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 \theoremstyle{definition}
-\newmdtheoremenv{satz}{Satz}
-\newmdtheoremenv{lemma}{Lemma}
-\newmdtheoremenv{korrolar}{Korrolar}
-\newmdtheoremenv{definition}{Definition}
+\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
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 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}

ws2019/ana/lectures/analysis.tex

@@ -3,8 +3,13 @@
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
 
+\title{Analysis I}
+\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
+\date{WS 2019/20}
+
 \begin{document}
 
+\input{analysis1-2.tex}
 \input{analysis3.tex}
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 \end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex

@@ -0,0 +1,261 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\newpage
+\tableofcontents
+\newpage
+
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Mengen und Aussagen}
+
+\begin{definition}
+	Seien $A$ und $B$ Mengen.
+	\begin{itemize}
+		%Venn Diagramme wären schön
+		\item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\
+		$B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
+		\item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$.
+		\item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$.
+		\item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\
+		Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$
+		\item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$
+		\item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$
+		\item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$
+		\item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$
+		\item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$
+	\end{itemize}
+
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder.
+
+\end{bem}
+
+
+\subsection{Wahrheitstabellen}
+\label{sec:wahrheitstafeln}
+
+\begin{definition}
+	Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\
+	Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\
+	\begin{itemize}
+		\item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt: 
+		
+			\begin{tabular}{l|c|c|c}
+				$V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\
+				\hline 
+				w & w & w & w \\
+				w & f & f & w \\
+				f & w & f & w \\
+				f & f & f & f \\
+			\end{tabular}
+			\\
+			
+		\item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt: 
+		
+			\begin{tabular}{l|c}
+				$V$ & $\neg V$ \\
+				\hline 
+				w & f \\
+				f & w \\
+			\end{tabular} 
+			\\
+		
+		\item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist. 
+		
+			\begin{tabular}{l|c|c}
+				$V$ & $E$ & $V \implies E$ \\
+				\hline 
+				w & w & w  \\
+				w & f & f  \\
+				f & w & w  \\
+				f & f & w  \\
+			\end{tabular}
+			\\
+			
+		\item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\
+	$V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$.
+	
+			\begin{tabular}{l|c|c}
+				$V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\
+				\hline 
+				w & w & w  \\
+				w & f & f  \\
+				f & w & f  \\
+				f & f & w  \\
+			\end{tabular}
+			\\
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Quantoren]
+	Man definiere folgende Quantoren:
+	\begin{itemize}
+		\item $\forall$ Allquantor, also als: für alle.
+		\item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein. 
+		\item $\exists !$ als: es existiert genau ein a.
+	\end{itemize}	
+\end{definition}
+
+
+\begin{bem}
+	Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden): 
+	\begin{itemize}
+		\item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$
+		\item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$
+	\end{itemize}
+\end{bem}
+
+
+\begin{bem}[Kontraposition]
+	Zwei weitere Hilfsmittel:
+	\begin{itemize}
+		\item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$
+		\item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$
+	\end{itemize}
+\end{bem}
+
+
+\begin{bem}
+	Zu Quantoren:
+	\begin{itemize}
+		\item Quantoren müssen immer angegeben werden.
+		\item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\
+			Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\
+			$\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\
+			$\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch.
+	
+	\end{itemize}
+\end{bem}
+
+
+\subsection{Abbildungen}
+
+\begin{definition}[Abbildungen]
+	Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\
+	Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$.
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Folgen]
+	Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben.
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv]
+	Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung.
+	\begin{itemize}
+		\item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt:
+			\begin{equation*}
+				\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}.
+			\end{equation*}
+		\item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt: 
+			\begin{equation*}
+				\forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a).
+			\end{equation*}
+		\item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+
+\begin{bsp}
+	Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\
+	Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\
+	Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ]  \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.
+\end{bsp}
+
+
+\begin{definition}[Bild]
+	Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$): 
+		\begin{equation*}
+			f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \}
+		\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Urbild]
+	Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$): 
+		\begin{equation*}
+			f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A
+		\end{equation*}
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Inverse]
+	Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist:
+		\begin{equation*}
+			f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a)
+		\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\
+	Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen:
+	\begin{itemize}
+		\item Urbild von $B$ unter $f$
+		\item Bild von $B$ unter $f^{-1}$
+	\end{itemize}
+	Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert
+\end{bem}
+
+
+\begin{definition}[Komposition von Abbildungen]
+	Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen.
+	Dann sei:
+	\begin{equation*}
+		g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a))
+	\end{equation*}
+	Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$.
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Morphismen]
+	Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\
+	Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt:
+	\begin{equation*}
+		\forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2})
+	\end{equation*}
+	Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Äquivalenzrelation]
+	Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften
+	\begin{itemize}
+		\item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$ 
+		\item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$
+		\item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$
+		\item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+
+\begin{definition}[Äquivalenzklasse]
+	$[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\
+	$a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+	$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\
+	Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\
+	\begin{equation*}
+		(n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m'
+	\end{equation*}
+	$R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\
+	$R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\
+	$R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\
+	$(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\
+	$\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\
+	
+	Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz.
+\end{bsp}
+
+
+
+
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis13.tex

@@ -0,0 +1,261 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
+
+Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
+gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ 
+
+Genauso wird die Beschränktheit und Begriff der C.F. übertragen.
+
+Aus Definitionen:
+\[
+    |z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
+.\] und der Ungleichung:
+\[
+    max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
+.\] folgt:
+
+\begin{enumerate}
+    \item $z_n \to z, n \to \infty$ in  $\mathbb{C}$ $\iff \text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z) $ und $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$
+    \item $(z_n)_{n\in\N}$ ist eine C.F. in $\mathbb{C} \iff$ \\
+        $(\text{Re}(z_n))_n$ und $\left( \text{Im}(z_n) \right)_n  $ sind
+        C.F. in  $\R$
+    \item $\mathbb{C}$ ist vollständig, d.h. jede C.F. in $\mathbb{C}$ 
+        ist konvergent.
+    \item Jede beschränkte Folge in $\mathbb{C}$ besitzt eine
+        konvergente Teilfolge.
+\end{enumerate}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+    $\frac{1+i(n+1)}{n} = \frac{1}{n} + i\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to i$, $n \to \infty$
+\item $z_n = \left( \frac{i}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{i}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{i}{8}, \frac{1}{16}, \ldots \right) $ \\
+    $|z_n| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \to 0$, $n \to \infty$
+\item $q^{n} \to 0$, $n \to \infty$ $\forall q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
+
+\begin{definition}
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
+    betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$ 
+    definiert durch:
+    \[
+    s_n := \sum_{k=1}^{\infty} a_k
+    .\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert),
+    wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert).
+
+    Im Fall von Konvergenz bezeichnet:
+    \[
+        s_\infty := \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k 
+    .\] die Summe oder den Wert der Reihe.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Man kann auch Reihen $\sum_{k=l}^{\infty} a_k$ mit
+    $l \in \Z$ betrachten.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
+    \[
+    \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots
+    .\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau
+    für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und
+    es gilt $\sum_{0=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
+    \label{geometrischereihe}
+\end{bsp}
+
+\begin{proof}
+    Folge der Partialsummen
+    \[
+    s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \begin{cases}
+        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
+        n + 1 & q = 1
+    \end{cases}
+    .\]
+    Für $|q| < 1$ gilt $|q|^{n+1} \to 0$, $n \to \infty$
+    \[
+    \implies s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \to \frac{1}{1-q} \quad \text{für } |q| < 1
+    .\] 
+
+    Bleibt zu zeigen: $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} $ divergent für $|q| \ge 1$.
+
+    Angenommen $\exists q \in \mathbb{C}$ mit $|q| \ge 1$ und
+    $(s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
+
+    Dann
+    \[
+    |q|^{n+1} = |\underbrace{s_{n+1}}_{\to s_*} - \underbrace{s_n}_{\to s_*}|
+    .\] 
+    Widerspruch, da $|q|^{n+1} \ge 1$ für $|q| \ge 1$
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Ist $\sum_{k}^{\infty} a_k$ konvergent, dann ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine
+    Nullfolge.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $a_{n+1} = s_{n+1} - s_n \to s_{\infty} - s_{\infty} = 0$, $n \to \infty$
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die Eigenschaft von $(a_k)_{k\in\N}$ eine Nullfolge zu sein,
+    reicht nicht für die Konvergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ aus!
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Harmonische Reihe]
+    \[
+    \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad \text{ist strikt divergent}
+    .\]
+    \begin{proof}
+        Folge der Partialsummen ist unbeschränkt:
+        \begin{align*}
+            S_{2^{m}} &= \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k}\\
+            &=
+            \underbrace{1}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\ge 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \ldots + 
+            \underbrace{\frac{1}{2^{n-1}+1} + \ldots + \frac{1}{2^{m}}}_{\ge 2^{m-1} \cdot \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2}} \ge \frac{m}{2}
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}
+    \[
+        \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
+    .\] 
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item \[
+                \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = (1-1) + (1-1) + \ldots =
+                0 + 0 + \ldots = 0
+        .\] 
+    \item
+        \[
+            \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \ldots
+            = 1 + 0 + 0 = 1
+        \]
+        \item
+            \[
+                \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} = \frac{1}{1 -(-1)} = \frac{1}{2}
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+    Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
+\end{bsp}
+
+\subsubsection{Konvergenzkriterien}
+Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
+Folge der Partialsummen.
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+    \[
+    \sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_{\infty} \quad \text{und} \quad \sum_{k=1}^{\infty} b_k = b_{\infty}
+    .\] $\implies$
+    \[
+        \sum_{k=1}^{\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda a_{\infty} + \mu b_{\infty} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C}
+    .\] 
+\item Ist $a_k \in \R$ mit $a_k \ge 0$ $\forall k \in \N$ 
+    dann gilt: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent $\iff$ $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (1) folgt aus der linearen Kombination von Folgen. \\
+    (2) Falls $a_k \ge 0 \implies$ Folge $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ ist monoton wachsend.
+
+    Für solche Folgen gilt: Konvergenz $\iff$ Beschränktheit
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Leibniz-Kriterium]
+    Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge, so
+    ist die alternierende Reihe:
+    \[
+        \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots
+    .\] konvergent mit folgender Abschätzung:
+    \[
+        \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} a_k \right| \le |a_n| \quad \forall n \in \N
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Aus Voraussetzungen: $a_k \ge 0$, $s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$.
+    \[
+        s_{2n+1} = s_{2n-1} + a_{2n} - a_{2n+1} \stackrel{a_{2n} \ge a_{2n+1}}{\ge } s_{2n-1}
+    .\] Folge mit ungeraden Indizes: $s_1 \le s_3 \le s_5 \le \ldots$.
+    \[
+    s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} \le s_{2n-2}
+    .\] Folge mit geraden Indizes: $ \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
+
+    $s_{2n} > s_{2n+1}$ ($s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1})$ \\
+    $s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$, $n \to \infty$
+
+    $s_1 \ge s_3 \le s_5 \le  \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
+
+    $\implies [s_{2n+1}, s_{2n}]$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h.
+    \[
+        \exists s_{\infty} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} [s_{2k +1}, s_{2k}]
+    .\] $s_{\infty} = \lim_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} s_{2n}$
+    \[
+    s_{2n+1} \le s_{\infty} \le s_{2n}
+    .\] Damit gilt $\forall k \in \N$ :
+    \[
+    0 \le s_{\infty} - s_{2n+1} \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1}
+    .\] und
+    \[
+    0 \ge s_{\infty} - s_{2n} \ge s_{2n+1} - s_{2n} = - a_{2n+1} \ge - a_{2n}
+    .\] $\implies$
+    \[
+    0 \le |s_{\infty} - s_n|  \le a_n \to 0 \quad n \to \infty
+    .\] und
+    \[
+        \left|\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}_{s_{\infty}} - \sum_{k=1}^{n} a_k \right|
+    = \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right| \le a_n
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[,,Alternierende harmonische Reihe'']
+    \[
+        \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots
+    .\] ist konvergent
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}
+    Eine Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent falls
+    $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $ konvergiert.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ist
+    konvergent nach Leibniz Kriterium, aber nicht absolut konvergent, weil
+    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergiert.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}
+    Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\sum_{k}^{} a_k $ absolut konvergent, d.h.
+    $\sum_{k}^{} |a_k|$ konvergiert.
+    \[
+    s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k, t_n := \sum_{k=1}^{n} |a_k|
+    .\] Dann gilt für $m, n \in \N$ mit $m \ge n$.
+    \[
+    |s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right|
+    \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| = t_m - t_n = |t_m - t_n|
+    .\] 
+    Da $(t_n)_{n \in \N}$ konvergiert $\implies (t_n)_{n \in \N}$ ist C.F.
+
+    Aus $|s_m - s_n| \le |t_m - t_n| < \epsilon$
+
+    \begin{align*}
+        &\implies (s_n)_{n \in \N} \text{ ist auch C.F. in } \R \text{ bzw. } \mathbb{C} \\
+        &\implies \sum_{k} a_k \quad \text{konvergiert}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

@@ -1,8 +1,6 @@
 \documentclass{lecture}
 
 \begin{document}
-\section{Grundlagen}
-
 \subsection{Vollständige Induktion}
 
 \begin{bsp}

ws2019/ipi/uebungen/ipi6.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \documentclass[uebung]{../../../lecture}
 
 \usepackage{listings}
+\usetikzlibrary{positioning}
 
 \title{Übungsblatt 6}
 \author{Samuel Weidemaier, Christian Merten}
@@ -27,14 +28,190 @@
  
 \lstset{style=mystyle}
 
+\usepackage{tikz, wasysym} 
+\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows,shapes,shadows}
+
+\tikzstyle{abstract}=[rectangle, draw=black,
+    %text centered,
+     anchor=north, text=black, text width=15cm, rounded corners]
+
+\tikzstyle{subgroup}=[rectangle, draw=blue,
+    %text centered,
+     anchor=north, text=black, text width=3.5cm, rounded corners]
+     
+\tikzstyle{myarrow}=[->, >=stealth, thick]
+\tikzstyle{gestrichen}=[->, >=stealth, dashed]
+
 \begin{document}
 
 \punkte
 
 \begin{aufgabe}
-    siehe Blatt.
+
+    \vspace{5mm}
+Marker 1:
+    \vspace{-3mm}
+\begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
+	
+	
+		\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) 	{
+										Globale Umgebung
+										\nodepart{second}$g$ int $1$
+									};
+								
+								
+								
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main)		{ 
+										main() \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $2$ \\
+										$b$ int $14$ 
+									};
+		
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1)		{ 
+										Block $1$ in main() \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $7$ \\
+										$g$ int $?$ 
+									};
+									
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab)		{ 
+										ggT(b, a) \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $14$ \\
+										$b$ int $7$  \\
+										Null int $0$ 
+									};
+									
+	
+				
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, yshift=-0.7cm] (amodb)		{ 
+                                        $a \text{ mod } b(a,b)$ \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $14$ \\
+										$b$ int $7$ \\
+										$m$ int $0$
+									};
+									
+		
+		\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
+		
+		\draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south);
+		
+		\draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south);
+		
+		\draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south);
+		
+		
+		\draw[gestrichen] (amodb.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1.7cm] ggTab);
+		
+		\draw[myarrow] ([xshift=1cm] amodb.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south);
+		
+		
+		
+	\end{tikzpicture} 
+
+    \vspace{-10mm}
+    
+\end{center}
+	
+	\nopagebreak
+	
+    Marker 2:
+    \vspace{-2mm}
+    \begin{center}
+	\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
+	
+	
+		\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) 	{
+										Globale Umgebung
+										\nodepart{second}$g$ int $2$
+									};
+								
+								
+								
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main)		{ 
+										main() \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $2$ \\
+										$b$ int $14$ 
+									};
+		
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1)		{ 
+										Block $1$ in main() \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $7$ \\
+										$g$ int $?$ 
+									};
+									
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab)		{ 
+										ggT(b, a) \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $14$ \\
+										$b$ int $7$  \\
+										Null int $0$ 
+									};
+									
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, , xshift=1cm, yshift=-0.7cm] (ggTmod)		{ 
+                $ggT(b, a \text{ mod }b(a,b))$ \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $7$ \\
+										$b$ int $0$ \\
+										Null int $0$
+									};
+				
+
+		
+		\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
+		
+		\draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south);
+		
+		\draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south);
+		
+		\draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south);
+		
+		\draw[gestrichen] (ggTmod.west) -- ++(0,0) -| (ggTab.south);
+		
+		\draw[myarrow] (ggTmod.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south);
+		
+		
+		
+	\end{tikzpicture} 
+        
+    \end{center}
+    Marker 3:
+    \begin{center}
+
+	\begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto]
+	
+	
+		\node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) 	{
+										Globale Umgebung
+										\nodepart{second}$g$ int $2$
+									};
+								
+								
+								
+		\node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main)		{ 
+										main() \\
+										\nodepart{second}
+										$a$ int $2$ \\
+										$b$ int $7$ 
+									};
+		 
+		
+		\draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south);
+		
+		
+		
+	\end{tikzpicture} 
+\end{center}
+
 \end{aufgabe}
 
+\newpage
+
 \begin{aufgabe} Primfaktorzerlegung
     \begin{lstlisting}[language=C++, title=Primfaktorzerlegung, captionpos=b]
 #include "cpp_headers/fcpp.hh"