christian
/
uni
1
0
Fork 0
Koodi Ongelmat 0 Pull-pyynnöt 0 Julkaisut 0 Wiki Activity
Selaa lähdekoodia

ana23

master
christian 6 vuotta sitten
vanhempi
22d8222ad2
commit
3a940d2005
2 muutettua tiedostoa jossa 288 lisäystä ja 0 poistoa
Jaettu näkymä
Diff Options
Show Stats Download Patch File Download Diff File
  1. BIN
      ws2019/ana/lectures/analysis23.pdf
  2. +288
    -0
      ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

BIN
ws2019/ana/lectures/analysis23.pdf Näytä tiedosto


+ 288
- 0
ws2019/ana/lectures/analysis23.tex Näytä tiedosto

@@ -0,0 +1,288 @@
\documentclass{../../../lecture}
\usepackage{pgf,tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{positioning}
\tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt}

\begin{document}

\section{Integration}

Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen
berechnen.

\subsection{Riemannintegral}

\begin{definition}[Zerlegungen]
Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
eine endliche Folge $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit
$x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder
Stützpunkte. Die Intervalle $I_k = [x_{k-1}, x_k]$ heißen
Teilintervalle. $h := \max_{k = 1\ldots n} \left| x_k - x_{k-1} \right| $ heißt
Feinheit der Zerlegung.

Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt
äquidistant.

$Z(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
\end{definition}

\begin{definition}[Ober- und Untersumme]
Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d.
$|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$.

Die Riemannsche Ober- / Untersummen sind
\[
\overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
.\] bzw.
\[
\underline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \inf_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
.\]
\end{definition}

\begin{bem}
Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine
Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''}$
s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und
$h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und
$Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine
gemeinsame Verfeinerung $Z''$
\begin{align*}
(x_0, \ldots, x_n) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
(x'_0, \ldots, x'_{n'}) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
.\end{align*}
und $h'' \le \min \{h, h'\} $
\end{bem}

\begin{bem}
Seien $Z_1, Z_2$ Zerlegungen und $Z_1$ feiner als $Z_2$ ist, dann gilt
\[
\inf \{f(x) \mid x \in [a,b]\} \cdot (b-a) \le \underline{S}_{Z_2}(f) \le \underline{S}_{Z_1}(f)
\le \overline{S}_{Z_1}(f) \le \overline{S}_{Z_2}(f) \le
\sup \{f(x) \mid x \in [a,b] \} \cdot (b-a)
.\]
\end{bem}

\begin{definition}[Ober-/Unterintegral]
Das Ober- / Unterintegral von $f$ sind definiert durch
\[
\overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
\inf \{\overline{S}_Z(f) \mid z \in Z(a,b)\}
.\] bzw.
\[
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
\sup \{\underline{S}_Z(f) \mid z \in Z(a,b)\}
.\]
\end{definition}

\begin{lemma}
Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das
Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
$z_n \in Z(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
\[
\lim_{n \to \infty} \underline{S}_{z_n}
= \underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx
\le \overline{\int_{a}^{b}} dx
= \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{z_n}
.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
Rannacher.
\end{proof}

\begin{definition}[Riemann-Integral]
Sind Ober- und Unterintegral für eine beschränkte Funktion
$f \colon [a,b] \to \R $ gleich, so heißt der gemeinsame Wert das
(bestimmte) Riemann-Integral für $f$ über $I = [a,b]$
\begin{align*}
\underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx
= \overline{\int_{a}^{b} } f(x) dx
= \int_{a}^{b} f(x) dx
.\end{align*}
Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar.
\end{definition}

\begin{satz}[Riemannsches Integrabilitätskriterium]
Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b] \to \R$ ist
genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls
$\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung
$z \in Z(a,b)$, s.d.
$|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$.
\end{satz}

\begin{proof}
ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{definition}[Riemann-Summen]
Sei $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
$[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$.
\[
RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
.\] heißt eine Riemann-Summe von $f$.
\end{definition}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\def\a{1.7}
\def\b{5.7}
\def\c{3.7}
\def\L{0.5} % width of interval

\pgfmathsetmacro{\Va}{2*sin(\a r+1)+4} \pgfmathresult
\pgfmathsetmacro{\Vb}{2*sin(\b r+1)+4} \pgfmathresult
\pgfmathsetmacro{\Vc}{2*sin(\c r+1)+4} \pgfmathresult

\draw[->,thick] (-0.5,0) -- (7,0) coordinate (x axis) node[below] {$x$};
\draw[->,thick] (0,-0.5) -- (0,7) coordinate (y axis) node[left] {$y$};
\foreach \f in {1.7,2.2,...,6.2} {\pgfmathparse{2*sin(\f r+1)+4} \pgfmathresult
\draw[fill=blue!20] (\f-\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- (\f-\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- cycle;}
\node at (\a-\L/2,-5pt) {\footnotesize{$a=x_0$}};
\node at (\b+\L/2+\L,-5pt) {\footnotesize{$b=x_n$}};
\draw[blue] (\c-\L/2,0) -- (\c-\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,0);
\draw[dashed] (\c,0) node[below] {\footnotesize{$\xi_i$}} -- (\c,\Vc) -- (0,\Vc) node[left] {$f(\xi_i)$};
\node at (\a+5*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_{i-1}$}};
\node at (\a+7*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_i$}};
\node at (\a+5*\L,-5pt) {\footnotesize{$x_{i+1}$}};
\draw[blue,thick,smooth,samples=100,domain=1.45:6.2] plot(\x,{2*sin(\x r+1)+4});
\filldraw[black] (\c,\Vc) circle (.03cm);
\end{tikzpicture}
\caption{Riemannsche Summen}
\end{figure}

\begin{satz}
Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau
dann R-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $z_n \in Z(a,b)$ mit
$h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen
zu dem selben Limes konvergieren.
\[
RS_{z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx
.\]
\end{satz}

\begin{proof}
,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ z \in Z(a,b)$ mit
Feinheit $h$. Dann
\[
\underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f)
.\] Aus der Konvergenz
$|\underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)| \to 0$, $n \to \infty$
$\stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} RS_z \xrightarrow{n \to \infty}
\int_{a}^{b} f(x) dx$.

,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben
Limes. Sei $ z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.

Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$
s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und
$\overline{S}_Z(f) \le \overline{RS}_Z(f) + \epsilon$.

Dann
\begin{align*}
\underbrace{\underline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0} \int_{a}^{b} f(x) dx} - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)
\le \overline{S}_Z(f)
\le
\underbrace{\overline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0}
\int_{a}^{b} f(x) dx} + \epsilon
.\end{align*} Wegen $\epsilon$ beliebig folgt:
\[
\left| \underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)\right|
\xrightarrow{h \to 0} 0
.\]
\end{proof}

\begin{satz}
Eine stetige Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist
Riemann-integrierbar.
\end{satz}

\begin{proof}
$I = [a,b]$ kompakt $\implies f$ auch gleichmäßig
stetig $\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_\epsilon >0$, s.d.
$\forall x, x' \in I$ mit $|x - x'| < \delta_\epsilon$ gilt
$|f(x) - f(x')| < \epsilon$.

Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit Feinheit $h < \delta_\epsilon$, dann
\begin{align*}
|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)|
&\le \sum_{k=1}^{n}
\underbrace{\left| \sup_{x \in I_k} f(x) - \inf_{x \in I_k} f(x)\right|}_{< \epsilon} \cdot (x_k - x_{k-1}) \\
&< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = \epsilon (b-a)
.\end{align*}
$\implies |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| \to 0$, $h \to 0$ \\
$\implies f$ Riemann-integrierbar.
\end{proof}

\begin{satz}
Eine beschränkte monotone Funktion $f \colon I = [a,b] \to \R$
ist Riemann-integrierbar.
\end{satz}

\begin{proof}
Sei $f$ monoton steigend. Dann gilt $f(a) \le f(x) \le f(b)$, $x \in I$.

Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$.
\begin{align*}
\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)
= \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) (f(x_k) - f(x_{k-1}))
\le h \sum_{k=1}^{n} \left( f(x_k) - f(x_{k-1}) \right)
= h (f(b) - f(a))
.\end{align*}
Sei $\epsilon > 0$, dann wähle
$h_\epsilon := \frac{\epsilon}{f(b) - f(a)}$ ($f(b) \neq f(a)$, sonst
trivial). Dann gilt für $ h < h_{\epsilon}$
\[
\left| \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \right| < \epsilon
.\]
\end{proof}

\begin{bsp}
Nicht alle beschränkte Funktionen $f\colon I \to \R$ sind
R.-integrierbar, z.B.:
\[
f(x) = \begin{cases}
0 & x \in \Q \\
1 & x \in \R \setminus \Q
\end{cases}
.\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$.
\end{bsp}

\subsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals}

\begin{satz}[Additivität]
\begin{enumerate}
\item Eine (beschr.) R.-integrierbare Funktion
$f\colon [a,b] \to \R$ ist auch über jedem
Teilintervall $[a', b'] \subset [a,b]$ R.-integrierbar. Insb.
gilt für $c \in (a,b)$:
\[
\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx +
\int_{b}^{c} f(x) dx \quad (*)
.\]
\item Ist eine (beschr.) Funktion $f \colon [a,b] \to \R$
für ein $c \in (a,b)$ über $[a,c]$ und $[c,b]$
R.-integrierbar, dann ist $f$ über $[a,b]$ integrierbar
und es gilt $(*)$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
ohne Beweis.
\end{proof}

\begin{korrolar}
Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$, welche
bezüglich einer Zerlegung $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ von
$I$ stückweise stetig ist oder stückweise monoton ist,
ist über $I$ Riemann-integrierbar und es gilt
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) dx
.\end{align*}
\end{korrolar}

\end{document}

Write Preview
Loading…
Peruuta
Tallenna