ana23

ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+ 
+\usepackage{pgf,tikz}
+\usepackage{pgfplots}
+\usetikzlibrary{intersections}
+\usetikzlibrary{arrows}
+\usetikzlibrary{positioning}
+\tikzset{>=stealth',inner sep=0pt,outer sep=2pt}
+
+\begin{document}
+
+\section{Integration}
+
+Es sei $f\colon [a,b] \to \R$ eine Funktion. Ziel: Fläche unter dem Graphen
+berechnen.
+
+\subsection{Riemannintegral}
+
+\begin{definition}[Zerlegungen]
+    Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
+    eine endliche Folge  $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit
+    $x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder
+    Stützpunkte. Die Intervalle $I_k = [x_{k-1}, x_k]$ heißen
+    Teilintervalle. $h := \max_{k = 1\ldots n} \left| x_k - x_{k-1} \right| $ heißt
+    Feinheit der Zerlegung.
+
+    Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt
+    äquidistant.
+
+    $Z(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Ober- und Untersumme]
+    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d.
+    $|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$.
+
+    Die Riemannsche Ober- / Untersummen sind
+    \[
+        \overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
+    .\] bzw.
+    \[
+        \underline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \inf_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
+    .\]
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine
+    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''}$
+    s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und
+    $h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und
+    $Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine 
+    gemeinsame Verfeinerung $Z''$
+    \begin{align*}
+        (x_0, \ldots, x_n) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
+        (x'_0, \ldots, x'_{n'}) &\subset (x''_0, \ldots, x''_{n''}) \\
+    .\end{align*}
+    und $h'' \le \min \{h, h'\} $
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+    Seien $Z_1, Z_2$ Zerlegungen und $Z_1$ feiner als $Z_2$ ist, dann gilt
+    \[
+        \inf \{f(x)  \mid x \in [a,b]\} \cdot (b-a) \le \underline{S}_{Z_2}(f) \le \underline{S}_{Z_1}(f)
+        \le  \overline{S}_{Z_1}(f) \le \overline{S}_{Z_2}(f) \le
+        \sup \{f(x)  \mid x \in [a,b] \} \cdot (b-a)
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Ober-/Unterintegral]
+    Das Ober- / Unterintegral von $f$ sind definiert durch
+    \[
+        \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
+        \inf \{\overline{S}_Z(f)  \mid z \in Z(a,b)\} 
+    .\] bzw.
+    \[
+        \underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx :=
+        \sup \{\underline{S}_Z(f)  \mid z \in Z(a,b)\} 
+    .\]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das
+    Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
+    $z_n \in Z(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
+    \[
+    \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{z_n} 
+    = \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
+    \le \overline{\int_{a}^{b}} dx
+    = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{z_n}
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Riemann-Integral]
+    Sind Ober- und Unterintegral für eine beschränkte Funktion
+    $f \colon [a,b] \to \R $ gleich, so heißt der gemeinsame Wert das
+    (bestimmte) Riemann-Integral für $f$ über $I = [a,b]$
+     \begin{align*}
+         \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
+         = \overline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
+         = \int_{a}^{b} f(x) dx 
+    .\end{align*}
+    Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Riemannsches Integrabilitätskriterium]
+    Eine beschränkte Funktion $f\colon  [a,b] \to \R$ ist
+    genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls
+    $\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung
+    $z \in Z(a,b)$, s.d.
+    $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Riemann-Summen]
+    Sei $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
+    $[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$.
+    \[
+        RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
+    .\] heißt eine Riemann-Summe von $f$.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[h!]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \def\a{1.7}
+    \def\b{5.7}
+    \def\c{3.7}
+    \def\L{0.5} % width of interval
+
+    \pgfmathsetmacro{\Va}{2*sin(\a r+1)+4} \pgfmathresult
+    \pgfmathsetmacro{\Vb}{2*sin(\b r+1)+4} \pgfmathresult
+    \pgfmathsetmacro{\Vc}{2*sin(\c r+1)+4} \pgfmathresult
+
+    \draw[->,thick] (-0.5,0) -- (7,0) coordinate (x axis) node[below] {$x$};
+    \draw[->,thick] (0,-0.5) -- (0,7) coordinate (y axis) node[left] {$y$};
+    \foreach \f in {1.7,2.2,...,6.2} {\pgfmathparse{2*sin(\f r+1)+4} \pgfmathresult
+    \draw[fill=blue!20] (\f-\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- (\f-\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult) -- (\f+\L/2,\pgfmathresult |- x axis) -- cycle;}
+    \node at (\a-\L/2,-5pt) {\footnotesize{$a=x_0$}};
+    \node at (\b+\L/2+\L,-5pt) {\footnotesize{$b=x_n$}};
+    \draw[blue] (\c-\L/2,0) -- (\c-\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,\Vc) -- (\c+\L/2,0);
+    \draw[dashed] (\c,0) node[below] {\footnotesize{$\xi_i$}} -- (\c,\Vc) -- (0,\Vc) node[left] {$f(\xi_i)$};
+    \node at (\a+5*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_{i-1}$}};
+    \node at (\a+7*\L/2,-5pt) {\footnotesize{$x_i$}};
+    \node at (\a+5*\L,-5pt) {\footnotesize{$x_{i+1}$}};
+    \draw[blue,thick,smooth,samples=100,domain=1.45:6.2] plot(\x,{2*sin(\x r+1)+4});
+    \filldraw[black] (\c,\Vc) circle (.03cm);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Riemannsche Summen}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}
+    Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau
+    dann  R-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $z_n \in Z(a,b)$ mit
+    $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen
+    zu dem selben Limes konvergieren.
+    \[
+        RS_{z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx 
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ z \in Z(a,b)$ mit
+    Feinheit $h$. Dann
+    \[
+        \underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f)
+    .\] Aus der Konvergenz
+    $|\underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)| \to 0$, $n \to \infty$
+    $\stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} RS_z \xrightarrow{n \to \infty}
+    \int_{a}^{b} f(x) dx$.
+
+    ,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben
+    Limes. Sei  $ z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.
+
+    Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$
+    s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und
+    $\overline{S}_Z(f) \le \overline{RS}_Z(f) + \epsilon$.
+
+    Dann
+    \begin{align*}
+        \underbrace{\underline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0} \int_{a}^{b} f(x) dx} - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)
+        \le \overline{S}_Z(f)
+        \le
+        \underbrace{\overline{RS}_Z(f)}_{\xrightarrow{h \to 0}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx} + \epsilon
+    .\end{align*} Wegen $\epsilon$ beliebig folgt:
+    \[
+        \left| \underline{S}_Z(f) - \overline{S}_Z(f)\right|
+        \xrightarrow{h \to 0} 0
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Eine stetige Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist
+    Riemann-integrierbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $I = [a,b]$ kompakt  $\implies f$ auch gleichmäßig
+    stetig $\implies \forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_\epsilon >0$, s.d.
+    $\forall x, x' \in I$ mit $|x - x'| < \delta_\epsilon$ gilt
+    $|f(x) - f(x')| < \epsilon$.
+
+    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit Feinheit $h < \delta_\epsilon$, dann
+    \begin{align*}
+        |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)|
+        &\le \sum_{k=1}^{n}
+    \underbrace{\left| \sup_{x \in I_k} f(x) - \inf_{x \in I_k} f(x)\right|}_{< \epsilon} \cdot (x_k - x_{k-1}) \\
+        &< \epsilon \cdot \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) = \epsilon (b-a)
+    .\end{align*}
+    $\implies |\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| \to 0$, $h \to 0$ \\
+    $\implies f$ Riemann-integrierbar.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Eine beschränkte monotone Funktion $f \colon I = [a,b] \to \R$
+    ist Riemann-integrierbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $f$ monoton steigend. Dann gilt $f(a) \le f(x) \le f(b)$, $x \in I$.
+
+    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$.
+    \begin{align*}
+        \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)
+        = \sum_{k=1}^{n} (x_k - x_{k-1}) (f(x_k) - f(x_{k-1}))
+        \le h \sum_{k=1}^{n} \left( f(x_k) - f(x_{k-1}) \right)
+        = h (f(b) - f(a))
+    .\end{align*}
+    Sei $\epsilon > 0$, dann wähle
+    $h_\epsilon := \frac{\epsilon}{f(b) - f(a)}$ ($f(b) \neq f(a)$, sonst
+    trivial). Dann gilt für $ h < h_{\epsilon}$
+    \[
+        \left| \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \right| < \epsilon
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Nicht alle beschränkte Funktionen $f\colon  I \to \R$ sind
+    R.-integrierbar, z.B.:
+    \[
+        f(x) = \begin{cases}
+            0 & x \in \Q \\
+            1 & x \in \R \setminus \Q
+        \end{cases}
+    .\] $I = [0,1]$. $\underline{S}_Z(f) = 0 \neq 1 = \overline{S}_Z(f)$.
+\end{bsp}
+
+\subsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals}
+
+\begin{satz}[Additivität]
+    \begin{enumerate}
+        \item Eine (beschr.) R.-integrierbare Funktion
+            $f\colon [a,b] \to \R$ ist auch über jedem
+            Teilintervall $[a', b'] \subset [a,b]$ R.-integrierbar. Insb.
+            gilt für $c \in (a,b)$:
+            \[
+                \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx +
+                \int_{b}^{c} f(x) dx \quad (*)
+            .\]
+        \item Ist eine (beschr.) Funktion $f \colon [a,b] \to \R$
+            für ein $c \in (a,b)$ über $[a,c]$ und  $[c,b]$
+            R.-integrierbar, dann ist  $f$ über  $[a,b]$ integrierbar
+            und es gilt $(*)$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$, welche
+    bezüglich einer Zerlegung $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ von
+    $I$ stückweise stetig ist oder stückweise monoton ist,
+    ist über $I$ Riemann-integrierbar und es gilt
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k} f(x) dx  
+    .\end{align*}
+\end{korrolar}
+
+\end{document}