update groupschemes lecture

.gitignore

@@ -15,3 +15,7 @@
 *.nav
 *.out
 *.snm
+*.bbl
+*.blg
+*.table
+*.gnuplot

.gitmodules

@@ -10,3 +10,12 @@
 [submodule "ws2020/wtheo/uebungen"]
 	path = ws2020/wtheo/uebungen
 	url = https://git.flavigny.de/christian/wtheo-zettel
+[submodule "ws2022/rav/lecture"]
+	path = ws2022/rav/lecture
+	url = git@git.mathi.uni-heidelberg.de:cmerten/ravlecture
+[submodule "ws2023/groupschemes"]
+	path = ws2023/groupschemes 
+	url = https://git.flavigny.de/christian/groupschemes-lecture
+[submodule "ws2023/groupschemes-lecture"]
+	path = ws2023/groupschemes-lecture
+	url = https://git.flavigny.de/christian/groupschemes-lecture

notes.cls

@@ -0,0 +1,249 @@
+\ProvidesClass{notes}
+\LoadClass[a4paper]{amsart}
+
+\RequirePackage[utf8]{inputenc}
+\RequirePackage[T1]{fontenc}
+\RequirePackage{textcomp}
+\RequirePackage[german, english]{babel}
+\RequirePackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\RequirePackage{mdframed}
+\RequirePackage{tikz-cd}
+\RequirePackage{fancyhdr}
+\RequirePackage{geometry}
+\RequirePackage{import}
+\RequirePackage{pdfpages}
+%\RequirePackage{transparent}
+\RequirePackage{xcolor}
+\RequirePackage{array}
+\RequirePackage[shortlabels]{enumitem}
+\RequirePackage{tikz}
+\RequirePackage{pgfplots}
+\RequirePackage{listings}
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{forloop}
+\RequirePackage{totcount}
+\RequirePackage{calc}
+\RequirePackage{wasysym}
+\RequirePackage{environ}
+\RequirePackage{hyperref}
+\RequirePackage{graphicx}
+
+\usetikzlibrary{quotes, angles}
+\pgfplotsset{
+    compat=1.15,
+    default 2d plot/.style={%
+        grid=both,
+        minor tick num=4,
+        grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        axis lines=middle,
+        enlargelimits={abs=0.2}
+    },
+}
+
+\usetikzlibrary{quotes, angles, math}
+\pgfplotsset{
+    compat=1.15,
+    axis lines = middle,
+    ticks = none,
+    %default 2d plot/.style={%
+    %    ticks=none,
+    %    axis lines = middle,
+    %    grid=both,
+    %    minor tick num=4,
+    %    grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+    %    major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+    %    axis lines=middle,
+    %    enlargelimits={abs=0.2}
+}
+
+\newcounter{curve}
+
+\NewDocumentCommand{\algebraiccurve}{ O{} O{$#5 = 0$} O{-4:4} O{-4:4} m }{
+    \addplot[id=curve\arabic{curve}, raw gnuplot, smooth, #1] function{%
+        f(x,y) = #5;
+        set xrange [#3];
+        set yrange [#4];
+        set view 0,0;
+        set isosample 1000,1000;
+        set size square;
+        set cont base;
+        set cntrparam levels incre 0,0.1,0;
+        unset surface;
+        splot f(x,y)
+    };
+    \addlegendentry{#2}
+    \stepcounter{curve}
+}%
+
+% PAGE GEOMETRY
+\geometry{
+    top=1.2in,bottom=1.4in,left=1.3in,right=1.3in,
+    bottom=35mm
+}
+
+% PARAGRAPH no indent but skip
+%\setlength{\parskip}{3mm}
+%\setlength{\parindent}{0mm}
+
+\newtheorem{satz}{Proposition}[section]
+\newtheorem{theorem}[satz]{Theorem}
+\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
+\newtheorem{korollar}[satz]{Corollary}
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
+\newtheorem*{definition*}{Definition}
+
+%\theoremstyle{definition}
+%\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
+%\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
+%\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
+%\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
+
+\newtheorem{bsp}[satz]{Example}
+\newtheorem{bem}[satz]{Remark}
+\newtheorem{aufgabe}{Exercise}
+
+% enable aufgaben counting
+\regtotcounter{aufgabe}
+
+% temporary calculation counter
+\newcounter{var}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
+
+% HEADERS
+
+\pagestyle{headings}
+
+\newcommand{\incfig}[1]{%
+    \def\svgwidth{\columnwidth}
+    \import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
+
+% code listings, define style
+\lstdefinestyle{mystyle}{
+    commentstyle=\color{gray},
+    keywordstyle=\color{blue},
+    numberstyle=\tiny\color{gray},
+    stringstyle=\color{black},
+    basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
+    breakatwhitespace=false,         
+    breaklines=true,                 
+    captionpos=b,                    
+    keepspaces=true,                 
+    numbers=left,                    
+    numbersep=5pt,                  
+    showspaces=false,                
+    showstringspaces=false,
+    showtabs=false,                  
+    tabsize=2
+}
+
+% activate my colour style
+\lstset{style=mystyle}
+
+% better stackrel
+\let\oldstackrel\stackrel
+\renewcommand{\stackrel}[2]{%
+    \oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
+}%
+
+% integral d sign
+\makeatletter \renewcommand\d[2][]{\ensuremath{%
+		\,\mathrm{d}^{#1}#2\@ifnextchar^{}{\@ifnextchar\d{}{\,}}}}
+\makeatother
+
+% contradiction
+\newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
+
+% disjoint unions: provides cupdot and bigcupdot
+\makeatletter
+\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
+\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
+   \baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
+   \ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
+\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
+    #1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
+        \mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
+      }
+    \ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
+\makeatother
+
+\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
+\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
+
+\ExplSyntaxOn
+
+% S-tackrelcompatible ALIGN environment
+% some might also call it the S-uper ALIGN environment
+% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
+% to put additional padding on both sides of relation symbols
+\NewEnviron{salign}
+{
+    \begin{align}
+        \lec_insert_padding:V \BODY
+    \end{align}
+}
+% starred version that does no equation numbering
+\NewEnviron{salign*}
+{
+    \begin{align*}
+        \lec_insert_padding:V \BODY
+    \end{align*}
+}
+
+% some helper variables
+\tl_new:N \l__lec_text_tl
+\seq_new:N \l_lec_stackrels_seq
+\int_new:N \l_stackrel_count_int
+\int_new:N \l_idx_int
+\box_new:N \l_tmp_box
+\dim_new:N \l_tmp_dim_a
+\dim_new:N \l_tmp_dim_b
+\dim_new:N \l_tmp_dim_needed
+
+% function to insert padding according to widest stackrel
+\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
+ {
+  \tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
+  % get all stackrels in this align environment
+  \regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
+  % get number of stackrels
+  \int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
+  \int_set:Nn \l_idx_int { 1 }
+  \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 0pt }
+  % iterate over stackrels
+  \int_while_do:nn { \l_idx_int <= \l_stackrel_count_int }
+  {
+      % calculate width of text
+      \hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 1 }$}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\box_wd:N \l_tmp_box}
+      % calculate width of relation symbol
+      \hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 2 }$}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_b {\box_wd:N \l_tmp_box}
+      % check if 0.5*(a-b) > minimum padding, if yes updated minimum padding
+      \dim_compare:nNnTF
+        { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } > { \l_tmp_dim_needed }
+        { \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } }
+        { }
+      \quad
+      % increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
+      \int_incr:N \l_idx_int
+      \int_incr:N \l_idx_int
+      \int_incr:N \l_idx_int
+  }
+  % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
+  \regex_replace_all:nnN
+  { (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
+      { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
+      \l__lec_text_tl
+  \l__lec_text_tl
+ }
+\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
+\ExplSyntaxOff

sose2021/r/abschlussbericht.tex

@@ -0,0 +1,42 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage[top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}
+\title{Abschlussbericht}
+\author{Leon Burgard, Josua Kugler, Christian Merten}
+\begin{document}
+    \maketitle
+    \section*{Projektbeschreibung}
+    Unser Projekt \glqq Plenarprotokolle \grqq stellt mittels dem Paket \verb|hateimparlament| Funktionen zur Analyse der Plenarprotokolle der 19. Wahlperiode des deutschen Bundestages zur Verfügung. Diese Funktionen können in vier Bereiche unterteilt werden:
+    \begin{enumerate}
+        \item Herunterladen der Protokolle
+        \item Konvertierung der XML-Dateien in Tibbles
+        \item Reparieren von Fehlern
+        \item Analyse
+    \end{enumerate}
+    Das Herunterladen der Protokolle gelingt über die Funktion 
+    \verb|fetch_all()|, welche auf die Website des deutschen Bundestages zugreift und die XML-Dateien einzeln herunterlädt. Hierzu haben wir das Paket rvest verwendet, welches wir bereits in der Vorlesung kennengelernt haben.
+    Durch \verb|read_all()| werden diese heruntergeladenen XML-Dateien in eine benannte Liste mit fünf Tibbles (speaker, speeches, talks, comments und applause) geschrieben. Allerdings benötigt man diese Tibbles immer wieder und es ist ziemlich zeitaufwändig die XML-Dateien immer wieder neu in Tibbles einzulesen, deshalb haben wir zusätzlich eine Funkion \verb|write_to_csv()| geschrieben, die die fertigen Tibbles als CSV-Dateien speichert. Diese können dann sehr schnell durch \verb|read_from_csv()| eingelesen werden, wodurch viel Zeit gesparrt wird.
+    Da diese Protokolle kleine Fehler enthalten, müssen diese noch im nächsten Schritt bereinigt werden, was mit \verb|repair()| funktioniert. Hierbei wird das Paket tidyverse viel benutzt, welches insgesamt sehr viel in unserem Projekt beansprucht wird, da wir uns mit der Datenanalyse beschäftigen.
+    In \verb|analyse.R| stellen wir noch einige Hilfsfunktionen bereit, die es dem Nutzer vereinfachen die Daten auszuwerten. Beispielsweise steht schon eine Funktion zur Verfügung, die ein Balkendiagramm erstellt, bei dem jede Partei des Bundestages sperat ausgewertet wird. Hierbei wird das Paket \verb|ggplot2| verwendet.
+    Im letzten Schritt unseres Projekts haben wir Fragestellungen festgelegt, die wir mithilfe von unserem Paket beantworten wollten. Die Daten und unsere Ergebnisse visualisierten wir mithilfe von \verb|ggplot2| und \verb|tidyverse| in Vignetten. 
+    \section*{Organisation des Teams}
+    Während der ersten Projektphase wurden hauptsächlich die Funktionen zum Herunterladen der Dateien und Konvertieren und Reparieren der Tibbles geschrieben. Dies geschah größtenteils in Einzelarbeit, wobei hierbei die gegenseitige Kontrolle und Nachfragen die Funktionen optimiert haben. Zwischendurch wurde immer mal wieder zu einer HeiConf-Konferenz einberufen, um sich selbst den Zwischenstand klar zu machen und die Herausforderungen für die nächsten Wochen zu besprechen.
+    In der zweiten Hälfte des Projekts kümmerten wir uns dann um die Analyse der Daten und stellten unsere Ergebnisse in Vignetten da und erzeugten Dokumentationen für alle Funktionen, die für den Nutzer wichtig sind.
+    \newpage
+
+\section*{Meine Beteiligung (Christian Merten)}
+
+Meine Aufgaben und Beteiligung war hauptsächlich auf zwei Teile konzentriert: Organisation des Teams
+und Implementierung der Grundfunktionalitäten. Zur Organisation habe ich regelmäßig versucht
+die noch ausstehenden Aufgaben zusammenzufassen, zu priorisieren und dem Team zu kommunizieren.
+
+Auf Umsetzungsseite habe ich mich v.a. um die grundlegenden Aufgaben Protokolle herunterladen,
+auslesen und reparieren gekümmert. Auch die grundlegenden Paketstrukturen in \verb|R| anzulegen und
+die erste Vignette zum Laufen zu bringen, waren meine Aufgaben. Im späteren Verlauf habe ich noch
+einige Analysehilfsfunktionen entwickelt.
+
+Ich habe die Teamarbeit als herausfordernd empfunden, denn ich hatte zumeist hohe Ansprüche und klare
+Vorstellungen. Deshalb ist es mir nicht immer leicht gefallen, Verantwortung für Projektteile
+abzugeben. Insgesamt bin ich jedoch zufrieden mit der letztendlichen Teamarbeit.
+
+\end{document}

sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls

@@ -0,0 +1,210 @@
+\ProvidesClass{arbeit}
+\LoadClass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\RequirePackage[utf8]{inputenc}
+\RequirePackage[T1]{fontenc}
+\RequirePackage{textcomp}
+\RequirePackage[german, english]{babel}
+\RequirePackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\RequirePackage{mdframed}
+\RequirePackage{fancyhdr}
+\RequirePackage{geometry}
+\RequirePackage{import}
+\RequirePackage{pdfpages}
+\RequirePackage{transparent}
+\RequirePackage{xcolor}
+\RequirePackage{array}
+\RequirePackage[shortlabels]{enumitem}
+\RequirePackage{tikz}
+\RequirePackage{pgfplots}
+\RequirePackage[nobottomtitles]{titlesec}
+\RequirePackage{listings}
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{forloop}
+\RequirePackage{totcount}
+\RequirePackage{calc}
+\RequirePackage{wasysym}
+\RequirePackage{environ}
+
+\usetikzlibrary{quotes, angles}
+\pgfplotsset{
+    compat=1.15,
+    default 2d plot/.style={%
+        grid=both,
+        minor tick num=4,
+        grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+        major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+        axis lines=middle,
+        enlargelimits={abs=0.2}
+    },
+}
+
+% PAGE GEOMETRY
+\geometry{
+    bottom=35mm
+}
+
+% PARAGRAPH no indent but skip
+%\setlength{\parskip}{3mm}
+%\setlength{\parindent}{0mm}
+
+\newtheorem{satz}{Satz}[section]
+\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
+\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
+\newtheorem*{definition*}{Definition}
+
+%\theoremstyle{definition}
+%\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
+%\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
+%\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
+%\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
+
+\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
+\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
+\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
+
+% enable aufgaben counting
+\regtotcounter{aufgabe}
+
+% temporary calculation counter
+\newcounter{var}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
+
+% HEADERS
+
+\pagestyle{headings}
+
+\newcommand{\incfig}[1]{%
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+    \import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
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+% code listings, define style
+\lstdefinestyle{mystyle}{
+    commentstyle=\color{gray},
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+    stringstyle=\color{black},
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+    breakatwhitespace=false,         
+    breaklines=true,                 
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+    numbers=left,                    
+    numbersep=5pt,                  
+    showspaces=false,                
+    showstringspaces=false,
+    showtabs=false,                  
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+
+% activate my colour style
+\lstset{style=mystyle}
+
+% better stackrel
+\let\oldstackrel\stackrel
+\renewcommand{\stackrel}[2]{%
+    \oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
+}%
+
+% integral d sign
+\makeatletter \renewcommand\d[2][]{\ensuremath{%
+		\,\mathrm{d}^{#1}#2\@ifnextchar^{}{\@ifnextchar\d{}{\,}}}}
+\makeatother
+
+% contradiction
+\newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
+
+% disjoint unions: provides cupdot and bigcupdot
+\makeatletter
+\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
+\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
+   \baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
+   \ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
+\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
+    #1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
+        \mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
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+    \ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
+\makeatother
+
+\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
+\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
+
+\ExplSyntaxOn
+
+% S-tackrelcompatible ALIGN environment
+% some might also call it the S-uper ALIGN environment
+% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
+% to put additional padding on both sides of relation symbols
+\NewEnviron{salign}
+{
+    \begin{align}
+        \lec_insert_padding:V \BODY
+    \end{align}
+}
+% starred version that does no equation numbering
+\NewEnviron{salign*}
+{
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+        \lec_insert_padding:V \BODY
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+}
+
+% some helper variables
+\tl_new:N \l__lec_text_tl
+\seq_new:N \l_lec_stackrels_seq
+\int_new:N \l_stackrel_count_int
+\int_new:N \l_idx_int
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+\dim_new:N \l_tmp_dim_a
+\dim_new:N \l_tmp_dim_b
+\dim_new:N \l_tmp_dim_needed
+
+% function to insert padding according to widest stackrel
+\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
+ {
+  \tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
+  % get all stackrels in this align environment
+  \regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
+  % get number of stackrels
+  \int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
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+  % iterate over stackrels
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+      % increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
+      \int_incr:N \l_idx_int
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+  % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
+  \regex_replace_all:nnN
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+      \l__lec_text_tl
+  \l__lec_text_tl
+ }
+\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
+\ExplSyntaxOff

sose2022/bachelorarbeit/refs.bib

@@ -0,0 +1,46 @@
+@article {spaltenstein,
+    AUTHOR = {Spaltenstein, N.},
+     TITLE = {Resolutions of unbounded complexes},
+   JOURNAL = {Compositio Math.},
+  FJOURNAL = {Compositio Mathematica},
+    VOLUME = {65},
+      YEAR = {1988},
+    NUMBER = {2},
+     PAGES = {121--154},
+      ISSN = {0010-437X},
+   MRCLASS = {18E25 (32C35)},
+  MRNUMBER = {932640},
+MRREVIEWER = {Michael M. Kapranov},
+       URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1988__65_2_121_0},
+}
+
+@book {hartshorne,
+    AUTHOR = {Hartshorne, Robin},
+     TITLE = {Residues and duality},
+    SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, No. 20},
+      NOTE = {Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck,
+              given at Harvard 1963/64,
+              With an appendix by P. Deligne},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York},
+      YEAR = {1966},
+     PAGES = {vii+423},
+   MRCLASS = {14.55},
+  MRNUMBER = {0222093},
+MRREVIEWER = {R. L. Knighten},
+}
+
+@book {set-theoretic,
+    AUTHOR = {Weibel, Charles A.},
+     TITLE = {An introduction to homological algebra},
+    SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics},
+    VOLUME = {38},
+ PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge},
+      YEAR = {1994},
+     PAGES = {xiv+450},
+      ISBN = {0-521-43500-5; 0-521-55987-1},
+   MRCLASS = {18-01 (16-01 17-01 20-01 55Uxx)},
+  MRNUMBER = {1269324},
+MRREVIEWER = {Kenneth A. Brown},
+       DOI = {10.1017/CBO9781139644136},
+       URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136},
+}

sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex

@@ -0,0 +1,410 @@
+\documentclass{arbeit}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
+\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+
+\begin{document}
+
+\section{Motivation}
+
+Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul
+$N$ die Adjunktion
+\[
+    - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
+\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
+Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
+die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
+
+\begin{satz}[]
+    $\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
+ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
+\[
+\begin{tikzcd}
+    0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
+\end{tikzcd}
+\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
+\[
+\begin{tikzcd}
+    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
+    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r}
+                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r}
+                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)
+\end{tikzcd}
+.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$
+und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
+$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
+
+\end{proof}
+
+\section{Neuer Ableitungsbegriff}
+
+Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
+und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.
+
+\begin{bem}[Erinnerung]
+Sei $X \in \mathcal{A}$.
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
+$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
+\begin{equation}
+\begin{tikzcd}
+    \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
+    \cdots  \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
+    \label{eq:resolution}
+\end{tikzcd}
+\end{equation}
+ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
+den Kohomologiegruppen induziert.
+
+\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
+des Komplexes $F(\com{I})$.
+
+\item Wohldefiniert.
+\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Idee]
+    Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
+    \begin{itemize}
+        \item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
+        \item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
+    Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
+    \begin{itemize}
+        \item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
+    \end{itemize}
+    und einem kanonischen Funktor
+    $Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
+    Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Mengentheorie]
+    Es gibt mengentheoretische Probleme.
+\end{bem}
+
+$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[Totalableitung]
+    Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
+    Funktor plus $(*)$.
+    Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
+    $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
+    einer natürlichen Transformation
+    $\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
+    eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
+    Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und jede natürliche Transformation
+    $\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
+    eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
+            & G \circ Q_{\mathcal{A}}
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
+            $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
+        \item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
+            Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
+        \item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
+            Komplexe mit injektiven Objekten.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
+            $\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
+        \item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
+            ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+    Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+\end{satz}
+
+\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}
+
+Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[]
+    Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
+    \begin{itemize}
+        \item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
+            mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
+        \item und
+            \[
+            H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
+            \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
+            .\] 
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
+$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für
+$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
+\[
+    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) =
+    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+\] erhält.
+\end{definition}
+Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
+und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
+Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
+(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
+
+Für
+$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
+\begin{definition}
+    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn
+    der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive
+    Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus
+    $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
+    jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
+    nullhomotop ist.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
+\end{bsp}
+
+Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
+(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
+
+\begin{lemma}
+    Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist
+    \[
+    \text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I})
+    = H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0
+    .\]
+\end{proof}
+
+Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
+
+\begin{bsp}
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
+    jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
+    nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
+    man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
+\end{bsp}
+
+Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.
+
+Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
+und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.
+
+Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.
+
+\begin{definition}
+    Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
+    $(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $\com{I}_1 = 0$
+        \item Für $n > 1$ ist
+            die kurze Folge
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
+                            & \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
+            \end{tikzcd}
+            \] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
+speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
+$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.
+
+Dazu beobachtet man
+
+\begin{lemma}
+    Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Diagrammjagd.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
+    $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
+    Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
+    
+    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
+    inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
+    $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
+ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
+    dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Limites. Mit
+    \[
+    \mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
+    \com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
+    \] folgt jetzt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
+Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
+von $\com{M} $ liefert.
+
+\begin{definition}[Abschneiden]
+    Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
+              & \arrow{r} M^{-n+1}
+              & \arrow{r} M^{-n+2}
+              & \cdots
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[]
+    Dann ist für $i \ge -n$
+    \[
+        H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
+    mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
+    Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
+    $\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.
+
+    Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
+    Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
+    Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
+    erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
+\end{proof}
+
+Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.
+
+\begin{bem}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+    \item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
+        $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
+        $(f_n)_{n \in \N}$.
+    \item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
+        $f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
+        insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
+    \item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
+        $f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
+\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
+\end{korollar}
+
+\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
+    Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
+    Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
+\end{korollar}
+
+\begin{definition}[K-flach]
+    Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[]
+    K-projektiv $\implies$ K-flach
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}[]
+    Es existieren K-flache Auflösungen.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
+\end{korollar}
+
+Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
+    $\com{I} \in \mathcal{K}$.
+\end{satz}
+
+
+\begin{korollar}
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
+    ein natürlicher Isomorphismus
+    \[
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    = R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\] 
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
+    wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
+    dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
+    \begin{align*}
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$
+
+\end{document}

sose2022/galois/handout.tex

@@ -0,0 +1,169 @@
+\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage[a4 paper,margin=1in]{geometry}
+\usepackage{fancyhdr}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{enumerate}
+\pagestyle{fancy}
+\fancyhead{}
+\fancyfoot{}
+\rhead{30.6.2022}
+\makeatletter
+\newcommand{\colim@}[2]{%
+	\vtop{\m@th\ialign{##\cr
+			\hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr
+			\noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr
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+\newcommand{\colim}{%
+	\mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@
+}
+\makeatother
+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+\newtheorem{satz}{Satz}
+\newtheorem{thm}[satz]{Theorem}
+\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
+\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
+\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
+\newtheorem{bung}[satz]{Übung}
+\newtheorem{rem}[satz]{Erinnerung}
+\begin{document}
+	\section*{Endlich étale Morphismen, Vortrag 9}
+
+Sei $A$ ein (kommutativer) Ring.
+	%	\begin{rem}[Komposition]
+	%	Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
+	%	ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
+	%	\label{satz:composition-projective}
+	%\end{rem}
+
+	\begin{rem}%[Basiswechsel endlich projektive]
+    Endlich (treu-)projektiv ist stabil unter Basiswechsel und Komposition. Insbesondere
+    kommutiert für $A \to B$ endlich projektiv und $A \to C$ Ringhomomorphismus das folgende Diagramm:
+	%Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
+	%ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
+	%Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
+	\[
+	\begin{tikzcd}
+		\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
+		& \mathbb{Z} &.
+	\end{tikzcd}
+	\] 
+	\label{satz:basischange-projective}
+\end{rem}
+\begin{bung}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
+        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
+        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:degree}
+\end{bung}
+		\begin{definition}[Zariskiüberdeckung]
+		Wir nennen Elemente $\{f_i\}_{i \in I} \subseteq A$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
+		$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
+	    \end{definition}
+
+%	\begin{definition}
+%	Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
+%	$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Zariskiüberdeckung existiert, sodass
+%	$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
+%	\label{def:finite-locally-free}
+%\end{definition}
+\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
+	Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
+		%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+		%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
+		\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
+		%\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
+		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
+		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist für alle $i \in I$.
+		%\item Es existiert eine treuprojektive $A$-Algebra $C$, sodass $B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}	
+	
+	\begin{satz}%[Basiswechsel endlich étale]
+		%Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
+		%$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
+		%\label{satz:basischange}
+        Endlich étale ist stabil unter Basiswechsel und Komposition.
+	\end{satz}
+%	\begin{satz}[Komposition endlich étale]
+%	Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
+%	$C$ endlich étale $A$-Algebra.
+%\end{satz}
+\begin{bung}
+	Sei $A$ ein Ring und $(B_i)_{i \in I}$ $A$-Algebren mit $I$ endlich. Sei weiter
+	$B = \prod_{i \in I} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
+	jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
+	$[B : A] = \sum_{i \in I} [B_i : A]$.
+	\label{ex:5.3}
+\end{bung}
+\begin{bung}
+	Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
+	für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
+	ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
+	Weiter ist
+	\[
+	\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
+	.\] 
+	\label{satz:projective-prod}
+\end{bung}
+\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
+    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
+    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
+    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
+        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+\end{definition}
+
+\begin{thm}
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann endlich étale,
+    wenn eine treuprojektive $A$-Algebra $C$ existiert, sodass
+    $C \to B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
+    \label{th:5.10}
+\end{thm}
+
+\begin{definition}
+    Sei $E$ eine endliche Menge. Dann sei $A^{E} = \prod_{e \in E}^{} A$. Für
+    eine Abbildung endlicher Mengen $\phi\colon D \to E$ bezeichne
+    mit $\hat{\phi}\colon A^{E}\to A^{D}$ den von $A^{E} \to A$,
+    $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$ für $d \in D$ induzierten $A$-Algebrahomomorphismus.
+    Ein solches $\hat{\phi}$ ist endlich étale.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
+    Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
+    existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
+    es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
+    und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
+        & \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow[swap]{l}{\hat{\phi}} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
+        A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+    \label{lemma:locally-trivial}
+\end{lemma}
+
+\begin{satz}
+    Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
+    $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Dann ist $h$ endlich étale.
+\end{satz}
+\end{document}

sose2022/galois/vortrag.tex

@@ -0,0 +1,420 @@
+\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage{tikz-cd}
+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+
+\begin{document}
+
+\section{Projektive Moduln und Algebren}
+
+\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
+    Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
+        \item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
+            $M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:projectiveislocallyfree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
+        \item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
+        \item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:rings-degree}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
+    $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
+    \label{satz:4.14}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
+\end{proof}
+
+\section{Endlich étale Morphismen}
+
+\begin{definition}[Affiner Morphismus]
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{affin}, wenn
+    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
+    $f^{-1}(U_i)$ affin ist für alle $i \in I$
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    $f\colon Y \to X$ ist genau dann affin, wenn für jede offene affine Menge $U \subseteq X$,
+    $f^{-1}(U)$ affin ist.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
+    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
+    $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[]
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
+    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
+    \[
+        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
+    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
+    \label{lemma:localisation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
+    Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
+    \[
+        \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
+    .\] Insbesondere gilt
+    \[
+        \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
+    .\] 
+    \label{lemma:d(f)}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
+    zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
+    Verwendung des Ringisomorphismus
+    \[
+        B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
+    $f$ genau dann endlich und lokal frei, wenn für jede offene affine Menge $U = \text{Spec }A$ von $X$,
+    $f^{-1}(U)$ affin mit
+    $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$ und $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
+    \label{satz:morph-local-free-char}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ($\Rightarrow$) 
+    %Sei $D$ endliche freie $C$-Algebra. Dann ist $D_g$ endliche freie $C_g$-Algebra für $g \in C$. Außerdem ist
+    %$\text{Spec }C_g = D(g) \subseteq  \text{Spec }C$ eine Basis von $\text{Spec }C$.
+    Sei $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen, $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$
+    und $B_i$ endliche freie $A_i$-Algebra. Nun sei $g \in A_i$ beliebig.
+    Mit \ref{lemma:d(f)} ist $f^{-1}((A_i)_g) = \text{Spec }(B_i)_g$ und
+    da Lokalisieren Freiheit und Rang von Moduln erhält, ist $(B_i)_{g}$ endliche freie $(A_i)_g$-Algebra.
+Da die Mengen der Form $D(g) = \text{Spec }(A_i)_g$ mit
+$g \in A_i$ eine Basis von $U_i = \text{Spec }A_i$ bilden, können wir
+    ohne Einschränkung annehmen, dass $\{U_i\}_{i \in I}$ bereits eine Basis von $X$ ist, insbesondere
+    existiert ein $J \subseteq I$, sodass $U = \bigcup_{j \in J} U_j$.
+
+    Ebenfalls
+    ist $\{D(g)\}_{g \in A}$ eine Basis von $U$, also existiert für alle $j \in J$ eine Familie
+    $\{g_{jk}\}_{k \in K_j}$, sodass $U_j = \bigcup_{k \in K_j} D(g_{jk})$. Außerdem
+    ist $D(g_{jk}) \subseteq U_j$ also
+    \[
+        \text{Spec }A_{g_{jk}} = D(g_{jk}) = D(g_{jk}) \cap U_j = \text{Spec }(A_{j})_{g_{jk}}
+    .\] Damit folgt $f^{-1}(\text{Spec }A_{g_{jk}}) = \text{Spec }B_{g_{jk}}$ mit $B_{g_{jk}}$
+    endliche freie $A_{g_{jk}}$-Algebra. Außerdem ist $U = \bigcup D(g_{jk})$, also
+    $\sum_{} (g_{jk}) = A$. Also folgt mit \ref{satz:projectiveislocallyfree},
+    dass $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
+
+    ($\Leftarrow$) Sei $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen. Dann
+    ist $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$ mit einer endlichen, projektiven $A_i$-Algebra $B_i$. Nach
+    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+    existieren $\{g_{ij}\}_{j \in J_i} \subseteq A_i$, sodass $\sum_{j \in J_i} (g_{ij}) = A_i$ und
+    $(B_i)_{g_{ij}}$ endliche, freie $(A_{i})_{g_{ij}}$-Algebra. Es folgt
+    \[
+        U_i = \bigcup_{j \in J_i}  D(f_{ij}) = \bigcup_{j \in J_i} \text{Spec } (A_i)_{g_{ij}}
+    .\] Da die $\{U_i\}_{i \in I}$ eine Überdeckung von $X$ sind, folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Grad]
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein endlicher, lokal freier Morphismus von Schemata und $U = \text{Spec }A$ offen in $X$
+    mit $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$. Nach 4.9 existiert eine stetige Funktion
+    \[
+        [B : A] \colon U = \text{Spec }A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
+    .\] 
+    Sei $U' = \text{Spec }A'$ offen in $X$ mit $f^{-1}(U') = \text{Spec }B'$. Dann stimmen
+    $[B' : A']$ und $[B : A]$ auf $U \cap U'$ überein, d.h. wir erhalten eine Funktion
+    \[
+        \text{deg}(f) = [Y : X] \colon \operatorname{sp}(X) \to \Z
+    ,\] wobei $\operatorname{sp}(X)$ den unterliegenden topologischen Raum von $X$ bezeichne.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    Sei zunächst $U \subseteq U'$ und $x \in U$. Da $\{D(g)\}_{g \in A'}$ eine Basis von $U'$ ist, existiert ein
+    $g \in A'$, sodass $x \in D(g) \subseteq U$. Dann ist
+    \[
+        \text{Spec }A'_{g} = D(g) = D(g) \cap U = \text{Spec }A_{g_{|U}}
+    .\] Also folgt
+    \[
+        [B' : A'](x) = [B'_g : A'_g](x) = [B_{g_{|U}} : A_{g_{|U}} ](x) = [ B : A ](x)
+    .\] Im Allgemeinen sei $x \in U \cap U'$. Dann existiert eine offene affine Menge $x \in V \subseteq U \cap U'$
+    und wir können zweimal den Spezialfall für $V \subseteq U$ und $V \subseteq U'$ anwenden.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann ist
+    $[Y : X]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\operatorname{sp}(X) \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
+    Topologie trägt.
+    Insbesondere ist die Menge
+    \[
+        \{x \in \operatorname{sp}(X)  \mid [Y : X](x) = n\} 
+    \] offen und abgeschlossen in $X$ und $[Y : X]$ ist konstant, falls $X$ zusammenhängend ist.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Lokalisieren ist exakt, erhält also den Rang von freien Moduln und $X$ ist lokal frei.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Surjektive Morphismen]
+    Ein Morphismus $Y \to X$ von Schemata heißt \emph{surjektiv}, falls die zugrundeliegende Abbildung
+    zwischen den topologischen Räumen surjektiv ist.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $Y = \emptyset \iff [Y : X] = 0$.
+        \item $Y \to X$ Isomorphismus $\iff [Y : X] = 1$.
+        \item $Y \to X$ surjektiv $\iff [Y : X] \ge 1 \iff$ für alle offenen affinen Teilmengen $U = \operatorname{Spec }A$ von
+            $X$ ist $f^{-1}(U) = \spec B$, wobei $B$ eine treuprojektive $A$-Algebra ist.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:degree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Alle Eigenschaften sind lokal auf $X$, das heißt oE sei $X = \spec A$ affin. Da $f$ affin ist, folgt
+    $Y = \spec B$, wobei $B$ endliche und projektive $A$-Algebra ist.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $Y = \emptyset \iff B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
+            $\iff [B : A] = 0$.
+        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
+        \item Die zweite Äquivalenz gilt nach Definition von treuprojektiv. Für die erste:
+            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
+            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
+            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
+            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
+            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
+            $S \subseteq T$. Und damit
+            \[
+                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
+            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
+            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
+            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
+            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
+            die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Endlich étaler Morphismus]
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich étale}, falls
+    eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit
+    $U_i = \spec A_i$, sodass $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ eine freie, separable $A_i$-Algebra ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Jeder endlich étale Morphismus ist endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
+\end{bem}
+
+%\begin{lemma}
+%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
+%    \[
+%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
+%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
+%    \[
+%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%    \] ein Isomorphismus.
+%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
+%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
+%    \[
+%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    \] und
+%    \[
+%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
+%\end{proof}
+
+\begin{lemma}[]
+    Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
+    \[
+    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
+    .\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra. Dann ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
+    \[
+        \operatorname{Hom}_A(M, A) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C)
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{lemma:tensor-and-hom}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden 
+    in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
+    \[
+        0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C) \to C^{n} \to C^{m}
+    .\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, A)$ die exakte Folge
+    \[
+        0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \to A^{n} \to A^{m}
+    .\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
+    \[
+        \underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(A^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \otimes_A C \to C^{n} \to C^{m}
+    .\] Der linke Term verschwindet, weil $A^{m}$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
+    den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
+    die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
+    ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
+    \[
+        \operatorname{Hom}_{A}(B, A) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}B, S^{-1}A)
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
+    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
+    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
+
+    \label{bem:finite-etale-basis}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
+    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
+    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+    durch Lokalisieren erhalten.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra und
+    $\phi\colon B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ die von der Spur induzierte Abbildung. Dann ist
+    $B$ genau dann separabel über $A$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\phi$ ist ein Isomorphismus.
+        \item Die induzierte Abbildung
+            $B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$
+            ist ein Isomorphismus für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
+    \end{enumerate}
+    \label{lemma:separable-is-local}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Isomorphismus zu sein ist eine lokale Eigenschaft und $B$ ist endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul, das
+    heißt insbesondere endlich präsentiert, also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist $f$ genau dann endlich étale, wenn
+    für jede offene affine Teilmenge $U = \spec A$ von $X$, $f^{-1}(U)$ affin mit $f^{-1}(U) = \spec B$ und
+    $B$ eine projektive, separable $A$-Algebra ist.
+    \label{satz:equiv-finite-etale}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ($\Rightarrow$) Sei $U = \spec A$ offen in $X$ und sei $f^{-1}(U) = \spec B$.
+    Dann ist $B$ nach \ref{satz:morph-local-free-char} endliche, projektive $A$-Algebra.
+    Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $x \in U$ der zugehörige Punkt. Dann
+    ist $A_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{U,x} = \mathcal{O}_{V,x}$ für jede offene Menge $x \in V \subseteq U$.
+    Nach \ref{bem:finite-etale-basis} existiert 
+    $x \in V \subseteq U$ offen affin mit $V = \text{Spec }A'$ und $f^{-1}(V) = \text{Spec }B'$, wobei
+    $B'$ freie, separable $A'$-Algebra. Dann ist nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+    $B'_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A'_{\mathfrak{p}}}(B'_{\mathfrak{p}}, A'_{\mathfrak{p}})$ ein
+    Isomorphismus, also auch
+    $B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$. Also
+    nach \ref{lemma:separable-is-local} ist $B$ separable $A$-Algebra.
+
+    ($\Leftarrow$) Da endlich étale eine auf $X$ lokale Eigenschaft ist, sei oE $X = \spec A$. Dann ist
+    $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ mit $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
+    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
+    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung wegen $X = \bigcup_{i \in  I} D(f_i)$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Basiswechsel]
+    Sei $f\colon Y \to X$ endlich étale und $g\colon W \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
+    $Y \times_{X} W \to W$ endlich étale.
+    \label{satz:basischange}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $W$ und damit insbesondere auf $X$. Genauer:
+    Sei $w \in W$ beliebig. Dann existiert eine offene affine Menge $g(w) \in U \subseteq X$ und
+    offene affine Mengen $U_i \subseteq W$, sodass $g^{-1}(U) = \bigcup_{i \in I} U_i$. Da $w \in g^{-1}(U)$ existiert
+    ein $i_0 \in I$, sodass $w \in U_{i_0}$. Durch Ersetzen von $W$ durch $U_{i_0}$ und $X$ durch $U$ können
+    wir also oE annehmen, dass $W = \spec C$ und $X = \spec A$. Da $f$ affin, ist damit
+    auch $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ affin. Dann ist $Y \times_{X} W = \spec B \otimes_A C$.
+
+    Es bleibt also folgende Aussage zu zeigen: Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
+    ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra.
+
+    Zunächst ist $B \otimes_A C$ projektiv, denn da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
+    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
+    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
+    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
+    Tensorieren mit $C$
+    \[
+        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
+    .\] Also ist $B \otimes_A C$ projektiver $C$-Modul.
+
+    Für die Separabilität ist zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
+    $B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
+    \ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
+        B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
+        & \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
+    \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon Y \to X$ affiner Morphismus von Schemata und $g\colon W \to X$ ein
+    surjektiver, endlicher und lokal freier Morphismus. Dann ist $Y \to X$ genau dann endlich étale, wenn
+    $Y \times_X W \to W$ endlich étale ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}. Zur Rückrichtung: Sei
+    $U \subseteq X$ affin und $U = \spec A$.
+    Also ist $f^{-1}(U) = \spec B$, da $f$ affin. Es genügt nun zu zeigen, dass $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
+
+    Nach \ref{satz:degree} ist $g^{-1}(U) = \spec C$, wobei
+    $C$ eine endliche, treuprojektive $A$-Algebra ist. Sei $\mathfrak{m}$ ein Maximalideal von $A$. Angenommen
+    $C = \mathfrak{m}C$. Dann folgt insbesondere $C_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}C_{\mathfrak{m}}$, also
+    da $C$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $C_{\mathfrak{m}} = 0$, also
+    $[ C : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$. Widerspruch. Da $C$ insbesondere flach, folgt mit Algebra 2, dass
+    $C$ treuflache $A$-Algebra ist.
+
+    Nun sei $p\colon Y \times_X W \to W$. Dann ist $p^{-1}(\spec C) = \spec B \otimes_A C$. Da
+    $p$ endlich étale, folgt mit \ref{satz:equiv-finite-etale}, dass $B \otimes_A C$ eine projektive separable
+    $C$-Algebra ist. Mit der Treuflachheit von $C$ und \ref{satz:4.14} folgt nun die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\end{document}

sose2022/galois/vortrag_affin.tex

@@ -0,0 +1,902 @@
+\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
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+\makeatletter
+\newcommand{\colim@}[2]{%
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+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+
+\begin{document}
+
+\section{Projektive Moduln und Algebren (Vortrag 8)}
+
+\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
+    Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
+        \item $M$ ist endlich präsentiert und $M_{\mathfrak{p}}$ ist freier
+            $M_{\mathfrak{p}}$-Modul für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
+        \item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
+            $M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:projectiveislocallyfree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Siehe Theorem 4.6 in Lenstra.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
+    $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
+    \label{satz:4.14}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Vortrag 8. Theorem 4.14 in Lenstra.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $A$ ein Ring und $B$ projektive separable $A$-Algebra. Dann
+    existiert eine $B$-Algebra $C$ und ein $B$-Algebraisomorphismus
+    $B \otimes_A B \to B \times C$.
+    \label{satz:4.16}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Vortrag 8. Proposition 4.16 in Lenstra.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+    existiert eine Familie $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
+    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da $\mathfrak{p} \subsetneq A$ existiert ein $i \in I$, sodass
+    $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also ist $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und
+    $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$, also insbesondere $B_{\mathfrak{p}}$ endliche freie
+    $A_{\mathfrak{p}}$-Algebra.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Grad]
+    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    \[
+        [ B : A ] \colon \spec A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{p}}
+    \] die \emph{Gradabbildung}.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
+        \item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
+        \item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:rings-degree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Vortrag 8.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    $[B : A]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\spec A \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
+    Topologie trägt. Insbesondere ist die Menge
+    \[
+        \{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [B : A](\mathfrak{p}) = n\} 
+    \] offen und abgeschlossen in $\spec A$ und $[B : A]$ ist konstant, falls $\spec A$ zusammenhängend ist.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Erneut nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} seien $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass
+    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra für alle $i \in I$. Dann
+    ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$, wobei $D(f_i) = \{ \mathfrak{p} \in \spec A  \mid f_i \not\in p\}$.
+    Per Definition der Zariskitopologie auf $\spec A$ sind die Mengen $D(f_i)$ offen und
+    $[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant.
+\end{proof}
+
+
+\subsection{Aufgaben nach Vortrag 8}
+
+\begin{satz}[Komposition]
+    Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
+    ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
+    \label{satz:composition-projective}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
+    \[
+        A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
+    Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
+    ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
+    Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
+                & \Z &.
+    \end{tikzcd}
+    \] 
+    \label{satz:basischange-projective}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
+    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
+    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
+    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
+    Tensorieren mit $C$
+    \[
+        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
+    .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.
+
+    Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
+    weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
+    folgt
+    \[
+        (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
+        \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
+    .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
+    $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
+    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
+    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
+    Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
+    \[
+    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
+    .\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra und $N$ ein $A$-Modul.
+    Falls $N$ oder $C$ flach sind, ist der natürliche $C$-Modulhomomorphismus
+    \[
+        \operatorname{Hom}_A(M, N) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C)
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{lemma:tensor-and-hom}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, N \otimes_A C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden 
+    in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
+    \[
+        0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
+    .\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, N)$ die exakte Folge
+    \[
+        0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to N^{n} \to N^{m}
+    .\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
+    \[
+        \underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(N^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \otimes_A C
+        \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
+    .\] Der linke Term verschwindet, weil $N^{m}$ oder $C$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
+    den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
+    die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}
+    Seien $M$, $N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert. Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
+    ist der natürliche $S^{-1}A$-Modulhomomorphismus
+    \[
+        S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
+\end{korollar}
+
+
+\section{Technische Randbemerkungen}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
+    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
+    \[
+        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
+    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
+    \label{lemma:localisation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
+    \[
+        M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
+    \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
+    \label{kor:localisation-is-colim}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
+    ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.
+
+    Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
+    Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
+    also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
+    $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
+    eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
+    diese Abbildung bijektiv ist.
+
+    Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
+    in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
+    Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
+    existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
+    existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
+    Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
+    Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
+    \[
+        \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
+    .\]
+    \label{lemma:preimage-of-d}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
+    = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
+\end{proof}
+
+\section{Endlich étale Morphismen}
+
+\begin{definition}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
+    $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
+    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
+    \label{def:finite-locally-free}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
+    wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
+    \label{satz:morph-local-free-char}
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
+    Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
+    Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ sind genau dann eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
+    $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$
+    existiert ein $f_i$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$
+    $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ ist das Ideal $(f_i)$ nicht in $\mathfrak{p}$ enthalten
+    $\iff A = (f_i)$
+\end{proof}
+
+Geometrisch denke man bei $\varphi\colon A \to B$ an $\psi\colon \spec B \to \spec A$. 
+Wegen $\psi^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$ für $f \in A$, entspricht
+$A_f \to B_f = B_{\varphi(f)}$ also geometrisch einfach der Einschränkung von $\psi$ auf
+$\psi^{-1}(D(f)) \to D(f)$.
+
+Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
+
+\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
+    Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
+        %\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        %\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
+        \item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
+        \item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+            $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist.
+        \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+            $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (iv)$\Rightarrow$(v): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass
+    $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} existiert also für
+    alle $i \in I$ eine
+    Zariskiüberdeckung $\left\{\frac{f_{ij}}{1}\right\}$ von $A_{f_i}$, sodass $(A_{f_{i}f_{ij}}) = (A_{f_i})_{f_{ij}}
+    \to  B_{f_i f_{ij}} = (B_{f_i})_{f_{ij}}$ endlich, frei und separabel (da Lokalisieren Separabilität erhält) ist.
+    Zudem ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i) = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j} D(f_i f_{ij})$, also
+    ist $\{f_i f_{ij}\}_{i,j}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$.
+
+    (v)$\Rightarrow$(i): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass $A_{f_i} \to B_{f_i}$
+    endlich frei und separabel ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+    ist also $A \to B$ endlich und projektiv.
+    Es genügt also $\Omega_{B / A} = 0$ zu zeigen. Dazu sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ beliebig.
+    Dann ist
+    \[
+        (\Omega_{B / A})_{\mathfrak{p}} = \Omega_{B / A} \otimes_A A_{\mathfrak{p}}
+        = \Omega_{B \otimes_A A_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
+        = \Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
+    .\] Da $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ existiert nun ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$.
+    Also $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} \to (B_{f_i})_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ formal
+    unverzweigt, da $A_{f_i} \to B_{f_i}$ formal unverzweigt. Also
+    ist $\Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} = 0$ und damit $A \to B$ endlich étale.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Jede endlich étale Algebra ist also insbesondere endlich und lokal frei.
+    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
+\end{bem}
+
+%\begin{lemma}
+%    Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
+%    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
+%    \label{lemma:separable-is-local}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
+%    $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
+%    ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das 
+%    heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+%    \[
+%        \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
+%        \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
+%    \] und damit die Behauptung.
+%\end{proof}
+
+%\begin{satz}
+%    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
+%    $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
+%    \label{satz:equiv-finite-etale}
+%\end{satz}
+%
+%\begin{proof}
+%    ($\Rightarrow$) 
+%    Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
+%    $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
+%    $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
+%    existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
+%    folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
+%    Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
+%    $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
+%    Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
+%
+%    ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+%    existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
+%    $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
+%    über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
+%\end{proof}
+
+\subsection{Stabilität von endlich étale}
+
+\begin{satz}[Basiswechsel endlich étale]
+    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
+    $B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
+    \label{satz:basischange}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel.
+    Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also
+    ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Komposition endlich étale]
+    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
+    $C$ endlich étale $A$-Algebra.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Komposition.
+    Außerdem haben wir die exakte Kotangentialfolge
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            \underbrace{C \otimes_B \Omega_{B / A}}_{= 0} \arrow{r}
+            & \Omega_{C / A} \arrow{r}
+            & \underbrace{\Omega_{C / B}}_{= 0} \arrow{r}
+            & 0
+        \end{tikzcd}
+    .\] Aus der Exaktheit folgt also $\Omega_{C / A} = 0$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Grad}
+
+\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
+    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
+        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
+        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:degree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
+            $\iff [B : A] = 0$.
+        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
+        \item
+            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
+            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
+            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
+            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
+            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
+            $S \subseteq T$. Und damit
+            \[
+                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
+            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
+            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
+            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
+            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
+            die Aussage aus (einer Variante von) Going-Up (siehe Macdonald Theorem 5.10).
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+%\begin{lemma}
+%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
+%    \[
+%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
+%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
+%    \[
+%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%    \] ein Isomorphismus.
+%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
+%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
+%    \[
+%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    \] und
+%    \[
+%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
+%\end{proof}
+
+%\begin{korollar}
+%    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
+%    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
+%    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
+%
+%    \label{bem:finite-etale-basis}
+%\end{korollar}
+%
+%\begin{proof}
+%    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
+%    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
+%    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+%    durch Lokalisieren erhalten.
+%\end{proof}
+
+\begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach]
+    Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach.
+    \label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wir zeigen die Kontraposition: Sei $B$ nicht treuflach, dann existiert
+    nach Algebra 2 ein Maximalideal $\mathfrak{m}$ von $A$, sodass $B = \mathfrak{m}B$.
+    Dann folgt insbesondere $B_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$.
+    Da $B_{\mathfrak{m}}$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $B_{\mathfrak{m}} = 0$, also
+    $[ B : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ treuprojektive $A$-Algebra.
+    Dann ist $B$ genau dann endlich étale $A$-Algebra, wenn
+    $B \otimes_A C$ endlich étale $C$-Algebra ist.
+    \label{kor:finite-etale}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}.
+    Zur Rückrichtung: Nach \ref{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} ist $C$ treuflach. Damit folgt
+    die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
+    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
+    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
+    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
+    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
+    \label{bem:clopen-sets}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass
+    $\spec A = \coprod_{i \in I} D(f_i)$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus
+    \[
+    A \longrightarrow \prod_{i \in I} A_{f_i}
+    \] ein Isomorphismus.
+    \label{lemma:disjoint-union-of-spec}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $i \in I$. Falls $f_i \not\in \mathfrak{p}$ ist
+    $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$. Sei nun $f_i \in \mathfrak{p}$. Beh.: $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = 0$.
+
+    Wir zeigen $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$.
+    Sei $\mathfrak{q} \in \spec A$ mit $f_i \not\in \mathfrak{q}$. Dann ist
+    $\{\mathfrak{q}\} \subseteq D(f_i)$ und $D(f_i)$ ist abgeschlossen. Also folgt
+    $V(\mathfrak{q}) = \overline{\{\mathfrak{q}\}} \subseteq D(f_i)$. Da $\mathfrak{p} \not\in D(f_i)$, folgt
+    a fortiori $\mathfrak{p} \not\in V(\mathfrak{q})$. M.a.W.: $\mathfrak{q} \not\in \spec A_{\mathfrak{p}}$.
+    Kontraposition: Für $\mathfrak{q} \in \spec A_{\mathfrak{p}}$ folgt bereits $f_i \in \mathfrak{q}$.
+    Also ist $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$ und damit
+    $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})_{f_i} = 0$.
+
+    Es existiert nun genau ein $i_{0} \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in D(f_{i_0})$. Lokalisieren
+    von $A \to \prod_{i \in I} A_i$ ergibt also
+    \[
+        A_{\mathfrak{p}} \to \left(\prod_{i \in I} A_{f_i}\right)_{\mathfrak{p}}
+        = \prod_{i \in I} (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}
+    .\] Das erste Gleichheitszeichen gilt, da Spektren von Ringen quasikompakt sind, das heißt $I$ endlich ist.
+    Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
+    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
+    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
+    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
+        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale,
+    wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$.
+    \label{th:5.10}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die Rückrichtung ist klar nach \ref{kor:finite-etale}. Hinrichtung: Sei $B$ eine endlich
+    étale $A$-Algebra und sei zunächst $[ B : A ] = n$ konstant. Dann zeigen wir die Behauptung per Induktion
+    nach $n$.
+
+    Falls $n = 0$: Dann ist $B = 0$ und wir können $C = A$ setzen. Sei nun $n > 0$.
+    Nach \ref{satz:4.16} existiert eine $B$-Algebra $B'$ und ein
+    Isomorphismus von $B$-Algebren $B \otimes_A B \to B \times B'$.
+    Nach \ref{satz:basischange} ist $B \otimes_A B$ endlich étale $B$-Algebra und
+    $[ B \otimes_A B : B] = n$. Wenn $B$ natürlicherweise als $B$-Algebra aufgefasst wird, ist $[ B : B ] = 1$,
+    also nach \ref{ex:5.3} $[ B' : B ] = [ B \times B' : B ] - [ B : B ] = n-1$. Also wendet
+    sich die Induktionsvoraussetzung an und es gibt eine treuprojektive $B$-Algebra $C$, sodass
+    $B' \otimes_B C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist.
+
+    Dann ist $B \otimes_A C = B \otimes_A B \otimes_B C = (B \times B') \otimes_B C =
+    (B \otimes_B C) \times (B' \otimes_B C) = C \times (B' \otimes_B C)$. Da $C$
+    und $B' \otimes_B C$ als $C$-Algebren total zerlegbar sind, ist auch $B \otimes_A C$ total zerlegbar als
+    $C$-Algebra.
+
+    Nach \ref{satz:composition-projective} ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. Da $[ B : A ] \ge 1$
+    und $[ C : B ] \ge 1$ ist $\spec C \to \spec B \to \spec A$ surjektiv, also
+    $C$ treuprojektive $A$-Algebra nach \ref{satz:degree}.
+
+    Im Allgemeinen Fall sei $\spec A = \coprod_{n \ge 0} [ B : A ]^{-1}(\{n\})$. Dann existieren
+    idempotente Elemente $(e_n)_{n \ge 0}$, sodass $D(e_n) = [B : A]^{-1}(\{n\})$, also
+    $\spec A = \coprod_{n \ge 0} D(e_n)$. Mit \ref{lemma:disjoint-union-of-spec}
+    ist also $A = \prod_{n \ge 0}^{} A_{e_n}$, wobei wegen der Quasikompaktheit von $\spec A$ fast alle $e_n = 0$ sind.
+    Mit \ref{satz:projective-prod} ist also
+    $B = \prod_{n \ge 0} B_{e_n}$ mit $A_{e_n} \to B_{e_n}$ endlich étale.
+
+    Nun ist $[ B_{e_n} : A_{e_n} ] = n$ und
+    mit dem ersten Teil existiert eine treuprojektive $A_{e_n}$-Algebra $C_{n}$, sodass
+    $B_{e_n} \otimes_A C_n$ total zerlegbare $C_n$-Algebra ist. Setze
+    nun $C = \prod_{n \ge 0} C_{n}$. Nach \ref{satz:projective-prod} ist
+    $C$ endliche, projektive $A$-Algebra und $[C : A]|_{D(e_n)} = [ C_{e_n} : A_{e_n} ] \ge 1$, also
+    $[ C : A] \ge 1$ und damit $C$ treuprojektiv.
+    
+    Weiter ist
+    \[
+        B \otimes_A C = \left(\prod_{n \ge 0} B_{e_n} \right) \otimes_{\prod_{n \ge 0} A_{e_n}  }
+        \left(\prod_{n \ge 0} C_n\right)
+    = \prod_{n \ge 0}^{} B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n
+    \simeq \prod_{n \ge 0} C_n^{n}
+    \] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt.
+\end{proof}
+
+Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei
+$\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei
+$\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert
+einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.
+
+\begin{lemma}
+    Der induzierte Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ ist endlich étale.    
+    \label{lemma:induced-finite-etale}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $A \to A$ und $A \to 0$ sind endlich étale, also mit \ref{satz:projective-prod} auch
+    $\psi_d \colon A^{E} \to A = A \times 0 \times \ldots \times 0$
+    und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
+\end{proof}
+
+Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra:
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
+    \label{lemma:local-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
+    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
+    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
+    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
+    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
+    \label{lemma:no-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
+    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
+    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
+
+    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
+    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
+    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
+    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
+    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
+
+    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
+    gilt
+    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
+    \[
+        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
+    .\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
+    Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
+    existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
+    es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
+    und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
+            & \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow{l} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
+            A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+    \label{lemma:locally-trivial}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Da die Mengen der Form $D(a)$ eine Basis der Topologie von $\spec A$ bilden, kann $a$ so gewählt werden, dass
+    $[B : A]$ und $[C : A]$ von konstantem Grad auf $D(a)$ sind mit $\mathfrak{p} \in D(a)$.
+    Durch ersetzen von $A$, $B$ und $C$
+    durch $A_a$, $B_a$ und $C_a$ können wir wegen der totalen Zerlegbarkeit von $f$ und $g$ ohne Einschränkung
+    annehmen, dass $B \simeq A^{D}$ und $C \simeq A^{E}$.
+
+    Der lokale Ring $A_{\mathfrak{p}}$ hat nach \ref{lemma:local-idempotents} keine nicht trivialen idempotenten Elemente.
+    Also ist die induzierte Abbildung $h \colon A_{\mathfrak{p}}^{E} \to A_{\mathfrak{p}}^{D}$ nach
+    \ref{lemma:no-idempotents} induziert von einer Abbildung $\phi\colon D \to E$. $\phi$ induziert
+    nun eine Abbildung $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ und $h$ und $\psi$ haben selbes Bild
+    in
+    \begin{salign*}
+        \operatorname{Hom}_A(A^{E}, A^{D})_{\mathfrak{p}} &\stackrel{\ref{lemma:localisation-finitely-pres}}{=} \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}^{E},
+    A_{\mathfrak{p}}^{D})
+    .\end{salign*}
+    Nach \ref{kor:localisation-is-colim} existiert nun ein $a \in A \setminus \mathfrak{p}$, sodass
+    $h$ und $\psi$ die selbe Abbildung $A_a^{E} \to A_a^{D}$ induzieren.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
+    $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = gh$. Dann ist $h$ endlich étale.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Seien zunächst $f$ und $g$ total zerlegbar. Die Eigenschaft endlich étale ist lokal auf $C$ und damit
+    insbesondere auf $A$. Es genügt also für jedes $\mathfrak{p} \in \spec A$ ein $a \in A$ zu finden, sodass
+    $h\colon C_a \to B_a$ endlich étale.
+    Damit folgt die Aussage aus \ref{lemma:locally-trivial} und \ref{lemma:induced-finite-etale}.
+
+    Im Allgemeinen seien $D_1$ und $D_2$ treuprojektive $A$-Algebren, sodass
+    $D_1 \to B \otimes_A D_1$ und $D_2 \to C \otimes_A D_2$ total zerlegbar sind. Dann
+    ist mit \ref{satz:composition-projective} und \ref{satz:basischange-projective}
+    auch $A \to D_2 \to D_1 \otimes_A D_2$ endlich und projektiv. Da
+    $[ D_1 : A ] \ge 1$ folgt erneut mit \ref{satz:basischange-projective}, dass
+    $[ D_1 \otimes_A D_2 : D_2] \ge 1$. Also
+    sind mit \ref{satz:degree} $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec D_2$ und $\spec D_2 \to \spec A$ surjektiv, also
+    auch $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec A$. Damit ist $D = D_1 \otimes_A D_2$ treuprojektive $A$-Algebra.
+
+    Da $D_1 \to B \otimes_A D_1$ total zerlegbar ist und $- \otimes_A D_2$ mit endlichen Produkten kommutiert, ist auch
+    $D = D_1 \otimes_A D_2 \to B \otimes_A D_1 \otimes_A D_2 = B \otimes_A D$ total zerlegbar. Analog
+    ist $D \to C \otimes_A D$ total zerlegbar und
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        C \otimes_A D \arrow[from=1-1,to=1-3] & & B \otimes_A D \\
+                                              & \arrow{ul} D \arrow{ur} &
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert, also wendet sich der obige Speziallfall an und $C \otimes_A D \to B \otimes_A D$ ist endlich étale.
+
+    Da $A \to D$ treuprojektiv, folgt mit \ref{satz:basischange-projective}, dass $C \to C \otimes_A D$ treuprojektiv ist.
+    Anwenden von \ref{kor:finite-etale} auf $C \otimes_A D \to B \otimes_A D = B \otimes_C (C \otimes_A D)$, liefert
+    $h\colon C \to B$ endlich étale.
+\end{proof}
+
+\section{Aufgaben nach unserem Kapitel}
+
+\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
+    Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
+    $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
+    jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
+    $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
+    \label{ex:5.3}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
+    $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
+    existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
+    \[
+        \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
+        = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) 
+    .\] Das heißt
+    $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
+    ist für $1 \le i \le n$.
+
+    Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
+    \[
+        [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
+        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
+        = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
+        = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
+        = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
+    .\]
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
+    Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
+    für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
+    ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
+    Weiter ist
+    \[
+    \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
+    .\] 
+    \label{satz:projective-prod}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die Folge abelscher Gruppen
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
+            & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
+        & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
+        \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
+        \end{tikzcd}
+    \] ist genau dann exakt, wenn
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
+    \end{tikzcd}
+    \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
+    $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.
+
+    Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
+    existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
+    $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
+    Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
+    alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
+    $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
+    alle $i \in I$.
+
+    Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
+
+    %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
+    %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
+    %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
+    %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
+    %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
+    %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.
+
+    Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
+    $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
+    also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
+    \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
+    Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
+        A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
+    und wir sind in der obigen Situation.
+
+    Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
+    ersten Absatz.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[]
+    Sei $A = \mathbb{C}[X]$ und $B = A[Y]/(Y^2 - X)$.  
+    Dann ist $\{1, Y\}$ eine Basis
+    von $B$ über $A$.
+    \begin{proof}
+    $\{1, Y\} $ ist ein Erzeugendensystem von $B$ als $A$-Modul, denn
+    $Y^2 = X$ in $B$.
+    Außerdem folgt für $f, g \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = 0$ bereits, dass
+    $f + gY \in (Y^2 - X)$ also existiert ein $h \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = h(Y^2 - X)$.
+    Angenommen $g \neq 0$. Dann
+    ist $1 = \text{deg}_Y (f + gY) = \text{deg}_Y(h) + \text{deg}_Y(Y^2 -X) = \text{deg}_Y(h) + 2$.
+    Widerspruch. Also ist $f \in (Y^2 - X)$, aber da $f \in \mathbb{C}[X]$ folgt $f = 0$. Also
+    sind $\{1, Y\}$ linear unabhängig.
+    \end{proof}
+
+    $B$ ist also endlich frei und insbesondere projektiv über $A$. Allerdings ist
+    mit $f = Y^2 - X$
+    \[
+    \Omega_{B / A} = \Omega_{(A[Y] / (f)) / A} \simeq A[Y]/(f, f') = A[Y]/(Y^2 - X, 2Y)
+    = \mathbb{C}[X,Y]/(Y^2 - X, 2Y)
+    .\] Nach Ersetzen von $A$ durch $A_X = \mathbb{C}[X, X^{-1}]$
+    ist $Y^2$ eine Einheit in $B$ und damit auch $Y$. Also ist
+    \[
+    \Omega_{B / A} = B / (2Y) = 0
+    .\] Also $A \to B$ endlich étale. Es ist $[ B : A ] = 2$ und
+    sei $\psi\colon \spec B \to \spec A$ die induzierte Abbildung. Dann ist
+    $\spec A \simeq D(X) \subseteq \spec \mathbb{C}[X]$. Sei $\lambda \in \mathbb{C}^{\times}$
+    und $x_{\lambda} = \mathfrak{p}_{\lambda}$ das von $(X - \lambda)$ erzeugte Maximalideal.
+    Dann folgt
+    \begin{align*}
+    \psi^{-1}(x_{\lambda})
+    &\simeq \spec \kappa(x_{\lambda}) \otimes_A B \\
+    &= \spec A/(X - \lambda) \otimes_{A} A[Y]/(Y^2-X) \\
+    &\simeq \spec A[Y]/(Y^2 - X, X - \lambda) \\
+    &\simeq \spec \mathbb{C}[Y]/(Y^2 - \lambda) \\
+    &= \{ Y - \lambda, Y + \lambda \} 
+    .\intertext{Aber für den generischen Punkt $\xi \in \spec A$ folgt}
+        \psi^{-1}(\xi) &\simeq \spec \kappa(\xi) \otimes_A B \\
+                  &\simeq \spec \mathbb{C}(X) \otimes_A A[Y] / (Y^2 - X) \\
+                  &\simeq \spec \mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)
+    .\end{align*}
+    Das Polynom $(Y^2 - X)$ ist irreduzibel in $\mathbb{C}(X)$ also
+    ist $\mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)$ eine Körpererweiterung vom Grad $2$ von $\mathbb{C}(X)$.
+    Insbesondere ist die Faser $\psi^{-1}(\xi)$ einelementig, also ist
+    $\psi$ keine topologische Überlagerung.
+
+    Es ist weiter
+    \begin{align*}
+        B \otimes_A B &= B \otimes_A A[Z]/(Z^2-X) \\
+                      &= B[Z]/(Z^2-X) \\
+                      &= B[Z] / (Z - Y) (Z + Y) \\
+                      &\simeq B[Z] / (Z - Y) \times B[Z] / (Z + Y)\\
+                      &\simeq B \times B
+    .\end{align*}
+    Also wird $A \to B$ durch Basiswechsel mit $A \to B$ total zerlegbar.
+\end{bsp}
+
+
+\end{document}

sose2022/lie/sheet4.py

@@ -0,0 +1,108 @@
+import numpy as np
+import itertools
+import sys
+
+
+def s_n(n): 
+    return list(itertools.permutations(range(1,n+1)))
+
+def canon_tab(n):
+    return list(range(1,n+1))
+
+def split_rows(part, lst):
+    assert(sorted(part, reverse=True) == part)
+    n = sum(part)
+    xs = lst.copy()
+    split = []
+    for s in part:
+        split.append(xs[0:s])
+        xs = xs[s:]
+    return split
+
+def is_row_stab(part, perm):
+    n = sum(part)
+    assert(len(perm) == n)
+    return list(map(sorted, split_rows(part, canon_tab(n)))) == list(map(sorted, split_rows(part, list(perm))))
+
+def cycles(perm):
+    cycles = []
+    xs = list(range(1, len(perm)+1))
+    while len(xs) > 0:
+        c = [xs[0]]
+        k = xs[0]
+        while (perm[k-1] not in c):
+            k = perm[k-1]
+            c.append(k)
+        xs = [ x for x in xs if x not in c ]
+        cycles.append(c)
+    return cycles
+
+def cycle_type(perm):
+    cs = cycles(perm)
+    types = {}
+    for c in cs:
+        if len(c) not in types:
+            types[len(c)] = 1
+        else:
+            types[len(c)] += 1
+    t = []
+    for i in range(1, max(perm)+1):
+        t.append(types.get(i, 0))
+    return tuple(t)
+
+def conjugacy_classes(n):
+    cs = {}
+    for perm in s_n(n):
+        ct = cycle_type(perm)
+        if ct not in cs:
+            cs[ct] = [perm]
+        else:
+            cs[ct].append(perm)
+    l = list(cs.items())
+    return sorted(l, key=lambda x: x[0], reverse=True)
+
+def partitions(n, conj_classes=None):
+    parts = []
+    if conj_classes == None:
+        conj_classes = conjugacy_classes(n)
+    for cycle_type, conj in conj_classes:
+        part = []
+        for i, c in enumerate(cycle_type):
+            for s in range(0, c):
+                part.append(i+1)
+        parts.append(sorted(part, reverse=True))
+        #parts.append([(i+1) * cycle_type[i] for i in range(0, n)])
+    return list(sorted(parts, reverse=True))
+
+def psi(n):
+    cs = conjugacy_classes(n)
+    ps = partitions(n, cs)
+    m = np.zeros((len(cs), len(cs)))
+    for i, part in enumerate(ps):
+        row_stabs = set(filter(lambda sigma: is_row_stab(part, sigma), s_n(n)))
+        for j, (cycle_type, conj) in enumerate(cs):
+            m[i, j] = len(row_stabs & set(conj)) * np.math.factorial(n) / (len(row_stabs) * len(conj))
+    return m
+
+def sigma(n):
+    cs = conjugacy_classes(n)
+    m = np.zeros((len(cs), len(cs)))
+    for i, (cycle_type, conj) in enumerate(cs):
+        m[i, i] = len(conj) / np.math.factorial(n)
+    return m
+
+if __name__ == '__main__':
+    if len(sys.argv) >= 2:
+        n = int(sys.argv[1])
+    else:
+        n = 3
+
+    psi = psi(n)
+    sigma = sigma(n)
+
+    a = np.dot(psi, np.dot(sigma, np.transpose(psi)))
+    k = np.linalg.cholesky(a)
+    x = np.dot(np.linalg.inv(k), psi)
+    print("Character table for S_n where n =", n)
+    print("Rows are indexed by partitions and columns by conjugacy classes")
+    print(x.round())

sose2022/metaethik/axiomatische_ethik.tex

@@ -0,0 +1,239 @@
+\documentclass[a4paper]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage[shortlabels]{enumitem}
+
+\title{Versuch einer axiomatischen Ethik}
+\author{Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Einleitung}
+
+%Die Philosophie ist eine hoffnungslose Wissenschaft.
+
+Nach Moore ist eine Definition des Wortes \emph{gut} unmöglich. Gut
+wird von ihm als abstraktes, einfaches Grundwort vorausgesetzt, dessen Existenz er postuliert.
+Dieses Prinzip findet sich
+in der Mathematik, speziell der Mengenlehre wieder. Hier wird der Begriff der \emph{Menge}
+vorausgesetzt ohne diesen zu definieren. Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied zwischen der
+Mengenlehre und der Ethik Moores: Die Mengenlehre befasst sich mit den Eigenschaften von
+Mengen, anhand vorgegebener Axiome. Moore hingegen schreibt gut keinerlei Eigenschaften
+zu, außer der charakterisierenden Eigenschaft des Guten, nicht definierbar zu sein.
+
+Charakterisierungen als Definition zu missverstehen ist für Moore ein Fehlschluss, weshalb der
+hier anklingende Widerspruch nur oberflächlich ist.
+Eine Definition im Sinne von Moore ist eine analytische Aufsummierung
+der Bestandteile einer Sache. Dennoch charakterisiert Moore das Wort gut: Er postuliert es gebe
+nur ein einziges einfaches, nicht analytisch zerlegbares, also nicht definierbares Grundwort:
+Das Wort gut. Dadurch ist gut eindeutig charakterisiert, ohne eine Definition
+im Sinne von Moore zu geben.
+
+Einen strengen Unterschied sieht Moore zwischen der Eigenschaft gut und dem \emph{Guten}.
+Letzteres bezeichne im Folgenden die Sammlung aller Gegenstände unseres Denkens, die die Eigenschaft
+gut tragen. Das Gute ist also ein analytisch zerlegter Begriff und somit das
+Spiegelbild von gut in der natürlichen Welt. Die grundlegende Aufgabe der Ethik ist
+diese Sammlung des Guten zu bestimmen.
+
+Neben dem einzigen einfachen Grundwort gut gibt es in unserer Sprache auf den ersten
+Blick noch ein weiteres solches einfaches Grundwort: Das Adjektiv \emph{schlecht}. Das steht
+jedoch im Widerspruch zu Moores Postulat der Eindeutigkeit des Wortes gut. Der Fehler
+liegt darin, dass, der natürlichen, sprachlichen Intuition folgend, das Adjektiv schlecht,
+unter Voraussetzung der Existenz des Wortes gut, analytisch als das Gegenteil von
+gut definiert werden kann.
+
+Dies führt zwingend zu folgender Beobachtung: Da die Bedeutung von gut nicht analytisch
+festlegbar ist, bleibt die Wahrheit des Satzes ,,Töten ist gut.`` unentscheidbar. Auf den ersten
+Blick werden die meisten Menschen diesen Satz als falsch bezeichnen. Für
+eine Person, die für sich das einzige, nicht analytisch zerlegbare Grundwort gut mit der
+der sprachlichen Intuition folgenden Bedeutung von schlecht assoziiert, wird diesen
+Satz jedoch als wahr ansehen.
+
+Die Intuitionisten lösen dieses Dilemma, indem sie die Existenz eines weiteren
+Sinns postulieren: Die moralische Intuition. Diese detektiert die Eigenschaft
+gut und erlaubt somit eine Beantwortung der oben beschriebenen grundlegenden Frage
+der Ethik nach der Charakterisierung des Guten.
+
+Dieser Aufsatz plädiert für eine andere Umgangsweise mit dem obigen Dilemma.
+
+\section{Axiomatische Ethik}
+
+Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie oder eines Systems, das innerhalb des Systems als wahr
+angenommen ist. Im Gegensatz zu einer These bedarf ein Axiom keines Beweises innerhalb der Theorie.
+Beispiele für axiomatische Wissenschaften sind
+die Mathematik, mit den Axiomen der Mengenlehre, oder die
+theoretische Physik der klassischen Mechanik, mit den Newtonschen Axiomen.
+
+Ein bereits aufgetretenes ethisches Axiom ist Moores Postulat der Existenz und Eindeutigkeit
+des Grundworts gut. In diesem Sinne ist die Ethik Moores also bereits axiomatisch. Im Folgenden
+ist dieses Postulat die Grundannahme und es werden nur Axiomensysteme betrachtet, die dieses
+voraussetzen.
+
+Der Ansatz zur Lösung des oben beschriebenen Dilemmas ist nun die Schaffung eines ausdrucksstarken
+Axiomensystems. Die Grundobjekte sind hier stets die Gegenstände unseres Denkens, über die moralische
+Urteile gefällt werden sollen. Ein mögliches Axiomensystem ist nun das folgende:
+
+\begin{enumerate}[(i)]
+    \item Jede nichtleere Sammlung von Gegenständen unseres Denkens enthält eine
+        Sammlung als Element,
+        die disjunkt zur ersten Sammlung ist.
+    \item Das Gute ist eine nichtleere Sammlung.
+    \item Das Schlechte ist eine nichtleere Sammlung.
+    \item Ein Gegenstand unseres Denkens ist genau dann gut, wenn er nicht schlecht
+        ist.
+    \item Die Hintereinanderausführung zweier Handlungen ist genau dann gut,
+        wenn beide Handlungen gut sind.
+    \item Die Vereinigung von endlich vielen guten Gegenständen unseres
+        Denkens zu einer Sammlung
+        ist selbst wieder gut.
+\end{enumerate}
+
+Einige dieser Axiome erscheinen dem Leser vermutlich naheliegend. Andere mögen auf
+den ersten Blick überraschend oder unklar wirken. Besonders das Axiom (i) benötigt
+eine Erläuterung: Da auch Sammlungen von Gegenständen unseres Denkens erneut ein Gegenstand
+unseres Denkens darstellen, können diese selbst wieder Elemente von solchen Sammlungen sein. Das
+erste Axiom verhindert nun, dass zyklische Verschachtelungen von Sammlungen existieren:
+Sei eine Sammlung gegeben. Dann betrachte man die
+Sammlung, die als einziges Element die erste Sammlung enthält. Die zweite Sammlung
+enthält dann nach Axiom (i) eine Sammlung, die disjunkt zu ersterer ist. Allerdings
+enthält die zweite Sammlung nur die erste Sammlung, also ist die zweite Sammlung disjunkt
+zur ersten Sammlung. In anderen Worten: Keine Sammlung enthält sich selbst als Element.
+
+Hieraus lassen sich nun zahlreiche Eigenschaften des Guten ableiten. Beispielsweise
+ist das Gute selbst natürlich ein Gegenstand unseres Denkens. Es drängt sich also
+natürlicherweise die Frage auf, ob das Gute selbst gut ist. Mit anderen Worten:
+Ist das Gute im Guten enthalten? Die Erläuterung im letzten Absatz beantwortet die Frage eindeutig
+mit Nein, per Definition des Guten ist also das Gute nicht selbst gut.
+Das hat eine direkte Konsequenz: Nach Axiom (iv) ist das Gute schlecht.
+
+Dieses Beispiel nährt Zweifel an einem Sinn für moralische Intuition. Die zunächst schwierig, wenn
+nicht sogar widersprüchlich
+klingende Aussage ,,Das Gute ist schlecht.`` hat in diesem axiomatischen Kontext nicht nur
+einen klaren Sinn, sie ist sogar zwingend wahr.
+
+Die Schwierigkeit der Theorie ist, dass die Sammlung des Guten zwar nichtleer ist, jedoch
+die Axiome, außer dem Schlechten mit einem analogen Argument wie oben, keine Gegenstände
+unseres Denkens als gut charakterisiert.
+Per Axiom natürliche Objekte anzugeben, die gut sind, führt aber zwingend zu
+einem naturalistischen Fehlschluss. Es
+ist damit notwendigerweise gegeben, dass die Axiome ohne solche konkreten Angaben formuliert werden.
+
+Damit
+ist das motivierende Dilemma folgendermaßen gelöst: Formale Eigenschaften des Wortes gut, werden
+durch Axiome festgehalten. Dadurch erhält das Wort gut eine über seine definierende
+Charakterisierung hinausgehende Bedeutung. Die Entscheidung, welche natürlichen Gegenstände
+unseres Denkens gut sind, findet dann zwingend im System und nicht außerhalb statt.
+
+Hier liegt eine große Stärke dieses axiomatischen Ansatzes.
+Die Axiome geben lediglich einen formalen Rahmen für ethische Argumente. Sie sind
+somit unabhängig von den sozialen Standards, Werten und Normen einer Gesellschaft und
+können als universelle Grundlage für moralische Diskussionen angesehen werden. 
+Moral ist dann eine Realisierung der Ethik, beispielsweise in einer Gesellschaft in
+der Werte und Normen die Sammlung des Guten mit Leben füllen. Selbstverständlich
+ist dabei nicht jedes Paar aus Gesellschaft und Werten eine Realisierung des obigen Axiomensystems.
+Die Aufgabe der Metaethik ist deshalb nun ein geeignetes Axiomensystem zu finden, das zum einen
+ausdrucksstark genug ist, um ethische Argumentationen auszuführen und andererseits hinreichend
+kompatibel ist mit realen Gesellschaften und Wertsystemen. Das heißt, dass sich genügend viele
+dieser letzten Systeme in dem axiomatischen Modell realisieren lassen.
+
+In diesem Ansatz ist die Ethik die Wissenschaft, die aus den Axiomen ethische Thesen beweist.
+Die Metaethik lebt hier also eine Ebene höher als die Ethik und ist von dieser klar getrennt.
+Sie ist die Instanz, die über die Axiome streitet, blickt also von außen auf diese Grundsätze
+und ist somit überhaupt in der Lage über diese zu diskutieren. Wertvolle Kriterien sind
+Ausdrucksstärke und
+Widerspruchsfreiheit, wobei letztere bereits aus logischen Gründen nicht
+nachgewiesen werden kann\footnote{Siehe Gödel.}.
+Moores Ansatz ist ein leeres Axiomensystem, denn neben dem Postulat der Existenz des
+Grundbegriffs gut, fordert er keine weiteren Eigenschaften an die Eigenschaft gut. Sein
+System ist somit maximal ausdrucksschwach.
+
+Das hier vorgeschlagene System ist klar ausdrucksstärker. Beispielsweise ist
+die folgende Aussage wahr: Seien zwei Handlungen gegeben.
+Falls eine der beiden schlecht ist, so ist zwingend die
+Hintereinanderausführung schlecht, denn angenommen diese wäre gut, so folgt mit Axiom (v),
+dass beide Handlungen gut sind.
+
+Die Ausdrucksstärke macht das System natürlich auch streitbarer: Eine unmittelbare Konsequenz
+aus obigem Beispiel ist die folgende Aussage: Angenommen Stehlen ist schlecht. Dann ist der
+Diebstahl eines Kaugummis im lokalen Supermarkt, gefolgt von einer großzügigen Spende
+an ein Wiederaufbauprogramm in der Ukraine unabhängig vom Charakter der zweiten Handlung schlecht.
+Eine gute Handlung ist also eine vollkommen gute Handlung. Jeder Schritt muss alleine gesehen
+gut sein. In den meisten Gesellschaften mit ihren gängigen Wertsystemen wirkt das sicherlich, wie
+eine zweifelhafte Aussage. Das legt die Vermutung nahe, dass das hier beispielhaft
+angegebene Axiomensystem nicht hinreichend realisierbar ist. Vermutlich würden die meisten Menschen,
+die nicht gerade Putin sind, die obige Situation als ,,überwiegend gut`` bewerten.
+Moralische Urteile sind wie hier häufig relativ formuliert oder verwenden zumindest
+Abstufungen der Eigenschaft gut. Das steht natürlich im klaren Gegensatz zum vorliegenden Modell,
+das nur zwei Zustände zulässt: Ein Gegenstand unseres Denkens ist entweder gut oder schlecht.
+
+Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass das obige Problem nicht bei Vereinigungen von
+Gegenständen unseres Denkens auftritt. Die Axiomatik ist hier entschieden schwächer, denn
+eine Vereinigung guter und schlechter Gegenstände kann durchaus gut sein. Ein klassisches
+Beispiel ist der Tyrannenmord. Während in den meisten Gesellschaften die Gegenstände
+,,Tyrannei abschaffen`` als gut und ,,Mord`` als schlecht eingestuft werden, wird dessen
+Vereinigung, Tyrannenmord, als gut eingeschätzt.
+
+Bei genauer Betrachtung kann auch die Hinrichtung des Axioms (v)
+als nicht intuitiv erscheinen: Unter der
+in den meisten wissenschaftlichen Kreisen vertretenen Annahme,
+dass das Schützen des Klimas, beispielsweise durch das Entziehen von CO$_2$ aus der Atmosphäre,
+eine gute Handlung ist,
+folgt mit Axiom (v), dass auch die beliebig häufige Wiederholung dieser Handlung wieder eine gute
+Handlung ist. Jedoch führt das häufig wiederholte Entziehen von CO$_2$
+aus der Atmosphäre zwingend zu einer deutlichen Senkung der globalen Temperatur. Nach hinreichend
+häufiger Wiederholung ist also nicht mehr die globale Erwärmung das Problem, sondern die globale
+Abkühlung und die damit verbundene drohende menschengemachte Eiszeit. In
+dieser Situation wäre, zumindest gemäß gemäßigten wissenschaftlichen Kreisen, das Entziehen von
+CO$_2$ eine schlechte Handlung und das Verbrennen von Kohle die gute Handlung.
+Das sehr häufige Wiederholen der selben guten Handlung kann also eine schlechte Handlung sein.
+Wieder scheint also das vorgeschlagene Axiomensystem mit einem weit verbreiteten Wertesystem nicht
+kompatibel zu sein. Allerdings liegt diese Inkompatibilität nur an der Oberfläche. Der Fehler
+ist sprachliche Ungenauigkeit: Die Aussage ,,Entziehen von CO$_2$ ist gut`` ist eine fatal verkürzte
+Form von ,,Entziehen von CO$_2$ ist im Sommer 2022 gut``. Wenn also die Handlungen vollständig
+mit Ort und Zeit verstanden werden, dann lassen sich diese auch nur hintereinander
+ausführen, wenn die Zeiten miteinander kompatibel sind. Und dann lässt sich auch aus der
+Prämisse ,,Entziehen von CO$_2$ im Sommer 2022 ist gut``, nicht die Aussage
+,,Entziehen von CO$_2$ im Jahr 2100 ist gut`` ableiten.
+
+\subsection{Endlichkeit}
+
+Das Gute ist nicht endlich, denn wäre es endlich, so wäre es die endliche Vereinigung seiner
+guten Elemente, also nach Axiom (vi) selber gut, was im Widerspruch zu der Tatsache steht, dass
+das Gute schlecht ist. Hier wird also nicht nur postuliert, dass es überhaupt unendlich viele
+Gegenstände unseres Denkens gibt, was angesichts des Beispiels der Zahlen die meisten
+Menschen nicht verwundern wird, sondern auch, dass unendlich viele solche die Eigenschaft
+gut tragen. Das bedeutet, dass eine Moral, die dieses Axiomensystem realisiert, nicht
+durch eine endliche Auflistung guter Gegenstände unseres Denkens erklärt werden kann.
+Es drängt sich an dieser Stelle die Frage auf: Ist das Gute zumindest endlich erzeugt? Also
+gibt es eine endliche Sammlung elementarer guter Gegenstände unseres Denkens, sodass sich
+alle guten Dinge als Vereinigung oder Hintereinanderausführung dieser Elementaren ergeben? Ein
+Beispiel für eine Moral, die das Axiomensystem realisiert und endlich erzeugt ist, lässt
+sich im alten Testament finden: Die von den 10 Geboten ableitbare Moral. Das Gute ist dann
+gegeben als beliebige endliche Vereinigungen der Werte wie
+Ehrlichkeit, Treue oder Respekt des Eigentums, und beliebige Hintereinanderausführungen
+der so entstandenen guten Handlungen.
+
+Vermutlich entstehen tatsächlich die meisten Moralsysteme aus einer endlichen Menge an Werten, in
+anderen Worten: Das Gute ist zumeist endlich erzeugt. Ein mögliches zusätzliches sinnvolles Axiom
+wäre also zu fordern, dass das Gute ein endliches Erzeugendensystem besitzt.
+
+Die analoge Frage lässt sich natürlich auch für das Schlechte stellen. Das Axiomensystem lässt diese
+Frage jedoch offen, da keine Aussage über endliche Vereinigungen von schlechten Gegenständen
+unseres Denkens getroffen wird.
+
+\section{Zusammenfassung}
+
+Moores Postulat des eindeutigen einfachen Grundworts gut, zieht zwingend die Notwendigkeit nach sich,
+dieses Wort mit weiteren postulierten Eigenschaften zu versehen. Anstatt eine fast göttliche,
+übergeordnete Instanz zu fordern, die moralische Intuition, die unfehlbar entscheidet, was gut
+und schlecht ist, ist der hier geschilderte axiomatische Ansatz ein Versuch die formalen
+Eigenschaften des Guten festzulegen, um damit einen möglichst universellen Rahmen für
+Moralsysteme aller Art zu schaffen.
+
+\end{document}

sose2023/6ff/refs.bib

@@ -0,0 +1,57 @@
+@book {hartshorne,
+    AUTHOR = {Hartshorne, Robin},
+     TITLE = {Residues and duality},
+    SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, No. 20},
+      NOTE = {Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck,
+              given at Harvard 1963/64,
+              With an appendix by P. Deligne},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York},
+      YEAR = {1966},
+     PAGES = {vii+423},
+   MRCLASS = {14.55},
+  MRNUMBER = {0222093},
+MRREVIEWER = {R. L. Knighten},
+}
+
+@book {kashiwara,
+    AUTHOR = {Kashiwara, Masaki and Schapira, Pierre},
+     TITLE = {Sheaves on manifolds},
+    SERIES = {Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental
+              Principles of Mathematical Sciences]},
+    VOLUME = {292},
+      NOTE = {With a chapter in French by Christian Houzel,
+              Corrected reprint of the 1990 original},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin},
+      YEAR = {1994},
+     PAGES = {x+512},
+      ISBN = {3-540-51861-4},
+   MRCLASS = {58G07 (18F20 32C38 35A27)},
+  MRNUMBER = {1299726},
+}
+
+@book {gelfand,
+    AUTHOR = {Gelfand, Sergei I. and Manin, Yuri I.},
+     TITLE = {Methods of homological algebra},
+    SERIES = {Springer Monographs in Mathematics},
+   EDITION = {Second},
+ PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin},
+      YEAR = {2003},
+     PAGES = {xx+372},
+      ISBN = {3-540-43583-2},
+   MRCLASS = {18-02 (18Exx 18Gxx 55U35)},
+  MRNUMBER = {1950475},
+       DOI = {10.1007/978-3-662-12492-5},
+       URL = {https://doi.org/10.1007/978-3-662-12492-5},
+}
+
+@article {mathew,
+    AUTHOR = {Akhil Mathew},
+     TITLE = {Verdier Duality},
+      NOTE = {Expository Notes (version dated July 29, 2011), available at \url{https://math.uchicago.edu/~amathew/verd.pdf}},
+}
+
+@article {mustata,
+    AUTHOR = {Mircea Mustaţă},
+     TITLE = {Soft sheaves on paracompact spaces and applications},
+      NOTE = {Notes, available at \url{http://websites.umich.edu/~mmustata/SoftSheaves.pdf}},
+}

sose2023/6ff/vortrag.tex

@@ -0,0 +1,565 @@
+\documentclass[a4paper]{../../notes}
+
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
+\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+\renewcommand{\lim}{\varprojlim}
+\newcommand{\colim}[1]{\underset{#1}{\operatorname{colim}\;}}
+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+
+\newcommand{\sh}[1]{\mathcal{A}b(#1)}
+\newcommand{\supp}[1]{\operatorname{supp}(#1)}
+
+\begin{document}
+
+\section{Overview}
+
+These notes mostly follow \cite{mathew}. Some ideas are taken
+from \cite{gelfand}.
+
+In the following, for a topological space $X$ denote by $\sh{X}$ the category
+of sheaves of abelian groups on $X$. Furthermore, denote by
+$\mathrm{D}^{+}(X)$ the bounded below derived category of $\sh{X}$.
+
+\begin{definition}[Lower Shriek]
+    Let $f\colon X \to Y$ be a continuous map of locally compact topological spaces.
+    For $\mathcal{F} \in \sh{X}$
+    and $U \subseteq Y$ open, let
+    \[
+    f_{!}(\mathcal{F})(U) = \{ s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U)) \colon \supp{s} \xrightarrow{f} U \text{ proper}\}
+    .\]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[Lower shriek of sheaf is a sheaf]
+    Let $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be a sheaf $f\colon X \to Y$ continuous.
+    Then $f_{!}\mathcal{F}$ is a sheaf on $Y$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Clearly, $f_{!}\mathcal{F}$ is a sub-presheaf of the sheaf $f_{*} \mathcal{F}$. To show
+    it is a sheaf, we need to verify that gluing sections in $f_{!}\mathcal{F}$ gives again a
+    section in $f_{!}\mathcal{F}$.
+
+    Let $(U_i)_{i \in I}$ be a family of open sets in $Y$ and $s_i \in (f_{!} \mathcal{F})(U_i)$
+    sections. Thus $s_i \in \mathcal{F}(f^{-1}(U_i))$ such that $\supp{s_i} \xrightarrow{f} U_i$
+    is proper.
+    Gluing yields a unique section $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$. We need
+    to check that
+    \[
+    \supp{s} = \bigcup_{i \in  I} \supp{s_i} \xlongrightarrow{f} \bigcup_{i \in  I} U_i
+    \] is proper. For this note that
+    $\left(f|_{\supp{s}}\right)^{-1}(U_i) = f^{-1}(U_i) \cap \supp{s} = \supp{s_i}$ and
+    being proper is local on the target.
+\end{proof}
+
+The goal of this and the following talk is to prove the following theorem
+
+\begin{theorem}[Verdier duality]
+    If $X, Y$ are locally compact topological spaces of finite dimension,
+    then $\mathrm{R}f_{!}$ admits a right adjoint
+    $f^{!}\colon \mathrm{D}^{+}(Y) \to \mathrm{D}(X)$.
+\end{theorem}
+
+To show the existence of the derivative of $f_{!}$, we need to introduce an adapted class of shaves.
+
+\begin{definition}
+    Let $X$ be a locally compact space, $\mathcal{F} \in \sh{X}$ and $Z \subseteq X$ a subset. Then
+    define
+    \[
+    \mathcal{F}(Z) = \Gamma(Z, \mathcal{F}) = \Gamma(Z, i^{*}\mathcal{F})
+    \] for $i\colon Z \to X$ the canonical inclusion.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    If $Z \subseteq X$ is a subset and $i\colon Z \to X$ the canonical inclusion, then
+    \[
+    \mathcal{F}(Z)
+    =
+    \left\{ (s_i, U_i)_{i \in I} \colon U_i \subseteq X \text{ open with } Z \subseteq \bigcup_{i \in  I} U_i,
+    s_i \in \mathcal{F}(U_i) \text{ with } (s_i)_z = (s_{j})_z \forall i, j \in I, z \in Z \cap U_i \cap U_j\right\} / \sim 
+    .\]
+    where $(U_i, s_i)_{i \in I} \sim (V_j, t_j)_{j \in J}$
+    if and only if $(s_i)_z = (t_j)_z$ for all $i \in I$, $j \in J$ and $z \in U_i \cap V_j \cap Z$.
+
+    For every open neighbourhood $U$ of $Z$, we have a restriction map
+    \[
+    \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(Z), s \mapsto s|_Z \coloneqq [(s, U)]
+    .\] This induces a map
+    \[
+    \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U)
+    \to \mathcal{F}(Z)
+    .\]
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}
+    Let $X$ be a locally compact Hausdorff space and $\mathcal{F} \in \sh{X}$.
+    If $Z \subseteq X$ is compact, the natural map
+    \[
+    \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(Z)
+    \] is an isomorphism.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Injectivity: Let $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s|_Z = 0$. Thus for all $z \in Z$,
+    $s_z = 0$ and
+    there exists an open neighbourhood
+    $z \in U_z \subseteq U$ such that $s|_{U_z} = 0$. Thus $s|_{\bigcup U_z } = 0$. Since
+    $Z \subseteq \bigcup_{z \in Z} U_z$, $s$ is zero in the colimit.
+
+    Surjectivity: Take $(s_i, U_i)_{i \in I} \in \mathcal{F}(Z)$. Thus
+    $Z \subseteq \bigcup_{i \in  I} U_i$ and by local compactness, for every $z \in Z$, there
+    exists a compact neighbourhood $z \in K_z$ such that $K_z \subseteq U_{i_z}$ for
+    some $i_z \in I$. Since $Z$ is compact, finitely many suffice, so we may assume
+    $Z \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} K_i$ and $K_i \subseteq U_i \subseteq X$.
+    We now want to define a section on a neighbourhood of $Z$ that locally agrees with the $s_i$.
+
+    By induction, we may assume $n = 2$. By definition, $(s_1)_z = (s_2)_z$ for all $z \in Z \cap U_1 \cap U_2$,
+    in particular $s_1|_{U_1 \cap U_2}$ and $s_2|_{U_1 \cap U_2}$ have the same restriction
+    to $K_1 \cap K_2$. By the injectivity of the restriction map,
+    there exists an open neighbourhood $K_1 \cap K_2 \subseteq V \subseteq U_1 \cap U_2$, such that
+    $s_1|_V = s_2|_V$. Since $K_j \setminus V$ is closed in the compact $K_j$, for $j=1,2$
+    the subset $K_j \setminus V$ is compact. Since $X$ is Hausdorff, there
+    exist open neighbourhoods $K_j \setminus V \subseteq U_j' \subseteq U_j$ such that
+    $U_1' \cap U_2' = \emptyset$. Now $s_1|_{U_1'}$, $s_2|_{U_2'}$ and
+    $s_1|_V = s_2|_V$ glue to a section $w$ on $U_1' \cup U_2' \cup V \supseteq K_1 \cup K_2 \supseteq Z$
+    such that $w|_Z = [(s_i, U_i)_{i \in I}]$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    A sheaf $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is \emph{soft} if
+    $\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(Z)$ is surjective whenever $Z \subseteq X$ is compact.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    In \cite{kashiwara} our notion of softness is called \emph{c-soft}.
+    For $\sigma$-compact spaces the notions agree according to Exercise II.6 in \cite{kashiwara}.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Flasque sheaves are soft]
+    Recall that a sheaf $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is called \emph{flasque}, if
+    for every open set $U \subseteq X$, the restriction map
+    $\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U)$ is surjective. For $Z \subseteq X$ compact,
+    we have a commutative diagram:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \mathcal{F}(X) \arrow{rr} \arrow[twoheadrightarrow]{dr} & & \mathcal{F}(Z) \\
+             & \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U) \arrow{ur}{\simeq} &
+    \end{tikzcd}
+    .\] Thus $\mathcal{F}$ is soft.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    Let $X$ be a locally compact topological space.
+    If $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is soft, $K \subseteq X$ is compact and $K \subseteq U$ is an open neighbourhood,
+    any section over $K$ can be extended to a global section with compact support contained in $U$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $s \in \mathcal{F}(K)$.
+    By local compactness, there exists a compact neighbourhood $L$ of $K$ with $L \subseteq U$. Then
+    $K \cap \partial L = \emptyset$. Consider the section on $K \cup \partial L$ given by
+    $s$ on $K$ and zero on $\partial L$. Since $\mathcal{F}$ is soft, this can be extended
+    to a global section, and a fortiori to a section $t$ over $L$. Now
+    the sections given by $t$ on $L$ and $0$ on $\overline{X \setminus L}$ glue to a compactly
+    supported extension of $s$. Since $L \subseteq U$, its support is contained in $U$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Compactly supported cohomology}
+
+Let $X$ be a topological space.
+
+\begin{bem}[Support]
+    For $\mathcal{F} \in \sh{X}$, $U \subseteq X$ open and a section $s \in \mathcal{F}(U)$,
+    its support $\supp{s}$ is defined as
+    \[
+        \{ x \in U\colon s_x \neq 0\}  
+    .\] This set is always closed, as its complement is open.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Let $U \subseteq X$ be open and $\mathcal{F} \in \sh{X}$. We define
+    $\Gamma_c(U, \mathcal{F})$ as the subgroup of $\Gamma(U, \mathcal{F})$ consisting of
+    sections with compact support.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    If $s, t \in \Gamma(U, \mathcal{F})$ have compact support, so does $s + t$. Thus
+    $\Gamma_c(U, \mathcal{F})$ is indeed a subgroup of $\Gamma(U, \mathcal{F})$.
+
+    Taking $U = X$, this defines a functor $\Gamma_c = \Gamma_c(X, \cdot)\colon \sh{X} \to \mathcal{A}b$
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Lower shriek and compact support]
+    Let $f\colon X \to \{ *\} $ be the unique continuous map from $X$ to the one point space.
+    Then $f_{!} \cdot = \Gamma_c(X, \cdot)$
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    $\Gamma_c$ is left exact.
+    \label{satz:gamma_c-left-exact}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ be an exact sequence
+    in $\sh{X}$. This induces a commutative diagram
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \Gamma(X, \mathcal{F}') \arrow{r}
+                    & \Gamma(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+                    & \Gamma(X, \mathcal{F}'') \\
+        0 \arrow{r} & \Gamma_c(X, \mathcal{F}') \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
+                    & \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
+                    & \Gamma_c(X, \mathcal{F}'') \arrow[hookrightarrow]{u}
+    \end{tikzcd}
+    ,\] where the first row is exact. Since the vertical arrows are inclusions,
+    the injectivity of $\Gamma_c(X, \mathcal{F}') \to \Gamma_c(X, \mathcal{F})$ is immediate. Let now
+    $s \in \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \subseteq \Gamma(X, \mathcal{F})$
+    such that $s$ becomes zero in $\Gamma_c(X, \mathcal{F}'')$. Thus
+    by exactness of the first row, $s \in \Gamma(X, \mathcal{F}')$. Since $s \in \Gamma_c(X, \mathcal{F})$,
+    $s$ is compactly supported, so $s \in \Gamma_c(X, \mathcal{F}')$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Let $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ be an exact sequence
+    in $\sh{X}$. Suppose $\mathcal{F}'$ is soft. Then the sequence
+    $0 \to \Gamma_c(X, \mathcal{F}') \to \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \to \Gamma_c(X, \mathcal{F}'') \to 0$
+    is also exact.
+
+    \label{satz:soft-gamma_c-exact}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    By \ref{satz:gamma_c-left-exact}, we only need to show surjectivity on the right.
+
+    Suppose first that $X$ is compact and let $s \in \Gamma_c(X, \mathcal{F}'') = \Gamma(X, \mathcal{F}'')$.
+    Since $\mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is exact, there exist
+    a covering $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ and lifts $t_i \in \mathcal{F}(U_i)$
+    of $s|_{U_i}$. By local compactness of $X$, we may assume, after a possible refinement, that each
+    $U_i$ contains a compact set $V_i$ whose interiors still cover $X$. Since
+    $X$ is compact, we may assume $I$ is finite. To piece together the $t_i$, we may assume, by induction,
+    that $\#I = 2$.
+
+    Consider $t_1|_{U_1 \cap U_2} - t_2|_{U_1 \cap U_2}$. This is necessarily a section $e'$ of
+    $\mathcal{F}'(U_1 \cap U_2)$ as it maps to zero in $\mathcal{F}''(U_1 \cap U_2)$. Restricting
+    $e'$ to the compact $V_1 \cap V_2$ and extending it by softness, yields a global section $e$ of
+    $\mathcal{F}'$. Now
+    \[
+        (t_2|_{V_2} + e|_{V_2})|_{V_1 \cap V_2} = t_2|_{V_1 \cap V_2} + e'|_{V_1 \cap V_2} = t_1|_{V_1 \cap V_2}
+    .\] Thus $t_1|_{V_1}, t_2|_{V_2} + e|_{V_2}$ glue to a global section $t$ of $\mathcal{F}$
+    with image $s$.
+
+    Now for general $X$: Let $s \in \mathcal{F}''(X)$ with compact support $Z$. By local compactness,
+    there exists a compact neighbourhood $Z' \subseteq X$ of $Z$. Since
+    pullback of sheaves is exact and restriction of soft sheaves to closed subsets preserves softness,
+    applying the result to $Z'$,
+    yields a section $t' \in \mathcal{F}(Z')$ lifting $s|_{Z'}$. The restriction
+    $t'|_{\partial Z'}$ maps to $s|_{\partial Z'} = 0$, so $t'|_{\partial Z'} \in \mathcal{F}'(\partial Z')$.
+    Since $\partial Z'$ is compact and $\mathcal{F}'$ is soft, $t'|_{\partial Z'}$
+    extends to a global section $b$ of $\mathcal{F}'$. Thus
+    \[
+    (t' - b|_{Z'})|_{\partial Z'} = t'|_{\partial Z'} - t'|_{\partial Z'} = 0
+    .\] So
+    $t' - b|_{Z'}$ on $Z'$ and $0$ on $\overline{X \setminus Z'}$ glue to a global section
+    $t$ of $\mathcal{F}$. Then $t|_{Z'} = t' - b|_{Z'}$ maps to $s|_{Z'}$ since
+    $b \in \mathcal{F}'(X)$. Since $\supp{t}, \supp{s} \subseteq Z'$, $t$ is a compactly supported lift of $s$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    If $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is an exact sequence
+    in $\sh{X}$ and $\mathcal{F}', \mathcal{F}$ are soft, then
+    $\mathcal{F}''$ is soft too.
+    \label{kor:soft-2+3}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Let $Z \subseteq X$ be compact. 
+    Since restricting to a closed subset is exact and preserves softness,
+    by \ref{satz:soft-gamma_c-exact} $\Gamma_c(Z, \mathcal{F}) \to \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')$ is surjective.
+    This yields a commutative
+    diagram
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \arrow[twoheadrightarrow]{d} \arrow{r} & \Gamma_c(X, \mathcal{F}'')
+        \arrow{d} \\
+        \Gamma_c(Z, \mathcal{F}) \arrow[twoheadrightarrow]{r} & \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')
+    \end{tikzcd}
+    ,\] where the left vertical arrow is surjective, since $\mathcal{F}$ is soft. Since
+    the composition is surjective, $\Gamma_c(X, \mathcal{F}'') \to \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')$ is also
+    surjective.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Soft sheaves are $\Gamma_c$-acyclic.
+    \label{kor:soft-gamma_c-acyclic}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Let $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be soft and
+    embed $\mathcal{F}$ in an injective sheaf $\mathcal{I}$. This yields an exact sequence
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \mathcal{F} \arrow{r}
+                    & \mathcal{I} \arrow{r}
+                    & \mathcal{G} \arrow{r}
+                    & 0
+    \end{tikzcd}
+    .\]
+    Since $\mathcal{I}$ is injective, in particular flasque, hence soft,
+    by \ref{kor:soft-2+3}, $\mathcal{G}$ is soft.
+    We proceed by induction. For $i = 1$ consider the exact sequence
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X, \mathcal{I}) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X, \mathcal{G}) \arrow{r}
+                    & H_c^{1}(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+                    & \underbrace{H_c^{1}(X, \mathcal{I})}_{= 0}
+    \end{tikzcd}
+    .\]
+    Since $\mathcal{F}$ is soft, $\Gamma_c(X, \mathcal{I}) \to \Gamma_c(X, \mathcal{G})$ is
+    surjective. By the exactness of the sequence, $H_c^{1}(X, \mathcal{F})$ vanishes.
+    Now assume $H_c^{i}(X, \mathcal{F}) = 0$ for any soft sheaf $\mathcal{F}$. Then the exact sequence
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \underbrace{H_c^{i}(X, \mathcal{I})}_{= 0} \arrow{r} & H_c^{i}(X, \mathcal{G}) \arrow{r}
+                                          & H_c^{i+1}(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+                                          & \underbrace{H_c^{i+1}(X, \mathcal{I})}_{= 0}
+    \end{tikzcd}
+    \] yields an isomorphism $H_c^{i}(X, \mathcal{G}) \simeq H_c^{i+1}(X, \mathcal{F})$ and
+    since $\mathcal{G}$ is soft, the left hand side is zero by induction hypothesis.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Let $f\colon X \to Y$ be a continuous map of locally compact topological spaces. If $Y$ is Hausdorff and
+    $\mathcal{F} \in \sh{X}$, then there is a natural isomorphism
+    \[
+        (R^{i}f_{!}\mathcal{F})_y \simeq H_c^{i}(f^{-1}(y), \mathcal{F}|_{f^{-1}(y)})
+    \] for each $y \in Y$.
+    \label{thm:base-change}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Denote by $X_y$ the fibre of $f$ over $y$ and by $\mathcal{F}$ the restriction to $X_y$.
+    Let $y \in Y$. Since $R^{i}f_{!}$ is a derived functor, it is a universal $\delta$-functor. Since restriction
+    of soft sheaves to closed subspaces preserves softness, the $\delta$-functor
+    $\mathcal{F} \mapsto H_c^{i}(X_y, \mathcal{F}_y)$ vanishes for soft sheaves and $i > 0$. Thus
+    it is effaceable and hence universal. Therefore it suffices to define a natural isomorphism
+    in degree $0$.
+
+    Let $y \in U \subseteq Y$ open. Then consider the natural map
+    \begin{salign*}
+        (f_{!}\mathcal{F})(U) &\longrightarrow \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y) \\
+                            s &\longmapsto s|_{X_y}
+    .\end{salign*}
+    This is well-defined, since for any $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ with
+    $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ proper, we have
+    \[
+    \supp{s|_{X_y}} = \supp{s} \cap X_y = \left( f|_{\supp{s}}^{U} \right)^{-1}(y)
+    \] and the right hand side is compact. This map induces
+    a natural map
+    \[
+        (f_{!}\mathcal{F})_y = \colim{y \in U \subseteq Y} (f_{!}\mathcal{F})(U)
+        \longrightarrow \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y)
+    .\]
+
+    Injectivity: Let $s \in (f_{!}\mathcal{F})(U)$ such that $s|_{X_y} = 0$. Thus
+    $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ and $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ is proper. Since
+    $s|_{X_y} = 0$, $f^{-1}(y) \cap \supp{s} = X_y \cap \supp{s} = \emptyset$, in particular
+    $y \not\in f(\supp{s})$. Let $y \in U'$ be the complement of $f(\supp{s})$ in $U$.
+    Since $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ is proper, $f(\supp{s})$ is closed in $U$, so
+    $U'$ is open in $U$ and hence in $Y$. Moreover
+    \[
+    f^{-1}(U') \cap \supp{s}
+    \subseteq f^{-1}(U') \cap f^{-1}(f(\supp{s}))
+    = f^{-1}(U' \cap f(\supp{s}))
+    = f^{-1}(\emptyset)
+    = \emptyset
+    .\]
+    Hence $s|_{f^{-1}(U')} = 0$, so $s|_{U'} = 0$.
+
+    Surjectivity: Suppose first $\mathcal{F}$ is soft and let
+    $s \in \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y)$. Since $\mathcal{F}$ is soft, we may extend
+    $s \in \mathcal{F}(X_y)$ to a compactly supported $s \in \mathcal{F}(X) = (f_{*}\mathcal{F})(Y)$.
+    Since $Y$ is Hausdorff, every compact $K \subseteq Y$ is closed and therefore its preimage
+    under $f|_{\supp{s}}$ is closed in the compact $\supp{s}$, thus itself compact. Hence
+    $f|_{\supp{s}}\colon \supp{s} \to Y$ is proper and $s \in (f_{!}\mathcal{F})(Y)$.
+
+    For arbitrary $\mathcal{F}$, there exists an exact sequence
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \mathcal{F} \arrow{r}
+                    & \mathcal{I} \arrow{r}
+                    & \mathcal{J}
+    \end{tikzcd}
+    \] with $\mathcal{I}, \mathcal{J}$ soft (e.g. injective). The functors
+    $(f_{!} \cdot )_y$ and $\Gamma_c(X_y, \cdot |_{X_y})$ are left exact, so we have a commuting diagram
+    with exact rows:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & (f_!\mathcal{F})_y \arrow{r} \arrow{d}
+                    & (f_!\mathcal{I})_y \arrow{r} \arrow{d}{\simeq}
+                    & (f_!\mathcal{J})_y \arrow{d}{\simeq} \\
+        0 \arrow{r} & \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X_y, \mathcal{I}_y) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X_y, \mathcal{J}_y)
+    \end{tikzcd}
+    .\] The five-lemma yields the desired isomorphism.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Consider a cartesian diagram of locally compact Hausdorff spaces:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        X \times_Y Z \arrow{r}{f'} \arrow{d}{p'} & X \arrow{d}{p} \\
+        Z \arrow{r}{f} & Y
+    \end{tikzcd}
+    .\] Then there is a natural isomorphism, for any
+    $\com{\mathcal{F}} \in \mathcal{D}^{+}(X)$,
+    \[
+    f^{*} \mathrm{R}p_{!} \com{\mathcal{F}} \simeq \mathrm{R}p_!' f'^{*} \com{\mathcal{F}}
+    .\] 
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    By the universal property of derived functors, it suffices to define a natural transformation
+    $f^{*}p_{!} \to \mathrm{R} p_{!}'f'^{*}$. By composing with the canonical
+    natural transformation $p_{!}'f'^{*} \to \mathrm{R}p_{!}'f'^{*}$, it suffices to define
+    the dotted arrow in the diagram below
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        f^{*}p_{!} \arrow[dashed]{rr} \arrow[dotted]{dr} & & \mathrm{R} p_{!}'f'^{*} \\
+                                     & p_{!}'f'^{*} \arrow[swap]{ur}{can} &
+    \end{tikzcd}
+    .\] By naturality, it is sufficient to define for $\mathcal{G} \in \sh{X}$ a natural map
+    $f^{*}p_! \mathcal{G} \to p_!'f'^{*}\mathcal{G}$. Since
+    $f^{*} \dashv f_{*}$, this is equivalent to defining a natural map
+    $p_!\mathcal{G} \to f_{*} p_{!}'f'^{*} \mathcal{G}$.
+
+    Again using $f'^{*} \dashv f'_{*}$, the map $\text{id}_{f'^{*} \mathcal{G}}$ induces a map
+    $\mathcal{G} \to f'_{*} f'^{*} \mathcal{G}$. Applying
+    $p_{*}$ yields $p_{*} \mathcal{G} \to p_{*}f'_{*}f'^{*} \mathcal{G}$. By the commutativity of the diagram
+    we have $p_{*} f'_{*} = (pf')_{*} = (fp')_{*} = f_{*} p'_{*}$, so a map
+    $\varphi\colon p_{*} \mathcal{G} \to f_{*} p'_{*} f'^{*} \mathcal{G}$.
+
+    For $U \subseteq Y$ open, this induces a map
+    \[
+    \varphi_U\colon \mathcal{G}(p^{-1}(U)) \longrightarrow (f'^{*} \mathcal{G})(p'^{-1}(f^{-1}(U)))
+    .\]
+    Let now $s \in \mathcal{G}(p^{-1}(U))$ such that
+    $\supp{s} \xrightarrow{p} U$ is proper. Since $f'^{*}$ preserves stalks, for
+    $(x, z) \in p^{-1}(U) \times_U f^{-1}(U)$ we have the following equivalences
+    \[
+        (x, z) \in \supp{\varphi_U(s)}
+        \iff \varphi_U(s)_{(x, z)} \neq 0
+        \iff s_{f'(x,z)} \neq 0
+        \iff s_{x} \neq 0
+        \iff x \in \supp{s}
+    .\] Thus $\supp{\varphi_U(s)} = \supp{s} \times_{U} f^{-1}(U)$. We therefore have the following
+    commutative diagram:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \supp{s} \times_{U} f^{-1}(U) \arrow{d} \arrow{r} & \supp{s} \arrow{d} \\
+        f^{-1}(U) \arrow{r} & U
+    \end{tikzcd}
+    .\] By assumption the right vertical arrow is proper. Since properness is stable under (topological)
+    base change, the left vertical arrow is proper too. Hence
+    $\supp{\varphi_U(s)} \xrightarrow{p'} f^{-1}(U)$ is proper and
+    \[
+    \varphi_U(s) \in (p'_{!}f'^{*} \mathcal{G})(f^{-1}(U)) = (f_{*} p'_{!}f'^{*} \mathcal{G})(U)
+    .\] Thus $\varphi$ restricts to a natural map
+    \[
+    p_{!} \mathcal{G} \longrightarrow f_{*} p'_{!} f'^{*} \mathcal{G}
+    .\]
+
+    To check that this is an isomorphism, we can use the fact that both functors are
+    way-out functors in the sense of Section 7 in \cite{hartshorne}. Thus we only need to check
+    this for a single sheaf $\mathcal{F} \in \sh{X}$, i.e. we want to show
+    \[
+    f^{*} R^{i} p_{!} \mathcal{F} \xlongrightarrow{\simeq} R^{i}p_{!}'f'^{*}\mathcal{F}
+    \] for all $i \ge 0$. Again by universality of the $\delta$-functors involved,
+    we may assume $i = 0$. Moreover, we can check this at the level of stalks. Let $z \in Z$. Then
+    on the left hand side
+    \begin{equation}
+        (f^{*}p_{!}\mathcal{F})_z
+        \simeq
+        (p_{!} \mathcal{F})_{f(z)}
+        \stackrel{\ref{thm:base-change}}{\simeq}
+        \Gamma_c(p^{-1}(f(z)), \mathcal{F}|_{p^{-1}(f(z))})
+        =
+        \Gamma_c(f'(p'^{-1}(z))), \mathcal{F}|_{f'(p'^{-1}(z))})
+        \label{eq:1}
+    \end{equation}
+    On the right hand side, we have
+    \begin{equation}
+        (p'_{!} f'^{*} \mathcal{F})_z
+        \stackrel{\ref{thm:base-change}}{\simeq}
+        \Gamma_c(p'^{-1}(z), (f'^{*} \mathcal{F})|_{p'^{-1}(z)})
+        \label{eq:2}
+    \end{equation}
+    $\mathcal{F}|_{f'(p'^{-1}(z))}$ and
+    $(f'^{*} \mathcal{F})|_{p'^{-1}(z)}$ are given as the sheafification of the same presheaf, indeed:
+    \begin{salign*}
+    \colim{p'^{-1}(z) \subseteq U \subseteq X \times_Y Z} \; (f'^{*}\mathcal{F})(U)
+    &= \colim{p'^{-1}(z) \subseteq U \subseteq X \times_Y Z} \quad
+        \colim{f'(U) \subseteq V \subseteq X} \; \mathcal{F}(V) \\
+    &= \colim{f'(p'^{-1}(z)) \subseteq V \subseteq X} \; \mathcal{F}(V)
+    .\end{salign*}
+    This shows (\refeq{eq:1}) $\simeq$ (\refeq{eq:2}) and concludes the proof.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Soft sheaves are $f_!$-acyclic. In particular, if
+    $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is an exact sequence in $\sh{X}$
+    and $\mathcal{F}'$ is soft, then the sequence
+    $0 \to f_!\mathcal{F}' \to f_!\mathcal{F} \to f_!\mathcal{F}'' \to 0$ is exact.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $i > 0$ and $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be soft. Then for $y \in Y$
+    \begin{salign*}
+        (R^{i}f_!\mathcal{F})_y
+        \stackrel{\ref{thm:base-change}}{\simeq} H_c^{i}(f^{-1}(y), \mathcal{F}|_{f^{-1}(y)})
+        \; \stackrel{\ref{kor:soft-gamma_c-acyclic}}{=} \; 0
+    ,\end{salign*}
+    since the restriction of a soft sheaf to a closed subset is soft.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Let $U \subseteq X$ be open and $j\colon U \to X$ the inclusion map. By looking at stalks,
+    one finds that $j_!\mathcal{F}$ for $\mathcal{F} \in \sh{U}$ is just extension by zero.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lower shriek preserves softness]
+    If $f\colon X \to Y$ is continuous and $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is soft, then
+    $f_! \mathcal{F}$ is soft too.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $Z \subseteq Y$ be compact and
+    $s \in (f_!\mathcal{F})(Z) \simeq \colim{Z \subseteq U \subseteq Y} (f_!\mathcal{F})(U)$. Then
+    there exists an open neighbourhood $U$ of $Z$ and an extension
+    $\tilde{s} \in (f_!\mathcal{F})(U) \subseteq \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ with
+    $\supp{\tilde{s}} \xrightarrow{f} U$ proper. Since $Y$ is locally compact, there exists
+    a compact neighbourhood $L \subseteq U$ of $Z$. Restricting $\tilde{s}$ to the compact
+    $K \coloneqq \left(f|_{\supp{\tilde{s}}}\right)^{-1}(L) \subseteq \supp{\tilde{s}}$
+    and extending by softness of $\mathcal{F}$, yields a compactly supported global section
+    $t \in \mathcal{F}(X) = (f_{*}\mathcal{F})(Y)$ such that $t|_Z = s$. Since
+    $\supp{t}$ is compact and $Y$ is Hausdorff, $\supp{t} \xrightarrow{f} Y$ is proper.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[Leray spectral sequence]
+    Given maps $f\colon X \to Y$, $g\colon Y \to Z$ of locally compact Hausdorff spaces,
+    there is a natural isomorphism
+    $\mathrm{R}(g \circ f)_{!} \simeq \mathrm{R}g_{!} \circ \mathrm{R}f_{!}$.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Since soft sheaves are $f_{!}$ (and $g_!$) acyclic and $f_{!}$ maps
+    soft sheaves to soft sheaves, the result follows from 
+    Proposition 5.4 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
+\bibliographystyle{alpha}
+\bibliography{refs}
+
+\end{document}

sose2023/6ff/vortrag2.tex

@@ -0,0 +1,682 @@
+\documentclass{../../notes}
+
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
+\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+\renewcommand{\lim}{\varprojlim}
+\newcommand{\colim}[1]{\underset{#1}{\operatorname{colim}\;}}
+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+
+\newcommand{\sh}[1]{\mathcal{A}b(#1)}
+\newcommand{\supp}[1]{\operatorname{supp}(#1)}
+
+\title{Lower shriek}
+\author{Christian Merten}
+
+\begin{document}
+
+\section{Preliminaries}
+
+These notes mostly follow \cite{mathew}. Some ideas are taken
+from \cite{gelfand} and \cite{kashiwara}.
+
+In the following, a topological space $X$ is always assumed to be locally compact and Hausdorff.
+Denote by $\sh{X}$ the category
+of sheaves of abelian groups on $X$. Furthermore, denote by
+$\mathrm{D}(X)$ (respectively $\mathrm{D}^{+}(X)$) the (bounded below) derived category of $\sh{X}$.
+
+\begin{definition}[Lower Shriek]
+    Let $f\colon X \to Y$ be a continuous map of spaces.
+    For $\mathcal{F} \in \sh{X}$
+    and $U \subseteq Y$ open, let
+    \[
+    f_{!}(\mathcal{F})(U) = \{ s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U)) \colon \supp{s} \xrightarrow{f} U \text{ proper}\}
+    .\]
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Support]
+    For $\mathcal{F} \in \sh{X}$, $U \subseteq X$ open and a section $s \in \mathcal{F}(U)$,
+    its support $\supp{s}$ is defined as
+    \[
+        \{ x \in U\colon s_x \neq 0\}  
+    .\] This set is always closed, as its complement is open.
+\end{bem}
+
+\color{gray}
+
+\begin{lemma}[Lower shriek of sheaf is a sheaf]
+    Let $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be a sheaf $f\colon X \to Y$ continuous.
+    Then $f_{!}\mathcal{F}$ is a sheaf on $Y$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Clearly, $f_{!}\mathcal{F}$ is a sub-presheaf of the sheaf $f_{*} \mathcal{F}$. To show
+    it is a sheaf, we need to verify that gluing sections in $f_{!}\mathcal{F}$ gives again a
+    section in $f_{!}\mathcal{F}$.
+
+    Let $(U_i)_{i \in I}$ be a family of open sets in $Y$ and $s_i \in (f_{!} \mathcal{F})(U_i)$
+    sections. Thus $s_i \in \mathcal{F}(f^{-1}(U_i))$ such that $\supp{s_i} \xrightarrow{f} U_i$
+    is proper.
+    Gluing yields a unique section $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$. We need
+    to check that
+    \[
+    \supp{s} = \bigcup_{i \in  I} \supp{s_i} \xlongrightarrow{f} \bigcup_{i \in  I} U_i
+    \] is proper. For this note that
+    $\left(f|_{\supp{s}}\right)^{-1}(U_i) = f^{-1}(U_i) \cap \supp{s} = \supp{s_i}$ and
+    being proper is local on the target.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\begin{bem}[Lower shriek is left exact]
+    Let $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ be an exact sequence
+    in $\sh{X}$ and $f\colon X \to Y$ continuous. Then
+    \[
+    0 \to f_{!} \mathcal{F}' \to f_{!}\mathcal{F} \to f_{!}\mathcal{F}''
+    \] is exact.
+\end{bem}
+
+\color{gray}
+
+\begin{proof}
+    We have the following commutative diagram
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & f_{!} \mathcal{F}' \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{d}
+                    & f_{!} \mathcal{F}  \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{d}
+                    & f_{!} \mathcal{F}'' \arrow[hookrightarrow]{d} \\
+        0 \arrow{r} & f_{*} \mathcal{F}' \arrow{r}
+                    & f_{*} \mathcal{F} \arrow{r}
+                    & f_{*} \mathcal{F}''
+    \end{tikzcd}
+    ,\] where the second row is exact. Thus the claim follows.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\begin{bem}[Lower shriek and compact support]
+    Let $f\colon X \to \{ *\} $ be the unique continuous map from $X$ to the one point space
+    and $\mathcal{F} \in \sh{X}$.
+    Then
+    \[
+        (f_{!}\mathcal{F})(\{*\}) =
+        \{ s \in \mathcal{F}(X)\colon \supp{s} \to \{ *\} \text{ proper}\}
+        = \{ s \in \mathcal{F}(X)\colon \supp{s} \text{ compact}\} 
+    .\] Denote this by $\Gamma_c(X, \mathcal{F})$.
+\end{bem}
+
+\section{Derivative of lower shriek}
+
+The goal of this and the following talk is to prove the following theorem
+
+\begin{theorem}[Verdier duality]
+    If $X, Y$ are locally compact topological spaces of finite dimension,
+    then $\mathrm{R}f_{!}$ admits a right adjoint
+    $f^{!}\colon \mathrm{D}^{+}(Y) \to \mathrm{D}(X)$.
+\end{theorem}
+
+To calculate the derivative of $f_{!}$, we need to introduce an adapted class of sheaves.
+
+\begin{definition}
+    Let $X$ be space, $\mathcal{F} \in \sh{X}$ and $Z \subseteq X$ a subset. Then
+    define
+    \[
+    \mathcal{F}(Z) = \Gamma(Z, \mathcal{F}) = \Gamma(Z, \mathcal{F}|_{Z})
+    \] where $\mathcal{F}|_{Z} = i^{*}\mathcal{F}$ for $i\colon Z \to X$ the canonical inclusion.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Lemma 1.4 in \cite{mustata}]
+    If $\mathcal{F} \in \sh{X}$, $Z_1, Z_2 \subseteq X$ are closed
+    and $t_1 \in \mathcal{F}(Z_1)$, $t_2 \in \mathcal{F}(Z_2)$ are given such that
+    $t_1|_{Z_1 \cap Z_2} = t_2|_{Z_1 \cap Z_2}$, then
+    there exists a unique section $t \in \mathcal{F}(Z_1 \cup Z_2)$ such that
+    $t|_{Z_1} = t_1$ and $t|_{Z_2} = t_2$.
+\end{bem}
+
+\color{gray}
+
+\begin{bem}
+    If $Z \subseteq X$ is a subset and $i\colon Z \to X$ the canonical inclusion, then
+    \[
+    \mathcal{F}(Z)
+    =
+    \left\{ (s_i, U_i)_{i \in I} \colon U_i \subseteq X \text{ open with } Z \subseteq \bigcup_{i \in  I} U_i,
+    s_i \in \mathcal{F}(U_i) \text{ with } (s_i)_z = (s_{j})_z \forall i, j \in I, z \in Z \cap U_i \cap U_j\right\} / \sim 
+    .\]
+    where $(U_i, s_i)_{i \in I} \sim (V_j, t_j)_{j \in J}$
+    if and only if $(s_i)_z = (t_j)_z$ for all $i \in I$, $j \in J$ and $z \in U_i \cap V_j \cap Z$.
+
+    For every open neighbourhood $U$ of $Z$, we have a restriction map
+    \[
+    \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(Z), s \mapsto s|_Z \coloneqq [(s, U)]
+    .\] This induces a map
+    \[
+    \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U)
+    \to \mathcal{F}(Z)
+    .\]
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}
+    Let $X$ be a space and $\mathcal{F} \in \sh{X}$.
+    If $Z \subseteq X$ is compact, the natural map
+    \[
+    \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(Z)
+    \] is an isomorphism.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Injectivity: Let $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s|_Z = 0$. Thus for all $z \in Z$,
+    $s_z = 0$ and
+    there exists an open neighbourhood
+    $z \in U_z \subseteq U$ such that $s|_{U_z} = 0$. Thus $s|_{\bigcup U_z } = 0$. Since
+    $Z \subseteq \bigcup_{z \in Z} U_z$, $s$ is zero in the colimit.
+
+    Surjectivity: Take $(s_i, U_i)_{i \in I} \in \mathcal{F}(Z)$. Thus
+    $Z \subseteq \bigcup_{i \in  I} U_i$ and by local compactness, for every $z \in Z$, there
+    exists a compact neighbourhood $z \in K_z$ such that $K_z \subseteq U_{i_z}$ for
+    some $i_z \in I$. Since $Z$ is compact, finitely many suffice, so we may assume
+    $Z \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} K_i$ and $K_i \subseteq U_i \subseteq X$.
+    We now want to define a section on a neighbourhood of $Z$ that locally agrees with the $s_i$.
+
+    By induction, we may assume $n = 2$. By definition, $(s_1)_z = (s_2)_z$ for all $z \in Z \cap U_1 \cap U_2$,
+    in particular $s_1|_{U_1 \cap U_2}$ and $s_2|_{U_1 \cap U_2}$ have the same restriction
+    to $K_1 \cap K_2$. By the injectivity of the restriction map,
+    there exists an open neighbourhood $K_1 \cap K_2 \subseteq V \subseteq U_1 \cap U_2$, such that
+    $s_1|_V = s_2|_V$. Since $K_j \setminus V$ is closed in the compact $K_j$, for $j=1,2$
+    the subset $K_j \setminus V$ is compact. Since $X$ is Hausdorff, there
+    exist open neighbourhoods $K_j \setminus V \subseteq U_j' \subseteq U_j$ such that
+    $U_1' \cap U_2' = \emptyset$. Now $s_1|_{U_1'}$, $s_2|_{U_2'}$ and
+    $s_1|_V = s_2|_V$ glue to a section $w$ on $U_1' \cup U_2' \cup V \supseteq K_1 \cup K_2 \supseteq Z$
+    such that $w|_Z = [(s_i, U_i)_{i \in I}]$.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\begin{definition}
+    A sheaf $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is \emph{soft} if
+    $\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(Z)$ is surjective whenever $Z \subseteq X$ is compact.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    In \cite{kashiwara} our notion of softness is called \emph{c-soft}.
+    For $\sigma$-compact spaces the notions agree according to Exercise II.6 in \cite{kashiwara}.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Flasque sheaves are soft]
+    Recall that a sheaf $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is called \emph{flasque}, if
+    for every open set $U \subseteq X$, the restriction map
+    $\mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(U)$ is surjective. For $Z \subseteq X$ compact,
+    we have a commutative diagram:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \mathcal{F}(X) \arrow{rr} \arrow[twoheadrightarrow]{dr} & & \mathcal{F}(Z) \\
+             & \colim{Z \subseteq U} \mathcal{F}(U) \arrow{ur}{\simeq} &
+    \end{tikzcd}
+    .\] Thus $\mathcal{F}$ is soft.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Prop. 2.5.6 in \cite{kashiwara}]
+    Let $\mathcal{F} \in \sh{X}$. Then $\mathcal{F}$ is soft if and only if for
+    any closed subset $Z \subseteq X$, the restriction
+    $\Gamma_c(X, \mathcal{F}) \to \Gamma_c(Z, \mathcal{F}|_{Z})$
+    is surjective.
+\end{bem}
+
+\color{gray}
+
+\begin{proof}
+    If $K \subseteq X$ is compact, $\Gamma(K, F) = \Gamma_c(K, F|_K)$,
+    so the condition is sufficient. Conversely
+    assume $\mathcal{F}$ is soft and let $s \in \Gamma_c(Z, \mathcal{F}|_Z)$ with
+    compact support $K$. Let $U$ be a relatively compact open neighbourhood of $K$ in $X$.
+    Define $\tilde{s} \in \Gamma(\partial U \cup (Z \cap \overline{U}), \mathcal{F})$
+    by setting $\tilde{s}_{Z \cap \overline{U}} = s$
+    and $\tilde{s}|_{\partial U} = 0$. By softness, this extends to a global section
+    $t \in \Gamma(X, \mathcal{F})$. Since $t = 0$ on a neighbourhood of $\partial U$,
+    we may assume $t$ is supported by $\overline{U}$.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\begin{bsp}
+    Let $M$ be a smooth manifold and let $f \in \mathcal{C}^{\infty}(K)$ be a
+    section over a compact set $K$, i.e. a smooth function defined
+    on some neighbourhood $U$ of $K$. Thus by using a partition of unity,
+    we can extend $f$ to a global smooth function $\tilde{f} \in \mathcal{C}^{\infty}(M)$
+    such that $\tilde{f}|_{K} = f$. In other words, the
+    sheaf $\mathcal{C}^{\infty}$ is soft.
+
+    In a similar fashion we see that the sheaf of sections of a smooth vector bundle
+    on $M$ is soft.
+\end{bsp}
+
+\color{gray}
+
+\begin{bsp}
+    If $\mathcal{A}$ is a soft sheaf of rings and $\mathcal{F}$ is a sheaf of $\mathcal{A}$-modules,
+    then $\mathcal{F}$ is soft. Indeed, let $s \in \mathcal{F}(K)$ be a section
+    over a compact set $K \subseteq X$, i.e. a section on some open neighbourhood of $K$. By
+    softness we can extend the section $1 \in \mathcal{A}(K)$ to a compactly supported global section
+    $i \in \mathcal{A}(X)$ with support in $U$. Thus
+    $si$ extends to a global section of $\mathcal{F}$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}
+    Let $X$ be a space.
+    If $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is soft, $K \subseteq X$ is compact and $K \subseteq U$ is an open neighbourhood,
+    any section over $K$ can be extended to a global section with compact support contained in $U$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $s \in \mathcal{F}(K)$.
+    By local compactness, there exists a compact neighbourhood $L$ of $K$ with $L \subseteq U$. Then
+    $K \cap \partial L = \emptyset$. Consider the section on $K \cup \partial L$ given by
+    $s$ on $K$ and zero on $\partial L$. Since $\mathcal{F}$ is soft, this can be extended
+    to a global section, and a fortiori to a section $t$ over $L$. Now
+    the sections given by $t$ on $L$ and $0$ on $\overline{X \setminus L}$ glue to a compactly
+    supported extension of $s$. Since $L \subseteq U$, its support is contained in $U$.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\subsection{Compactly supported cohomology}
+
+Let $X$ be a space.
+
+%\begin{definition}
+%    Let $U \subseteq X$ be open and $\mathcal{F} \in \sh{X}$. We define
+%    $\Gamma_c(U, \mathcal{F})$ as the subgroup of $\Gamma(U, \mathcal{F})$ consisting of
+%    sections with compact support.
+%\end{definition}
+%
+%\begin{bem}
+%    If $s, t \in \Gamma(U, \mathcal{F})$ have compact support, so does $s + t$. Thus
+%    $\Gamma_c(U, \mathcal{F})$ is indeed a subgroup of $\Gamma(U, \mathcal{F})$.
+%
+%    Taking $U = X$, this defines a functor $\Gamma_c = \Gamma_c(X, \cdot)\colon \sh{X} \to \mathcal{A}b$
+%\end{bem}
+
+\begin{theorem}[Base change]
+    Let $f\colon X \to Y$ be a continuous map of spaces. For
+    $\mathcal{F} \in \sh{X}$, there is a natural isomorphism
+    \[
+        (f_{!}\mathcal{F})_y \simeq \Gamma_c(f^{-1}(y), \mathcal{F}|_{f^{-1}(y)})
+    \] for each $y \in Y$.
+    \label{thm:base-change}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Denote by $X_y$ the fibre of $f$ over $y$ and by $\mathcal{F}$ the restriction to $X_y$.
+    Let $y \in U \subseteq Y$ open. Then consider the natural map
+    \begin{salign*}
+        (f_{!}\mathcal{F})(U) &\longrightarrow \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y) \\
+                            s &\longmapsto s|_{X_y}
+    .\end{salign*}
+    This is well-defined, since for any $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ with
+    $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ proper, we have
+    \[
+    \supp{s|_{X_y}} = \supp{s} \cap X_y = \left( f|_{\supp{s}}^{U} \right)^{-1}(y)
+    \] and the right hand side is compact. This map induces
+    a natural map
+    \[
+        (f_{!}\mathcal{F})_y = \colim{y \in U \subseteq Y} (f_{!}\mathcal{F})(U)
+        \longrightarrow \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y)
+    .\]
+
+    Injectivity: Let $s \in (f_{!}\mathcal{F})(U)$ such that $s|_{X_y} = 0$. Thus
+    $s \in \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ and $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ is proper. Since
+    $s|_{X_y} = 0$, $f^{-1}(y) \cap \supp{s} = X_y \cap \supp{s} = \emptyset$, in particular
+    $y \not\in f(\supp{s})$. Let $y \in U'$ be the complement of $f(\supp{s})$ in $U$.
+    Since $\supp{s} \xrightarrow{f} U$ is proper, $f(\supp{s})$ is closed in $U$, so
+    $U'$ is open in $U$ and hence in $Y$. Moreover
+    \[
+    f^{-1}(U') \cap \supp{s}
+    \subseteq f^{-1}(U') \cap f^{-1}(f(\supp{s}))
+    = f^{-1}(U' \cap f(\supp{s}))
+    = f^{-1}(\emptyset)
+    = \emptyset
+    .\]
+    Hence $s|_{f^{-1}(U')} = 0$, so $s|_{U'} = 0$.
+
+    Surjectivity: Suppose first $\mathcal{F}$ is soft and let
+    $s \in \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y)$. Since $\mathcal{F}$ is soft, we may extend
+    $s \in \mathcal{F}(X_y)$ to a compactly supported $s \in \mathcal{F}(X) = (f_{*}\mathcal{F})(Y)$.
+    Since $Y$ is Hausdorff, every compact $K \subseteq Y$ is closed and therefore its preimage
+    under $f|_{\supp{s}}$ is closed in the compact $\supp{s}$, thus itself compact. Hence
+    $f|_{\supp{s}}\colon \supp{s} \to Y$ is proper and $s \in (f_{!}\mathcal{F})(Y)$.
+
+    For arbitrary $\mathcal{F}$, there exists an exact sequence
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \mathcal{F} \arrow{r}
+                    & \mathcal{I} \arrow{r}
+                    & \mathcal{J}
+    \end{tikzcd}
+    \] with $\mathcal{I}, \mathcal{J}$ soft (e.g. injective). The functors
+    $(f_{!} \cdot )_y$ and $\Gamma_c(X_y, \cdot |_{X_y})$ are left exact, so we have a commuting diagram
+    with exact rows:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & (f_!\mathcal{F})_y \arrow{r} \arrow{d}
+                    & (f_!\mathcal{I})_y \arrow{r} \arrow{d}{\simeq}
+                    & (f_!\mathcal{J})_y \arrow{d}{\simeq} \\
+        0 \arrow{r} & \Gamma_c(X_y, \mathcal{F}_y) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X_y, \mathcal{I}_y) \arrow{r}
+                    & \Gamma_c(X_y, \mathcal{J}_y)
+    \end{tikzcd}
+    .\] The five-lemma yields the desired isomorphism.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Lower shriek is exact on soft]
+    Let $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ be an exact sequence
+    in $\sh{X}$ with $\mathcal{F}'$ soft. Then the sequence
+    \[
+    0 \to f_{!}\mathcal{F}' \to f_{!}\mathcal{F} \to f_{!}\mathcal{F}'' \to 0
+    \] is exact.
+    \label{satz:lower-shriek-exact-on-soft}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Since $f_{!}$ is left exact, we only need to show the surjectivity on the right, i.e.
+    for every $y \in Y$ the surjectivity of $(f_{!}\mathcal{F})_y \to (f_{!}\mathcal{F}'')_y$.
+    We have the following commutative diagram:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \Gamma_c(f^{-1}(y), \mathcal{F}|_{f^{-1}(y)}) \arrow{r} \arrow{d} & \arrow{d}
+        \Gamma_c(f^{-1}(y), \mathcal{F}''|_{f^{-1}(y)}) \\
+        (f_!\mathcal{F})_y \arrow{r} & (f_!\mathcal{F}'')_y
+    \end{tikzcd}
+    .\] By \ref{thm:base-change}, the vertical arrows are isomorphisms. It suffices
+    thus to show the surjectivity of
+    $\Gamma_c(f^{-1}(y), \mathcal{F}_{f^{-1}(y)}) \to \Gamma_c(f^{-1}(y), \mathcal{F}''|_{f^{-1}(y)})$.
+    Restriction to $f^{-1}(y)$ is exact, moreover it preserves softness. We thus reduced
+    to showing that $\Gamma_c(X, \cdot)$ preserves surjections.
+
+    Suppose first that $X$ is compact and let $s \in \Gamma_c(X, \mathcal{F}'') = \Gamma(X, \mathcal{F}'')$.
+    Since $\mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is exact, there exist
+    a covering $X = \bigcup_{i \in  I} U_i$ and lifts $t_i \in \mathcal{F}(U_i)$
+    of $s|_{U_i}$. By local compactness of $X$, we may assume, after a possible refinement, that each
+    $U_i$ contains a compact set $V_i$ whose interiors still cover $X$. Since
+    $X$ is compact, we may assume $I$ is finite. To piece together the $t_i$, we may assume, by induction,
+    that $\#I = 2$.
+
+    Consider $t_1|_{U_1 \cap U_2} - t_2|_{U_1 \cap U_2}$. This is necessarily a section $e'$ of
+    $\mathcal{F}'(U_1 \cap U_2)$ as it maps to zero in $\mathcal{F}''(U_1 \cap U_2)$. Restricting
+    $e'$ to the compact $V_1 \cap V_2$ and extending it by softness, yields a global section $e$ of
+    $\mathcal{F}'$. Now
+    \[
+        (t_2|_{V_2} + e|_{V_2})|_{V_1 \cap V_2} = t_2|_{V_1 \cap V_2} + e'|_{V_1 \cap V_2} = t_1|_{V_1 \cap V_2}
+    .\] Thus $t_1|_{V_1}, t_2|_{V_2} + e|_{V_2}$ glue to a global section $t$ of $\mathcal{F}$
+    with image $s$.
+
+    Now for general $X$: Let $s \in \mathcal{F}''(X)$ with compact support $Z$. By local compactness,
+    there exists a compact neighbourhood $Z' \subseteq X$ of $Z$. Since
+    pullback of sheaves is exact and restriction of soft sheaves to closed subsets preserves softness,
+    applying the result to $Z'$,
+    yields a section $t' \in \mathcal{F}(Z')$ lifting $s|_{Z'}$. The restriction
+    $t'|_{\partial Z'}$ maps to $s|_{\partial Z'} = 0$, so $t'|_{\partial Z'} \in \mathcal{F}'(\partial Z')$.
+    Since $\partial Z'$ is compact and $\mathcal{F}'$ is soft, $t'|_{\partial Z'}$
+    extends to a global section $b$ of $\mathcal{F}'$. Thus
+    \[
+    (t' - b|_{Z'})|_{\partial Z'} = t'|_{\partial Z'} - t'|_{\partial Z'} = 0
+    .\] So
+    $t' - b|_{Z'}$ on $Z'$ and $0$ on $\overline{X \setminus Z'}$ glue to a global section
+    $t$ of $\mathcal{F}$. Then $t|_{Z'} = t' - b|_{Z'}$ maps to $s|_{Z'}$ since
+    $b \in \mathcal{F}'(X)$. Since $\supp{t}, \supp{s} \subseteq Z'$, $t$ is a compactly supported lift of $s$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    If $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is an exact sequence
+    in $\sh{X}$ and $\mathcal{F}', \mathcal{F}$ are soft, then
+    $\mathcal{F}''$ is soft too.
+    \label{kor:soft-2+3}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Let $Z \subseteq X$ be closed.
+    Since restricting to a closed subset is exact and preserves softness,
+    by \ref{satz:lower-shriek-exact-on-soft}
+    $\Gamma_c(Z, \mathcal{F}) \to \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')$ is surjective.
+    This yields a commutative
+    diagram
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \arrow[twoheadrightarrow]{d} \arrow{r} & \Gamma_c(X, \mathcal{F}'')
+        \arrow{d} \\
+        \Gamma_c(Z, \mathcal{F}) \arrow[twoheadrightarrow]{r} & \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')
+    \end{tikzcd}
+    ,\] where the left vertical arrow is surjective, since $\mathcal{F}$ is soft. Since
+    the composition is surjective, $\Gamma_c(X, \mathcal{F}'') \to \Gamma_c(Z, \mathcal{F}'')$ is also
+    surjective.
+\end{proof}
+
+\section{Derived categories and functors}
+
+We give a brief introduction to the derived category of an abelian category $\mathcal{A}$. Let
+$F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor and let $\mathcal{A}$ have enough
+injectives. Then the classical derived functors exist. To compute $\mathrm{R}^{i}F(X)$ for an
+object $X \in \mathcal{A}$, we choose an injective resolution
+\[
+\begin{tikzcd}
+    0 \arrow{r} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots\\
+    0 \arrow{r} & I_0 \arrow{r} & I_1 \arrow{r} & I_2 \arrow{r} & \cdots
+\end{tikzcd}
+\] i.e. a quasiisomorphism $X \to \com{I} $. Then
+$\mathrm{R}^{i}F(X) = H^{i} F(\com{I})$.
+
+New idea: identify $X$ with its resolution, in other words, turn quasiisomorphisms into
+isomorphisms. First step in this direction: Consider the category $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
+of complexes where arrows are homomorphisms of complexes up to homotopy. Still
+quasiisomorphisms are in general not isomorphisms, so need to do more:
+
+Localise by the class of quasiisomorphisms. This is then called the derived category
+of $\mathcal{A}$:
+\[
+\mathcal{D}(\mathcal{A}) = \mathcal{K}(\mathcal{A})_{\mathcal{Q}is}
+.\] 
+Exactly like in the situation for rings, not every functor $\mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$
+descends to the derived category, since it needs to send quasiisomorphisms to quasiisomorphisms.
+If the functor is induced by an exact functor $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$, this is the case. For
+an arbitrary $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$, we can hope that a derived functor exists. This
+is defined by a universal property, that ensures that this derived functor is in a sense
+close to the original one.
+
+For a left exact functor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$, there is the following result:
+
+\begin{theorem}
+    If there exists a full additive subcategory $\mathcal{L}$ in $\mathcal{A}$ that is \emph{adapted} to $F$, i.e.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item for any $X \in \mathcal{A}$ there exists
+            $X' \in \mathcal{L}$ and an exact sequence
+            $0 \to X \to X'$
+        \item if $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ is exact sequence in $\mathcal{A}$ and
+            $X'$, $X$ are in $\mathcal{L}$, then $X''$ is in $\mathcal{L}$
+        \item if $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ is exact sequence in $\mathcal{A}$ and
+            if $X', X, X''$ are in $\mathcal{L}$, then the sequence
+            $0 \to F(X') \to F(X) \to F(X'') \to 0$ is exact.
+    \end{enumerate}
+    Then the derived functor
+    $\mathrm{R}F\colon \mathcal{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}^{+}(\mathcal{B})$
+    exists and for any $\com{I} \in \mathcal{K}^{+}(\mathcal{L})$ we have a
+    natural isomorphism
+    \[
+    \mathrm{R} F (\com{I}) \simeq F(\com{I})
+    .\] 
+\end{theorem}
+
+Since $\sh{X}$ has enough injectives and every injective sheaf is soft, by
+\ref{satz:lower-shriek-exact-on-soft} and \ref{kor:soft-2+3}, the
+class of soft sheaves is adapted to the functor $f_!$. Thus the derived functor
+
+\[
+\mathrm{R} f_{!} \colon \mathcal{D}^{+}(X) \longrightarrow \mathcal{D}^{+}(Y)
+\] exists.
+
+\begin{korollar}
+    For $\com{\mathcal{F}} \in \mathcal{K}om^{+}(\sh{X})$, we have a natural isomorphism
+    \[
+        (\mathrm{R}f_{!} \com{\mathcal{F}})_y
+    \simeq \mathrm{R} \Gamma_c(f^{-1}(y), \com{\mathcal{F}}|_{f^{-1}(y)})
+    \] in $\mathcal{D}(X)$.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Let $\com{\mathcal{F}} \to \com{\mathcal{I}}$ be an injective resolution. Then
+    \begin{salign*}
+    (\mathrm{R}f_{!} \com{\mathcal{F}})_y
+    &\simeq (\mathrm{R}f_{!} \com{\mathcal{I}})_y \\
+    &\simeq (f_{!} \com{\mathcal{I}})_y \\
+    &\simeq \Gamma_c(f^{-1}(y), \com{\mathcal{I}}|_{f^{-1}(y)}) \\
+    &\simeq \mathrm{R}\Gamma_c(f^{-1}(y), \com{\mathcal{I}}|_{f^{-1}(y)}) \\
+    &\simeq \mathrm{R}\Gamma_c(f^{-1}(y), \com{\mathcal{F}}|_{f^{-1}(y)})
+    .\end{salign*}
+\end{proof}
+
+%\begin{korollar}
+%    Soft sheaves are $\Gamma_c$-acyclic.
+%    \label{kor:soft-gamma_c-acyclic}
+%\end{korollar}
+%
+%\begin{proof}
+%    Let $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be soft and
+%    embed $\mathcal{F}$ in an injective sheaf $\mathcal{I}$. This yields an exact sequence
+%    \[
+%    \begin{tikzcd}
+%        0 \arrow{r} & \mathcal{F} \arrow{r}
+%                    & \mathcal{I} \arrow{r}
+%                    & \mathcal{G} \arrow{r}
+%                    & 0
+%    \end{tikzcd}
+%    .\]
+%    Since $\mathcal{I}$ is injective, in particular flasque, hence soft,
+%    by \ref{kor:soft-2+3}, $\mathcal{G}$ is soft.
+%    We proceed by induction. For $i = 1$ consider the exact sequence
+%    \[
+%    \begin{tikzcd}
+%        0 \arrow{r} & \Gamma_c(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+%                    & \Gamma_c(X, \mathcal{I}) \arrow{r}
+%                    & \Gamma_c(X, \mathcal{G}) \arrow{r}
+%                    & H_c^{1}(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+%                    & \underbrace{H_c^{1}(X, \mathcal{I})}_{= 0}
+%    \end{tikzcd}
+%    .\]
+%    Since $\mathcal{F}$ is soft, $\Gamma_c(X, \mathcal{I}) \to \Gamma_c(X, \mathcal{G})$ is
+%    surjective. By the exactness of the sequence, $H_c^{1}(X, \mathcal{F})$ vanishes.
+%    Now assume $H_c^{i}(X, \mathcal{F}) = 0$ for any soft sheaf $\mathcal{F}$. Then the exact sequence
+%    \[
+%    \begin{tikzcd}
+%        \underbrace{H_c^{i}(X, \mathcal{I})}_{= 0} \arrow{r} & H_c^{i}(X, \mathcal{G}) \arrow{r}
+%                                          & H_c^{i+1}(X, \mathcal{F}) \arrow{r}
+%                                          & \underbrace{H_c^{i+1}(X, \mathcal{I})}_{= 0}
+%    \end{tikzcd}
+%    \] yields an isomorphism $H_c^{i}(X, \mathcal{G}) \simeq H_c^{i+1}(X, \mathcal{F})$ and
+%    since $\mathcal{G}$ is soft, the left hand side is zero by induction hypothesis.
+%\end{proof}
+
+%\begin{satz}
+%    Soft sheaves are $f_!$-acyclic. In particular, if
+%    $0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}'' \to 0$ is an exact sequence in $\sh{X}$
+%    and $\mathcal{F}'$ is soft, then the sequence
+%    $0 \to f_!\mathcal{F}' \to f_!\mathcal{F} \to f_!\mathcal{F}'' \to 0$ is exact.
+%\end{satz}
+%
+%\begin{proof}
+%    Let $i > 0$ and $\mathcal{F} \in \sh{X}$ be soft. Then for $y \in Y$
+%    \begin{salign*}
+%        (R^{i}f_!\mathcal{F})_y
+%        \stackrel{\ref{thm:base-change}}{\simeq} H_c^{i}(f^{-1}(y), \mathcal{F}|_{f^{-1}(y)})
+%        \; \stackrel{\ref{kor:soft-gamma_c-acyclic}}{=} \; 0
+%    ,\end{salign*}
+%    since the restriction of a soft sheaf to a closed subset is soft.
+%\end{proof}
+
+\color{gray}
+
+\begin{bsp}
+    Let $U \subseteq X$ be open and $j\colon U \to X$ the inclusion map. By looking at stalks,
+    one finds that $j_!\mathcal{F}$ for $\mathcal{F} \in \sh{U}$ is just extension by zero.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lower shriek preserves softness]
+    If $f\colon X \to Y$ is continuous and $\mathcal{F} \in \sh{X}$ is soft, then
+    $f_! \mathcal{F}$ is soft too.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Let $Z \subseteq Y$ be compact and
+    $s \in (f_!\mathcal{F})(Z) \simeq \colim{Z \subseteq U \subseteq Y} (f_!\mathcal{F})(U)$. Then
+    there exists an open neighbourhood $U$ of $Z$ and an extension
+    $\tilde{s} \in (f_!\mathcal{F})(U) \subseteq \mathcal{F}(f^{-1}(U))$ with
+    $\supp{\tilde{s}} \xrightarrow{f} U$ proper. Since $Y$ is locally compact, there exists
+    a compact neighbourhood $L \subseteq U$ of $Z$. Restricting $\tilde{s}$ to the compact
+    $K \coloneqq \left(f|_{\supp{\tilde{s}}}\right)^{-1}(L) \subseteq \supp{\tilde{s}}$
+    and extending by softness of $\mathcal{F}$, yields a compactly supported global section
+    $t \in \mathcal{F}(X) = (f_{*}\mathcal{F})(Y)$ such that $t|_Z = s$. Since
+    $\supp{t}$ is compact and $Y$ is Hausdorff, $\supp{t} \xrightarrow{f} Y$ is proper.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[Leray spectral sequence]
+    Given continuous maps $f\colon X \to Y$, $g\colon Y \to Z$ of spaces,
+    there is a natural isomorphism
+    $\mathrm{R}(g \circ f)_{!} \simeq \mathrm{R}g_{!} \circ \mathrm{R}f_{!}$.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Since soft sheaves are $f_{!}$ (and $g_!$) acyclic and $f_{!}$ maps
+    soft sheaves to soft sheaves, the result follows from 
+    Proposition 5.4 in \cite{hartshorne}.
+\end{proof}
+
+\color{black}
+
+\section{Other functors on abelian sheaves}
+
+\begin{tabular}{l|l|l|l}
+    Functor & Exactness & Derivative & Adapted class \\ \hline
+    $f^* \colon \sh{Y} \to \sh{X}$
+    & exact
+    & $f^{*}\colon \mathcal{D}(Y) \to \mathcal{D}(X)$ \\
+    $f_* \colon \sh{X} \to \sh{Y}$
+    & left exact
+    & $\mathrm{R} f_{*}\colon \mathcal{D}(X) \to \mathcal{D}(Y)$
+    & K-limp complexes \\
+    $\cdot \otimes \mathcal{F} \colon \sh{X} \to \sh{X}$
+    & right exact
+    & $\cdot \otimes^{L} \com{\mathcal{F}} \colon \mathcal{D}(X) \to \mathcal{D}(X)$
+    & K-flat complexes \\
+    $\underline{\operatorname{Hom}}(\mathcal{F}, \cdot)\colon \sh{X} \to \sh{X}$
+    & left exact
+    & $\mathrm{R}\com{\underline{\operatorname{Hom}}}(\com{\mathcal{F}}, \cdot)\colon \mathcal{D}(X) \to \mathcal{D}(X)$
+    & K-injective complexes \\
+    $f_!\colon \sh{X} \to \sh{Y}$
+    & left exact
+    & $\mathrm{R}f_{!}\colon \mathcal{D}^{+}(X) \to \mathcal{D}^{+}(Y)$
+    & soft sheaves \\
+    &
+    & $f^{!}\colon \mathcal{D}^{+}(Y) \to \mathcal{D}(X)$
+\end{tabular}
+
+\noindent The internal $\mathrm{Hom}$ functor is for $\mathcal{F}, \mathcal{G} \in \sh{X}$
+given by the formula
+\[
+\underline{\operatorname{Hom}}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(U)
+= \operatorname{Hom}_{\sh{U}}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)
+\] for every $U \subseteq X$ open and the (internal) tensor product by the sheafification
+of the presheaf
+\[
+U \mapsto \mathcal{F}(U) \otimes \mathcal{G}(U)
+.\] 
+These functors satisfy the following adjunction results
+
+\[
+f^{*} \dashv \mathrm{R}f_{*}
+\] and
+\[
+\cdot \otimes^{L} \com{\mathcal{F}} \dashv
+\mathrm{R}\underline{\operatorname{Hom}}(\com{\mathcal{F}}, \cdot )
+.\] 
+
+\bibliographystyle{alpha}
+\bibliography{refs}
+
+\end{document}