{pmatrix}
+                0\\0    
+            \end{pmatrix} = \gamma(1)$. Allerdings ist $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2-1
+            \end{pmatrix}$ bei $-1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                -2\\2
+            \end{pmatrix}$ und bei $1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                2\\2
+            \end{pmatrix}$.
+            \item Neilsche Parabel $\gamma\colon \R \to \R^2, \quad \gamma(t) = (t^2, t^3)$. Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y) \in \R^2\colon x\geq 0, y = \pm \sqrt{x^3}\}$. Es gilt $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2
+            \end{pmatrix}$ und daher insbesondere $\gamma'(0) = \begin{pmatrix}
+                0\\0
+            \end{pmatrix}$. Daher ist $\gamma(t)$ nicht regulär und $t = 0$ ist ein singulärer Punkt.
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Tangente]
+        Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$
+        \[
+            \{\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
+        \]
+    \end{definition}
+    \section{Die Bogenlänge}
+    Sei $\gamma\colon I \to \R^n$ eine stetige Kurve. Sei $\mathcal{Z} = \{t_0,t_1,\dots, t_M\},\;t_i\in I$ eine Partition des Intervalls $I$. $\mathcal{Z}$ definiert ein Sehnenpolygon von $\gamma$ mit Ecken $\gamma(t_0),\dots, \gamma(t_M)$ der Länge 
+    \[
+        S(\mathcal{Z})\coloneqq \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})}_2,\; S(\mathcal{Z})\in \R.
+    \]
+    Sei $\mathcal{Z}^*$ eine weitere Partition des Intervalls $I$, die aus $z$ durch Hinzunahme weiterer Teilungspunkte entsanden ist, dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq S(\mathcal{Z})$.
+    Betrachte Teilintervall $[t_0,t_1]$ und sei $t_0 = s_0 < s_1 < \dots < s_K = t_1$, dann ist
+    \[
+        \norm{\gamma(t_1) - \gamma(t_0)} = \norm{\sum_{i = 1}^{K} \gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \leq \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \implies S(\mathcal{Z}) \leq S(\mathcal{Z}^*).  
+    \]
+    Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$
+    \begin{definition}[Rektifizierbarkeit]
+        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \coloneqq \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
+        \[
+            \max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon
+        \]
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}[Lipschitz-stetige Kurven]
+        Sei $\gamma\colon I\to \R$ Lipschitz-stetig mit $|I| < \infty$, dann gilt für alle Zerlegungen $\mathcal{Z}$ von $I$:
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) = \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \oldstackrel{\gamma \text{ L-stetig}}{\le} \sum_{i = 1}^{M} L\cdot |t_i - t_{i-1}| = L\cdot |I|  
+        \]
+    Also ist $\gamma$ rektifizierbar.
+    \end{bsp}
+    \begin{satz}[Kurvenlänge stückweiser $C^1$-Kurven]
+        Sei $\gamma\in C^0([a,b],\R^n)$ eine stetige Kurve mit $[a,b]$ kompakt, $\gamma$ stückweise $C^1$, d.h. $\exists$ Zerlegung $a = s_0 < s_1 <\dots < s_M = b$ mit 
+        \[
+            \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
+        \]
+        Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
+        Insbesondere hat der Graph einer $C^1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
+     \end{satz}
+     \begin{proof}
+         Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt
+         \begin{salign*}
+            S(\mathcal{Z}) &\leq S(\mathcal{Z}^*)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})}\\
+            &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i = 1}^{K}\norm{\int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t)\d t}\\
+            &\stackrel{\triangle-\text{UGl.}}{\le} \sum_{i = 1}^{K}\int_{x_{i-1}}^{x_i} \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t 
+        \end{salign*}
+        Also ist $\gamma$ rektifizierbar und $S(\gamma) \leq \int_a^b \norm{y'(t)}\d t$.
+        Z.Z. $\forall \epsilon > 0\; \exists$ Zerlegung mit 
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon.  
+        \]
+        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \quad \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
+        ($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich 
+        \begin{salign*}
+            S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) + (\gamma'(t) - \varphi(t))\d t}\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\gamma'(t) - \varphi(t)) \d t}\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \frac{\epsilon}{2(b-a)} |t_i-t_{i-1}|\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon
+        \end{salign*}
+        Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$.
+     \end{proof}
+     \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+        \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                \draw[color=black] (1.5,0) -- node[below] {$r$} (0,0) -- node[below] {$r$} (200:1.5);
+                \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4] node[pos=0.45, below] {$\varphi$};
+                \draw[color=blue] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] node[near start, right] {$\gamma$};
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 1: Kreisbogen}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
+                    \addplot[blue, domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
+                    \node[blue] at (5.9,1) {$\gamma$};
+                    \draw (3.14,1) circle [radius=1];
+                    \node at (3.14,2) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 2: Zykloide}
+        \end{subfigure}
+     \end{figure}
+     \begin{bsp}
+         \begin{enumerate}
+             \item Kreisbogen: $\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                 r\cos(t)\\
+                 r\sin(t)\\
+             \end{pmatrix},\; \gamma \in C^\infty([0,\varphi], \R^2),\; r > 0,\; \varphi > 0$ fest. Es gilt $S(\gamma) = \int_0^\varphi\norm{\gamma'(t)}_2 \d t = \int_0^\varphi \norm{\begin{pmatrix}
+                 -r\sin(t)\\ r\cos(t)
+             \end{pmatrix}}_2 \d t = \int_0^\varphi r\d t = r\varphi$. Also ist der Umfang des Einheitskreises genau $\int_0^{2\pi} \underbrace{r}_{=1} \d t = 2\pi$.
+             \item Zykloide $\gamma\colon [0,2\pi] \to \R^2,\; r(t) = \begin{pmatrix}
+                 t-\sin(t)\\1-\cos(t)
+             \end{pmatrix}$.
+             Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                 1 - \cos(t)\\\sin(t)
+             \end{pmatrix}$ und daher
+             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)$. Insgesamt gilt also
+             \[
+                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
+                \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]
+         \end{enumerate}
+     \end{bsp}
+     \section{Parametertransformationen}
+     \begin{definition}[Parametertransformation]
+        \begin{enumerate}
+            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup +\infty)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
+            sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$.
+            Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. 
+            \item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$).
+            \item Die Parametertransformation $\varphi\colon [\alpha,\beta] \to [a,b]$ heißt orientierungstreu (oder orientierungserhaltend), wenn $\varphi$ streng monoton wächst; $\varphi$ heißt orientierungsumkehrend, wenn $\varphi$ streng monoton fällt.
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{bem}
+        \begin{enumerate}
+            \item Falls $\varphi$ eine $C^1$-Parametertransformation ist, dann gilt \[\varphi'(t) \neq 0,\;\forall t\in I,\]d.h. $\varphi$ ist ein Diffeomorphismus. Ferner heißt $\varphi$ orientierungstreu, falls $\varphi'(t) > 0$ und orientierungsumkehrend, falls $\varphi'(t) < 0$.
+            \item Die Bogenlänge $S(\gamma)$ ändert sich nicht beim Umparametrisieren: Seien $\varphi, \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar, $\gamma\in C^1([a,b], \R^n)$. Dann gilt für die Bogenlänge 
+            \begin{salign*}
+                S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\
+                &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\
+                &= \begin{cases}
+                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                \end{cases}\\
+                &\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=}
+                \begin{cases}
+                    \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\
+                    -\int_b^a \norm{\gamma'(t)} \d t &\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\
+                \end{cases}\\
+                &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\
+                &= S(\gamma)
+            \end{salign*}
+            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0 \ \forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
+            \[
+                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S\left(\gamma(t)\big|_{[a,t]}\right)\right).
+            \]
+            Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\]
+            \begin{proof}
+                Es gilt $\sigma \in C^1([a,b];\;[0,S(\gamma)])$ mit $\sigma'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$. Daher ist $\sigma$ streng monoton wachsend und bijektiv. Wegen Satz \ref{umkehrfunktion} folgt 
+                \[
+                    \underbrace{\sigma^{-1}}_{\eqqcolon \varphi} \in C^1([0,S(y)];\; [a,b]),\; (\sigma^{-1})'(x) = \varphi'(x) = \frac{1}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}} > 0.
+                \]
+                Also ist $\varphi$ streng monoton wachsend und daher muss $\varphi$ orientierungstreu sein. Für  \[\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n,\quad \beta \coloneqq \gamma \circ \varphi\] gilt \[\beta'(x) \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \gamma'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) = \frac{\gamma'(\varphi(x))}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}}.\] Also erhalten wir $\norm{\beta'(x)} = 1\;\forall x\in [0,S(\gamma)]$ und damit $S\left(\beta|_{[0,x]}\right) = \int_0^x \norm{\beta'(s)}\d s = x$.
+            \end{proof}
+        \end{enumerate}
+    \end{bem}
+
+    \begin{bsp}
+        Umparametrisierung auf Bogenlänge einer Zykloide: Es gilt $\gamma(t) = (t-\sin t, 1-\cos t)^T$ und damit
+        \begin{align*}
+            \norm{\gamma'(t)} &= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right), \qquad 0\le t \le 2\pi\\
+            \implies \norm{\gamma'(t)} &> 0 \qquad \text{für }  2\varepsilon \le t \le 2\pi-2\varepsilon, \ \varepsilon > 0
+        \end{align*}
+        Betrachte also $\gamma \colon [2\varepsilon, 2\pi-2\varepsilon] \to \R^2$. Wir definieren
+        \begin{salign*}
+            \sigma(t) &= S\left(\gamma\big|_{[2\varepsilon,t]}\right)\\
+            &= \int_{2\varepsilon}^t \norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \\
+            &= 2\int_{2\varepsilon}^t \sin\left(\frac{\tau}{2}\right) \d \tau \\
+            &\stackrel{\substack{s=\tau/2\\\mathrm{d} s=\mathrm{d}\tau/2}}{=} 4\int_{\varepsilon}^{t/2} \sin s \d s\\
+            &= -4\cos s\big|_{\varepsilon}^{t/2}
+             = 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)
+        \end{salign*}
+        Somit gilt $\sigma \colon [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon] \to [0,8\cos\varepsilon]$. Ziel:
+        \begin{align*}
+            \varphi \colon [0,8\cos\varepsilon] &\to [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon]\\
+            s &\mapsto \varphi(s)=t
+        \end{align*}
+        Dazu setzen wir $\varphi = \sigma^{-1}$ und bestimmen die Umkehrfunktion von $\sigma$
+        \begin{align*}
+            s &= 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)\\
+            \implies \cos\frac{t}{2} &= \cos\varepsilon - \frac{s}{4}\\
+            \implies t &= \underbrace{2 \arccos\left(\cos\varepsilon-\frac{s}{4}\right)}_{\varphi\mathrlap{(s), \ s \in [0,8\cos\varepsilon]}}
+        \end{align*}
+        Insgesamt erhalten wir $\beta(s) = \gamma(\varphi(s))$.
+    \end{bsp}
+\end{document}

ana21.tex

@@ -0,0 +1,263 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Kurvenintegrale}
+
+\begin{definition}[Integrationsweg]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt Integrationsweg, falls $\gamma$ stetig und stückweise eine $C^1$-Abbildung ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Skalares Kurvenintegral]
+    Sei $D \subset \R^n, \ \gamma \colon [a,b] \to D$ ein Integrationsweg und $f\colon D \to \R$ stetig. Dann heißt
+    \[\int_\gamma f \d s \coloneqq \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \norm{\gamma'(t)} \d t\]
+    das skalare Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$. Dabei heißt $\d s = \norm{\gamma'(t)} \d t$ das skalare Bogenelement von $\gamma$ und $f$ wird \underline{Skalarfeld} genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f \equiv 1$: Das Kurvenintegral $\int_\gamma \d s = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t = S(\gamma)$ entspricht der Länge von $\gamma$.
+        \item Dichtefunktion $\rho(s)$:
+        \begin{align*}
+            \rho(\gamma(t)) &: \text{ Dichte verteilt auf } \gamma(t)\\
+            \int_\gamma \rho(s) \d s \eqqcolon \mu(\gamma) &: \text{ Gesamtmasse von } \gamma
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Das Kurvenintegral ist linear:
+        \[\int_\gamma (\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2) \d s = \lambda_1 \int_\gamma f_1\d s + \lambda_2 \int_\gamma f_2 \d s\]
+        \item Es gilt die Abschätzung
+        \begin{align*}
+            \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
+            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t \\
+            &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
+        \end{align*}
+        \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            \int_{\gamma\circ\varphi}f \d s &= \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\gamma(\varphi(s))} \d s \\
+            &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)} \d s \\
+            &= \begin{cases}
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) > 0 \\
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\\d t = \varphi'(s)\d s}}{=}
+            \begin{cases}
+                 \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) > 0 \\
+                -\int_b^a f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &= \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_\gamma f \d s
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Vektorfeld]
+    Ein Vektorfeld $F$ auf $D\subset \R^n$ ist eine Abbildung von $D$ nach $\R^n$, d.h. jedem $x\in D$ wird ein Vektor $F(x) \in \R^n$ zugeordnet.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld
+        \[W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \quad W(x,y) \coloneqq \frac{1}{\norm{(x,y)}_2^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\]
+        \item Gravitationsfeld
+        \[G\colon \R^3\setminus \{0\} \to \R^3, \quad G(x,y,z) \coloneqq -\frac{1}{\norm{(x,y,z)}_2^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)),
+                    blue, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-y/(x^2+y^2)}, v={x/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x)},{\r*cos(x)}); % polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 1: Windungsfeld}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)), 
+                    red, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-x/(x^2+y^2)}, v={-y/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x+180/(20*\r))},{\r*cos(x+180/(20*\r))}); %polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 2: Gravitationsfeld bei $z=0$.}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Vektorielles Kurvenintegral]
+    Sei $\gamma\colon [a,b] \to D\subset \R^n$ ein Integrationsweg und $F\colon D\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Dann ist das (vektorielle) Kurvenintegral von $F$ längs $\gamma$ definiert durch
+    \[\int_\gamma F = \int_\gamma F\d{\vec s} \coloneqq \int_a^b \underbrace{\left(F(\gamma(t)), \gamma'(t)\right)}_{\text{Skalarprodukt}} \d t = \int_a^b \sum_{i=1}^n F_i(\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) \d t\]
+    Alternative Schreibweise: $\int_\gamma F = \int_\gamma F_1\d{x_1} + \dots + F_n\d{x_n} $
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Kurvenintegral des Windungsfelds $W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \ W(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x  \end{pmatrix}$ längs $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \ \gamma \colon [0,2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$.
+    \begin{align*}
+        \int_\gamma W &= \int_\gamma -\frac{y}{x^2+y^2}\d x + \frac{x}{x^+y^2}\d y\\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(-\frac{\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t) + \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right) \d t \\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(\sin^2t+\cos^2t\right) \d t = 2\pi
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Das Kurvenintegral ist linear: $$\int_\gamma (\lambda_1F_1+\lambda_2F_2)=\lambda_1\int_\gamma F_1+\lambda_2\int_\gamma F_2$$
+        \item
+        Standard-Abschätzung: $$\left|\int_\gamma F \right|=\left|\int_a^b\bigl(F(\gamma(t)),\gamma'(t)\bigr)\, \d t \right|\leq \sup_{t\in [a,b]}\norm{F(\gamma(t))}\cdot S(\gamma)$$
+        \item
+        Invarianz unter orientierungstreuen $C^1$-Parametertransformationen. Sei $\varphi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b]$ eine $C^1$-Parametertransformation mit $\varphi'(s)>0,\ \forall s\in [\alpha,\beta]$ ($\Longleftrightarrow$ orientierungstreu). Dann gilt \begin{salign*}
+            \int_{\gamma \circ \varphi}F&=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\frac{\d}{\d s}\gamma(\varphi(s)) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s))\cdot \frac{\d \varphi}{\d s}(s) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s)) \right)\frac{\d \varphi}{\d s}(s) \d s\\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\ \d t=\varphi'(s)\d s}}{=}\int_a^b\bigl(F(t),\gamma'(t)\bigr)\d t\\
+            &=\int_\gamma F.
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gebiet]
+    $U\subset \R^n$ heißt Gebiet, falls $U$ offen ist und wegzusammenhängend, d.h. $\forall \,x,y\in U$ existiert $\gamma \in C^0([a,b],U)$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $U\subset \R^n$ offen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}
+        \item 
+        $\forall \,x,y\in U$ existiert ein Integrationsweg $\gamma \colon [a,b]\to U$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+        \item
+        $U$ ist wegzusammenhängend.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Sei $U=K_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\, \cup \, K_1\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$. $U$ ist kein Gebiet, denn es existiert kein stetiger Weg von $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ nach $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $U$.
+        \item
+        $U\subset \R$ Gebiet $\Longleftrightarrow$ $U$ offenes Intervall
+    \end{enumerate} 
+\end{bsp}
+
+\section{Potential}
+
+\begin{definition}[Geschlossene Kurve]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt \underline{geschlossen}, falls $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Potential]
+    Sei $D\subset \R^n$ und $F\in C^0(D,\R^n)$ ein stetiges Vektorfeld. $\varphi \in C^1(D,\R)$ heißt \underline{Potential} oder \underline{Stammfunktion} von $F$ in $D$, falls $\nabla \varphi=F$ gilt. $F$ heißt in diesem Fall \underline{konservativ} auf $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
+    Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item F ist konservativ.
+        \item
+        $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
+        \item
+        Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
+    \end{enumerate}
+    In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
+    \label{satz:hauptsatz-1-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $F = \nabla \varphi$, $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ und $\gamma\colon [a,b] \to D$
+    geschlossener Integrationsweg. Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \int_{\gamma} F &\stackrel{\text{Def.}}{=} \int_{a}^{b} (F(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &= \int_{a}^{b} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\gamma \text{ stückweise } C^{1}}{=}
+        \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} \frac{\d}{\d t} (\varphi \circ \gamma) \d t \\
+        &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i=1}^{M} \left( \varphi(\gamma(s_i)) - \varphi(\gamma(s_{i-1})) \right) \\
+        &= \varphi(\gamma(b)) - \varphi(\gamma(a)) \\
+        &\stackrel{\gamma(b) = \gamma(a)}{=} 0
+    .\end{salign*}
+
+    (ii)$\implies$(iii): Nach Umparametrisierung gelte o.E. $[a,b] = [-1, 0] = [\alpha, \beta]$. Seien
+    $\gamma_1, \gamma_2\colon [-1,0] \to D$ Integrationswege mit gleichem Anfangs und Endpunkt, d.h.
+    $\gamma_1(-1) = \gamma_2(-1)$ und $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$. Dann betrachte
+    \begin{align*}
+        \gamma &\colon [-1, 1] \to D \\
+               t& \mapsto \begin{cases}
+                   \gamma_1(t) & t \in [-1, 0] \\
+                   \gamma_2(-t) & t \in [0, 1]
+               \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
+    \begin{salign*}
+        0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
+        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t)), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
+        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s)) \d s \\
+        &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
+    .\end{salign*}
+
+    (iii) $\implies$ (i): Fixiere $x_0 \in D$ und definiere $\varphi_0\colon D \to \R$ durch
+    $\varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma}^{} F$, wobei
+    $\gamma$ irgendein Integrationsweg von $x_0$ nach $x$ ist. Zu $x \in D$ betrachte
+    $x + h e_i \in D$ für $|h| \ll 1$. Nach Umparametrisierung gelte o.E.
+    \begin{align*}
+        &\gamma_x \colon [-1, 0] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i}\colon [-1, 1] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i} \coloneqq \begin{cases}
+            \gamma_x(t) & t \in [-1, 0] \\
+            x + t h e_i & t \in [0,1]
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial \varphi_0(x)}{\partial x_i} &= \lim_{h \to 0} \frac{\varphi_0(x + h e_i) - \varphi_0(x)}{h} \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{\gamma_{x + h e_i}} F - \int_{\gamma_x}^{} F \right) \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} \left( F(x + t h e_i), \gamma'_{x + h e_i}(t) \right)  \d t \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} ( F(\underbrace{x + t h e_i}_{\xrightarrow{h \to 0} F(x)}), h e_i )  \d t \\
+        &= \int_{0}^{1} (F(x), e_i) \d t \\
+        &= F_i(x)
+    .\end{salign*}
+    Damit ist $\varphi_0 \in C^{1}(D, \R)$ und $\nabla \varphi_0 = F$. Das zeigt (i).
+
+    Sei $\gamma$ ein Integrationsweg von $x_0 \in D$ nach $x \in D$. Dann definiere
+    \[
+        \varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma} F
+    .\]
+    Sei weiter $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$. Dann gilt wegen (i) und (ii):
+    \[
+        \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
+    .\] Damit folgt
+    \[
+        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst.}} = \varphi_0(x) + c
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana22.tex

@@ -0,0 +1,269 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:windungsfeld}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld:
+            \[
+                W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+            .\] $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $. $W$ ist
+            nicht konservativ auf $D$ weil mit $\gamma\colon [0, 2\pi] \to \R^2$,
+            $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $ ist
+            \[
+            \int_{\gamma} W = 2 \pi \neq 0
+            .\] Aber mit $D \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \mid y > 0\right\} $
+            ist
+            \[
+                \varphi(x,y) \coloneqq - \arctan\left( \frac{x}{y} \right) 
+            \] ein Potential von $W$ auf $D$, denn
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} &= -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \frac{1}{y} = - \frac{y}{x^2 + y^2} \\
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} &= \frac{x}{x^2 + y^2}
+            .\end{align*}
+            Die Existenz eines Potentials hängt also auch von $D$ ab.
+        \item Suche nach einem Potential:
+            $F\colon \R^2 \to \R^2$, $F(x,y) \coloneqq \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $.
+            Falls Potential existiert, dann gilt
+            \[
+                \varphi_0(x,y) \coloneqq \int_{\gamma} F
+            .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
+            Dann gilt
+            \begin{salign*}
+                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
+                &= xy
+            .\end{salign*}
+            Definiere $\varphi = xy$. Dann ist $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y = F_1(x,y)$
+            und $\frac{\partial \varphi}{\partial y} x = F_2(x,y)$. Also $\nabla \varphi = F$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\section{Existenz von Potentialen}
+
+Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ ein konservatives Vektorfeld. Dann existiert
+ein $\varphi \in C^2(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$, d.h. $\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} = F_i$
+für $i = 1, \ldots, n$. Da $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar, folgt
+\begin{align*}
+\frac{\partial F_i}{ \partial x_j} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_j \partial x_i}
+= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
+.\end{align*}
+
+Ist also $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ konservativ, dann gelten notwendig die \underline{Integrabilitätsbedingungen}
+\[
+\frac{\partial F_i}{\partial x_j} - \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \equiv 0 \qquad \forall i, j = 1,\ldots,n
+.\]
+Speziell für $n = 2$:
+\[
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} = \frac{\partial F_1}{\partial x_2}
+.\] Für $n = 3$:
+\[
+    \text{rot}(F) \coloneqq \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3} \\
+    \frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \\
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\end{pmatrix}  = 0
+.\]
+
+Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \[
+        W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+    .\] Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \frac{\partial W_y}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \\
+        \frac{\partial W_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( - \frac{y}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
+    .\end{align*}
+    Also gilt $\frac{\partial W_y}{\partial x} = \frac{\partial W_x}{\partial y}$ auf $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} $, aber auf $D$ existiert kein Potential
+    (vgl. \ref{bsp:windungsfeld}).
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Homotopie]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ und $\gamma_0, \gamma_1 \in C\left( [a,b], D \right) $ stetige
+    Kurven.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
+            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
+            eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
+            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ sowie
+            $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.
+
+            Für $s \in [0,1]$ sind
+            $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
+            stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
+            $\gamma_1$.
+        \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
+            \underline{frei homotop} in $D$, falls eine stetige Abbildung
+            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ existiert mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall s \in [0,1]$, d.h. für $s \in [0,1]$ ist $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
+            eine geschlossene Kurve in $D$.
+
+            $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
+            geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
+        \item Eine geschlossene Kurve heißt \underline{zusammenziehbar} in $D$, wenn sie frei homotop zu
+            einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+
+\begin{figure}[ht!]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (0,0) -- node[left] {$s$} (0,2);
+        \draw (3,0) -- (3,2);
+        \draw[red] (0,0) -- node[below, black] {$t$} (3,0);
+        \draw[blue] (0,2) -- (3,2);
+        \draw[densely dashed] (0,0.67) -- (3,0.67);
+        \draw[densely dotted] (0,1.33) -- (3,1.33);
+        \node[below] at (0.1,0) {$a$};
+        \node[below] at (2.9,0) {$b$};
+        \node[left] at (0,0.15) {$0$};
+        \node[left] at (0,1.85) {$1$};
+
+        \draw[->] (4,1) -- node[above] {$H$} (6,1);
+
+        \draw[blue] (7,0) node[below left, black] {$A$} .. controls (8,2) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2) node[above right, black] {$B$};
+        \draw[red] (7,0) .. controls (9,0) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dashed] (7,0) .. controls (8.7,0.6) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dotted] (7,0) .. controls (8.3,1.4) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+
+        \node[red ] at (9.5,0.5) {$\gamma_0$};
+        \node[blue] at (7.5,1.5) {$\gamma_1$};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Stetige Deformation von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$}
+\end{figure}
+
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:ellipse-und-kreis}
+    Ellipse: Seien $a, b > 0$.
+    \[
+        \epsilon(t) \coloneqq \begin{pmatrix} a \cos(t)\\ b \sin(t)\end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]
+    \] ist frei homotop zum Kreis
+    \[
+        K(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} 
+    \] via der Homotopie
+    \begin{align*}
+        &H\colon [0, 2\pi] \times [0,1] \to \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} \\
+        &H(t, s) \coloneqq s K(t) + (1 - s) \epsilon(t)
+    .\end{align*}
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        \Vert H(t,s) \Vert^2 &= (s + a(1-s))^2 \cos^2(t) + (s + b (1-s))^2 \sin^2(t) \\
+                             &\ge \min(1, a^2, b^2) (\cos^2(t) + \sin^2(t)) \\
+                             &= \min(1, a^2, b^2) \\
+                             &> 0
+    .\end{align*}
+    Also $H(t,s) \neq 0$ $\forall t, s$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
+    die Integrabilitätsbedingungen und seien $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
+
+    Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
+    geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt
+    \[
+    \int_{\gamma_1}^{} F = \int_{\gamma_0}^{} F
+    .\]
+    \label{satz:hauptsatz-2-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \begin{enumerate}
+        \item Für Ellipse $\epsilon(t)$ und Kreis $K(t)$ (vgl. Beispiele \ref{bsp:ellipse-und-kreis} und
+            \ref{bsp:windungsfeld}) gilt
+            \[
+                \int_{K} W = 2 \pi \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} 
+                \int_{\epsilon}^{} W = \int_{0}^{2 \pi} \frac{ab}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} \d t
+            .\] 
+            Also folgt
+            \[
+            \int_{0}^{2\pi} \frac{\d t}{a^2 \cos^2t + b^2 \sin^2 t} = \frac{2 \pi}{ab}
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\} $:
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind nicht frei homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0} W = 2 \pi \neq - 2\pi = \int_{\gamma_1}^{} W
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, \pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$, $\gamma_1$ sind nicht homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0}^{} W = \int_{0}^{\pi} 1 \d t \neq \int_{0}^{\pi} -1 \d t = \int_{\gamma_1}^{} W \d t  
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Einfach zusammenhängend]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein Gebiet. $D$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene
+    Kurve in $D$ frei homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. jede geschlossene Kurve in $D$
+    zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Sternförmig]
+    Ein Gebiet $D \subseteq \R^{n}$ heißt sternförmig,
+    wenn ein $x_1 \in D$ existiert, s.d. $\forall x \in D$ gilt:
+    \[
+        x_1 + t(x - x_1) \in D \quad \forall t \in [0,1]
+    .\] D.h. $\forall x \in D$ liegt die Verbindungsstrecke von $x_1$ nach $x$ in $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Jedes Sterngebiet ist einfach zusammenhängend.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    $H(t,s) \coloneqq x_1 + s(\gamma(t) - x_1) \in D$, $\forall t$, $\forall s \in [0,1]$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[]
+        \item Jede Kugel $K_r(a)$ ist sternförmig bezüglich $a$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item Eine gelochte Kreisscheibe $K_1(0) \setminus \{0\} $, $K_1(0) \subseteq \R^2$
+            ist kein Sterngebiet und nicht einfach zusammenhängend.
+        \item Geschlitzte Scheibe $K_1(0) \setminus \{x \in \R^2  \mid x_1 \le 0, x_2= 0\} \subseteq \R^2$
+            ist sternförmig, also einfach zusammenhängend.
+        \item Jede geschlitzte Ebene $\R^2 \setminus S_v$ mit
+            $S_v \coloneqq \{ t v | t \ge 0, \Vert v \Vert = 1\} $ ist sternförmig mit
+            Mittelpunkt $(-v)$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item $R^{n} \setminus \{0\} $ ist kein Sterngebiet, weil $0 \in$ Strecke von $-a$ nach $a$,
+            aber einfach zusammenhängend für $n \ge 3$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lemma von Poincaré]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
+    $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle die Integrabilitätsbedingunen. Dann
+    ist $F$ konservativ.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\gamma$ geschlossener Integrationsweg in $D$. Da $D$ einfach zusammenhängend, ist
+    $\gamma$ frei homotop zu einem konstanten Weg $\gamma_C$. Damit folgt
+    \[
+        \int_{\gamma} F
+        \; \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} \; \int_{\gamma_C} F
+        \; \stackrel{\text{Def.}}{=} \;
+        \int_{a}^{b} (F(\gamma_C(t)), \gamma_C'(t)) \d t = 0
+    .\] Damit folgt mit \ref{satz:hauptsatz-1-kurven}, dass $F$ konservativ.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Ende]\end{proof}
+
+\end{document}

ana3.tex

@@ -93,7 +93,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
         &= \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2
     \end{align*}
 \end{proof}
-\begin{satz}[Besselsche Umgebung]\label{bessel}
+\begin{satz}[Besselsche Ungleichung]\label{bessel}
     Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
 \end{satz}
 \begin{proof}

ana4.tex

@@ -74,7 +74,7 @@
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
 				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
-		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
+        \item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \xrightarrow{k \to \infty} 0$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -154,7 +154,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[offene Menge]
-	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+	Eine Menge $O \subseteq \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}

ana5.tex

@@ -70,8 +70,7 @@
         \item Für $K_1(0)$ gilt
             \begin{align*}
                 \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
-                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
+                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \quad \quad \text{\glqq Einheitssphäre\grqq}
-                                & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq}
             .\end{align*}
         \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
             $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.

ana6.tex

@@ -75,7 +75,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 
 \begin{lemma}[Ungleichung von Young]
     Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
-    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$
+    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,y \in \R$$
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
@@ -185,7 +185,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 \end{bem}
 
 \begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
-    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$ konstruirt durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$, konstruiert durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt, eine \underline{Orhonormalbasis}.
     \begin{align*}
         b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
         \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\

ana7.tex

@@ -136,7 +136,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     \label{lemma:spektralnorm}
     Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\bar{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt
     $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
-    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$
+    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{|\lambda|, \lambda\in \sigma(A)\}$
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}

ana8.tex

@@ -38,6 +38,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
+    \label{kor:stoerung}
     Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
     $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
     ist $\tilde A$ regulär.

analysisII.tex

@@ -36,5 +36,14 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana11.tex}
 \input{ana12.tex}
 \input{ana13.tex}
+\input{ana14.tex}
+\input{ana15.tex}
+\input{ana16.tex}
+\input{ana17.tex}
+\input{ana18.tex}
+\input{ana19.tex}
+\input{ana20.tex}
+\input{ana21.tex}
+\input{ana22.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -26,9 +26,20 @@
 \RequirePackage{wasysym}
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 \RequirePackage{stackrel}
+\RequirePackage{subcaption}
 
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@@ -250,3 +261,5 @@
 
 \ExplSyntaxOff
 
+% add one equation tag to the current line to otherwise unnumbered environment
+\newcommand{\tageq}{\stepcounter{equation}\tag{\theequation}}