add stupid calculations in la4 and update theo5

sose2020/la/uebungen/la4.tex

@@ -3,6 +3,8 @@
 \title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4}
 \author{Dominik Daniel, Christian Merten}
 
+\usepackage[]{gauss}
+
 \begin{document}
 
 \punkte[16]
@@ -57,4 +59,155 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Kurze Rechung ergibt
+            \begin{align*}
+                P_A &= \begin{gmatrix}[p] t-10 & 11 & 11 & 32 \\
+                    1 & t & 2 & - 4 \\
+                    -1 & 1 & t-1 & 4 \\
+                    -2 & 2 & 2 & t+6
+                    \rowops
+                    \swap{0}{1}
+                \end{gmatrix}
+                \sim 
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    1 & t & 2 & - 4 \\
+                    t-10 & 11 & 11 & 32 \\
+                    -1 & 1 & t-1 & 4 \\
+                    -2 & 2 & 2 & t+6
+                    \rowops
+                    \add[-(t-10)]{0}{1}
+                    \add{0}{2}
+                    \add[2]{0}{3}
+                    \colops
+                    \add[-t]{0}{1}
+                    \add[-2]{0}{2}
+                    \add[4]{0}{3}
+                \end{gmatrix} \\
+                       &\sim
+                \begin{gmatrix}[p] 
+                    1 & 0 & 0 & 0 \\
+                    0 & 11-t^2 + 10t & -8 + 4t \\
+                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
+                    0 & 2+2t & 6 & t-2
+                    \rowops
+                    \swap{1}{3}
+                    \colops
+                    \swap{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \sim
+                \begin{gmatrix}[p] 
+                    1 & 0 & 0 & 0 \\
+                    0 & 6 & 2+2t & t-2 \\
+                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
+                    0 & 31-2t & 11-t^2 + 10t & -8+4t
+                    \rowops
+                    \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
+                \end{gmatrix}  \\
+                      &\sim 
+                \begin{gmatrix}[p] 
+                    1 & 0 & 0 & 0 \\
+                    0 & 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3}t & \frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \\
+                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
+                    0 & 31-2t & 11-t^2+10t & -8+4t
+                    \rowops
+                    \add[-(t+1)]{1}{2}
+                    \add[-(31-2t)]{1}{3}
+                    \colops
+                    \add[-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}t \right)]{1}{2}
+                    \add[-\left(\frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \right)]{1}{3}
+                \end{gmatrix}
+                \sim
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & -\frac{1}{3} t^2+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t & -\frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}t + \frac{1}{3} \\
+                    0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t^2 & \frac{1}{3}t^2 - \frac{11}{6}t + \frac{7}{3}
+                    \rowops
+                    \add[-1]{1}{2}
+                    \colops
+                    \add[-\frac{1}{2}]{1}{2}
+                \end{gmatrix} \\
+                &\sim 
+                \begin{gmatrix}[p] 
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & -\frac{1}{3}t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} & 0 \\
+                    0 & 0 & \frac{1}{2}t^2 - 2t + 2
+                    \rowops
+                    \mult{1}{\cdot (-3)}
+                    \mult{2}{\cdot 2}
+                \end{gmatrix}
+                \sim
+                \begin{gmatrix}[p] 
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & (t+1)(t-2) & 0 \\
+                    0 & 0 & (t-2)^2
+                    \rowops
+                    \add{1}{2}
+                    \colops
+                    \add[-1]{1}{2}
+                \end{gmatrix} \\
+                      &\sim
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & (t+1)(t-2) & -(t+1)(t-2) \\
+                    0 & (t+1)(t-2) & -3t + 6
+                    \rowops
+                    \swap{1}{2}
+                    \colops
+                    \swap{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \sim 
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    E_2 & 0 & 0  \\
+                    0 & -3t + 6 & (t-2)(t+1) \\
+                    0 & -(t-2)(t+1) & (t-2)(t+1)
+                    \rowops
+                    \mult{1}{\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}
+                    \colops
+                    \mult{2}{\cdot 3}
+                \end{gmatrix} \\
+                &\sim
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & t - 2 & -(t-2)(t+1) \\
+                    0 & -(t-2)(t+1) & 3(t-2)(t+1)
+                    \rowops
+                    \add[t+1]{1}{2}
+                    \colops
+                    \add[t+1]{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \sim
+                \begin{gmatrix}[p]
+                    E_2 & 0 & 0 \\
+                    0 & t-2 & 0 \\
+                    0 & 0 & (t-2)^2(t+1)
+                \end{gmatrix} 
+            .\end{align*}
+            Damit folgen als Invariantenteiler: $c_1 = c_2 = 1$, $c_3 = t- 2$ und $c_4 = (t-2)^2(t+1)$.
+            Die Determinantenteiler sind damit $d_1 = 1$, $d_2 = 1$, $d_3 = t-2$ und $d_4 = (t-2)^{3}(t+1)$.
+        \item Hier ist sofort ersichtlich:
+            \begin{align*}
+            \text{det}(P_B)
+            = \begin{gmatrix}[v]
+                t+5 & 3 & -5 \\
+                0 & t-1 & 1 \\
+                8 & 4 & t-7
+            \end{gmatrix}
+            = (t-1)^{3}
+            \neq
+            (t-2)(t-1)(t+1)
+            =
+            \begin{gmatrix}[v]
+                t+3 & -8 & -12 \\
+                -1 & t+2 & 3 \\
+                2 & -4 & t-7
+            \end{gmatrix} 
+            = \text{det}(P_C) 
+            .\end{align*}
+            Damit ist $d_3_{B} \neq d_3_{C}$, also sind nach Invariantenteilersatz
+            $B$ und $C$ nicht ähnlich.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}

sose2020/theo/uebungen/theo5.tex

@@ -36,7 +36,7 @@
                 H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\
                 &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2}
                 - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\
-                &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta
+                &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} R^2 \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta
             .\end{align*}
         \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist
             die kinetische Energie des Systems gegeben als
@@ -47,8 +47,9 @@
             an der zeitabhängigen Zwangsbedingung.
 
             Wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ist die Hamilton Funktion zeitlich
-            erhalten. Außerdem ist $\dot{w} = 0$, also ist das System
-            invariant gegenüber Zeittranslation. Damit folgt Energieerhaltung.
+            erhalten. Da die Zwangskräfte von der Zeit abhängen, ist das
+            System nicht invariant gegenüber Zeittranslation, also ist die Energie nicht
+            erhalten.
         \item Für die kanonischen Gleichungen folgt
             \begin{align*}
                 \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}