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Commits
4933d7ee75
..
master
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|---|---|---|---|
 christian
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104be68bf7
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christian
|
b90d3dd001
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christian
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fe2412987f
|
||
|
christian
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|
christian
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c2628bde37
|
||
|
christian
|
90b01a491f
|
||
|
christian
|
52a55a6c6f
|
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|
christian
|
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|
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|
christian
|
b9afb52c4b
|
||
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christian
|
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|
||
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christian
|
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|
||
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christian
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christian
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christian
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|
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christian
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|
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christian
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|
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christian
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|
||
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christian
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|
||
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christian
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|
||
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christian
|
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|
||
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christian
|
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|
||
|
christian
|
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|
||
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christian
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|
||
|
christian
|
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|
||
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christian
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|
||
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christian
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christian
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christian
|
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christian
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christian
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christian
|
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christian
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christian
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christian
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 Christian Merten
|
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|
Christian Merten
|
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|
christian
|
cf39433131 | ||
|
Christian Merten
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christian
|
9aab12b331 | ||
|
christian
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|
christian
|
f7a07d8b31 | ||
|
christian
|
0fe0e42864 | ||
|
Christian Merten
|
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|
Christian Merten
|
388117592f | ||
|
christian
|
54a1df7cc8 | ||
|
Christian Merten
|
7e9a0070e5 | ||
|
christian
|
f4bad896f8 | ||
|
Christian Merten
|
33dbcda19c | ||
|
christian
|
7a36de698e | ||
|
christian
|
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|
christian
|
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|
christian
|
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|
christian
|
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|
christian
|
99e08764e6 | ||
|
christian
|
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|
christian
|
e161be79ed | ||
|
christian
|
8e829fadf9 | ||
|
christian
|
e728704863 | ||
|
christian
|
adf219d08c |
@@ -15,3 +15,7 @@
|
||||
*.nav
|
||||
*.out
|
||||
*.snm
|
||||
*.bbl
|
||||
*.blg
|
||||
*.table
|
||||
*.gnuplot
|
||||
|
||||
@@ -10,3 +10,12 @@
|
||||
[submodule "ws2020/wtheo/uebungen"]
|
||||
path = ws2020/wtheo/uebungen
|
||||
url = https://git.flavigny.de/christian/wtheo-zettel
|
||||
[submodule "ws2022/rav/lecture"]
|
||||
path = ws2022/rav/lecture
|
||||
url = git@git.mathi.uni-heidelberg.de:cmerten/ravlecture
|
||||
[submodule "ws2023/groupschemes"]
|
||||
path = ws2023/groupschemes
|
||||
url = https://git.flavigny.de/christian/groupschemes-lecture
|
||||
[submodule "ws2023/groupschemes-lecture"]
|
||||
path = ws2023/groupschemes-lecture
|
||||
url = https://git.flavigny.de/christian/groupschemes-lecture
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,249 @@
|
||||
\ProvidesClass{notes}
|
||||
\LoadClass[a4paper]{amsart}
|
||||
|
||||
\RequirePackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\RequirePackage[T1]{fontenc}
|
||||
\RequirePackage{textcomp}
|
||||
\RequirePackage[german, english]{babel}
|
||||
\RequirePackage{amsmath, amssymb, amsthm}
|
||||
\RequirePackage{mdframed}
|
||||
\RequirePackage{tikz-cd}
|
||||
\RequirePackage{fancyhdr}
|
||||
\RequirePackage{geometry}
|
||||
\RequirePackage{import}
|
||||
\RequirePackage{pdfpages}
|
||||
%\RequirePackage{transparent}
|
||||
\RequirePackage{xcolor}
|
||||
\RequirePackage{array}
|
||||
\RequirePackage[shortlabels]{enumitem}
|
||||
\RequirePackage{tikz}
|
||||
\RequirePackage{pgfplots}
|
||||
\RequirePackage{listings}
|
||||
\RequirePackage{mathtools}
|
||||
\RequirePackage{forloop}
|
||||
\RequirePackage{totcount}
|
||||
\RequirePackage{calc}
|
||||
\RequirePackage{wasysym}
|
||||
\RequirePackage{environ}
|
||||
\RequirePackage{hyperref}
|
||||
\RequirePackage{graphicx}
|
||||
|
||||
\usetikzlibrary{quotes, angles}
|
||||
\pgfplotsset{
|
||||
compat=1.15,
|
||||
default 2d plot/.style={%
|
||||
grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2}
|
||||
},
|
||||
}
|
||||
|
||||
\usetikzlibrary{quotes, angles, math}
|
||||
\pgfplotsset{
|
||||
compat=1.15,
|
||||
axis lines = middle,
|
||||
ticks = none,
|
||||
%default 2d plot/.style={%
|
||||
% ticks=none,
|
||||
% axis lines = middle,
|
||||
% grid=both,
|
||||
% minor tick num=4,
|
||||
% grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
% major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
% axis lines=middle,
|
||||
% enlargelimits={abs=0.2}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\newcounter{curve}
|
||||
|
||||
\NewDocumentCommand{\algebraiccurve}{ O{} O{$#5 = 0$} O{-4:4} O{-4:4} m }{
|
||||
\addplot[id=curve\arabic{curve}, raw gnuplot, smooth, #1] function{%
|
||||
f(x,y) = #5;
|
||||
set xrange [#3];
|
||||
set yrange [#4];
|
||||
set view 0,0;
|
||||
set isosample 1000,1000;
|
||||
set size square;
|
||||
set cont base;
|
||||
set cntrparam levels incre 0,0.1,0;
|
||||
unset surface;
|
||||
splot f(x,y)
|
||||
};
|
||||
\addlegendentry{#2}
|
||||
\stepcounter{curve}
|
||||
}%
|
||||
|
||||
% PAGE GEOMETRY
|
||||
\geometry{
|
||||
top=1.2in,bottom=1.4in,left=1.3in,right=1.3in,
|
||||
bottom=35mm
|
||||
}
|
||||
|
||||
% PARAGRAPH no indent but skip
|
||||
%\setlength{\parskip}{3mm}
|
||||
%\setlength{\parindent}{0mm}
|
||||
|
||||
\newtheorem{satz}{Proposition}[section]
|
||||
\newtheorem{theorem}[satz]{Theorem}
|
||||
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
|
||||
\newtheorem{korollar}[satz]{Corollary}
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
|
||||
\newtheorem*{definition*}{Definition}
|
||||
|
||||
%\theoremstyle{definition}
|
||||
%\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
|
||||
%\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
|
||||
%\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
|
||||
%\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
|
||||
|
||||
\newtheorem{bsp}[satz]{Example}
|
||||
\newtheorem{bem}[satz]{Remark}
|
||||
\newtheorem{aufgabe}{Exercise}
|
||||
|
||||
% enable aufgaben counting
|
||||
\regtotcounter{aufgabe}
|
||||
|
||||
% temporary calculation counter
|
||||
\newcounter{var}
|
||||
|
||||
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
|
||||
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
|
||||
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
|
||||
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
|
||||
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
|
||||
|
||||
% HEADERS
|
||||
|
||||
\pagestyle{headings}
|
||||
|
||||
\newcommand{\incfig}[1]{%
|
||||
\def\svgwidth{\columnwidth}
|
||||
\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
|
||||
}
|
||||
\pdfsuppresswarningpagegroup=1
|
||||
|
||||
% code listings, define style
|
||||
\lstdefinestyle{mystyle}{
|
||||
commentstyle=\color{gray},
|
||||
keywordstyle=\color{blue},
|
||||
numberstyle=\tiny\color{gray},
|
||||
stringstyle=\color{black},
|
||||
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
|
||||
breakatwhitespace=false,
|
||||
breaklines=true,
|
||||
captionpos=b,
|
||||
keepspaces=true,
|
||||
numbers=left,
|
||||
numbersep=5pt,
|
||||
showspaces=false,
|
||||
showstringspaces=false,
|
||||
showtabs=false,
|
||||
tabsize=2
|
||||
}
|
||||
|
||||
% activate my colour style
|
||||
\lstset{style=mystyle}
|
||||
|
||||
% better stackrel
|
||||
\let\oldstackrel\stackrel
|
||||
\renewcommand{\stackrel}[2]{%
|
||||
\oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
|
||||
}%
|
||||
|
||||
% integral d sign
|
||||
\makeatletter \renewcommand\d[2][]{\ensuremath{%
|
||||
\,\mathrm{d}^{#1}#2\@ifnextchar^{}{\@ifnextchar\d{}{\,}}}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
% contradiction
|
||||
\newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
|
||||
|
||||
% disjoint unions: provides cupdot and bigcupdot
|
||||
\makeatletter
|
||||
\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
|
||||
\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
|
||||
\baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
|
||||
\ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
|
||||
\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
|
||||
#1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
|
||||
\mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
|
||||
}
|
||||
\ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
|
||||
\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
|
||||
|
||||
\ExplSyntaxOn
|
||||
|
||||
% S-tackrelcompatible ALIGN environment
|
||||
% some might also call it the S-uper ALIGN environment
|
||||
% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
|
||||
% to put additional padding on both sides of relation symbols
|
||||
\NewEnviron{salign}
|
||||
{
|
||||
\begin{align}
|
||||
\lec_insert_padding:V \BODY
|
||||
\end{align}
|
||||
}
|
||||
% starred version that does no equation numbering
|
||||
\NewEnviron{salign*}
|
||||
{
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lec_insert_padding:V \BODY
|
||||
\end{align*}
|
||||
}
|
||||
|
||||
% some helper variables
|
||||
\tl_new:N \l__lec_text_tl
|
||||
\seq_new:N \l_lec_stackrels_seq
|
||||
\int_new:N \l_stackrel_count_int
|
||||
\int_new:N \l_idx_int
|
||||
\box_new:N \l_tmp_box
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_a
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_b
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_needed
|
||||
|
||||
% function to insert padding according to widest stackrel
|
||||
\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
|
||||
{
|
||||
\tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
|
||||
% get all stackrels in this align environment
|
||||
\regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
|
||||
% get number of stackrels
|
||||
\int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
|
||||
\int_set:Nn \l_idx_int { 1 }
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 0pt }
|
||||
% iterate over stackrels
|
||||
\int_while_do:nn { \l_idx_int <= \l_stackrel_count_int }
|
||||
{
|
||||
% calculate width of text
|
||||
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 1 }$}
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\box_wd:N \l_tmp_box}
|
||||
% calculate width of relation symbol
|
||||
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 2 }$}
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_b {\box_wd:N \l_tmp_box}
|
||||
% check if 0.5*(a-b) > minimum padding, if yes updated minimum padding
|
||||
\dim_compare:nNnTF
|
||||
{ 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } > { \l_tmp_dim_needed }
|
||||
{ \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } }
|
||||
{ }
|
||||
\quad
|
||||
% increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
}
|
||||
% replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
|
||||
\regex_replace_all:nnN
|
||||
{ (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
|
||||
{ \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
|
||||
\l__lec_text_tl
|
||||
\l__lec_text_tl
|
||||
}
|
||||
\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
|
||||
\ExplSyntaxOff
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,42 @@
|
||||
\documentclass{article}
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel}
|
||||
\usepackage[top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry}
|
||||
\title{Abschlussbericht}
|
||||
\author{Leon Burgard, Josua Kugler, Christian Merten}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\section*{Projektbeschreibung}
|
||||
Unser Projekt \glqq Plenarprotokolle \grqq stellt mittels dem Paket \verb|hateimparlament| Funktionen zur Analyse der Plenarprotokolle der 19. Wahlperiode des deutschen Bundestages zur Verfügung. Diese Funktionen können in vier Bereiche unterteilt werden:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Herunterladen der Protokolle
|
||||
\item Konvertierung der XML-Dateien in Tibbles
|
||||
\item Reparieren von Fehlern
|
||||
\item Analyse
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Das Herunterladen der Protokolle gelingt über die Funktion
|
||||
\verb|fetch_all()|, welche auf die Website des deutschen Bundestages zugreift und die XML-Dateien einzeln herunterlädt. Hierzu haben wir das Paket rvest verwendet, welches wir bereits in der Vorlesung kennengelernt haben.
|
||||
Durch \verb|read_all()| werden diese heruntergeladenen XML-Dateien in eine benannte Liste mit fünf Tibbles (speaker, speeches, talks, comments und applause) geschrieben. Allerdings benötigt man diese Tibbles immer wieder und es ist ziemlich zeitaufwändig die XML-Dateien immer wieder neu in Tibbles einzulesen, deshalb haben wir zusätzlich eine Funkion \verb|write_to_csv()| geschrieben, die die fertigen Tibbles als CSV-Dateien speichert. Diese können dann sehr schnell durch \verb|read_from_csv()| eingelesen werden, wodurch viel Zeit gesparrt wird.
|
||||
Da diese Protokolle kleine Fehler enthalten, müssen diese noch im nächsten Schritt bereinigt werden, was mit \verb|repair()| funktioniert. Hierbei wird das Paket tidyverse viel benutzt, welches insgesamt sehr viel in unserem Projekt beansprucht wird, da wir uns mit der Datenanalyse beschäftigen.
|
||||
In \verb|analyse.R| stellen wir noch einige Hilfsfunktionen bereit, die es dem Nutzer vereinfachen die Daten auszuwerten. Beispielsweise steht schon eine Funktion zur Verfügung, die ein Balkendiagramm erstellt, bei dem jede Partei des Bundestages sperat ausgewertet wird. Hierbei wird das Paket \verb|ggplot2| verwendet.
|
||||
Im letzten Schritt unseres Projekts haben wir Fragestellungen festgelegt, die wir mithilfe von unserem Paket beantworten wollten. Die Daten und unsere Ergebnisse visualisierten wir mithilfe von \verb|ggplot2| und \verb|tidyverse| in Vignetten.
|
||||
\section*{Organisation des Teams}
|
||||
Während der ersten Projektphase wurden hauptsächlich die Funktionen zum Herunterladen der Dateien und Konvertieren und Reparieren der Tibbles geschrieben. Dies geschah größtenteils in Einzelarbeit, wobei hierbei die gegenseitige Kontrolle und Nachfragen die Funktionen optimiert haben. Zwischendurch wurde immer mal wieder zu einer HeiConf-Konferenz einberufen, um sich selbst den Zwischenstand klar zu machen und die Herausforderungen für die nächsten Wochen zu besprechen.
|
||||
In der zweiten Hälfte des Projekts kümmerten wir uns dann um die Analyse der Daten und stellten unsere Ergebnisse in Vignetten da und erzeugten Dokumentationen für alle Funktionen, die für den Nutzer wichtig sind.
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\section*{Meine Beteiligung (Christian Merten)}
|
||||
|
||||
Meine Aufgaben und Beteiligung war hauptsächlich auf zwei Teile konzentriert: Organisation des Teams
|
||||
und Implementierung der Grundfunktionalitäten. Zur Organisation habe ich regelmäßig versucht
|
||||
die noch ausstehenden Aufgaben zusammenzufassen, zu priorisieren und dem Team zu kommunizieren.
|
||||
|
||||
Auf Umsetzungsseite habe ich mich v.a. um die grundlegenden Aufgaben Protokolle herunterladen,
|
||||
auslesen und reparieren gekümmert. Auch die grundlegenden Paketstrukturen in \verb|R| anzulegen und
|
||||
die erste Vignette zum Laufen zu bringen, waren meine Aufgaben. Im späteren Verlauf habe ich noch
|
||||
einige Analysehilfsfunktionen entwickelt.
|
||||
|
||||
Ich habe die Teamarbeit als herausfordernd empfunden, denn ich hatte zumeist hohe Ansprüche und klare
|
||||
Vorstellungen. Deshalb ist es mir nicht immer leicht gefallen, Verantwortung für Projektteile
|
||||
abzugeben. Insgesamt bin ich jedoch zufrieden mit der letztendlichen Teamarbeit.
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
approx_p <- function(n0, a, b) {
|
||||
x <- rnorm(n0)
|
||||
sum(x >= a & x <= b) / n0
|
||||
}
|
||||
# berechne wahres p durch Integration
|
||||
p <- integrate(dnorm, lower=-1, upper=3)$value
|
||||
p
|
||||
# berechne Differenz zwischen Näherung und wahrem Wert für verschiedene n0
|
||||
abs(p - approx_p(1e1, -1, 3))
|
||||
abs(p - approx_p(1e3, -1, 3))
|
||||
abs(p - approx_p(1e5, -1, 3))
|
||||
@@ -0,0 +1,13 @@
|
||||
# linear congruential generator (lcg)
|
||||
lcg_prng <- function(n, y1, m, a, b) {
|
||||
if (n == 1) return(y1)
|
||||
y <- (a*y1 + b) %% m
|
||||
c(y1, lcg_prng(n-1, y, m, a, b))
|
||||
}
|
||||
par(mfrow=c(1,2))
|
||||
m <- 2^11
|
||||
x <- lcg_prng(500, y1=1, m=m, a=1017, b=1)
|
||||
plot(x[1:499]/m, x[2:500]/m, pch=".", cex=4, xlab="u1, ..., u499", ylab="u2, ..., u500", main="lcg_prng()")
|
||||
# Vergleich mit R-Funktion sample.int(), siehe ?sample
|
||||
x <- sample.int(m, 500)
|
||||
plot(x[1:499]/m, x[2:500]/m, pch=".", cex=4, xlab="u1, ..., u499", ylab="u2, ..., u500", main="sample.int()")
|
||||
@@ -0,0 +1,37 @@
|
||||
w <- 256L
|
||||
h <- 256L
|
||||
set.seed(0)
|
||||
|
||||
lcg_prng <- function(n, y1, m, a, b) {
|
||||
if (n == 1) return(y1)
|
||||
res <- integer(n)
|
||||
res[1] <- y1
|
||||
for (i in 2:n) {
|
||||
y1 <- (a*y1 + b) %% m
|
||||
res[i] <- y1
|
||||
}
|
||||
res
|
||||
}
|
||||
|
||||
m <- 2^11
|
||||
z <- sample(1:m, w*h, replace=T)
|
||||
img_sample <- matrix(z %% 2, nrow=w)
|
||||
|
||||
y <- lcg_prng(w*h, y1=1, m=m, a=1017, b=1)
|
||||
img_lcg <- matrix(y %% 2, nrow=w)
|
||||
|
||||
par(mfrow=c(1,2), mar=c(1,1,1,1))
|
||||
image(
|
||||
img_sample,
|
||||
col = c("black", "white"),
|
||||
axes = FALSE,
|
||||
useRaster = TRUE,
|
||||
asp=1, # fixes aspect ratio
|
||||
main="sample()")
|
||||
image(
|
||||
img_lcg,
|
||||
col = c("black", "white"),
|
||||
axes = FALSE,
|
||||
useRaster = TRUE,
|
||||
asp=1,
|
||||
main="lcg_prng()")
|
||||
@@ -0,0 +1,10 @@
|
||||
n <- 300
|
||||
u <- runif(n)
|
||||
x <- qnorm(u)
|
||||
y <- rnorm(n)
|
||||
|
||||
par(mfrow=c(1,2), mar=c(2,2,1,1))
|
||||
qqplot(u, y, main="uniform vs normal")
|
||||
abline(0, 1, col="gray")
|
||||
qqplot(x, y, main="normal (inversion) vs normal")
|
||||
abline(0, 1, col="gray")
|
||||
@@ -0,0 +1,83 @@
|
||||
# Welche der beiden Sequenzen entstammt einem fairen Münzwurf (mit unabhängigen Würfe)?
|
||||
x <- c(1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,
|
||||
0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,0,1,0,0,
|
||||
1,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,0,0,
|
||||
1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,
|
||||
1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1,1)
|
||||
y <- c(1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,1,
|
||||
0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,
|
||||
0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,
|
||||
0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,1,
|
||||
0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,1)
|
||||
|
||||
c(length(x), length(y)) # gleiche Länge
|
||||
table(x) # zähle Anzahl der 1en und 0en
|
||||
table(y)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
get_runs_statistic <- function(v) {
|
||||
r <- rle(v)
|
||||
c(number_of_runs = length(r$lengths),
|
||||
longest_run = max(r$lengths),
|
||||
number_of_ones = sum(v == 1))
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
get_confidence_region <- function(v, alpha) {
|
||||
stopifnot(length(alpha)==1)
|
||||
q <- 1 - alpha
|
||||
stopifnot(q > 0 && q <= 1)
|
||||
i <- 0
|
||||
m <- mean(v)
|
||||
while(
|
||||
sum(m-i <= v & v <= m+i) / length(v) < q
|
||||
) i <- i+0.5
|
||||
return(list(left=ceiling(m-i)-0.5, right=floor(m+i)+0.5))
|
||||
}
|
||||
|
||||
n <- length(x)
|
||||
|
||||
rx <- get_runs_statistic(x)
|
||||
ry <- get_runs_statistic(y)
|
||||
|
||||
|
||||
# simulate fair coin tosses
|
||||
|
||||
library(tibble)
|
||||
set.seed(0)
|
||||
|
||||
simu <- replicate(1e5, # execute following function call 1e5 times
|
||||
get_runs_statistic(sample(0:1, n, replace=TRUE)))
|
||||
data <- as_tibble(t(simu))
|
||||
|
||||
|
||||
# Plot results
|
||||
|
||||
layout(
|
||||
rbind(
|
||||
c(1, 2),
|
||||
c(3, 3)
|
||||
),
|
||||
heights=c(1, 1),
|
||||
)
|
||||
clrs <- list(x = "red", y = "blue", conf = "#00FF0040")
|
||||
mark_lwd <- 3
|
||||
invisible(lapply(names(data), function (nm) {
|
||||
v <- data[[nm]]
|
||||
hist(v, breaks=(min(v)-0.5):(max(v)+0.5), main=nm, xlab=NULL)
|
||||
y_axis_max <- par("yaxp")[2]
|
||||
segments(rx[nm], 0, y1=y_axis_max, col=clrs$x, lwd=mark_lwd)
|
||||
segments(ry[nm], 0, y1=y_axis_max, col=clrs$y, lwd=mark_lwd)
|
||||
conf <- get_confidence_region(v, 0.05)
|
||||
rect(conf$left, 0, conf$right, y_axis_max, col=clrs$conf, border=NA)
|
||||
}))
|
||||
legend(
|
||||
"topright",
|
||||
c("x", "y", "95% confidence"),
|
||||
col=c(clrs$x, clrs$y, clrs$conf),
|
||||
lwd=mark_lwd)
|
||||
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
library(ggplot2)
|
||||
library(tibble)
|
||||
|
||||
x_plt <- seq(0, 1, len=7)
|
||||
tb <- tibble(
|
||||
x_val = rep(x_plt, times=3),
|
||||
y_val = c(sin(2*pi*x_plt)/2+0.5, x_plt^2, sqrt(x_plt)),
|
||||
fun = rep(c("sin", "sqr", "sqrt"), each=length(x_plt)))
|
||||
tb$z_val = abs(0.5-tb$x_val)+0.1
|
||||
|
||||
plt <- ggplot(data = tb, mapping = aes(x = x_val, y = y_val, color=fun)) +
|
||||
geom_line(mapping = aes(linetype=fun), size = 1.2) +
|
||||
geom_point(color = "black", mapping = aes(size = z_val))
|
||||
|
||||
print(plt)
|
||||
@@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
library(ggplot2)
|
||||
library(tibble)
|
||||
|
||||
x_plt <- seq(0, pi/2, len=100)
|
||||
tb <- tibble(
|
||||
x_val = rep(x_plt, 2),
|
||||
y_val = c(sin(x_plt), sin(2*x_plt)),
|
||||
fun = rep(c("sin(x)", "sin(2x)"), each=length(x_plt)))
|
||||
|
||||
plt <- ggplot(tb, aes(x_val, y_val, color=fun)) +
|
||||
xlab("x") +
|
||||
ylab("y") +
|
||||
labs(color = "function") +
|
||||
scale_x_continuous(breaks = pi/c(Inf, 6, 4, 3, 2),
|
||||
labels = c("0", "pi/6", "pi/4", "pi/3", "pi/2")) +
|
||||
scale_y_continuous(breaks = sqrt(0:4/4),
|
||||
labels = c("0", "1/2", "sqrt(2)/2", "sqrt(3)/2", "1")) +
|
||||
geom_line()
|
||||
|
||||
print(plt)
|
||||
@@ -0,0 +1,27 @@
|
||||
library(ggplot2)
|
||||
library(tibble)
|
||||
library(gridExtra)
|
||||
|
||||
# Bundeswahlleiter, Wiesbaden 2017
|
||||
# Endgültig gewählte Bewerberinnen und Bewerber bei der Wahl zum 19. Deutschen Bundestag (24. September 2017)
|
||||
data_raw <- readr::read_delim("mdb.csv", delim=";")
|
||||
mdb <- data_raw[,c("Name", "Vorname", "Geschlecht", "Geburtsjahr", "Partei_KurzBez")]
|
||||
names(mdb) <- c("last_name", "first_name", "gender", "birth_year", "party")
|
||||
party_colors <- c(
|
||||
SPD="#DF0B25",
|
||||
CSU="#87bbe6",
|
||||
CDU="#000000",
|
||||
AfD="#1A9FDD",
|
||||
"DIE LINKE"="#BC3475",
|
||||
"GRÜNE"="#4A932B",
|
||||
FDP="#FEEB34"
|
||||
)
|
||||
|
||||
plt1 <- ggplot(data = mdb, aes(x = party, fill=gender)) +
|
||||
geom_bar(position = "dodge2")
|
||||
|
||||
plt2 <- ggplot(data = mdb, aes(x = birth_year, fill = party)) +
|
||||
geom_histogram(binwidth=10, position=position_dodge2(preserve="single")) +
|
||||
scale_fill_manual(values=party_colors)
|
||||
|
||||
grid.arrange(plt1, plt2, nrow=1)
|
||||
@@ -0,0 +1,710 @@
|
||||
Titel;Namenszusatz;Name;Vorname;Geschlecht;Geburtsjahr;Beruf;Partei_KurzBez;Partei_Bez;Gewählt_Stimmenart;Gewählt_Land;Gewählt_Wahlkreis_Nr;Gewählt_Wahlkreis_Bez;Gewählt_Erststimmenanteil;Gewählt_Liste_Platz;Kandidierte-auch_Land;Kandidierte-auch_Wahlkreis_Nr;Kandidierte-auch_Liste_Platz;Wiedergewählt
|
||||
Dr.;von;Abercron;Michael;m;1952;Dipl.-Agraringenieur / Angestellter ö. D. / Unternehmer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;7;Pinneberg;39,7;;SH;;10;
|
||||
;;Achelwilm;Doris Maria;w;1976;Angestellte;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HB;;;;1;;;;
|
||||
;;Aggelidis;Grigorios;m;1965;Vermögensverwalter;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;3;NI;43;;
|
||||
;;Akbulut;Gökay;w;1982;Sozialwissenschaftlerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;3;BW;275;;
|
||||
;;Albani;Stephan;m;1968;MdB / Geschäftsführer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NI;;;;6;NI;27;;X
|
||||
;;Alt;Renata;w;1965;Chemieingenieurin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;7;BW;262;;
|
||||
;;Altenkamp;Norbert Maria;m;1972;Bürgermeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;181;Main-Taunus;41,9;;HE;;21;
|
||||
;;Altmaier;Peter;m;1958;Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SL;297;Saarlouis;38;;SL;;1;X
|
||||
;;Amthor;Philipp;m;1992;Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;16;Mecklenburgische Seenplatte I – Vorpommern-Greifswald II;31,2;;MV;;6;
|
||||
;;Amtsberg;Luise;w;1984;MdB / Islamwissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SH;;;;1;SH;5;;X
|
||||
;;Andreae;Kerstin;w;1968;Dipl.-Volkswirtin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;1;BW;281;;X
|
||||
;;Annen;Niels;m;1973;Historiker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HH;20;Hamburg-Eimsbüttel;31,6;;HH;;4;X
|
||||
;;Arndt-Brauer;Ingrid;w;1961;MdB / Dipl.-Kauffrau / Dipl.-Soziologin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;14;NW;124;;X
|
||||
;;Aschenberg-Dugnus;Christine;w;1959;Rechtsanwältin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SH;;;;3;SH;4;;
|
||||
;;Auernhammer;Artur;m;1963;MdB / Landwirtschaftsmeister;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;241;Ansbach;44,3;;BY;;38;X
|
||||
;;Aumer;Peter;m;1976;Dipl.-Betriebswirt (FH);CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;233;Regensburg;40,1;;;;;
|
||||
;;Badum;Lisa Hildegard;w;1983;Politikwissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;11;BY;236;;
|
||||
;;Baehrens;Heike;w;1955;MdB / Diakonin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;13;BW;263;;X
|
||||
;;Baerbock;Annalena;w;1980;Völkerrechtlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BB;;;;1;BB;61;;X
|
||||
;;Bahr;Ulrike;w;1964;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;4;BY;252;;X
|
||||
;;Bär;Dorothee;w;1978;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;248;Bad Kissingen;51,1;;BY;;3;X
|
||||
;;Bareiß;Thomas;m;1975;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;295;Zollernalb – Sigmaringen;45;;;;;X
|
||||
Dr.;;Barley;Katarina;w;1968;MdB / Juristin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;3;RP;203;;X
|
||||
;;Barnett;Doris;w;1953;MdB / Juristin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;5;RP;207;;X
|
||||
;;Barrientos Krauss;Simone;w;1963;Verlegerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;5;BY;251;;
|
||||
;;Barthle;Norbert;m;1952;MdB / parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;269;Backnang – Schwäbisch Gmünd;41,2;;;;;X
|
||||
Dr.;;Bartke;Matthias;m;1959;Jurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HH;19;Hamburg-Altona;28,9;;HH;;6;X
|
||||
;;Bartol;Sören;m;1974;Dipl.-Politologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HE;171;Marburg;35,7;;HE;;5;X
|
||||
Dr.;;Bartsch;Dietmar Gerhard;m;1958;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;MV;;;;1;MV;14;;X
|
||||
;;Bas;Bärbel;w;1968;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;115;Duisburg I;38,3;;NW;;32;X
|
||||
;;Bauer;Nicole;w;1987;Dipl.-Wirtschaftsingenieurin (FH);FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;11;BY;228;;
|
||||
Dr.;;Baumann;Bernd;m;1958;Kaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HH;;;;1;HH;19;;
|
||||
;;Bause;Margarete;w;1959;MdL;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;9;BY;218;;
|
||||
Dr.;;Bayaz;Danyal;m;1983;Unternehmensberater;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;12;BW;278;;
|
||||
;;Bayram;Canan;w;1966;Rechtsanwältin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;E;BE;83;Berlin-Friedrichshain-Kreuzberg – Prenzlauer Berg Ost;26,3;;;;;
|
||||
;;Beeck;Jens;m;1969;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;2;NI;31;;
|
||||
;in der;Beek;Olaf;m;1967;selbst. Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;19;NW;140;;
|
||||
;;Beer;Nicola Gertrud Ruth;w;1970;Rechtsanwältin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;1;HE;182;;
|
||||
;;Beermann;Maik;m;1981;MdB / Sparkassenbetriebswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;40;Nienburg II – Schaumburg;40,6;;NI;;26;X
|
||||
;;Behrens;Manfred;m;1956;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;67;Börde – Jerichower Land;37,8;;ST;;5;X
|
||||
;;Bellmann;Veronika;w;1960;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;161;Mittelsachsen;32,4;;SN;;7;X
|
||||
;;Benning;Sybille;w;1961;Dipl.-Ing. Landschaftsplanung;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;129;Münster;37,2;;NW;;28;X
|
||||
Dr.;;Berghegger;André;m;1972;MdB / Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;38;Osnabrück-Land;45,6;;NI;;22;X
|
||||
;;Bernhard;Marc;m;1972;Rechtsanwalt / Geschäftsführer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;9;BW;271;;
|
||||
;;Bernstein;Melanie;w;1976;Kulturwissenschaftlerin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;6;Plön – Neumünster;40,7;;SH;;8;
|
||||
;;Bernstiel;Christoph;m;1984;Kommunikationsberater;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;72;Halle;27,1;;ST;;7;
|
||||
;;Beutin;Lorenz Gösta;m;1978;Historiker;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SH;;;;2;SH;6;;
|
||||
;;Beyer;Peter;m;1970;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;105;Mettmann II;39,3;;NW;;50;X
|
||||
;;Biadacz;Marc;m;1979;ltd. Angestellter in der Digitalbranche;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;260;Böblingen;38,8;;;;;
|
||||
;Marschall von;Bieberstein;Matern;m;1962;MdB / Verleger;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;281;Freiburg;28;;;;;X
|
||||
;;Bilger;Steffen;m;1979;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;265;Ludwigsburg;38,3;;BW;;6;X
|
||||
;;Binding;Lothar;m;1950;MdB / Dipl.-Mathematiker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;4;BW;274;;X
|
||||
;;Birkwald;Matthias W.;m;1961;Dipl.-Sozialwissenschaftler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;2;NW;94;;X
|
||||
;;Bleck;Andreas;m;1988;Student;AfD;Alternative für Deutschland;Z;RP;;;;3;RP;197;;
|
||||
;;Bleser;Peter;m;1952;MdB / Landwirtschaftsmeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;200;Mosel/Rhein-Hunsrück;44,1;;RP;;2;X
|
||||
;;Bluhm;Heidrun;w;1958;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;MV;;;;2;MV;17;;X
|
||||
;;Boehringer;Peter Christian Pascal;m;1969;Kaufmann / Wirtschaftspublizist;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;2;BY;232;;
|
||||
;;Brackmann;Norbert;m;1954;Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;10;Herzogtum Lauenburg – Stormarn-Süd;39,5;;SH;;2;X
|
||||
;;Brand;Michael;m;1973;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;174;Fulda;45,2;;HE;;11;X
|
||||
Dr.;;Brandenburg;Jens;m;1986;Unternehmensberater;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;9;BW;277;;
|
||||
;;Brandenburg;Mario;m;1983;Wirtschaftsinformatiker;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;RP;;;;3;RP;211;;
|
||||
Dr.;;Brandl;Reinhard;m;1977;MdB / Dipl.-Wirtschaftsingenieur;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;216;Ingolstadt;49,5;;;;;X
|
||||
;;Brandner;Stephan;m;1966;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;TH;;;;1;TH;193;;
|
||||
;;Brandt;Michel;m;1990;Schauspieler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;6;BW;271;;
|
||||
Dr.;;Brantner;Franziska;w;1979;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;9;BW;274;;X
|
||||
Dr.;;Brauksiepe;Ralf;m;1967;parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NW;;;;9;NW;139;;X
|
||||
Prof. Dr.;;Braun;Helge Reinhold;m;1972;Arzt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;173;Gießen;35,1;;HE;;1;X
|
||||
;;Braun;Jürgen;m;1961;Kommunikationsberater;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;6;BW;264;;
|
||||
;;Breher;Silvia;w;1973;Geschäftsführerin / Rechtsanwältin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;32;Cloppenburg – Vechta;57,7;;NI;;25;
|
||||
;;Brehm;Sebastian;m;1971;Steuerberater / Dipl.-Kaufmann;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;244;Nürnberg-Nord;31,3;;BY;;22;
|
||||
;;Brehmer;Heike;w;1962;MdB / Dipl.-Betriebswirtin (FH);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;68;Harz;36,4;;ST;;1;X
|
||||
;;Breymaier;Leni;w;1960;Einzelhandelskauffrau;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;1;BW;270;;
|
||||
;;Brinkhaus;Ralph;m;1968;MdB / Steuerberater;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;131;Gütersloh I;46,6;;NW;;7;X
|
||||
Dr.;;Brodesser;Carsten;m;1967;ltd. Angestellter / Dipl.-Volkswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;99;Oberbergischer Kreis;43,7;;NW;;36;
|
||||
;;Brugger;Agnes;w;1985;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;5;BW;294;;X
|
||||
Dr.;;Brunner;Karl Heinz;m;1953;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;15;BY;255;;X
|
||||
Dr.;;Buchholz;Bernd;m;1961;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SH;;;;2;SH;10;;
|
||||
;;Buchholz;Christine;w;1971;Erziehungswissenschaftlerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HE;;;;3;HE;185;;X
|
||||
;;Budde;Katrin;w;1965;MdL / Dipl.-Ing. für Arbeitsgestaltung;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;ST;;;;2;ST;74;;
|
||||
;;Bühl;Marcus;m;1977;Dipl.-Informatiker (M. Sc.) (FH);AfD;Alternative für Deutschland;Z;TH;;;;3;;;;
|
||||
;;Bull-Bischoff;Birke;w;1963;Erziehungswissenschaftlerin / Soziologin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;ST;;;;3;ST;73;;
|
||||
;;Bülow;Marco;m;1971;freier Journalist / Publizist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;142;Dortmund I;38,8;;NW;;56;X
|
||||
;;Burkert;Martin;m;1964;MdB / Gewerkschaftssekretär;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;3;BY;245;;X
|
||||
Dr.;;Buschmann;Marco;m;1977;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;4;NW;123;;
|
||||
;;Busen;Karlheinz;m;1951;Dipl.-Ingenieur;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;10;NW;126;;
|
||||
;;Büttner;Matthias;m;1990;Informatiker;AfD;Alternative für Deutschland;Z;ST;;;;3;ST;66;;
|
||||
;;Bystron;Petr;m;1972;Unternehmer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;4;BY;217;;
|
||||
Dr.;;Castellucci;Lars;m;1974;MdB / Hochschulprofessor;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;12;BW;277;;X
|
||||
;;Cezanne;Jörg;m;1958;Geschäftsführer;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HE;;;;4;HE;184;;
|
||||
Dr.;;Christmann;Anna;w;1983;wiss. Referentin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;11;BW;259;;
|
||||
;;Chrupalla;Tino;m;1975;selbst. Malermeister;AfD;Alternative für Deutschland;E;SN;157;Görlitz;32,4;;SN;;5;
|
||||
;;Connemann;Gitta;w;1964;MdB / Rechtsanwältin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;25;Unterems;50;;NI;;7;X
|
||||
;;Cotar;Joana Eleonora;w;1973;selbständig;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;2;;;;
|
||||
;;Cronenberg;Carl-Julius;m;1962;Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;14;NW;147;;
|
||||
Dr.;;Curio;Gottfried;m;1960;MdAB;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BE;;;;2;;;;
|
||||
;;Dağdelen;Sevim;w;1975;Journalistin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;3;NW;140;;X
|
||||
;;Daldrup;Bernhard;m;1956;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;7;NW;130;;X
|
||||
;;Damerow;Astrid;w;1958;geschäftsf. Gesellschafterin Coaching und Beratung;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;2;Nordfriesland – Dithmarschen Nord;45,1;;SH;;5;
|
||||
;;Dassler;Britta Katharina;w;1964;Unternehmerin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;9;BY;242;;
|
||||
Dr.;;Dehm-Desoi;Jörg-Diether Wilhelm;m;1950;Liederautor / Medienunternehmer;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NI;;;;2;NI;43;;X
|
||||
;;Deligöz;Ekin;w;1971;MdB / Dipl.-Verwaltungswissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;3;BY;255;;X
|
||||
Dr.;;Diaby;Karamba;m;1961;MdB / Dipl.-Chemiker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;ST;;;;3;ST;72;;X
|
||||
;;Dilcher;Esther;w;1965;Rechtsanwältin / Notarin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HE;167;Waldeck;35,1;;HE;;16;
|
||||
;;Dittmar;Sabine;w;1964;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;10;BY;248;;X
|
||||
;;Djir-Sarai;Bijan;m;1976;hauptamtl. Dezernent;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;6;NW;108;;
|
||||
;;Dobrindt;Alexander;m;1970;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;226;Weilheim;47,9;;BY;;2;X
|
||||
;;Domscheit-Berg;Anke;w;1968;Publizistin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BB;;;;3;BB;60;;
|
||||
;;Donth;Michael;m;1967;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;289;Reutlingen;40,8;;;;;X
|
||||
;;Dörner;Katja;w;1976;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;3;NW;96;;X
|
||||
;;Dött;Marie-Luise;w;1953;Kauffrau im Einzelhandel;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NW;;;;8;NW;117;;X
|
||||
;;Droese;Siegbert;m;1969;Hotelkaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;3;SN;153;;
|
||||
;;Dröge;Katharina;w;1984;Dipl.-Volkswirtin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;7;NW;95;;X
|
||||
;;Dürr;Christian;m;1977;MdL / Dipl.-Ökonom;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;1;NI;28;;
|
||||
;;Durz;Hansjörg;m;1971;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;253;Augsburg-Land;47,8;;BY;;39;X
|
||||
;;Ebbing;Hartmut Heinrich Wilhelm;m;1956;Wirtschaftsprüfer / Steuerberater;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BE;;;;3;BE;79;;
|
||||
;;Ebner;Harald;m;1964;MdB / Dipl.-Agraringenieur;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;8;BW;268;;X
|
||||
;;Ehrhorn;Thomas;m;1959;Pilot;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;3;NI;44;;
|
||||
;;Elsner von Gronow;Gerhard Helmuth Berengar;m;1978;Vertriebsleiter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;15;NW;146;;
|
||||
;;Erndl;Thomas;m;1974;Dipl.-Ing. Elektrotechnik (FH);CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;227;Deggendorf;44,1;;;;;
|
||||
;;Ernst;Klaus Friedrich;m;1954;MdB / Gewerkschaftssekretär;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;1;BY;250;;X
|
||||
;;Esdar;Wiebke;w;1984;wiss. Mitarbeiterin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;132;Bielefeld – Gütersloh II;33,2;;NW;;36;
|
||||
;;Esken;Saskia;w;1961;MdB / Informatikerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;15;BW;280;;X
|
||||
Dr.;;Espendiller;Michael;m;1989;prom. Mathematiker;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;10;NW;128;;
|
||||
Dr.;;Faber;Marcus;m;1984;Angestellter;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;ST;;;;2;ST;66;;
|
||||
;;Fahimi;Yasmin;w;1967;Staatssekretärin / Dipl.-Chemikerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;42;Stadt Hannover II;33,7;;NI;;24;
|
||||
;;Färber;Hermann;m;1963;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;263;Göppingen;37,6;;;;;X
|
||||
Dr.;;Fechner;Johannes;m;1972;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;10;BW;283;;X
|
||||
;;Feiler;Uwe Wolfgang Werner;m;1965;Dipl.-Finanzwirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;58;Oberhavel – Havelland II;29,9;;BB;;5;X
|
||||
Dr.;;Felgentreu;Fritz;m;1968;MdB / klassischer Philologe / Lehrer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;BE;82;Berlin-Neukölln;26,8;;;;;X
|
||||
;;Felser;Peter;m;1969;Unternehmer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;7;BY;256;;
|
||||
;;Ferlemann;Enak;m;1963;parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;29;Cuxhaven – Stade II;42,7;;NI;;3;X
|
||||
;;Ferschl;Susanne;w;1973;Betriebsratsvorsitzende;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;3;BY;257;;
|
||||
;;Fischer;Axel;m;1966;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;272;Karlsruhe-Land;40,4;;;;;X
|
||||
Dr.;;Flachsbarth;Maria Franziska;w;1963;MdB / Tierärztin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NI;;;;4;NI;47;;X
|
||||
;;Föst;Daniel;m;1976;selbständig;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;1;BY;217;;
|
||||
Dr.;;Franke;Edgar Konrad Hartmut;m;1960;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HE;170;Schwalm-Eder;37,7;;HE;;11;X
|
||||
;;Freese;Ulrich Ronald;m;1951;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BB;;;;2;BB;64;;X
|
||||
;;Frei;Thorsten;m;1973;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;286;Schwarzwald-Baar;47;;;;;X
|
||||
;;Freihold;Brigitte;w;1955;Lehrerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;RP;;;;3;RP;210;;
|
||||
;;Freitag;Dagmar;w;1953;Lehrerin a. D.;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;150;Märkischer Kreis II;38,6;;NW;;6;X
|
||||
;;Fricke;Otto;m;1965;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;7;NW;110;;
|
||||
;;Friedhoff;Dietmar;m;1966;Dipl.-Ingenieur / Vertriebstrainer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;5;NI;43;;
|
||||
Dr.;;Friedrich;Hans-Peter;m;1957;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;239;Hof;47;;BY;;8;X
|
||||
Dr.;;Friesen;Anton;m;1985;wiss. Mitarbeiter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;TH;;;;5;;;;
|
||||
;;Frieser;Michael;m;1964;MdB / Rechtsanwalt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;245;Nürnberg-Süd;35,6;;BY;;21;X
|
||||
;;Frohnmaier;Markus;m;1991;Pressesprecher;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;4;BW;260;;
|
||||
Dr.;;Frömming;Götz;m;1968;Studiendirektor;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BE;;;;3;;;;
|
||||
;;Fuchtel;Hans-Joachim;m;1952;MdB / parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;280;Calw;43,3;;;;;X
|
||||
;;Gabelmann;Sylvia;w;1958;Apothekerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;9;NW;148;;
|
||||
;;Gabriel;Sigmar Hartmut;m;1959;MdB / Bundesminister;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;49;Salzgitter – Wolfenbüttel;42,8;;NI;;25;X
|
||||
;;Gädechens;Ingo;m;1960;Berufssoldat;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;9;Ostholstein – Stormarn-Nord;41,5;;SH;;3;X
|
||||
;;Gastel;Matthias;m;1970;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;10;BW;262;;X
|
||||
Dr.;;Gauland;Eberhardt Alexander;m;1941;MdL;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BB;;;;1;BB;63;;
|
||||
Dr.;;Gebhart;Thomas;m;1971;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;211;Südpfalz;40,3;;RP;;4;X
|
||||
;;Gehring;Kai Boris;m;1977;Dipl.-Sozialwissenschaftler;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;10;NW;120;;X
|
||||
Dr.;;Gehrke;Axel;m;1942;Arzt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SH;;;;2;SH;9;;
|
||||
;;Gelbhaar;Stefan;m;1976;MdAB / Rechtsanwalt;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BE;;;;2;BE;76;;
|
||||
;;Gerdes;Michael;m;1960;MdB / Elektrohauer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;125;Bottrop – Recklinghausen III;36,8;;NW;;64;X
|
||||
;;Gerig;Alois;m;1956;MdB / Landwirtschaftsmeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;276;Odenwald – Tauber;46,8;;;;;X
|
||||
;;Gerster;Martin;m;1971;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;8;BW;292;;X
|
||||
;;Gienger;Eberhard;m;1951;MdB / Kaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;266;Neckar-Zaber;40;;;;;X
|
||||
;;Glaser;Albrecht Heinz Erhard;m;1942;Stadtkämmerer a. D.;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;5;HE;170;;
|
||||
;;Glöckner;Angelika;w;1962;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;9;RP;210;;X
|
||||
;;Gminder;Franziska;w;1945;Dipl.-Kauffrau;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;11;;;;
|
||||
;;Gnodtke;Eckhard;m;1958;Sozialdezernent / Volljurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;66;Altmark;32,6;;ST;;9;
|
||||
;;Gohlke;Nicole Stephanie;w;1975;MdB / Kommunikationswissenschaftlerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;2;BY;219;;X
|
||||
;;Göring-Eckardt;Katrin;w;1966;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;TH;;;;1;TH;193;;X
|
||||
;von;Gottberg;Wilhelm;m;1940;Beamter i. R.;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;4;;;;
|
||||
;;Gottschalk;Kay;m;1965;Angestellter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;4;NW;111;;
|
||||
;;Gremmels;Timon;m;1976;MdL;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HE;168;Kassel;35,6;;HE;;21;
|
||||
;;Griese;Kerstin;w;1966;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;4;NW;105;;X
|
||||
;;Groden-Kranich;Ursula;w;1965;MdB / Bankkauffrau;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;205;Mainz;35,7;;RP;;11;X
|
||||
;;Gröhe;Hermann;m;1961;MdB / Bundesminister / Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;108;Neuss I;44;;NW;;1;X
|
||||
;;Gröhler;Klaus-Dieter;m;1966;MdB / Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BE;80;Berlin-Charlottenburg-Wilmersdorf;30,2;;;;;X
|
||||
;;Groß;Michael Peter;m;1956;Geschäftsbereichsleiter;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;122;Recklinghausen II;41,1;;NW;;39;X
|
||||
;;Grosse-Brömer;Michael;m;1960;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;36;Harburg;40,6;;NI;;2;X
|
||||
;;Grotelüschen;Astrid Katharina Josefine;w;1964;MdB / Dipl.-Ökotrophologin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;28;Delmenhorst – Wesermarsch – Oldenburg-Land;34,1;;NI;;10;X
|
||||
;;Grötsch;Uli;m;1975;MdB / Polizeibeamter;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;11;BY;235;;X
|
||||
;;Grübel;Markus;m;1959;MdB / parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;261;Esslingen;40;;;;;X
|
||||
;;Grund;Manfred;m;1955;Dipl.-Elektroingenieur;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;189;Eichsfeld – Nordhausen – Kyffhäuserkreis;38;;TH;;1;X
|
||||
;;Grundl;Erhard;m;1963;Vertriebsmanager;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;8;BY;231;;
|
||||
;;Grundmann;Oliver Klaus;m;1971;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;30;Stade I – Rotenburg II;44,4;;NI;;21;X
|
||||
;;Grütters;Monika;w;1962;Staatsministerin für Kultur und Medien;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;BE;;;;1;BE;85;;X
|
||||
;;Güntzler;Fritz;m;1966;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NI;;;;9;NI;53;;X
|
||||
;;Gutting;Olav;m;1970;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;278;Bruchsal – Schwetzingen;41,5;;;;;X
|
||||
Dr.;;Gysi;Gregor;m;1948;Rechtsanwalt;DIE LINKE;DIE LINKE;E;BE;84;Berlin-Treptow-Köpenick;39,9;;;;;X
|
||||
;;Haase;Christian;m;1966;Dipl.-Verwaltungswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;136;Höxter – Lippe II;44,3;;;;;X
|
||||
;;Hacker;Thomas;m;1967;Dipl.-Kaufmann;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;10;BY;237;;
|
||||
;;Hagedorn;Bettina;w;1955;MdB / Goldschmiedin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SH;;;;1;SH;9;;X
|
||||
;;Hagl-Kehl;Rita;w;1970;MdB / Studienrätin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;16;BY;227;;X
|
||||
Dr.;;Hahn;André;m;1963;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SN;;;;2;SN;158;;X
|
||||
;;Hahn;Florian Peter;m;1974;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;221;München-Land;43,5;;BY;;37;X
|
||||
;;Hajduk;Anja Margarete Helene;w;1963;Dipl.-Psychologin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HH;;;;1;HH;21;;X
|
||||
;;Hakverdi;Metin;m;1969;Volljurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HH;23;Hamburg-Bergedorf – Harburg;34,8;;HH;;8;X
|
||||
;;Hampel;Armin-Paulus;m;1957;Journalist;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;1;NI;46;;
|
||||
;;Hänsel;Heike;w;1966;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;2;BW;290;;X
|
||||
Dr.;;Harbarth;Stephan;m;1971;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;277;Rhein-Neckar;37,4;;;;;X
|
||||
;;Harder-Kühnel;Mariana Iris;w;1974;Rechtsanwältin;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;1;HE;175;;
|
||||
;;Hardt;Jürgen;m;1963;MdB / Dipl.-Volkswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;103;Solingen – Remscheid – Wuppertal II;38,2;;NW;;22;X
|
||||
;;Hartmann;Sebastian;m;1977;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;15;NW;97;;X
|
||||
;;Hartmann;Verena;w;1974;Dipl.-Kommunikationswirtin;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;9;;;;
|
||||
Dr.;;Hartwig;Roland;m;1954;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;14;NW;100;;
|
||||
;;Haßelmann;Britta;w;1961;Dipl.-Sozialarbeiterin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;1;NW;132;;X
|
||||
;;Hauer;Matthias;m;1977;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;120;Essen III;37,1;;NW;;13;X
|
||||
;;Haug;Jochen;m;1973;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;2;NW;94;;
|
||||
;;Hauptmann;Mark;m;1984;MdB / Politikwissenschaftler;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;196;Suhl – Schmalkalden-Meiningen – Hildburghausen – Sonneberg;33,5;;;;;X
|
||||
;;Hebner;Martin;m;1959;IT-Unternehmensberater;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;1;BY;224;;
|
||||
;;Heidenblut;Dirk;m;1961;Geschäftsführer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;119;Essen II;37,3;;NW;;57;X
|
||||
Dr.;;Heider;Matthias;m;1966;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;149;Olpe – Märkischer Kreis I;47,9;;NW;;45;X
|
||||
;;Heil;Hubertus;m;1972;MdB / Politikwissenschaftler;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;45;Gifhorn – Peine;37,8;;NI;;5;X
|
||||
;;Heil;Mechthild;w;1961;MdB / Dipl.-Ing. Architektur;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;198;Ahrweiler;42,8;;RP;;5;X
|
||||
;;Heilmann;Thomas;m;1964;Volljurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BE;79;Berlin-Steglitz-Zehlendorf;35,4;;BE;;4;
|
||||
;;Heinrich;Frank;m;1964;Theologe;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;162;Chemnitz;26,6;;SN;;9;X
|
||||
;;Heinrich;Gabriela;w;1963;MdB / Redakteurin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;18;BY;244;;X
|
||||
;;Held;Marcus;m;1977;MdB / Volljurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;4;RP;206;;X
|
||||
;;Helfrich;Mark;m;1978;MdB / Betriebswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;3;Steinburg – Dithmarschen Süd;41,9;;SH;;7;X
|
||||
;;Helling-Plahr;Katrin;w;1986;Rechtsanwältin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;17;NW;138;;
|
||||
;;Hellmich;Wolfgang;m;1958;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;3;NW;146;;X
|
||||
;;Hemmelgarn;Udo Theodor;m;1959;selbst. Kaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;8;NW;131;;
|
||||
Dr.;;Hendricks;Barbara;w;1952;Bundesministerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;2;NW;112;;X
|
||||
;;Henke;Rudolf;m;1954;MdB / Arzt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;87;Aachen I;33,7;;NW;;30;X
|
||||
;;Hennrich;Michael;m;1965;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;262;Nürtingen;39,4;;;;;X
|
||||
;;Henrichmann;Marc;m;1976;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;127;Coesfeld – Steinfurt II;51,6;;;;;
|
||||
;;Herbrand;Markus;m;1971;Steuerberater;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;11;NW;92;;
|
||||
;;Herbst;Torsten;m;1973;Dipl.-Kaufmann (FH);FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SN;;;;1;SN;156;;
|
||||
;;Herdt;Waldemar;m;1962;Unternehmer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;7;NI;38;;
|
||||
;;Herrmann;Klaus Lars;m;1977;Polizeibeamter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;10;SN;154;;
|
||||
;;Herzog;Gustav;m;1958;MdB / Chemielaborant;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;RP;209;Kaiserslautern;33,9;;RP;;2;X
|
||||
;;Hess;Martin Alexander;m;1971;Polizeibeamter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;7;BW;265;;
|
||||
;;Hessel;Katja;w;1972;Rechtsanwältin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;3;BY;244;;
|
||||
Prof. Dr.;;Heßenkemper;Heiko;m;1956;Physiker;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;6;SN;161;;
|
||||
;;Heveling;Ansgar;m;1972;MdB / Oberregierungsrat a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;110;Krefeld I – Neuss II;42,4;;;;;X
|
||||
;;Hiller-Ohm;Gabriele;w;1953;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SH;;;;5;SH;11;;X
|
||||
;;Hilse;Karsten;m;1964;Beamter;AfD;Alternative für Deutschland;E;SN;156;Bautzen I;33,2;;SN;;8;
|
||||
;;Hirte;Christian;m;1976;Rechtsanwalt / Fachanwalt für Steuerrecht;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;190;Eisenach – Wartburgkreis – Unstrut-Hainich-Kreis;34,4;;TH;;4;X
|
||||
Prof. Dr.;;Hirte;Heribert;m;1958;Universitätsprofessor;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;94;Köln II;34,9;;NW;;54;X
|
||||
;;Hitschler;Thomas;m;1982;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;6;RP;211;;X
|
||||
;;Höchst;Nicole;w;1970;Regierungsschuldirektorin;AfD;Alternative für Deutschland;Z;RP;;;;4;RP;201;;
|
||||
Dr.;;Hocker;Gero Clemens;m;1975;MdL / Dipl.-Ökonom;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;4;NI;34;;
|
||||
;;Höferlin;Manuel;m;1973;selbst. Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;RP;;;;1;RP;206;;
|
||||
;;Hoffmann;Alexander;m;1975;MdB / Oberrechtsrat;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;249;Main-Spessart;46,6;;;;;X
|
||||
Dr.;;Hoffmann;Bettina;w;1960;Dipl.-Biologin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HE;;;;5;HE;170;;
|
||||
Dr.;;Hoffmann;Christoph;m;1957;Bürgermeister;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;10;BW;282;;
|
||||
Dr.;;Hofreiter;Anton;m;1970;MdB / Dipl.-Biologe;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;2;BY;221;;X
|
||||
Dr.;;Högl;Eva;w;1969;MdB / Juristin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;BE;75;Berlin-Mitte;23,5;;BE;;1;X
|
||||
;;Hohmann;Martin;m;1948;Bürgermeister a. D.;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;6;HE;174;;
|
||||
;;Höhn;Matthias;m;1975;MdL;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;ST;;;;4;ST;66;;
|
||||
Dr.;;Hollnagel;Bruno;m;1948;Wirtschaftswissenschaftler;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SH;;;;1;SH;10;;
|
||||
;;Holm;Leif-Erik;m;1970;Ökonom (M. Sc.) / Journalist;AfD;Alternative für Deutschland;Z;MV;;;;1;MV;15;;
|
||||
;;Holmeier;Karl;m;1956;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;234;Schwandorf;48,5;;;;;X
|
||||
;von;Holtz;Ottmar;m;1961;MdL / Dipl.-Ökonom;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;6;NI;48;;
|
||||
Dr.;;Hoppenstedt;Hendrik;m;1972;MdB / Bürgermeister a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;43;Hannover-Land I;40,1;;NI;;12;X
|
||||
;;Houben;Reinhard;m;1960;Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;8;NW;93;;
|
||||
;;Huber;Johannes;m;1987;Finanzbuchhalter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;13;BY;214;;
|
||||
;;Hunko;Andrej;m;1963;Mediengestalter;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;4;NW;87;;X
|
||||
;;Ihnen;Ulla;w;1956;Staatssekretärin a. D. / Juristin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;5;NI;42;;
|
||||
;;Irlstorfer;Erich;m;1970;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;214;Freising;43;;;;;X
|
||||
;;Irmer;Hans-Jürgen;m;1952;Oberstudienrat;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;172;Lahn-Dill;38,3;;HE;;17;
|
||||
;;Jacobi;Fabian;m;1973;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;6;NW;93;;
|
||||
;;Janecek;Dieter;m;1976;MdB / Dipl.-Politologe;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;6;BY;220;;X
|
||||
;;Jarzombek;Thomas;m;1973;MdB / IT-Berater;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;106;Düsseldorf I;40,4;;NW;;12;X
|
||||
;;Jelpke;Ursula (Ulla);w;1951;Journalistin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;5;NW;142;;X
|
||||
Dr.;;Jongen;Marc Stephan;m;1968;akadem. Mitarbeiter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;3;BW;266;;
|
||||
;;Jung;Andreas;m;1975;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;287;Konstanz;44,8;;;;;X
|
||||
Dr.;;Jung;Christian;m;1977;Studiendirektor;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;12;BW;272;;
|
||||
;;Jung;Ingmar Ludwig;m;1978;Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;179;Wiesbaden;34,3;;HE;;16;
|
||||
;;Junge;Frank Michael;m;1967;Dipl.-Sportlehrer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;MV;;;;2;MV;13;;X
|
||||
;;Juratovic;Josip;m;1959;MdB / Kfz.-Mechaniker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;16;BW;267;;X
|
||||
;;Jurk;Thomas Edmund;m;1962;MdB / Funkmechaniker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SN;;;;2;SN;157;;X
|
||||
;;Kaczmarek;Oliver;m;1970;Oberregierungsrat;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;144;Unna I;38,8;;NW;;50;X
|
||||
;;Kahrs;Johannes;m;1963;Angestellter;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HH;18;Hamburg-Mitte;30,9;;HH;;2;X
|
||||
;;Kaiser;Elisabeth;w;1987;Pressesprecherin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;TH;;;;2;TH;194;;
|
||||
;;Kamann;Uwe;m;1958;Elektroniker / Kaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;9;NW;117;;
|
||||
Dr.;;Kappert-Gonther;Kirsten;w;1966;Ärztin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HB;;;;1;HB;54;;
|
||||
;;Kapschack;Ralf;m;1954;Journalist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;139;Ennepe-Ruhr-Kreis II;36,7;;NW;;41;X
|
||||
;;Karl;Alois;m;1950;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;232;Amberg;47,7;;;;;X
|
||||
;;Karliczek;Anja;w;1971;MdB / Geschäftsführerin Hotellerie;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;128;Steinfurt III;44,8;;NW;;11;X
|
||||
;;Kartes;Jens Torbjörn;m;1979;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;207;Ludwigshafen/Frankenthal;32,1;;RP;;15;
|
||||
;;Kassner;Karin Kerstin;w;1958;Dipl.-Ökonomin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;MV;;;;3;MV;15;;X
|
||||
;;Katzmarek;Gabriele;w;1960;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;11;BW;273;;X
|
||||
;;Kauder;Volker;m;1949;MdB / Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;285;Rottweil – Tuttlingen;43;;BW;;3;X
|
||||
Dr.;;Kaufmann;Stefan;m;1969;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;258;Stuttgart I;32;;BW;;7;X
|
||||
;;Kekeritz;Uwe;m;1953;MdB / Dipl.-Volkswirt;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;4;BY;243;;X
|
||||
;;Kelber;Ulrich;m;1968;MdB / Dipl.-Informatiker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;96;Bonn;34,9;;;;;X
|
||||
;;Kemmer;Ronja;w;1989;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;291;Ulm;42,7;;;;;X
|
||||
;;Kemmerich;Thomas L.;m;1965;Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;TH;;;;1;TH;193;;
|
||||
Dr.;;Kessler;Achim Dieter;m;1964;Angestellter;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HE;;;;2;HE;182;;
|
||||
;;Kestner;Jens;m;1971;Bestatter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;6;NI;52;;
|
||||
;;Keul;Katja;w;1969;MdB / Rechtsanwältin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;5;NI;40;;X
|
||||
;;Keuter;Stefan;m;1972;Bankkaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;11;NW;120;;
|
||||
;;Kiesewetter;Roderich;m;1963;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;270;Aalen – Heidenheim;46,4;;;;;X
|
||||
;;Kießling;Michael Hannes;m;1973;Erster Bürgermeister;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;224;Starnberg – Landsberg am Lech;42,1;;BY;;40;
|
||||
;;Kindler;Sven-Christian;m;1985;MdB / Betriebswirt;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;4;NI;42;;X
|
||||
Dr.;;Kippels;Georg;m;1959;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;91;Rhein-Erft-Kreis I;39,2;;NW;;32;X
|
||||
;;Kipping;Katja;w;1978;MdB / Literaturwissenschaftlerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SN;;;;1;SN;159;;X
|
||||
;;Kiziltepe;Cansel;w;1975;MdB / Dipl.-Volkswirtin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BE;;;;3;BE;83;;X
|
||||
;;Klare;Arno;m;1952;Lehrer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;118;Mülheim – Essen I;34,9;;NW;;55;X
|
||||
;;Klein;Karsten;m;1977;Dipl.-Kaufmann;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;2;BY;247;;
|
||||
;;Klein;Volkmar;m;1960;MdB / Dipl.-Volkswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;148;Siegen-Wittgenstein;40,1;;NW;;24;X
|
||||
;;Klein-Schmeink;Maria;w;1958;Soziologin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;9;NW;129;;X
|
||||
;;Kleinwächter;Norbert;m;1986;Lehrer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BB;;;;5;;;;
|
||||
;;Klingbeil;Lars;m;1978;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;35;Rotenburg I – Heidekreis;41,2;;NI;;7;X
|
||||
Dr.;;Klinge;Marcel;m;1980;Geschäftsführer Landtagsfraktion;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;6;BW;286;;
|
||||
;;Kloke;Katharina;w;1987;Rechtsreferendarin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;20;NW;90;;
|
||||
;;Kluckert;Daniela;w;1980;Dipl.-Volkswirtin / Ministerialreferentin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BE;;;;2;BE;76;;
|
||||
;;Knoerig;Axel;m;1967;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;33;Diepholz – Nienburg I;44,6;;NI;;27;X
|
||||
;;Kober;Pascal;m;1971;Militärseelsorger;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;4;BW;289;;
|
||||
;;Koeppen;Jens;m;1962;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;57;Uckermark – Barnim I;30,6;;BB;;2;X
|
||||
Dr.;;Kofler;Bärbel;w;1967;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;8;BY;225;;X
|
||||
Dr.;;Köhler;Lukas;m;1986;wiss. Mitarbeiter;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;6;BY;220;;
|
||||
;;Kolbe;Daniela;w;1980;MdB / Dipl.-Physikerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SN;;;;1;SN;152;;X
|
||||
;;Komning;Enrico;m;1968;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;MV;;;;2;MV;16;;
|
||||
;;König;Jörn;m;1967;Dipl.-Ingenieur (MBA);AfD;Alternative für Deutschland;Z;NI;;;;2;NI;41;;
|
||||
;;Konrad;Carina;w;1982;Dipl.-Agraringenieurin (FH);FDP;Freie Demokratische Partei;Z;RP;;;;4;RP;200;;
|
||||
;;Koob;Markus Benjamin;m;1977;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;176;Hochtaunus;39,9;;HE;;15;X
|
||||
;;Körber;Carsten;m;1979;MdB / Betriebswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;165;Zwickau;33,7;;SN;;5;X
|
||||
;;Korkmaz;Elvan;w;1985;Dipl.-Verwaltungswirtin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;16;NW;131;;
|
||||
;;Korte;Jan;m;1977;MdB / Politikwissenschaftler (M. A.);DIE LINKE;DIE LINKE;Z;ST;;;;2;ST;71;;X
|
||||
;;Kotré;Steffen;m;1971;Referent / Unternehmensberater;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BB;;;;4;;;;
|
||||
;;Kotting-Uhl;Sylvia;w;1952;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;3;BW;271;;X
|
||||
Dr.;;Kraft;Rainer;m;1974;Dipl.-Chemiker;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;12;BY;253;;
|
||||
;;Kramme;Anette;w;1967;MdB / parl. Staatssekretärin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;2;BY;237;;X
|
||||
;;Krauß;Alexander Gerd;m;1975;MdL / Politikwissenschaftler;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;164;Erzgebirgskreis I;34,7;;;;;
|
||||
;;Krellmann;Jutta;w;1956;Gewerkschaftssekretärin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NI;;;;3;NI;46;;X
|
||||
;;Krichbaum;Gunther;m;1964;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;279;Pforzheim;36,4;;;;;X
|
||||
Dr.;;Krings;Günter;m;1969;MdB / Jurist;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;109;Mönchengladbach;44,3;;NW;;5;X
|
||||
;;Krischer;Oliver Michael;m;1969;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;2;NW;90;;X
|
||||
;;Kruse;Rüdiger;m;1961;Geschäftsführer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;HH;;;;2;HH;20;;X
|
||||
;;Kubicki;Wolfgang;m;1952;Rechtsanwalt / Dipl.-Volkswirt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SH;;;;1;SH;3;;
|
||||
;;Kuffer;Michael;m;1972;Rechtsanwalt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;219;München-Süd;33;;BY;;24;
|
||||
;;Kuhle;Konstantin Elias;m;1989;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;6;NI;53;;
|
||||
;;Kühn;Christian;m;1979;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;6;BW;290;;X
|
||||
;;Kühn;Stephan;m;1979;MdB / Dipl.-Soziologe;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SN;;;;2;SN;160;;X
|
||||
Dr.;;Kühne;Roy;m;1967;MdB / Dipl.-Sporttherapeut / Physiotherapeut;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;52;Goslar – Northeim – Osterode;39,8;;NI;;23;X
|
||||
;;Kulitz;Alexander;m;1981;Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;11;BW;291;;
|
||||
;;Künast;Renate;w;1955;Rechtsanwältin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BE;;;;3;BE;81;;X
|
||||
;;Kurth;Markus;m;1966;Dipl.-Politikwissenschaftler;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;8;NW;142;;X
|
||||
;;Lambrecht;Christine;w;1965;Rechtsanwältin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;2;HE;188;;X
|
||||
;Graf;Lambsdorff;Alexander;m;1966;Diplomat;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;3;NW;96;;
|
||||
Prof. h. c. Dr.;;Lamers;Karl;m;1951;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;274;Heidelberg;32,7;;BW;;8;X
|
||||
;;Lämmel;Gottfried Andreas;m;1959;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;159;Dresden I;24,6;;;;;X
|
||||
;;Landgraf;Katharina;w;1954;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;154;Leipzig-Land;34,1;;SN;;3;X
|
||||
;;Lange;Christian;m;1964;MdB / parl. Staatssekretär;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;2;BW;269;;X
|
||||
;;Lange;Ulrich;m;1969;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;254;Donau-Ries;47;;;;;X
|
||||
Dr.;;Launert;Silke;w;1976;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;237;Bayreuth;46,5;;BY;;18;X
|
||||
Prof. Dr.;;Lauterbach;Karl;m;1963;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;101;Leverkusen – Köln IV;38,7;;NW;;58;X
|
||||
;;Lay;Caren Nicole;w;1972;Soziologin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SN;;;;3;SN;156;;X
|
||||
;;Lazar;Monika;w;1967;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SN;;;;1;SN;153;;X
|
||||
;;Lechte;Ulrich;m;1977;Betriebswirt (VWA);FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;8;BY;233;;
|
||||
;;Lehmann;Jens;m;1967;Erzieher;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;152;Leipzig I;27,5;;;;;
|
||||
;;Lehmann;Sven;m;1979;Politikwissenschaftler / Personalentwickler ö. D.;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;4;NW;94;;
|
||||
;;Lehrieder;Paul;m;1959;MdB / Rechtsanwalt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;251;Würzburg;42,2;;BY;;36;X
|
||||
;;Leidig;Sabine;w;1961;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HE;;;;1;HE;169;;X
|
||||
Dr.;;Leikert;Katja;w;1975;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;180;Hanau;35,3;;HE;;6;X
|
||||
;;Lemke;Steffi;w;1968;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;ST;;;;1;ST;70;;X
|
||||
;;Lenkert;Ralph;m;1967;MdB / Werkzeugmacher / Maschinenbautechniker;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;TH;;;;2;TH;191;;X
|
||||
Dr.;;Lenz;Andreas;m;1981;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;213;Erding – Ebersberg;48,2;;;;;X
|
||||
;;Leutert;Michael Gerhard;m;1974;Dipl.-Soziologe;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SN;;;;4;SN;162;;X
|
||||
Dr.;von der;Leyen;Ursula;w;1958;MdB / Bundesministerin / Ärztin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NI;;;;1;NI;42;;X
|
||||
;;Lezius;Antje;w;1960;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;201;Kreuznach;37;;RP;;9;X
|
||||
;;Liebich;Stefan;m;1972;MdB / Dipl.-Betriebswirt;DIE LINKE;DIE LINKE;E;BE;76;Berlin-Pankow;28,8;;BE;;2;X
|
||||
;;Lindh;Helge;m;1976;wiss. Mitarbeiter;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;102;Wuppertal I;31,5;;NW;;31;
|
||||
;;Lindholz;Andrea;w;1970;MdB / Rechtsanwältin;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;247;Aschaffenburg;48,1;;BY;;14;X
|
||||
;;Lindner;Christian;m;1979;MdL;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;1;NW;100;;
|
||||
Dr.;;Lindner;Tobias;m;1982;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;RP;;;;2;RP;211;;X
|
||||
;;Link;Michael Georg;m;1963;Staatsminister a. D.;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;3;BW;267;;
|
||||
Dr.;;Linnemann;Carsten;m;1977;MdB / Dipl.-Volkswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;137;Paderborn – Gütersloh III;53,3;;;;;X
|
||||
;;Lips;Patricia;w;1963;Handelsfachwirtin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;187;Odenwald;36,1;;HE;;3;X
|
||||
;;Lischka;Burkhard Karl Erich;m;1965;MdB / Jurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;ST;;;;1;ST;69;;X
|
||||
;;Löbel;Nikolas;m;1986;Geschäftsführer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;275;Mannheim;29,3;;;;;
|
||||
;;Loos;Bernhard;m;1955;mittelständ. Unternehmer;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;217;München-Nord;32,2;;BY;;20;
|
||||
Dr.;;Lötzsch;Gesine;w;1961;MdB / Philologin;DIE LINKE;DIE LINKE;E;BE;86;Berlin-Lichtenberg;34,8;;BE;;3;X
|
||||
;;Lucassen;Hans-Rüdiger;m;1951;Geschäftsführer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;7;NW;92;;
|
||||
Dr.;;Luczak;Jan-Marco;m;1975;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BE;81;Berlin-Tempelhof-Schöneberg;28,9;;BE;;3;X
|
||||
;;Ludwig;Daniela;w;1975;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;222;Rosenheim;45,9;;BY;;7;X
|
||||
;;Lühmann;Kirsten;w;1964;MdB / Polizistin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;10;NI;44;;X
|
||||
;;Luksic;Oliver;m;1979;Unternehmensberater;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SL;;;;1;SL;298;;
|
||||
;;Lutze;Thomas;m;1969;MdB / Maschinenbauer;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SL;;;;1;;;;X
|
||||
;;Maag;Karin;w;1962;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;259;Stuttgart II;33,5;;;;;X
|
||||
;;Maas;Heiko Josef;m;1966;Jurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SL;;;;1;SL;297;;
|
||||
;;Magnitz;Frank Rüdiger Heinrich;m;1952;Kaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HB;;;;1;HB;55;;
|
||||
;;Magwas;Yvonne;w;1979;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;166;Vogtlandkreis;35;;SN;;4;X
|
||||
;;Maier;Jens;m;1962;Richter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;2;SN;159;;
|
||||
Prof. Dr.;;Maier;Lothar;m;1944;Hochschullehrer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;2;BW;259;;
|
||||
Dr.;de;Maizière;Thomas;m;1954;MdB / Bundesminister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;155;Meißen;36,7;;SN;;1;X
|
||||
Dr.;;Malsack-Winkemann;Birgit;w;1964;Richterin;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BE;;;;4;;;;
|
||||
Dr.;;Mannes;Astrid;w;1967;Bürgermeisterin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;186;Darmstadt;30,7;;HE;;12;
|
||||
;;Mansmann;Till Berthold;m;1968;Dipl.-Physiker;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;5;HE;188;;
|
||||
;;Marks;Caren;w;1963;MdB / Dipl.-Geografin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;6;NI;43;;X
|
||||
Dr.;;Martens;Jürgen Andreas Michael;m;1959;Rechtsanwalt / Staatsminister a. D.;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SN;;;;2;SN;165;;
|
||||
;von der;Marwitz;Hans-Georg;m;1961;MdB / Landwirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;59;Märkisch-Oderland – Barnim II;28,4;;BB;;9;X
|
||||
;De;Masi;Fabio Valeriano Lanfranco;m;1980;MdEP / Dipl.-Volkswirt;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HH;;;;1;;;;
|
||||
;;Mast;Katja;w;1971;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;7;BW;279;;X
|
||||
;;Matschie;Christoph;m;1961;Theologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;TH;;;;3;TH;191;;
|
||||
;;Mattfeldt;Andreas;m;1969;MdB / Industriekaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;34;Osterholz – Verden;39,2;;NI;;20;X
|
||||
;;Mattheis;Hildegard;w;1954;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;5;BW;291;;X
|
||||
;;Mayer;Stephan;m;1973;MdB / Rechtsanwalt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;212;Altötting;54,5;;;;;X
|
||||
;;Meiser;Pascal;m;1975;Dipl.-Politikwissenschaftler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BE;;;;4;BE;83;;
|
||||
Dr.;;Meister;Michael Günther;m;1961;Dipl.-Mathematiker;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;188;Bergstraße;38,9;;HE;;2;X
|
||||
Dr.;;Merkel;Angela Dorothea;w;1954;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;15;Vorpommern-Rügen – Vorpommern-Greifswald I;44;;MV;;1;X
|
||||
;;Metzler;Jan;m;1981;Winzer / Dipl.-Betriebswirt (FH);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;206;Worms;41,1;;RP;;6;X
|
||||
;;Meyer;Christoph;m;1975;Rechtsanwalt / ltd. Angestellter;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BE;;;;1;BE;80;;
|
||||
;;Miazga;Corinna;w;1983;Angestellte;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;3;;;;
|
||||
Dr. h. c.;;Michelbach;Hans Georg;m;1949;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;238;Coburg;45,3;;BY;;15;X
|
||||
Dr.;;Middelberg;Mathias;m;1964;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;39;Stadt Osnabrück;40,3;;NI;;5;X
|
||||
Dr.;;Miersch;Matthias;m;1968;MdB / Rechtsanwalt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;47;Hannover-Land II;37;;NI;;3;X
|
||||
;;Mieruch;Mario;m;1975;Dipl.-Ing. Mechatronik (B. A.);AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;12;NW;124;;
|
||||
;;Mihalic;Irene;w;1976;Polizeibeamtin a. D.;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;5;NW;123;;X
|
||||
;;Mindrup;Klaus;m;1964;MdB / Dipl.-Biologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BE;;;;4;BE;76;;X
|
||||
;;Mittag;Susanne;w;1958;Polizeibeamtin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;2;NI;28;;X
|
||||
;;Mohamed Ali;Amira;w;1980;Rechtsanwältin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NI;;;;5;NI;27;;
|
||||
;;Möhring;Cornelia;w;1960;Dipl.-Sozialökonomin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SH;;;;1;SH;7;;X
|
||||
;;Mohrs;Falko;m;1984;Dipl.-Kaufmann (FH) / Speditionskaufmann;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;51;Helmstedt – Wolfsburg;38;;NI;;19;
|
||||
;;Moll;Claudia;w;1968;Altenpflegerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;88;Aachen II;36,9;;NW;;38;
|
||||
;;Möller;Siemtje;w;1983;Lehrerin (StRin);SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;26;Friesland – Wilhelmshaven – Wittmund;39,7;;NI;;18;
|
||||
;;Monstadt;Dietrich;m;1957;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;12;Schwerin – Ludwigslust-Parchim I – Nordwestmecklenburg I;32,1;;MV;;3;X
|
||||
;;Möring;Karsten;m;1949;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;93;Köln I;31,6;;NW;;42;X
|
||||
;;Mortler;Marlene;w;1955;MdB / Hauswirtschaftsmeisterin;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;246;Roth;44,5;;BY;;9;X
|
||||
;;Motschmann;Elisabeth Charlotte;w;1952;MdB / Staatsrätin a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;HB;;;;1;HB;54;;X
|
||||
;;Movassat;Niema;m;1984;Jurist;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;6;NW;117;;X
|
||||
;;Mrosek;Andreas;m;1958;MdL / Dipl.-Ing. für Schiffsführung;AfD;Alternative für Deutschland;Z;ST;;;;4;ST;70;;
|
||||
;;Müller;Alexander;m;1969;Dipl.-Informatiker;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;6;HE;178;;
|
||||
;;Müller;Axel;m;1963;Richter;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;294;Ravensburg;38,5;;;;;
|
||||
;;Müller;Bettina;w;1959;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;8;HE;175;;X
|
||||
;;Müller;Carsten;m;1970;Rechtsanwalt / Bankkaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NI;;;;8;NI;50;;X
|
||||
;;Müller;Claudia;w;1981;Betriebswirtin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;MV;;;;1;MV;15;;
|
||||
;;Müller;Detlef;m;1964;Lokomotivführer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SN;;;;4;SN;162;;X
|
||||
Dr.;;Müller;Gerhard (Gerd);m;1955;MdB / Bundesminister;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;256;Oberallgäu;50,4;;BY;;5;X
|
||||
;;Müller;Hansjörg Gerhard Georg;m;1968;selbst. Interimmanager;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;6;BY;225;;
|
||||
;;Müller;Norbert;m;1986;MdB / Student;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BB;;;;4;BB;61;;X
|
||||
;;Müller;Sepp;m;1989;Dipl.-Bankbetriebswirt (FS);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;70;Dessau – Wittenberg;35,2;;ST;;6;
|
||||
;;Müller;Stefan;m;1975;parl. Staatssekretär;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;242;Erlangen;42,7;;BY;;11;X
|
||||
;;Müller-Böhm;Roman;m;1992;Student;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;18;NW;117;;
|
||||
;;Müller-Gemmeke;Beate;w;1960;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;7;BW;289;;X
|
||||
;;Müller-Rosentritt;Frank;m;1982;ltd. Angestellter / Geschäftsführer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;SN;;;;3;SN;162;;
|
||||
;;Müntefering;Michelle;w;1980;Journalistin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;141;Herne – Bochum II;41,9;;NW;;30;X
|
||||
;;Münz;Volker;m;1964;Bankkaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;8;BW;263;;
|
||||
;;Münzenmaier;Sebastian;m;1989;Geschäftsführer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;RP;;;;1;RP;205;;
|
||||
Dr.;;Mützenich;Rolf;m;1959;Politikwissenschaftler;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;95;Köln III;32,3;;NW;;60;X
|
||||
;;Nahles;Andrea;w;1970;MdB / Literaturwissenschaftlerin (M. A.);SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;1;RP;198;;X
|
||||
;;Nastic;Zaklin;w;1980;Angehörigenpflegerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;HH;;;;2;HH;20;;
|
||||
;;Nestle;Ingrid;w;1977;Dipl.-Wirtschaftsingenieurin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SH;;;;3;SH;3;;
|
||||
Dr.;;Neu;Alexander;m;1969;Politikwissenschaftler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;10;NW;97;;X
|
||||
;;Neumann;Christoph;m;1964;Dipl.-Ing. Pädagoge;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;11;SN;152;;
|
||||
Prof. Dr.;;Neumann;Martin;m;1956;Hochschullehrer / beratender Ingenieur;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BB;;;;2;BB;65;;
|
||||
Dr.;;Nick;Andreas;m;1967;MdB / Dipl.-Kaufmann / M.I.P.P.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;204;Montabaur;43,3;;RP;;12;X
|
||||
;;Nicolaisen;Petra;w;1965;Industriekauffrau;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;1;Flensburg – Schleswig;40;;;;;
|
||||
;;Nietan;Dietmar;m;1964;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;9;NW;90;;X
|
||||
;;Nissen;Ulrike;w;1959;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;6;HE;183;;X
|
||||
;;Noll;Michaela;w;1959;MdB / Rechtsanwältin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;104;Mettmann I;44,6;;NW;;4;X
|
||||
;;Nolte;Jan Ralf;m;1988;Soldat;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;4;HE;167;;
|
||||
;;Nord;Thomas Hans;m;1957;MdB / Kulturwissenschaftler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BB;;;;2;BB;63;;X
|
||||
Dr.;von;Notz;Konstantin;m;1971;MdB / Jurist;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SH;;;;2;SH;10;;X
|
||||
;;Nouripour;Omid;m;1975;selbständig;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HE;;;;2;HE;183;;X
|
||||
Dr.;;Nüßlein;Georg;m;1969;MdB / Dipl.-Kaufmann;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;255;Neu-Ulm;44,6;;;;;X
|
||||
;;Oehme;Bernhard Ulrich;m;1960;Versicherungsmakler;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;7;SN;163;;
|
||||
;;Oellers;Wilfried;m;1975;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;89;Heinsberg;45,6;;NW;;53;X
|
||||
;;Oppermann;Thomas;m;1954;MdB / Jurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;53;Göttingen;34,9;;NI;;1;X
|
||||
;;Ortleb;Josephine Loulou;w;1986;Fachwirtin im Gastgewerbe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;SL;296;Saarbrücken;32,1;;SL;;2;
|
||||
;;Oßner;Florian;m;1980;Dipl.-Volkswirt (Univ.);CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;228;Landshut;39,6;;;;;X
|
||||
;;Ostendorff;Friedrich;m;1953;Bauer;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;12;NW;127;;X
|
||||
;;Oster;Josef;m;1971;Bürgermeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;199;Koblenz;41,3;;RP;;14;
|
||||
;;Otte;Henning;m;1968;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;44;Celle – Uelzen;42,7;;NI;;11;X
|
||||
;;Otten;Gerold Joachim;m;1955;Major a. D. / Oberst d. R.;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;8;BY;221;;
|
||||
;;Özdemir;Cem;m;1965;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;2;BW;258;;X
|
||||
;;Özdemir;Mahmut;m;1987;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;116;Duisburg II;34,7;;NW;;63;X
|
||||
;;Özoğuz;Aydan Saliha;w;1967;MdB / Staatsministerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HH;22;Hamburg-Wandsbek;34,6;;HH;;1;X
|
||||
;;Pantel;Sylvia;w;1961;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;107;Düsseldorf II;33,8;;NW;;44;X
|
||||
;;Pasemann;Frank;m;1960;selbständig;AfD;Alternative für Deutschland;Z;ST;;;;2;ST;69;;
|
||||
;;Patzelt;Martin Maria Otto Felix;m;1947;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;63;Frankfurt (Oder) – Oder-Spree;27,1;;BB;;10;X
|
||||
;;Pau;Petra;w;1963;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;E;BE;85;Berlin-Marzahn-Hellersdorf;34,2;;BE;;1;X
|
||||
;;Paus;Elisabeth (Lisa);w;1968;MdB / Dipl.-Volkswirtin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BE;;;;1;BE;80;;X
|
||||
;;Pellmann;Sören;m;1977;Grund- und Förderschullehrer;DIE LINKE;DIE LINKE;E;SN;153;Leipzig II;25,3;;;;;
|
||||
;;Perli;Victor Angelo;m;1982;Geschäftsführer / Politikwissenschaftler;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NI;;;;4;NI;49;;
|
||||
;;Peterka;Tobias Matthias;m;1982;Dipl.-Jurist;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;11;BY;237;;
|
||||
;;Petry;Christian;m;1965;Dipl.-Verwaltungswirt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SL;;;;3;SL;298;;X
|
||||
Dr.;;Petry;Frauke;w;1975;MdL;AfD;Alternative für Deutschland;E;SN;158;Sächsische Schweiz-Osterzgebirge;37,4;;SN;;1;
|
||||
Dr.;;Pfeiffer;Joachim;m;1967;MdB / Dipl.-Kaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;264;Waiblingen;36,8;;;;;X
|
||||
;;Pflüger;Tobias;m;1965;wiss. Angestellter;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;4;BW;281;;
|
||||
;;Pilger;Detlev;m;1955;MdB / Lehrer;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;8;RP;199;;X
|
||||
;;Pilsinger;Stephan;m;1987;Arzt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;220;München-West/Mitte;33,3;;BY;;23;
|
||||
Dr.;;Ploß;Christoph Johannes;m;1985;Pressereferent;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HH;21;Hamburg-Nord;33,5;;HH;;4;
|
||||
;;Podolay;Paul Viktor;m;1946;Medizintechniker / Publizist;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;10;BY;242;;
|
||||
;;Pohl;Jürgen;m;1964;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;TH;;;;2;TH;189;;
|
||||
;;Polat;Filiz;w;1978;MdL / Dipl.-Volkswirtin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;3;NI;38;;
|
||||
;;Pols;Eckhard;m;1962;MdB / Glasermeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;37;Lüchow-Dannenberg – Lüneburg;33,5;;NI;;17;X
|
||||
;;Poschmann;Sabine;w;1968;Betriebswirtin (VWA);SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;143;Dortmund II;38,8;;NW;;24;X
|
||||
;;Post;Achim;m;1959;Dipl.-Soziologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;134;Minden-Lübbecke I;37,4;;NW;;5;X
|
||||
;;Post;Florian;m;1981;MdB / Dipl.-Kaufmann;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;9;BY;217;;X
|
||||
;;Pronold;Florian;m;1972;MdB / parl. Staatssekretär;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;1;BY;230;;X
|
||||
;;Protschka;Stephan;m;1977;selbständig;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;9;BY;230;;
|
||||
Dr.;;Raabe;Sascha Markus;m;1968;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;3;HE;180;;X
|
||||
;;Rabanus;Martin Hermann;m;1971;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;7;HE;178;;X
|
||||
;;Rachel;Thomas;m;1962;MdB / parl. Staatssekretär;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;90;Düren;41,9;;NW;;6;X
|
||||
;;Radomski;Kerstin;w;1974;MdB / Lehrerin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;114;Krefeld II – Wesel II;37;;NW;;29;X
|
||||
;;Radwan;Alexander Gamal;m;1964;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;223;Bad Tölz-Wolfratshausen – Miesbach;47,6;;;;;X
|
||||
;;Rainer;Alois Georg Josef;m;1965;MdB / Metzgermeister;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;231;Straubing;47,6;;;;;X
|
||||
Dr.;;Ramsauer;Peter;m;1954;MdB / Müllermeister / Dipl.-Kaufmann;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;225;Traunstein;50,3;;BY;;17;X
|
||||
;;Rehberg;Eckhardt Harald;m;1954;MdB / Dipl.-Ing. für Informationsverwaltung;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;17;Mecklenburgische Seenplatte II – Landkreis Rostock III;37,6;;MV;;2;X
|
||||
;;Reichardt;Martin;m;1969;Angestellter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;ST;;;;1;;;;
|
||||
Dr.;;Reimann;Carola;w;1967;MdB / Biotechnologin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;50;Braunschweig;38;;NI;;12;X
|
||||
;;Reinhold;Hagen;m;1978;Meister im Maurer- und Betonhandwerk;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;MV;;;;1;MV;14;;
|
||||
;;Remmers;Ingrid;w;1965;Sozialwissenschaftlerin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;11;NW;123;;
|
||||
;;Renner;Martin Erwin;m;1954;Dipl.-Betriebswirt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;1;NW;104;;
|
||||
;;Renner;Martina;w;1967;MdB / wiss. Mitarbeiterin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;TH;;;;1;TH;193;;X
|
||||
;;Reusch;Roman Johannes;m;1954;Beamter / Oberstaatsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BB;;;;2;;;;
|
||||
;;Reuther;Bernd;m;1971;Angestellter;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;13;NW;113;;
|
||||
Dr.;De;Ridder;Daniela;w;1962;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;4;NI;31;;X
|
||||
;;Riebsamen;Lothar;m;1957;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;293;Bodensee;41,4;;;;;X
|
||||
;;Rief;Josef;m;1960;MdB / Landwirtschaftsmeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;292;Biberach;44,5;;;;;X
|
||||
;;Riexinger;Bernd;m;1955;Parteivorsitzender;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;1;BW;259;;
|
||||
;;Rimkus;Andreas;m;1962;Elektromeister in der Energiewirtschaft;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;17;NW;107;;X
|
||||
;;Rix;Sönke;m;1975;Erzieher;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SH;;;;2;SH;4;;X
|
||||
;;Rohde;Dennis;m;1986;MdB / Rechtsanwalt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;27;Oldenburg – Ammerland;36,3;;NI;;11;X
|
||||
;;Röring;Johannes August;m;1959;MdB / staatl. geprüfter Landwirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;126;Borken II;52,3;;;;;X
|
||||
Dr.;;Rosemann;Martin;m;1976;MdB / Dipl.-Volkswirt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;14;BW;290;;X
|
||||
;;Röspel;René;m;1964;MdB / Dipl.-Biologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;138;Hagen – Ennepe-Ruhr-Kreis I;39,2;;NW;;47;X
|
||||
Dr.;;Rossmann;Ernst Dieter;m;1951;MdB / Dipl.-Psychologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SH;;;;4;SH;7;;X
|
||||
;;Rößner;Tabea;w;1966;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;RP;;;;1;RP;205;;X
|
||||
;;Roth;Claudia Benedikta;w;1955;MdB / Dramaturgin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;1;BY;252;;X
|
||||
;;Roth;Michael;m;1970;Staatsminister;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HE;169;Werra-Meißner – Hersfeld-Rotenburg;41,2;;HE;;1;X
|
||||
Dr.;;Röttgen;Norbert;m;1965;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;98;Rhein-Sieg-Kreis II;46,5;;;;;X
|
||||
Dr.;;Rottmann;Manuela;w;1972;Juristin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;7;BY;248;;
|
||||
;;Rouenhoff;Stefan;m;1978;Handelsattaché;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;112;Kleve;45;;;;;
|
||||
;;Rüddel;Erwin;m;1955;MdB / Dipl.-Betriebswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;197;Neuwied;43,2;;RP;;7;X
|
||||
;;Rüffer;Corinna;w;1975;Politikerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;RP;;;;3;RP;203;;X
|
||||
Dr.;;Ruppert;Stefan;m;1971;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;2;HE;176;;
|
||||
;;Rupprecht;Albert;m;1968;MdB / Dipl.-Volkswirt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;235;Weiden;46,2;;BY;;35;X
|
||||
;;Rüthrich;Susann;w;1977;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SN;;;;3;SN;155;;X
|
||||
;;Rützel;Bernd;m;1968;MdB / techn. Oberamtsrat a. D.;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;7;BY;249;;X
|
||||
;;Ryglewski;Sarah Janina;w;1983;MdB / Dipl.-Politikwissenschaftlerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HB;54;Bremen I;30;;HB;;1;X
|
||||
;;Saathoff;Johann;m;1967;MdB / Dipl.-Verwaltungswirt (FH);SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;24;Aurich – Emden;49,6;;NI;;21;X
|
||||
;;Sarrazin;Manuel Ferdinand Theodor;m;1982;Historiker;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HH;;;;2;HH;23;;X
|
||||
;;Sattelberger;Thomas;m;1949;Vorstand i. R.;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;5;BY;219;;
|
||||
;;Sauer;Stefan;m;1966;Bürgermeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;184;Groß-Gerau;35,1;;HE;;19;
|
||||
;;Sauter;Christian;m;1980;Dipl.-Wirtschaftsingenieur (FH);FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;15;NW;135;;
|
||||
;;Schäfer;Anita;w;1951;MdB / Angestellte;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;210;Pirmasens;36,8;;RP;;3;X
|
||||
;;Schäfer;Axel;m;1952;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;140;Bochum I;37,2;;NW;;59;X
|
||||
;;Schäffler;Frank;m;1968;Dipl.-Betriebswirt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;9;NW;134;;
|
||||
Dr.;;Schäuble;Wolfgang;m;1942;MdB / Bundesminister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;284;Offenburg;48,1;;BW;;1;X
|
||||
;;Schauws;Ursula (Ulle);w;1966;Film- und Fernsehwissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;11;NW;114;;X
|
||||
Dr.;;Scheer;Nina;w;1971;Juristin / Politikwissenschaftlerin / Musikerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;SH;;;;3;SH;10;;X
|
||||
;;Scheuer;Andreas Franz;m;1974;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;229;Passau;47,5;;BY;;4;X
|
||||
Dr.;;Schick;Gerhard;m;1972;MdB / Volkswirt;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;4;BW;275;;X
|
||||
;;Schieder;Marianne;w;1962;MdB / Juristin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;6;BY;234;;X
|
||||
;;Schiefner;Udo;m;1959;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;11;NW;111;;X
|
||||
;;Schielke-Ziesing;Ulrike;w;1969;Verwaltungsangestellte;AfD;Alternative für Deutschland;Z;MV;;;;3;MV;17;;
|
||||
;;Schimke;Jana;w;1979;Dipl.-Politologin / Politikwissenschaftlerin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;62;Dahme-Spreewald – Teltow-Fläming III – Oberspreewald-Lausitz I;30,7;;BB;;4;X
|
||||
;;Schinnenburg;Wieland Albert Wilhelm;m;1958;Zahnarzt / Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HH;;;;2;HH;22;;
|
||||
;;Schipanski;Tankred;m;1976;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;192;Gotha – Ilm-Kreis;29;;TH;;5;X
|
||||
Dr.;;Schlund;Robby;m;1967;Arzt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;TH;;;;4;TH;194;;
|
||||
Dr.;;Schmid;Nils;m;1973;MdL;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;6;BW;262;;
|
||||
;;Schmidt;Christian;m;1957;Bundesminister;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;243;Fürth;39,9;;BY;;6;X
|
||||
;;Schmidt;Dagmar;w;1973;Historikerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;4;HE;172;;X
|
||||
Dr.;;Schmidt;Frithjof;m;1953;Sozialwissenschaftler;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NW;;;;6;NW;140;;X
|
||||
;;Schmidt;Stefan;m;1981;wiss. Angestellter;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;10;BY;233;;
|
||||
;;Schmidt;Ursula (Ulla);w;1949;Lehrerin für Sonderpädagogik;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;10;NW;87;;X
|
||||
;;Schmidt;Uwe;m;1966;Hafenfacharbeiter;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;HB;55;Bremen II – Bremerhaven;34;;HB;;2;
|
||||
Prof. Dr.;;Schmidtke;Claudia;w;1966;Ärztin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;11;Lübeck;35,3;;SH;;9;
|
||||
;;Schneider;Carsten;m;1976;Bankkaufmann;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;TH;;;;1;TH;193;;X
|
||||
;;Schneider;Jörg;m;1964;Lehrer;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;5;NW;123;;
|
||||
;;Schnieder;Patrick;m;1968;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;202;Bitburg;51,2;;RP;;1;X
|
||||
;;Schön;Nadine;w;1983;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SL;298;St. Wendel;41,8;;SL;;2;X
|
||||
;;Schraps;Johannes;m;1983;wiss. Mitarbeiter Bundestag;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;46;Hameln-Pyrmont – Holzminden;39,1;;NI;;13;
|
||||
;;Schreiber;Eva-Maria Elisabeth;w;1958;Ethnologin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;7;BY;221;;
|
||||
;;Schreiner;Felix;m;1986;MdL;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;288;Waldshut;41,9;;;;;
|
||||
;;Schrodi;Michael;m;1977;Studienrat;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;17;BY;215;;
|
||||
Dr.;;Schüle;Manja;w;1976;Angestellte;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;BB;61;Potsdam – Potsdam-Mittelmark II – Teltow-Fläming II;26,1;;BB;;3;
|
||||
;;Schulte;Ursula;w;1952;MdB / Hausfrau;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;8;NW;126;;X
|
||||
;;Schulz;Martin;m;1955;Buchhändler;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;1;;;;
|
||||
;;Schulz;Ralph Jimmy;m;1968;Unternehmer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;4;BY;221;;
|
||||
;;Schulz;Swen;m;1968;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;BE;78;Berlin-Spandau – Charlottenburg Nord;32,1;;BE;;2;X
|
||||
;;Schulz;Uwe;m;1961;ltd. Angestellter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;HE;;;;3;HE;173;;
|
||||
;;Schulz-Asche;Kordula Anna Paula;w;1956;Kommunikationswissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HE;;;;3;HE;181;;X
|
||||
Dr.;;Schulze;Klaus-Peter Friedrich Walter;m;1954;MdB / Dipl.-Lehrer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;64;Cottbus – Spree-Neiße;28,4;;BB;;6;X
|
||||
;;Schummer;Uwe;m;1957;Groß- und Außenhandelskaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;111;Viersen;47,9;;NW;;39;X
|
||||
;;Schurer;Ewald;m;1954;MdB / Dipl.-Betriebswirt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;5;BY;213;;X
|
||||
;;Schuster;Armin;m;1961;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;282;Lörrach – Müllheim;39,4;;;;;X
|
||||
;;Schwabe;Frank;m;1970;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;121;Recklinghausen I;38,7;;NW;;54;X
|
||||
;;Schwartze;Stefan;m;1974;MdB / Industriemechaniker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;133;Herford – Minden-Lübbecke II;36,7;;NW;;35;X
|
||||
;;Schwarz;Andreas;m;1965;MdB / Dipl.-Betriebswirt (FH);SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;13;BY;236;;X
|
||||
;;Schwarzelühr-Sutter;Rita;w;1962;MdB / parl. Staatssekretärin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;3;BW;288;;X
|
||||
;;Schweiger;Torsten;m;1968;Dipl.-Ingenieur;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;74;Mansfeld;31;;ST;;8;
|
||||
;;Seestern-Pauly;Matthias;m;1984;Gymnasiallehrer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NI;;;;7;NI;38;;
|
||||
;;Seif;Detlef;m;1962;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;92;Euskirchen – Rhein-Erft-Kreis II;42,8;;NW;;48;X
|
||||
;;Seitz;Thomas;m;1967;Rechtsassessor;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;5;BW;283;;
|
||||
;;Selle;Johannes;m;1956;Dipl.-Mathematiker;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;191;Jena – Sömmerda – Weimarer Land I;29,2;;TH;;7;X
|
||||
;;Sendker;Reinhold;m;1952;MdB / Studiendirektor a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;130;Warendorf;46,4;;;;;X
|
||||
;;Sensburg;Patrick Ernst Hermann;m;1971;MdB / Hochschullehrer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;147;Hochsauerlandkreis;48;;;;;X
|
||||
;;Sichert;Martin Johannes;m;1980;Dipl.-Kaufmann;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;5;BY;244;;
|
||||
;;Silberhorn;Thomas;m;1968;parl. Staatssekretär;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;236;Bamberg;42,1;;BY;;12;X
|
||||
;;Simon;Björn Manuel;m;1981;Politikwissenschaftler;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;185;Offenbach;36,4;;HE;;22;
|
||||
;;Sitta;Frank;m;1978;Geschäftsführer;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;ST;;;;1;ST;72;;
|
||||
Dr.;;Sitte;Petra;w;1960;Dipl.-Ökonomin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;ST;;;;1;ST;72;;X
|
||||
;;Skudelny;Judith;w;1975;Rechtsanwältin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;2;BW;258;;
|
||||
Dr.;;Solms;Hermann Otto;m;1940;selbständig;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;3;HE;173;;
|
||||
;;Sommer;Evrim;w;1971;wiss. Mitarbeiterin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BE;;;;5;;;;
|
||||
;;Sorge;Tino;m;1975;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;69;Magdeburg;27,4;;ST;;3;X
|
||||
;;Spahn;Jens;m;1980;MdB / Bankkaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;124;Steinfurt I – Borken I;51,3;;;;;X
|
||||
;;Spangenberg;Detlev;m;1944;Dipl.-Betriebswirt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SN;;;;4;SN;151;;
|
||||
Dr.;;Spaniel;Dirk;m;1971;Dipl.-Ingenieur;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;10;BW;258;;
|
||||
;;Spiering;Rainer;m;1956;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;9;NI;38;;X
|
||||
;;Springer;René;m;1979;Angestellter;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BB;;;;3;BB;61;;
|
||||
;;Stadler;Svenja;w;1976;MdB / Senior-PR-Beraterin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NI;;;;8;NI;36;;X
|
||||
;;Staffler;Katrin;w;1981;Biochemikerin (M. Sc.);CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;215;Fürstenfeldbruck;43,6;;BY;;19;
|
||||
;;Stamm-Fibich;Martina;w;1965;MdB / Marketing- und Kommunikationsmanagerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;14;BY;242;;X
|
||||
;;Stark-Watzinger;Bettina;w;1968;Dipl.-Volkswirtin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HE;;;;4;HE;181;;
|
||||
Dr.;;Steffel;Frank;m;1966;Dipl.-Kaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BE;77;Berlin-Reinickendorf;36,8;;;;;X
|
||||
;;Steffen;Sonja Amalie;w;1963;Rechtsanwältin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;MV;;;;1;MV;15;;X
|
||||
Dr.;;Stefinger;Wolfgang;m;1985;MdB / Betriebswirt;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;218;München-Ost;36,8;;;;;X
|
||||
;;Stegemann;Albert;m;1976;MdB / Landwirtschaftsmeister;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NI;31;Mittelems;53,6;;NI;;30;X
|
||||
;;Steier;Andreas;m;1972;Dipl.-Ingenieur;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;203;Trier;37,9;;RP;;10;
|
||||
;;Stein;Jens Mathias;m;1970;Bautechniker;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;SH;5;Kiel;31;;SH;;9;
|
||||
;;Stein;Peter;m;1968;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;14;Rostock – Landkreis Rostock II;29,5;;MV;;5;X
|
||||
;;Steineke;Sebastian;m;1973;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;56;Prignitz – Ostprignitz-Ruppin – Havelland I;30,8;;BB;;7;X
|
||||
;;Steiniger;Johannes;m;1987;MdB / Gymnasiallehrer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;RP;208;Neustadt – Speyer;40;;RP;;13;X
|
||||
;;Steinke;Kersten;w;1958;MdB / Agraringenieurin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;TH;;;;3;TH;189;;X
|
||||
;Freiherr von;Stetten;Christian Alexander;m;1970;MdB / selbst. Kaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;268;Schwäbisch Hall – Hohenlohe;40,5;;;;;X
|
||||
;;Stier;Dieter;m;1964;MdB / Dipl.-Agraringenieur;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;73;Burgenland – Saalekreis;33,6;;ST;;4;X
|
||||
;von;Storch;Beatrix;w;1971;MdEP / Anwältin;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BE;;;;1;BE;75;;
|
||||
;;Storjohann;Gero;m;1958;MdB / Dipl.-Betriebswirt (FH);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;8;Segeberg – Stormarn-Mitte;41,1;;SH;;4;X
|
||||
;;Stracke;Stephan;m;1974;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;257;Ostallgäu;49,2;;;;;X
|
||||
Dr.;;Strack-Zimmermann;Marie-Agnes;w;1958;selbst. Verlagsrepräsentantin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;2;NW;106;;
|
||||
;;Straetmanns;Friedrich;m;1961;Richter;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;12;NW;132;;
|
||||
;;Strasser;Benjamin;m;1987;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;8;BW;294;;
|
||||
;;Straubinger;Max;m;1954;Versicherungskaufmann;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;230;Rottal-Inn;45;;BY;;13;X
|
||||
;;Strengmann-Kuhn;Wolfgang;m;1964;Volkswirt;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HE;;;;4;HE;185;;X
|
||||
;;Strenz;Karin;w;1967;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;MV;13;Ludwigslust-Parchim II – Nordwestmecklenburg II – Landkreis Rostock I;30;;MV;;4;X
|
||||
;;Stübgen;Michael;m;1959;MdB / Baufacharbeiter / Pfarrer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;65;Elbe-Elster – Oberspreewald-Lausitz II;29,5;;BB;;1;X
|
||||
;;Stumpp;Margit;w;1963;Oberstudienrätin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BW;;;;13;BW;270;;
|
||||
;;Suding;Katja Rita;w;1975;Kommunikationsberaterin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;HH;;;;1;HH;19;;
|
||||
;;Tack;Kerstin;w;1968;MdB / Dipl.-Sozialpädagogin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;41;Stadt Hannover I;35,6;;NI;;22;X
|
||||
Dr.;;Tackmann;Kirsten;w;1960;MdB / Tierärztin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BB;;;;1;BB;56;;X
|
||||
;;Tatti;Jessica;w;1981;Sozialarbeiterin (B. A.);DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BW;;;;5;BW;289;;
|
||||
Dr.;;Tauber;Peter Michael;m;1974;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;175;Main-Kinzig – Wetterau II – Schotten;36,4;;HE;;4;X
|
||||
;;Tausend;Claudia;w;1964;MdB / Dipl.-Geografin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BY;;;;12;BY;218;;X
|
||||
Dr.;;Tebroke;Hermann-Josef;m;1964;Landrat;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;100;Rheinisch-Bergischer Kreis;40;;NW;;43;
|
||||
;;Teuteberg;Linda;w;1981;Rechtsanwältin / Referentin im BMBF;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BB;;;;1;BB;61;;
|
||||
;;Theurer;Michael;m;1967;MdEP;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;1;BW;271;;
|
||||
;;Thews;Michael;m;1964;Dipl.-Chemieingenieur;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;145;Hamm – Unna II;36,4;;NW;;61;X
|
||||
;;Thies;Hans-Jürgen;m;1955;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;146;Soest;42,7;;NW;;49;
|
||||
;;Thomae;Stephan;m;1968;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;7;BY;256;;
|
||||
;;Throm;Alexander;m;1968;Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;267;Heilbronn;35,3;;;;;
|
||||
Dr.;;Tiemann;Dietlind;w;1955;Oberbürgermeisterin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BB;60;Brandenburg an der Havel – Potsdam-Mittelmark I – Havelland III – Teltow-Fläming I;31,8;;BB;;3;
|
||||
;;Tillmann;Antje;w;1964;Dipl.-Finanzwirtin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;193;Erfurt – Weimar – Weimarer Land II;27,3;;TH;;2;X
|
||||
;;Todtenhausen;Manfred;m;1950;Elektromeister;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;16;NW;102;;
|
||||
Dr.;;Toncar;Florian;m;1979;Rechtsanwalt;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BW;;;;5;BW;260;;
|
||||
;;Töns;Markus;m;1964;Politologe;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;123;Gelsenkirchen;38,3;;NW;;48;
|
||||
;;Tressel;Markus Stefan;m;1977;MdB;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;SL;;;;1;SL;297;;X
|
||||
;;Trittin;Jürgen;m;1954;MdB / Bundesminister a. D.;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;2;NI;53;;X
|
||||
;;Uhl;Markus Alexander;m;1979;Dipl.-Kaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SL;299;Homburg;33,6;;SL;;4;X
|
||||
Prof. Dr.;;Ullmann;Andrew;m;1963;Universitätsprofessor für Infektiologie;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;BY;;;;12;BY;251;;
|
||||
;;Ullrich;Gerald;m;1962;Ingenieur;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;TH;;;;2;TH;196;;
|
||||
Dr.;;Ullrich;Volker Michael;m;1975;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;252;Augsburg-Stadt;34,8;;BY;;25;X
|
||||
;;Ulrich;Alexander;m;1971;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;RP;;;;1;RP;209;;X
|
||||
;;Vaatz;Arnold;m;1955;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;160;Dresden II – Bautzen II;25,5;;SN;;2;X
|
||||
;;Veith;Oswin;m;1961;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;177;Wetterau I;36,4;;HE;;14;X
|
||||
Dr.;;Verlinden;Julia Maria Kornelia;w;1979;MdB / Dipl.-Umweltwissenschaftlerin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;NI;;;;1;NI;37;;X
|
||||
;;Vieregge;Kerstin;w;1976;Betriebswirtin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;135;Lippe I;36,6;;NW;;18;
|
||||
;;Vogel;Johannes;m;1982;Politikwissenschaftler;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;5;NW;149;;
|
||||
;;Vogel;Volkmar;m;1959;Dipl.-Ingenieur (FH);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;194;Gera – Greiz – Altenburger Land;30,4;;TH;;3;X
|
||||
;;Vogler;Kathrin;w;1963;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;7;NW;128;;X
|
||||
;;Vogt;Ute;w;1964;MdB / Rechtsanwältin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BW;;;;9;BW;258;;X
|
||||
;;Vöpel;Dirk;m;1971;selbst. Kaufmann;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NW;117;Oberhausen – Wesel III;38,5;;NW;;62;X
|
||||
;de;Vries;Christoph Bernhard;m;1974;Dipl.-Soziologe / ltd. Angestellter;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;HH;;;;3;HH;18;;
|
||||
;de;Vries;Kees;m;1955;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;ST;71;Anhalt;31,6;;ST;;2;X
|
||||
Dr.;;Wadephul;Johann David;m;1963;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SH;4;Rendsburg-Eckernförde;42,7;;SH;;1;X
|
||||
Dr.;;Wagenknecht;Sahra;w;1969;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;1;NW;107;;X
|
||||
;;Wagner;Andreas;m;1972;Heilerziehungspfleger;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;6;BY;223;;
|
||||
;;Wagner;Daniela;w;1957;Stadträtin a. D.;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;HE;;;;1;HE;186;;
|
||||
;;Walter-Rosenheimer;Beate;w;1964;MdB / Dipl.-Psychologin;GRÜNE;BÜNDNIS 90/DIE GRÜNEN;Z;BY;;;;5;BY;215;;X
|
||||
;;Wanderwitz;Marco;m;1975;MdB / Rechtsanwalt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;163;Chemnitzer Umland – Erzgebirgskreis II;35,1;;;;;X
|
||||
;;Weber;Gabi;w;1955;MdB / Keramikmalerin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;RP;;;;7;RP;204;;X
|
||||
;;Weeser;Sandra;w;1969;Vizepräsidentin SGD Nord;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;RP;;;;2;RP;197;;
|
||||
;;Wegner;Kai;m;1972;MdB / Versicherungskaufmann;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;BE;;;;2;BE;78;;X
|
||||
;;Weidel;Alice;w;1979;Beraterin von Start-Up-Unternehmen;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BW;;;;1;BW;293;;
|
||||
;;Weiler;Albert Helmut;m;1965;Dipl.-Verwaltungswirt / Betriebswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;TH;195;Saalfeld-Rudolstadt – Saale-Holzland-Kreis – Saale-Orla-Kreis;30,9;;;;;X
|
||||
;;Weinberg;Harald;m;1957;MdB / Soziologe;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;BY;;;;4;BY;241;;X
|
||||
;;Weinberg;Marcus;m;1967;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;HH;;;;1;HH;19;;X
|
||||
Dr.;;Weisgerber;Anja;w;1976;MdB / Rechtsanwältin;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;250;Schweinfurt;47,9;;BY;;10;X
|
||||
;;Weiß;Peter Siegfried;m;1956;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;283;Emmendingen – Lahr;37,6;;;;;X
|
||||
;;Weiss;Sabine Katharina;w;1958;Rechtsanwältin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;113;Wesel I;39;;NW;;19;X
|
||||
;;Wellenreuther;Ingo;m;1959;MdB / Vors. Richter am LG a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;271;Karlsruhe-Stadt;28,5;;BW;;5;X
|
||||
;;Wendt;Marian;m;1985;MdB;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;SN;151;Nordsachsen;32,8;;SN;;11;X
|
||||
;;Werner;Katrin;w;1973;Kauffrau im Einzelhandel;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;RP;;;;2;RP;203;;X
|
||||
;;Westig;Nicole;w;1967;Fundraiserin;FDP;Freie Demokratische Partei;Z;NW;;;;12;NW;98;;
|
||||
;;Westphal;Bernd Helmut;m;1960;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;E;NI;48;Hildesheim;37,2;;NI;;17;X
|
||||
Prof. Dr.;;Weyel;Harald;m;1959;Professor der Betriebswirtschaft;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;3;;;;
|
||||
;;Whittaker;Kai;m;1985;MdB / Wirtschaftswissenschaftler (M. Sc.);CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;273;Rastatt;44,1;;;;;X
|
||||
;;Widmann-Mauz;Annette;w;1966;MdB / parl. Staatssekretärin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;BW;290;Tübingen;35,7;;BW;;2;X
|
||||
;;Wiehle;Wolfgang;m;1964;IT-Berater / Dipl.-Informatiker;AfD;Alternative für Deutschland;Z;BY;;;;14;BY;219;;
|
||||
;;Wiese;Dirk;m;1983;Jurist;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;13;NW;147;;X
|
||||
;;Wiesmann;Bettina Margarethe;w;1966;Unternehmensberaterin;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;183;Frankfurt am Main II;32,4;;HE;;9;
|
||||
Dr.;;Wildberg;Heiko;m;1952;Dipl.-Geologe;AfD;Alternative für Deutschland;Z;RP;;;;2;RP;211;;
|
||||
;;Willsch;Klaus-Peter;m;1961;Dipl.-Volkswirt;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;178;Rheingau-Taunus – Limburg;41,8;;HE;;10;X
|
||||
;;Winkelmeier-Becker;Elisabeth;w;1962;Richterin a. D.;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;NW;97;Rhein-Sieg-Kreis I;44,3;;NW;;2;X
|
||||
Dr.;;Wirth;Christian Friedrich;m;1963;Rechtsanwalt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;SL;;;;1;;;;
|
||||
;;Witt;Uwe;m;1959;Dipl.-Personalwirt;AfD;Alternative für Deutschland;Z;NW;;;;13;;;;
|
||||
;;Wittke;Oliver;m;1966;Dipl.-Geograph;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NW;;;;3;NW;123;;X
|
||||
;;Yüksel;Gülistan;w;1962;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;NW;;;;12;NW;109;;X
|
||||
;;Zdebel;Hubertus;m;1954;Journalist;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NW;;;;8;NW;129;;X
|
||||
;;Zeulner;Emmi;w;1987;MdB;CSU;Christlich-Soziale Union in Bayern e.V.;E;BY;240;Kulmbach;55,4;;BY;;16;X
|
||||
;;Ziegler;Dagmar;w;1960;Dipl.-Finanzökonomin;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BB;;;;1;BB;56;;X
|
||||
;;Ziemiak;Paul;m;1985;Angestellter / Student;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;Z;NW;;;;10;NW;141;;
|
||||
;;Zierke;Stefan;m;1970;Werkzeugmacher / Touristikfachwirt;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;BB;;;;4;BB;57;;X
|
||||
Prof. Dr.;;Zimmer;Matthias Rainer;m;1961;Hochschullehrer;CDU;Christlich Demokratische Union Deutschlands;E;HE;182;Frankfurt am Main I;30,5;;HE;;8;X
|
||||
Dr.;;Zimmermann;Jens;m;1981;MdB;SPD;Sozialdemokratische Partei Deutschlands;Z;HE;;;;9;HE;187;;X
|
||||
;;Zimmermann;Pia-Beate;w;1956;Mediengestalterin;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;NI;;;;1;NI;51;;X
|
||||
;;Zimmermann;Sabine;w;1960;MdB;DIE LINKE;DIE LINKE;Z;SN;;;;5;SN;165;;X
|
||||
|
@@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
library(ggplot2)
|
||||
library(tibble)
|
||||
|
||||
x_plt1 <- seq(0,1,len=1000)
|
||||
x_plt2 <- seq(0,1,len=200)
|
||||
plt_data1 <- tibble(
|
||||
x_val = x_plt1,
|
||||
y_val1 = x_plt1^2,
|
||||
y_val2 = sqrt(x_plt1))
|
||||
plt_data2 <- tibble(
|
||||
x_val = x_plt2,
|
||||
y_val = sin(2*pi*x_plt2)/2+0.5)
|
||||
|
||||
plt <- ggplot(data = plt_data1, mapping = aes(x = x_val)) +
|
||||
geom_line(mapping = aes(y = y_val1), color="blue") +
|
||||
geom_line(mapping = aes(y = y_val2), color="red") +
|
||||
geom_line(data = plt_data2, mapping = aes(x = x_val, y = y_val), color="red") +
|
||||
geom_point(data = plt_data2, mapping = aes(x = x_val, y = y_val), color="cyan")
|
||||
|
||||
print(plt)
|
||||
@@ -0,0 +1,95 @@
|
||||
library(tidyverse)
|
||||
|
||||
|
||||
# --- load athlete data
|
||||
|
||||
# We are only interested in following disciplines
|
||||
std_runs <- c("100 metres", "200 metres", "400 metres", "800 metres",
|
||||
"1,500 metres", "5,000 metres", "10,000 metres", "Marathon")
|
||||
|
||||
read_csv("athlete_events.csv") %>%
|
||||
filter(Sport == "Athletics") %>%
|
||||
select(Name, Sex, Age, Height, Weight, Year, Event, Medal) %>%
|
||||
mutate(
|
||||
Event = str_remove(Event, "Athletics Women's "),
|
||||
Event = str_remove(Event, "Athletics Men's ")) %>%
|
||||
filter(Event %in% std_runs) ->
|
||||
athletes
|
||||
|
||||
|
||||
# --- Top Medalists
|
||||
|
||||
athletes %>%
|
||||
pivot_wider(names_from = Medal, values_from = Medal) %>%
|
||||
mutate(across(c(Gold, Bronze, Silver), ~ !is.na(.))) %>%
|
||||
group_by(Name) %>%
|
||||
summarize(across(where(is.logical), sum)) %>%
|
||||
arrange(-Gold, -Silver, -Bronze) %>%
|
||||
transmute(Name, Gold, Silver, Bronze) ->
|
||||
medal_ranking
|
||||
|
||||
|
||||
# --- Age distribution among Women's Marathon participants
|
||||
|
||||
medal_color <- c(Bronze = "#6A3805", Silver = "#B4B4B4", Gold = "#AF9500")
|
||||
|
||||
athletes %>%
|
||||
filter(Event == "Marathon", Sex == "F", Year > 1980) %>%
|
||||
mutate(Year = as.factor(Year)) ->
|
||||
d
|
||||
|
||||
ggplot(d, aes(x = Year, y = Age)) +
|
||||
geom_boxplot(na.rm=T) +
|
||||
geom_point(data = drop_na(d), mapping = aes(color = Medal)) +
|
||||
scale_color_manual(values = medal_color) +
|
||||
ggtitle("Age distribution among Women's Marathon participants")
|
||||
|
||||
# --- Change in height of male runners
|
||||
|
||||
athletes %>%
|
||||
mutate(Event = factor(Event, levels=std_runs)) %>% # use factor for ordering
|
||||
filter(Sex == "M", Year > 1900) %>%
|
||||
group_by(Event, Year) %>%
|
||||
summarize(MeanHeight = mean(Height, na.rm=T)) %>%
|
||||
ggplot(aes(x = Year, y = MeanHeight, color = Event)) +
|
||||
geom_point() +
|
||||
ggtitle("Men's runs - mean across participants") +
|
||||
geom_smooth(se = FALSE)
|
||||
|
||||
# --- Medalist times
|
||||
|
||||
# Times are given as strings with inconsistent format.
|
||||
# Need custom function for conversion in seconds
|
||||
str2sec <- function(s) {
|
||||
s %>%
|
||||
str_split(":|h|-") %>%
|
||||
sapply(function(x) {
|
||||
v <- as.double(x)
|
||||
v3 <- c(0,0,0)
|
||||
v3[(4-length(v)):3] <- v
|
||||
v3[1] * 3600 + v3[2] * 60 + v3[3]
|
||||
})
|
||||
}
|
||||
|
||||
# We are only interested in following disciplines
|
||||
std_runs <- c("100M", "200M", "400M", "800M", "1500M", "5000M", "10000M", "Marathon")
|
||||
|
||||
read_csv("results.csv") %>%
|
||||
mutate(
|
||||
Event = str_remove(Event, c(" Men")),
|
||||
Event = str_remove(Event, c(" Women"))) %>%
|
||||
filter(Event %in% std_runs) %>%
|
||||
mutate(Result = str2sec(Result)) %>%
|
||||
drop_na() ->
|
||||
runs
|
||||
|
||||
medal_color <- c(B = "#6A3805", S = "#B4B4B4", G = "#AF9500")
|
||||
|
||||
ggplot(runs, aes(x = Year, y = Result, shape = Gender)) +
|
||||
facet_wrap(vars(factor(Event, levels = std_runs)), scales = "free_y") +
|
||||
geom_point(aes(color = Medal)) +
|
||||
scale_color_manual(values = medal_color) +
|
||||
ggtitle("Times of medal winners in different running disciplines") +
|
||||
xlab("Year") +
|
||||
ylab("Time in seconds") +
|
||||
geom_smooth(se = T)
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -0,0 +1,27 @@
|
||||
clear_warnings <- function() last.warning <<- list()
|
||||
|
||||
careless <- function(f) {
|
||||
function(...) {
|
||||
suppressWarnings(f(...))
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
fail_with <- function(expr, value) tryCatch(expr, error = function(cond) value)
|
||||
does_error <- function(expr) {
|
||||
didFail <- F
|
||||
tryCatch(expr, error = function(cond) didFail <<- T)
|
||||
didFail
|
||||
}
|
||||
|
||||
count_warnings <- function(expr) {
|
||||
N <- 0
|
||||
withCallingHandlers(expr, warning = function(cond) N <<- N + 1)
|
||||
N
|
||||
}
|
||||
|
||||
record <- function(expr) {
|
||||
msgs <- c()
|
||||
rec <- function(cond) { msgs <<- c(msgs, cond$message); rlang::cnd_muffle(cond)}
|
||||
withCallingHandlers(expr, warning = rec, message = rec)
|
||||
msgs
|
||||
}
|
||||
@@ -0,0 +1,14 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
mem_near <- function(f_in) {
|
||||
memo <- list(input=c(), value=c())
|
||||
function(x, nearest) {
|
||||
if (!nearest) {
|
||||
memo$input <<- c(memo$input, x)
|
||||
y <- f_in(x)
|
||||
memo$value <<- c(memo$value, y)
|
||||
return(y)
|
||||
}
|
||||
memo$value[apply(outer(memo$input, x, function(a, b) abs(a-b)), 2, which.min)]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
@@ -0,0 +1,79 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
poly1 <- structure(
|
||||
list(sides = c(2, 2, 2, 2), angles = c(pi/3, 2*pi/3, pi/3, 2*pi/3)),
|
||||
class = c("Quadrilateral", "Polygon"))
|
||||
poly2 <- structure(
|
||||
list(sides = c(3, 4, 3, 4), angles = rep(pi/2, 4)),
|
||||
class = c("Rectangle", "Quadrilateral", "Polygon"))
|
||||
poly3 <- structure(
|
||||
list(sides = c(2, 2, 2), angles = rep(pi/3, 3)),
|
||||
class = c("Triangle", "Polygon"))
|
||||
poly4 <- structure(
|
||||
list(sides = rep(1, 5), angles = rep(3/5*pi, 5)),
|
||||
class = c("Polygon"))
|
||||
|
||||
get_corners <- function(x) {
|
||||
n <- length(x$sides)
|
||||
if (n < 3) return(invisible(NULL))
|
||||
out <- matrix(ncol = 2, nrow = length(x$sides))
|
||||
direction <- c(1, 0)
|
||||
point <- c(0, 0)
|
||||
out[1, ] <- point
|
||||
for (i in 1:(n-1)) {
|
||||
point <- point + direction * x$sides[i]
|
||||
out[i+1, ] <- point
|
||||
a <- pi - x$angles[i]
|
||||
direction <- matrix(c(cos(a), sin(a), -sin(a), cos(a)), ncol=2) %*% direction
|
||||
}
|
||||
out
|
||||
}
|
||||
|
||||
plot_polygon <- function(x) {
|
||||
corners <- get_corners(x)
|
||||
plot(range(corners[,1]), range(corners[,2]), type = 'n', axes=FALSE, ann=FALSE, asp=1)
|
||||
polygon(corners[,1], corners[,2], lwd = 3)
|
||||
}
|
||||
|
||||
# a)
|
||||
plot.Polygon <- plot_polygon
|
||||
|
||||
# b)
|
||||
Rectangle <- function(w, h) structure(
|
||||
list(sides = c(w, h, w, h), angles = rep(pi/2, 4)),
|
||||
class = c("Rectangle", "Quadrilateral", "Polygon"))
|
||||
|
||||
Triangle <- function(s1, s2, a1) {
|
||||
b <- sqrt(s1^2 + s2^2 - 2*s1*s2*cos(a1))
|
||||
a2 <- acos((b^2 + s2^2 - s1^2)/(2 * s2 * b))
|
||||
structure(list(sides = c(s1, s2, b),
|
||||
angles = c(a1, a2, 2*pi-a1-a2)),
|
||||
class = c("Triangle", "Polygon"))
|
||||
}
|
||||
|
||||
# c)
|
||||
validate_Triangle <- function(x) {
|
||||
stopifnot("no triangle" = "Triangle" %in% class(x))
|
||||
tri <- Triangle(x$sides[1], x$sides[2], x$angles[1])
|
||||
stopifnot("side and angles do not fit" = identical(c(tri$angles, tri$sides), c(x$angles, x$sides)))
|
||||
}
|
||||
|
||||
# d)
|
||||
circumference <- function(obj) {
|
||||
UseMethod("circumference")
|
||||
}
|
||||
|
||||
circumference.Polygon <- function(p) sum(p$sides)
|
||||
|
||||
# e)
|
||||
area <- function(obj) {
|
||||
UseMethod("area")
|
||||
}
|
||||
|
||||
area.Triangle <- function(p) {
|
||||
h <- p$sides[1] * sin(p$angles[1])
|
||||
p$sides[2]*h*0.5
|
||||
}
|
||||
|
||||
area.Quadrilateral <- function(p)
|
||||
1/2 * (p$sides[1]*p$sides[4]*sin(p$angles[4]) + p$sides[2]*p$sides[3]*sin(p$angles[2]))
|
||||
@@ -0,0 +1,58 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
library(R6)
|
||||
|
||||
compass <- c("N", "E", "S", "W")
|
||||
movement <- list(N = c(0, 1), S = c(0, -1), W = c(-1, 0), E = c(1, 0))
|
||||
|
||||
# helper because R indexing beginning at 1 is stupid
|
||||
get_dir <- function(k) {
|
||||
compass[(k-1) %% 4 + 1]
|
||||
}
|
||||
|
||||
arrow_coords <- function(n, coord) {
|
||||
(coord + 0.5) / n
|
||||
}
|
||||
|
||||
GridPath <- R6Class("GridPath", list(
|
||||
path = matrix(c(0,0), nrow=1),
|
||||
dir = character(0),
|
||||
initialize = function(dir) {
|
||||
self$dir <- dir
|
||||
},
|
||||
move = function(steps) {
|
||||
if (steps == 0) return(invisible(self))
|
||||
n <- nrow(self$path)
|
||||
self$path <- rbind(self$path,
|
||||
self$path[n,] + movement[[self$dir]])
|
||||
self$move(steps-1)
|
||||
},
|
||||
rotate_right = function() {
|
||||
self$dir <- get_dir(which(self$dir == compass) + 1)
|
||||
invisible(self)},
|
||||
rotate_left = function() {
|
||||
self$dir <- get_dir(which(self$dir == compass) - 1)
|
||||
invisible(self)
|
||||
},
|
||||
print = function() {
|
||||
n <- max(self$path)+1
|
||||
grid <- matrix(rep(F, n^2), nrow=n)
|
||||
apply(self$path, 1, function(r) grid[r[1]+1, r[2]+1] <<- T)
|
||||
image(grid, useRaster=T, asp=T, col=c("white", "black"),
|
||||
axes=F)
|
||||
final <- self$path[nrow(self$path),]
|
||||
print(final)
|
||||
mv <- movement[[self$dir]]
|
||||
coords <- c((final)/(n-1),
|
||||
(final + mv) / (n-1))
|
||||
arrows(coords[1], coords[2], coords[3], coords[4], col="red")
|
||||
}))
|
||||
|
||||
gpath3 <- GridPath$new("N")
|
||||
gpath3$move(7)$
|
||||
rotate_right()$move(8)$
|
||||
rotate_right()$move(7)$
|
||||
rotate_right()$move(6)$
|
||||
rotate_right()$move(5)
|
||||
|
||||
gpath3
|
||||
@@ -0,0 +1,5 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
library(rlang)
|
||||
|
||||
`%->%` <- function(value, x) eval.parent(substitute(x <- value))
|
||||
@@ -0,0 +1,50 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
library(tidyverse)
|
||||
library(rlang)
|
||||
|
||||
variables <- LETTERS[1:7]
|
||||
names(variables) <- variables
|
||||
prop_ops <- exprs(`(`,`!`,`&`,`|`,`<=`,`>=`,`==`)
|
||||
prop_ops_str <- sapply(prop_ops, expr_text)
|
||||
ops_expr_str <- c("==", "<=", ">=", "&", "|", "!")
|
||||
ops_print_str <- c("\u2194","\u2190","\u2192","\u2227","\u2228","\u00AC")
|
||||
names(ops_print_str) <- ops_expr_str
|
||||
|
||||
flip <- function(f) function(x,y) f(y,x)
|
||||
implies <- function(A, B) (!A) | B
|
||||
|
||||
validate_Prop <- function(e) {
|
||||
stopifnot("class must be Prop" = "Prop" %in% class(e))
|
||||
stopifnot("only numbers 0 and 1 allowed" = !str_detect(expr_text(e), "[2-9]"))
|
||||
stopifnot("invalid operator or variable" = all(all.names(e) %in% c(variables, ops_expr_str, "(", ")")))
|
||||
e
|
||||
}
|
||||
|
||||
Prop <- function(x) {
|
||||
e <- enexpr(x)
|
||||
if (typeof(e) == "symbol") e <- expr(( (!!e) ))
|
||||
validate_Prop(structure(e, class="Prop"))
|
||||
}
|
||||
|
||||
tochar <- function(p) str_replace_all(expr_text(p), fixed(ops_print_str))
|
||||
|
||||
print.Prop <- function(p) {
|
||||
cat(tochar(p), "\n")
|
||||
invisible(p)
|
||||
}
|
||||
|
||||
interprete <- function(prop, vars, append=FALSE) {
|
||||
res <- as.logical(eval_tidy(prop, c(as.list(vars),
|
||||
`>=` = implies,
|
||||
`<=` = flip(implies))))
|
||||
var <- tochar(prop)
|
||||
if(append) add_column(vars, (!!sym(var)) := res)
|
||||
else res
|
||||
}
|
||||
|
||||
combinations <- do.call(expand.grid, lapply(variables, function(v) c(0,1)))
|
||||
|
||||
is_tautology <- function(prop) {
|
||||
all(interprete(prop, combinations))
|
||||
}
|
||||
@@ -0,0 +1,32 @@
|
||||
# Josua Kugler, Christian Merten
|
||||
|
||||
library(tidyverse)
|
||||
|
||||
# a)
|
||||
rate <- function(df, expr, name) {
|
||||
t <- summarize(df, total := sum({{expr}}))
|
||||
mutate(df, {{name}} := {{expr}} / t$total)
|
||||
}
|
||||
|
||||
#b)
|
||||
show_na <- function(df, expr) df %>% filter(is.na({{expr}}))
|
||||
|
||||
#c)
|
||||
ggplot_line <- function(df, expr_x, expr_y)
|
||||
df %>% ggplot(aes(x = {{expr_x}}, y = {{expr_y}})) + geom_line()
|
||||
|
||||
#d)
|
||||
athletes <- read_csv("athletes.csv")
|
||||
medal_color <- c(Bronze = "#6A3805", Silver = "#B4B4B4", Gold = "#AF9500")
|
||||
|
||||
plot_olympia <- function(event, sex, metric) {
|
||||
athletes %>% filter(Event == event , Sex == sex) %>%
|
||||
mutate (Year = as.factor(Year)) ->
|
||||
d
|
||||
|
||||
ggplot(d, aes(x = Year, y = {{metric}})) +
|
||||
geom_boxplot (na.rm = TRUE) +
|
||||
geom_point (data = drop_na (d), aes(color = Medal)) +
|
||||
scale_color_manual (values = medal_color) +
|
||||
ggtitle(str_c(event, sex, sep = ", "))
|
||||
}
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,210 @@
|
||||
\ProvidesClass{arbeit}
|
||||
\LoadClass[a4paper, titlepage]{article}
|
||||
|
||||
\RequirePackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\RequirePackage[T1]{fontenc}
|
||||
\RequirePackage{textcomp}
|
||||
\RequirePackage[german, english]{babel}
|
||||
\RequirePackage{amsmath, amssymb, amsthm}
|
||||
\RequirePackage{mdframed}
|
||||
\RequirePackage{fancyhdr}
|
||||
\RequirePackage{geometry}
|
||||
\RequirePackage{import}
|
||||
\RequirePackage{pdfpages}
|
||||
\RequirePackage{transparent}
|
||||
\RequirePackage{xcolor}
|
||||
\RequirePackage{array}
|
||||
\RequirePackage[shortlabels]{enumitem}
|
||||
\RequirePackage{tikz}
|
||||
\RequirePackage{pgfplots}
|
||||
\RequirePackage[nobottomtitles]{titlesec}
|
||||
\RequirePackage{listings}
|
||||
\RequirePackage{mathtools}
|
||||
\RequirePackage{forloop}
|
||||
\RequirePackage{totcount}
|
||||
\RequirePackage{calc}
|
||||
\RequirePackage{wasysym}
|
||||
\RequirePackage{environ}
|
||||
|
||||
\usetikzlibrary{quotes, angles}
|
||||
\pgfplotsset{
|
||||
compat=1.15,
|
||||
default 2d plot/.style={%
|
||||
grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2}
|
||||
},
|
||||
}
|
||||
|
||||
% PAGE GEOMETRY
|
||||
\geometry{
|
||||
bottom=35mm
|
||||
}
|
||||
|
||||
% PARAGRAPH no indent but skip
|
||||
%\setlength{\parskip}{3mm}
|
||||
%\setlength{\parindent}{0mm}
|
||||
|
||||
\newtheorem{satz}{Satz}[section]
|
||||
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
|
||||
\newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
|
||||
\theoremstyle{definition}
|
||||
\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
|
||||
\newtheorem*{definition*}{Definition}
|
||||
|
||||
%\theoremstyle{definition}
|
||||
%\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
|
||||
%\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
|
||||
%\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
|
||||
%\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
|
||||
|
||||
\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
|
||||
\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
|
||||
\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
|
||||
|
||||
% enable aufgaben counting
|
||||
\regtotcounter{aufgabe}
|
||||
|
||||
% temporary calculation counter
|
||||
\newcounter{var}
|
||||
|
||||
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
|
||||
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
|
||||
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
|
||||
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
|
||||
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
|
||||
|
||||
% HEADERS
|
||||
|
||||
\pagestyle{headings}
|
||||
|
||||
\newcommand{\incfig}[1]{%
|
||||
\def\svgwidth{\columnwidth}
|
||||
\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
|
||||
}
|
||||
\pdfsuppresswarningpagegroup=1
|
||||
|
||||
% code listings, define style
|
||||
\lstdefinestyle{mystyle}{
|
||||
commentstyle=\color{gray},
|
||||
keywordstyle=\color{blue},
|
||||
numberstyle=\tiny\color{gray},
|
||||
stringstyle=\color{black},
|
||||
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
|
||||
breakatwhitespace=false,
|
||||
breaklines=true,
|
||||
captionpos=b,
|
||||
keepspaces=true,
|
||||
numbers=left,
|
||||
numbersep=5pt,
|
||||
showspaces=false,
|
||||
showstringspaces=false,
|
||||
showtabs=false,
|
||||
tabsize=2
|
||||
}
|
||||
|
||||
% activate my colour style
|
||||
\lstset{style=mystyle}
|
||||
|
||||
% better stackrel
|
||||
\let\oldstackrel\stackrel
|
||||
\renewcommand{\stackrel}[2]{%
|
||||
\oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
|
||||
}%
|
||||
|
||||
% integral d sign
|
||||
\makeatletter \renewcommand\d[2][]{\ensuremath{%
|
||||
\,\mathrm{d}^{#1}#2\@ifnextchar^{}{\@ifnextchar\d{}{\,}}}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
% contradiction
|
||||
\newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
|
||||
|
||||
% disjoint unions: provides cupdot and bigcupdot
|
||||
\makeatletter
|
||||
\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
|
||||
\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
|
||||
\baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
|
||||
\ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
|
||||
\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
|
||||
#1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
|
||||
\mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
|
||||
}
|
||||
\ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
|
||||
\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}
|
||||
|
||||
\ExplSyntaxOn
|
||||
|
||||
% S-tackrelcompatible ALIGN environment
|
||||
% some might also call it the S-uper ALIGN environment
|
||||
% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
|
||||
% to put additional padding on both sides of relation symbols
|
||||
\NewEnviron{salign}
|
||||
{
|
||||
\begin{align}
|
||||
\lec_insert_padding:V \BODY
|
||||
\end{align}
|
||||
}
|
||||
% starred version that does no equation numbering
|
||||
\NewEnviron{salign*}
|
||||
{
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lec_insert_padding:V \BODY
|
||||
\end{align*}
|
||||
}
|
||||
|
||||
% some helper variables
|
||||
\tl_new:N \l__lec_text_tl
|
||||
\seq_new:N \l_lec_stackrels_seq
|
||||
\int_new:N \l_stackrel_count_int
|
||||
\int_new:N \l_idx_int
|
||||
\box_new:N \l_tmp_box
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_a
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_b
|
||||
\dim_new:N \l_tmp_dim_needed
|
||||
|
||||
% function to insert padding according to widest stackrel
|
||||
\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
|
||||
{
|
||||
\tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
|
||||
% get all stackrels in this align environment
|
||||
\regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
|
||||
% get number of stackrels
|
||||
\int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
|
||||
\int_set:Nn \l_idx_int { 1 }
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 0pt }
|
||||
% iterate over stackrels
|
||||
\int_while_do:nn { \l_idx_int <= \l_stackrel_count_int }
|
||||
{
|
||||
% calculate width of text
|
||||
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 1 }$}
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\box_wd:N \l_tmp_box}
|
||||
% calculate width of relation symbol
|
||||
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 2 }$}
|
||||
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_b {\box_wd:N \l_tmp_box}
|
||||
% check if 0.5*(a-b) > minimum padding, if yes updated minimum padding
|
||||
\dim_compare:nNnTF
|
||||
{ 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } > { \l_tmp_dim_needed }
|
||||
{ \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } }
|
||||
{ }
|
||||
\quad
|
||||
% increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
\int_incr:N \l_idx_int
|
||||
}
|
||||
% replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
|
||||
\regex_replace_all:nnN
|
||||
{ (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
|
||||
{ \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
|
||||
\l__lec_text_tl
|
||||
\l__lec_text_tl
|
||||
}
|
||||
\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
|
||||
\ExplSyntaxOff
|
||||
Binary file not shown.
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
@article {spaltenstein,
|
||||
AUTHOR = {Spaltenstein, N.},
|
||||
TITLE = {Resolutions of unbounded complexes},
|
||||
JOURNAL = {Compositio Math.},
|
||||
FJOURNAL = {Compositio Mathematica},
|
||||
VOLUME = {65},
|
||||
YEAR = {1988},
|
||||
NUMBER = {2},
|
||||
PAGES = {121--154},
|
||||
ISSN = {0010-437X},
|
||||
MRCLASS = {18E25 (32C35)},
|
||||
MRNUMBER = {932640},
|
||||
MRREVIEWER = {Michael M. Kapranov},
|
||||
URL = {http://www.numdam.org/item?id=CM_1988__65_2_121_0},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book {hartshorne,
|
||||
AUTHOR = {Hartshorne, Robin},
|
||||
TITLE = {Residues and duality},
|
||||
SERIES = {Lecture Notes in Mathematics, No. 20},
|
||||
NOTE = {Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck,
|
||||
given at Harvard 1963/64,
|
||||
With an appendix by P. Deligne},
|
||||
PUBLISHER = {Springer-Verlag, Berlin-New York},
|
||||
YEAR = {1966},
|
||||
PAGES = {vii+423},
|
||||
MRCLASS = {14.55},
|
||||
MRNUMBER = {0222093},
|
||||
MRREVIEWER = {R. L. Knighten},
|
||||
}
|
||||
|
||||
@book {set-theoretic,
|
||||
AUTHOR = {Weibel, Charles A.},
|
||||
TITLE = {An introduction to homological algebra},
|
||||
SERIES = {Cambridge Studies in Advanced Mathematics},
|
||||
VOLUME = {38},
|
||||
PUBLISHER = {Cambridge University Press, Cambridge},
|
||||
YEAR = {1994},
|
||||
PAGES = {xiv+450},
|
||||
ISBN = {0-521-43500-5; 0-521-55987-1},
|
||||
MRCLASS = {18-01 (16-01 17-01 20-01 55Uxx)},
|
||||
MRNUMBER = {1269324},
|
||||
MRREVIEWER = {Kenneth A. Brown},
|
||||
DOI = {10.1017/CBO9781139644136},
|
||||
URL = {https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136},
|
||||
}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,410 @@
|
||||
\documentclass{arbeit}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\usepackage{graphicx}
|
||||
\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
|
||||
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section{Motivation}
|
||||
|
||||
Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul
|
||||
$N$ die Adjunktion
|
||||
\[
|
||||
- \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
|
||||
\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
|
||||
die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
|
||||
Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
|
||||
die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
$\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
|
||||
ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
|
||||
\underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r}
|
||||
& \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r}
|
||||
& \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$
|
||||
und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
|
||||
$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Neuer Ableitungsbegriff}
|
||||
|
||||
Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
|
||||
und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Erinnerung]
|
||||
Sei $X \in \mathcal{A}$.
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
|
||||
$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
|
||||
\cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
|
||||
\label{eq:resolution}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{equation}
|
||||
ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
|
||||
den Kohomologiegruppen induziert.
|
||||
|
||||
\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
|
||||
des Komplexes $F(\com{I})$.
|
||||
|
||||
\item Wohldefiniert.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Idee]
|
||||
Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
|
||||
\item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
|
||||
Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
und einem kanonischen Funktor
|
||||
$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
|
||||
Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Mengentheorie]
|
||||
Es gibt mengentheoretische Probleme.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Totalableitung]
|
||||
Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
|
||||
Funktor plus $(*)$.
|
||||
Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
|
||||
$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
|
||||
einer natürlichen Transformation
|
||||
$\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
|
||||
eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
|
||||
Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
|
||||
und jede natürliche Transformation
|
||||
$\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
|
||||
eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
|
||||
& G \circ Q_{\mathcal{A}}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\]
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
|
||||
$\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
|
||||
\item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
|
||||
Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
|
||||
\item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
|
||||
Komplexe mit injektiven Objekten.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
|
||||
$\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
|
||||
\item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
|
||||
ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
|
||||
und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}
|
||||
|
||||
Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[]
|
||||
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
|
||||
mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
|
||||
\item und
|
||||
\[
|
||||
H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
|
||||
\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
|
||||
.\]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
|
||||
$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für
|
||||
$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
|
||||
\[
|
||||
\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) =
|
||||
\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
|
||||
\] erhält.
|
||||
\end{definition}
|
||||
Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
|
||||
und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
|
||||
Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
|
||||
(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
|
||||
|
||||
Für
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn
|
||||
der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive
|
||||
Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus
|
||||
$\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
|
||||
jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
|
||||
nullhomotop ist.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
|
||||
(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I})
|
||||
= H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
|
||||
jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
|
||||
nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
|
||||
man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.
|
||||
|
||||
Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
|
||||
und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.
|
||||
|
||||
Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
|
||||
$(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
|
||||
\begin{enumerate}[(1)]
|
||||
\item $\com{I}_1 = 0$
|
||||
\item Für $n > 1$ ist
|
||||
die kurze Folge
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
|
||||
& \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
|
||||
speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
|
||||
$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.
|
||||
|
||||
Dazu beobachtet man
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Diagrammjagd.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
|
||||
$\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
|
||||
Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
|
||||
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
|
||||
Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
|
||||
|
||||
Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
|
||||
inversen Limites.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
|
||||
$\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
|
||||
ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
|
||||
dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
|
||||
unter speziellen inversen Limites. Mit
|
||||
\[
|
||||
\mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
|
||||
\com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
|
||||
\] folgt jetzt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
|
||||
Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
|
||||
von $\com{M} $ liefert.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Abschneiden]
|
||||
Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
|
||||
& \arrow{r} M^{-n+1}
|
||||
& \arrow{r} M^{-n+2}
|
||||
& \cdots
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\]
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[]
|
||||
Dann ist für $i \ge -n$
|
||||
\[
|
||||
H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
|
||||
.\]
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
|
||||
mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
|
||||
Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
|
||||
$\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.
|
||||
|
||||
Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
|
||||
Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
|
||||
Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
|
||||
erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.
|
||||
|
||||
\begin{bem}[]
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
|
||||
$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
|
||||
$(f_n)_{n \in \N}$.
|
||||
\item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
|
||||
$f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
|
||||
insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
|
||||
\item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
|
||||
$f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
|
||||
Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
|
||||
Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[K-flach]
|
||||
Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
K-projektiv $\implies$ K-flach
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}[]
|
||||
Es existieren K-flache Auflösungen.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
|
||||
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
|
||||
$\com{I} \in \mathcal{K}$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
|
||||
ein natürlicher Isomorphismus
|
||||
\[
|
||||
R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
|
||||
= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
|
||||
.\]
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
|
||||
wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
|
||||
dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
|
||||
&= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
|
||||
.\end{align*}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,169 @@
|
||||
\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{textcomp}
|
||||
\usepackage[german]{babel}
|
||||
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
|
||||
\usepackage[a4 paper,margin=1in]{geometry}
|
||||
\usepackage{fancyhdr}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
\fancyhead{}
|
||||
\fancyfoot{}
|
||||
\rhead{30.6.2022}
|
||||
\makeatletter
|
||||
\newcommand{\colim@}[2]{%
|
||||
\vtop{\m@th\ialign{##\cr
|
||||
\hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr
|
||||
\noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr
|
||||
\noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}%
|
||||
}
|
||||
\newcommand{\colim}{%
|
||||
\mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@
|
||||
}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
|
||||
\newtheorem{satz}{Satz}
|
||||
\newtheorem{thm}[satz]{Theorem}
|
||||
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
|
||||
\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
|
||||
\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
|
||||
\newtheorem{bung}[satz]{Übung}
|
||||
\newtheorem{rem}[satz]{Erinnerung}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\section*{Endlich étale Morphismen, Vortrag 9}
|
||||
|
||||
Sei $A$ ein (kommutativer) Ring.
|
||||
% \begin{rem}[Komposition]
|
||||
% Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
|
||||
% ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
|
||||
% \label{satz:composition-projective}
|
||||
%\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{rem}%[Basiswechsel endlich projektive]
|
||||
Endlich (treu-)projektiv ist stabil unter Basiswechsel und Komposition. Insbesondere
|
||||
kommutiert für $A \to B$ endlich projektiv und $A \to C$ Ringhomomorphismus das folgende Diagramm:
|
||||
%Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
|
||||
%ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
|
||||
%Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
|
||||
& \mathbb{Z} &.
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
\label{satz:basischange-projective}
|
||||
\end{rem}
|
||||
\begin{bung}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
|
||||
\item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
|
||||
\item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:degree}
|
||||
\end{bung}
|
||||
\begin{definition}[Zariskiüberdeckung]
|
||||
Wir nennen Elemente $\{f_i\}_{i \in I} \subseteq A$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
|
||||
$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
% \begin{definition}
|
||||
% Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus.
|
||||
% $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Zariskiüberdeckung existiert, sodass
|
||||
% $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
|
||||
% \label{def:finite-locally-free}
|
||||
%\end{definition}
|
||||
\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
|
||||
Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
|
||||
%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
|
||||
%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
|
||||
\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
|
||||
%\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
|
||||
\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
|
||||
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
|
||||
\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
|
||||
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist für alle $i \in I$.
|
||||
%\item Es existiert eine treuprojektive $A$-Algebra $C$, sodass $B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}%[Basiswechsel endlich étale]
|
||||
%Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
%$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
|
||||
%\label{satz:basischange}
|
||||
Endlich étale ist stabil unter Basiswechsel und Komposition.
|
||||
\end{satz}
|
||||
% \begin{satz}[Komposition endlich étale]
|
||||
% Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
|
||||
% $C$ endlich étale $A$-Algebra.
|
||||
%\end{satz}
|
||||
\begin{bung}
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $(B_i)_{i \in I}$ $A$-Algebren mit $I$ endlich. Sei weiter
|
||||
$B = \prod_{i \in I} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
|
||||
jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
|
||||
$[B : A] = \sum_{i \in I} [B_i : A]$.
|
||||
\label{ex:5.3}
|
||||
\end{bung}
|
||||
\begin{bung}
|
||||
Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
|
||||
für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
|
||||
ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
|
||||
Weiter ist
|
||||
\[
|
||||
\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
|
||||
.\]
|
||||
\label{satz:projective-prod}
|
||||
\end{bung}
|
||||
\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
|
||||
Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
|
||||
$A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
|
||||
$B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\
|
||||
A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] kommutiert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{thm}
|
||||
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann endlich étale,
|
||||
wenn eine treuprojektive $A$-Algebra $C$ existiert, sodass
|
||||
$C \to B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
|
||||
\label{th:5.10}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $E$ eine endliche Menge. Dann sei $A^{E} = \prod_{e \in E}^{} A$. Für
|
||||
eine Abbildung endlicher Mengen $\phi\colon D \to E$ bezeichne
|
||||
mit $\hat{\phi}\colon A^{E}\to A^{D}$ den von $A^{E} \to A$,
|
||||
$(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$ für $d \in D$ induzierten $A$-Algebrahomomorphismus.
|
||||
Ein solches $\hat{\phi}$ ist endlich étale.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
|
||||
Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
|
||||
existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
|
||||
es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
|
||||
und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
|
||||
& \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow[swap]{l}{\hat{\phi}} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
|
||||
A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] kommutiert.
|
||||
\label{lemma:locally-trivial}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
|
||||
$h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Dann ist $h$ endlich étale.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,420 @@
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||||
\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}
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||||
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||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
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||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{textcomp}
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||||
\usepackage[german]{babel}
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||||
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
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||||
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||||
\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
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||||
|
||||
\begin{document}
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||||
|
||||
\section{Projektive Moduln und Algebren}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
|
||||
\item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
|
||||
$M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:rings-degree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[]
|
||||
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
|
||||
$B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
|
||||
\label{satz:4.14}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Endlich étale Morphismen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Affiner Morphismus]
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{affin}, wenn
|
||||
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
|
||||
$f^{-1}(U_i)$ affin ist für alle $i \in I$
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$f\colon Y \to X$ ist genau dann affin, wenn für jede offene affine Menge $U \subseteq X$,
|
||||
$f^{-1}(U)$ affin ist.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
|
||||
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
|
||||
$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[]
|
||||
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
|
||||
ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
|
||||
\] als $S^{-1}A$-Algebren.
|
||||
\label{lemma:localisation}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
|
||||
Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
|
||||
.\] Insbesondere gilt
|
||||
\[
|
||||
\varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
|
||||
.\]
|
||||
\label{lemma:d(f)}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
|
||||
zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
|
||||
Verwendung des Ringisomorphismus
|
||||
\[
|
||||
B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
|
||||
$f$ genau dann endlich und lokal frei, wenn für jede offene affine Menge $U = \text{Spec }A$ von $X$,
|
||||
$f^{-1}(U)$ affin mit
|
||||
$f^{-1}(U) = \text{Spec }B$ und $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
|
||||
\label{satz:morph-local-free-char}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
($\Rightarrow$)
|
||||
%Sei $D$ endliche freie $C$-Algebra. Dann ist $D_g$ endliche freie $C_g$-Algebra für $g \in C$. Außerdem ist
|
||||
%$\text{Spec }C_g = D(g) \subseteq \text{Spec }C$ eine Basis von $\text{Spec }C$.
|
||||
Sei $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen, $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$
|
||||
und $B_i$ endliche freie $A_i$-Algebra. Nun sei $g \in A_i$ beliebig.
|
||||
Mit \ref{lemma:d(f)} ist $f^{-1}((A_i)_g) = \text{Spec }(B_i)_g$ und
|
||||
da Lokalisieren Freiheit und Rang von Moduln erhält, ist $(B_i)_{g}$ endliche freie $(A_i)_g$-Algebra.
|
||||
Da die Mengen der Form $D(g) = \text{Spec }(A_i)_g$ mit
|
||||
$g \in A_i$ eine Basis von $U_i = \text{Spec }A_i$ bilden, können wir
|
||||
ohne Einschränkung annehmen, dass $\{U_i\}_{i \in I}$ bereits eine Basis von $X$ ist, insbesondere
|
||||
existiert ein $J \subseteq I$, sodass $U = \bigcup_{j \in J} U_j$.
|
||||
|
||||
Ebenfalls
|
||||
ist $\{D(g)\}_{g \in A}$ eine Basis von $U$, also existiert für alle $j \in J$ eine Familie
|
||||
$\{g_{jk}\}_{k \in K_j}$, sodass $U_j = \bigcup_{k \in K_j} D(g_{jk})$. Außerdem
|
||||
ist $D(g_{jk}) \subseteq U_j$ also
|
||||
\[
|
||||
\text{Spec }A_{g_{jk}} = D(g_{jk}) = D(g_{jk}) \cap U_j = \text{Spec }(A_{j})_{g_{jk}}
|
||||
.\] Damit folgt $f^{-1}(\text{Spec }A_{g_{jk}}) = \text{Spec }B_{g_{jk}}$ mit $B_{g_{jk}}$
|
||||
endliche freie $A_{g_{jk}}$-Algebra. Außerdem ist $U = \bigcup D(g_{jk})$, also
|
||||
$\sum_{} (g_{jk}) = A$. Also folgt mit \ref{satz:projectiveislocallyfree},
|
||||
dass $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra ist.
|
||||
|
||||
($\Leftarrow$) Sei $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ mit $U_i = \text{Spec }A_i$ offen. Dann
|
||||
ist $f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$ mit einer endlichen, projektiven $A_i$-Algebra $B_i$. Nach
|
||||
\ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
existieren $\{g_{ij}\}_{j \in J_i} \subseteq A_i$, sodass $\sum_{j \in J_i} (g_{ij}) = A_i$ und
|
||||
$(B_i)_{g_{ij}}$ endliche, freie $(A_{i})_{g_{ij}}$-Algebra. Es folgt
|
||||
\[
|
||||
U_i = \bigcup_{j \in J_i} D(f_{ij}) = \bigcup_{j \in J_i} \text{Spec } (A_i)_{g_{ij}}
|
||||
.\] Da die $\{U_i\}_{i \in I}$ eine Überdeckung von $X$ sind, folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Grad]
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein endlicher, lokal freier Morphismus von Schemata und $U = \text{Spec }A$ offen in $X$
|
||||
mit $f^{-1}(U) = \text{Spec }B$. Nach 4.9 existiert eine stetige Funktion
|
||||
\[
|
||||
[B : A] \colon U = \text{Spec }A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
|
||||
.\]
|
||||
Sei $U' = \text{Spec }A'$ offen in $X$ mit $f^{-1}(U') = \text{Spec }B'$. Dann stimmen
|
||||
$[B' : A']$ und $[B : A]$ auf $U \cap U'$ überein, d.h. wir erhalten eine Funktion
|
||||
\[
|
||||
\text{deg}(f) = [Y : X] \colon \operatorname{sp}(X) \to \Z
|
||||
,\] wobei $\operatorname{sp}(X)$ den unterliegenden topologischen Raum von $X$ bezeichne.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei zunächst $U \subseteq U'$ und $x \in U$. Da $\{D(g)\}_{g \in A'}$ eine Basis von $U'$ ist, existiert ein
|
||||
$g \in A'$, sodass $x \in D(g) \subseteq U$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\text{Spec }A'_{g} = D(g) = D(g) \cap U = \text{Spec }A_{g_{|U}}
|
||||
.\] Also folgt
|
||||
\[
|
||||
[B' : A'](x) = [B'_g : A'_g](x) = [B_{g_{|U}} : A_{g_{|U}} ](x) = [ B : A ](x)
|
||||
.\] Im Allgemeinen sei $x \in U \cap U'$. Dann existiert eine offene affine Menge $x \in V \subseteq U \cap U'$
|
||||
und wir können zweimal den Spezialfall für $V \subseteq U$ und $V \subseteq U'$ anwenden.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann ist
|
||||
$[Y : X]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\operatorname{sp}(X) \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
|
||||
Topologie trägt.
|
||||
Insbesondere ist die Menge
|
||||
\[
|
||||
\{x \in \operatorname{sp}(X) \mid [Y : X](x) = n\}
|
||||
\] offen und abgeschlossen in $X$ und $[Y : X]$ ist konstant, falls $X$ zusammenhängend ist.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Lokalisieren ist exakt, erhält also den Rang von freien Moduln und $X$ ist lokal frei.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Surjektive Morphismen]
|
||||
Ein Morphismus $Y \to X$ von Schemata heißt \emph{surjektiv}, falls die zugrundeliegende Abbildung
|
||||
zwischen den topologischen Räumen surjektiv ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ endlich und lokal frei. Dann gilt
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $Y = \emptyset \iff [Y : X] = 0$.
|
||||
\item $Y \to X$ Isomorphismus $\iff [Y : X] = 1$.
|
||||
\item $Y \to X$ surjektiv $\iff [Y : X] \ge 1 \iff$ für alle offenen affinen Teilmengen $U = \operatorname{Spec }A$ von
|
||||
$X$ ist $f^{-1}(U) = \spec B$, wobei $B$ eine treuprojektive $A$-Algebra ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:degree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Alle Eigenschaften sind lokal auf $X$, das heißt oE sei $X = \spec A$ affin. Da $f$ affin ist, folgt
|
||||
$Y = \spec B$, wobei $B$ endliche und projektive $A$-Algebra ist.
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $Y = \emptyset \iff B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
|
||||
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
|
||||
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
|
||||
$\iff [B : A] = 0$.
|
||||
\item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
|
||||
\item Die zweite Äquivalenz gilt nach Definition von treuprojektiv. Für die erste:
|
||||
Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
|
||||
$\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
|
||||
Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
|
||||
$S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
|
||||
$\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
|
||||
$S \subseteq T$. Und damit
|
||||
\[
|
||||
B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
|
||||
\] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
|
||||
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
|
||||
$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
|
||||
und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
|
||||
die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Endlich étaler Morphismus]
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich étale}, falls
|
||||
eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit
|
||||
$U_i = \spec A_i$, sodass $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ eine freie, separable $A_i$-Algebra ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Jeder endlich étale Morphismus ist endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
%\begin{lemma}
|
||||
% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
|
||||
% \[
|
||||
% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
|
||||
% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
|
||||
% \[
|
||||
% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
|
||||
% \] ein Isomorphismus.
|
||||
% \label{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
%\end{lemma}
|
||||
%
|
||||
%\begin{proof}
|
||||
% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
|
||||
% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
|
||||
% \[
|
||||
% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
|
||||
% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
|
||||
% \] und
|
||||
% \[
|
||||
% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
|
||||
% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
|
||||
%\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[]
|
||||
Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
|
||||
.\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra. Dann ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Hom}_A(M, A) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C)
|
||||
\] ein Isomorphismus.
|
||||
\label{lemma:tensor-and-hom}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden
|
||||
in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, C) \to C^{n} \to C^{m}
|
||||
.\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, A)$ die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \to A^{n} \to A^{m}
|
||||
.\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(A^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, A) \otimes_A C \to C^{n} \to C^{m}
|
||||
.\] Der linke Term verschwindet, weil $A^{m}$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
|
||||
den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
|
||||
die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
|
||||
ist der natürliche $A$-Modulhomomorphismus
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Hom}_{A}(B, A) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}B, S^{-1}A)
|
||||
\] ein Isomorphismus.
|
||||
\label{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
|
||||
eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
|
||||
$U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
|
||||
|
||||
\label{bem:finite-etale-basis}
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
|
||||
separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
|
||||
ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
durch Lokalisieren erhalten.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra und
|
||||
$\phi\colon B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$ die von der Spur induzierte Abbildung. Dann ist
|
||||
$B$ genau dann separabel über $A$, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $\phi$ ist ein Isomorphismus.
|
||||
\item Die induzierte Abbildung
|
||||
$B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$
|
||||
ist ein Isomorphismus für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{lemma:separable-is-local}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Isomorphismus zu sein ist eine lokale Eigenschaft und $B$ ist endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul, das
|
||||
heißt insbesondere endlich präsentiert, also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist $f$ genau dann endlich étale, wenn
|
||||
für jede offene affine Teilmenge $U = \spec A$ von $X$, $f^{-1}(U)$ affin mit $f^{-1}(U) = \spec B$ und
|
||||
$B$ eine projektive, separable $A$-Algebra ist.
|
||||
\label{satz:equiv-finite-etale}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
($\Rightarrow$) Sei $U = \spec A$ offen in $X$ und sei $f^{-1}(U) = \spec B$.
|
||||
Dann ist $B$ nach \ref{satz:morph-local-free-char} endliche, projektive $A$-Algebra.
|
||||
Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $x \in U$ der zugehörige Punkt. Dann
|
||||
ist $A_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{U,x} = \mathcal{O}_{V,x}$ für jede offene Menge $x \in V \subseteq U$.
|
||||
Nach \ref{bem:finite-etale-basis} existiert
|
||||
$x \in V \subseteq U$ offen affin mit $V = \text{Spec }A'$ und $f^{-1}(V) = \text{Spec }B'$, wobei
|
||||
$B'$ freie, separable $A'$-Algebra. Dann ist nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
$B'_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A'_{\mathfrak{p}}}(B'_{\mathfrak{p}}, A'_{\mathfrak{p}})$ ein
|
||||
Isomorphismus, also auch
|
||||
$B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})$. Also
|
||||
nach \ref{lemma:separable-is-local} ist $B$ separable $A$-Algebra.
|
||||
|
||||
($\Leftarrow$) Da endlich étale eine auf $X$ lokale Eigenschaft ist, sei oE $X = \spec A$. Dann ist
|
||||
$Y = f^{-1}(X) = \spec B$ mit $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
|
||||
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
|
||||
über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung wegen $X = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Basiswechsel]
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ endlich étale und $g\colon W \to X$ ein Morphismus von Schemata. Dann ist
|
||||
$Y \times_{X} W \to W$ endlich étale.
|
||||
\label{satz:basischange}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $W$ und damit insbesondere auf $X$. Genauer:
|
||||
Sei $w \in W$ beliebig. Dann existiert eine offene affine Menge $g(w) \in U \subseteq X$ und
|
||||
offene affine Mengen $U_i \subseteq W$, sodass $g^{-1}(U) = \bigcup_{i \in I} U_i$. Da $w \in g^{-1}(U)$ existiert
|
||||
ein $i_0 \in I$, sodass $w \in U_{i_0}$. Durch Ersetzen von $W$ durch $U_{i_0}$ und $X$ durch $U$ können
|
||||
wir also oE annehmen, dass $W = \spec C$ und $X = \spec A$. Da $f$ affin, ist damit
|
||||
auch $Y = f^{-1}(X) = \spec B$ affin. Dann ist $Y \times_{X} W = \spec B \otimes_A C$.
|
||||
|
||||
Es bleibt also folgende Aussage zu zeigen: Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
|
||||
ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra.
|
||||
|
||||
Zunächst ist $B \otimes_A C$ projektiv, denn da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
|
||||
existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
|
||||
$A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
|
||||
$A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
|
||||
Tensorieren mit $C$
|
||||
\[
|
||||
C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
|
||||
.\] Also ist $B \otimes_A C$ projektiver $C$-Modul.
|
||||
|
||||
Für die Separabilität ist zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
|
||||
$B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
|
||||
\ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
|
||||
B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
|
||||
& \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $f\colon Y \to X$ affiner Morphismus von Schemata und $g\colon W \to X$ ein
|
||||
surjektiver, endlicher und lokal freier Morphismus. Dann ist $Y \to X$ genau dann endlich étale, wenn
|
||||
$Y \times_X W \to W$ endlich étale ist.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}. Zur Rückrichtung: Sei
|
||||
$U \subseteq X$ affin und $U = \spec A$.
|
||||
Also ist $f^{-1}(U) = \spec B$, da $f$ affin. Es genügt nun zu zeigen, dass $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
|
||||
|
||||
Nach \ref{satz:degree} ist $g^{-1}(U) = \spec C$, wobei
|
||||
$C$ eine endliche, treuprojektive $A$-Algebra ist. Sei $\mathfrak{m}$ ein Maximalideal von $A$. Angenommen
|
||||
$C = \mathfrak{m}C$. Dann folgt insbesondere $C_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}C_{\mathfrak{m}}$, also
|
||||
da $C$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $C_{\mathfrak{m}} = 0$, also
|
||||
$[ C : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$. Widerspruch. Da $C$ insbesondere flach, folgt mit Algebra 2, dass
|
||||
$C$ treuflache $A$-Algebra ist.
|
||||
|
||||
Nun sei $p\colon Y \times_X W \to W$. Dann ist $p^{-1}(\spec C) = \spec B \otimes_A C$. Da
|
||||
$p$ endlich étale, folgt mit \ref{satz:equiv-finite-etale}, dass $B \otimes_A C$ eine projektive separable
|
||||
$C$-Algebra ist. Mit der Treuflachheit von $C$ und \ref{satz:4.14} folgt nun die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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|
||||
\documentclass[a4paper]{../bachelorarbeit/arbeit}
|
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|
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|
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\usepackage[T1]{fontenc}
|
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|
||||
\usepackage[german]{babel}
|
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\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
|
||||
\makeatletter
|
||||
\newcommand{\colim@}[2]{%
|
||||
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|
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|
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|
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|
||||
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|
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|
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|
||||
}
|
||||
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|
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|
||||
\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\section{Projektive Moduln und Algebren (Vortrag 8)}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $M$ ist endlich erzeugter projektiver $A$-Modul.
|
||||
\item $M$ ist endlich präsentiert und $M_{\mathfrak{p}}$ ist freier
|
||||
$M_{\mathfrak{p}}$-Modul für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
|
||||
\item Es existieren Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$ mit $\sum_{i \in I} (f_i) = A$, sodass
|
||||
$M_{f_i}$ freier, endlich erzeugter $A_{f_i}$ Modul ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Siehe Theorem 4.6 in Lenstra.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ eine treuflache $A$-Algebra, sodass
|
||||
$B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra ist. Dann ist $B$ projektive, separable $A$-Algebra.
|
||||
\label{satz:4.14}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vortrag 8. Theorem 4.14 in Lenstra.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $B$ projektive separable $A$-Algebra. Dann
|
||||
existiert eine $B$-Algebra $C$ und ein $B$-Algebraisomorphismus
|
||||
$B \otimes_A B \to B \times C$.
|
||||
\label{satz:4.16}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vortrag 8. Proposition 4.16 in Lenstra.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
existiert eine Familie $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
|
||||
$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da $\mathfrak{p} \subsetneq A$ existiert ein $i \in I$, sodass
|
||||
$f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also ist $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und
|
||||
$B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$, also insbesondere $B_{\mathfrak{p}}$ endliche freie
|
||||
$A_{\mathfrak{p}}$-Algebra.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Grad]
|
||||
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
[ B : A ] \colon \spec A \to \Z, \mathfrak{p} \mapsto \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}}B_{\mathfrak{p}}
|
||||
\] die \emph{Gradabbildung}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann gilt
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann injektiv, wenn $[B : A] \ge 1$.
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $[B : A ] \le 1$.
|
||||
\item $A \to B$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $[ B : A ] = 1$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:rings-degree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vortrag 8.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
$[B : A]$ lokalkonstant, das heißt eine stetige Abbildung $\spec A \to \Z$, wobei $\Z$ die diskrete
|
||||
Topologie trägt. Insbesondere ist die Menge
|
||||
\[
|
||||
\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [B : A](\mathfrak{p}) = n\}
|
||||
\] offen und abgeschlossen in $\spec A$ und $[B : A]$ ist konstant, falls $\spec A$ zusammenhängend ist.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Erneut nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} seien $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass
|
||||
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra für alle $i \in I$. Dann
|
||||
ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$, wobei $D(f_i) = \{ \mathfrak{p} \in \spec A \mid f_i \not\in p\}$.
|
||||
Per Definition der Zariskitopologie auf $\spec A$ sind die Mengen $D(f_i)$ offen und
|
||||
$[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Aufgaben nach Vortrag 8}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Komposition]
|
||||
Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
|
||||
ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
|
||||
\label{satz:composition-projective}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
|
||||
\[
|
||||
A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
|
||||
Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
|
||||
ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
|
||||
Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
|
||||
& \Z &.
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\]
|
||||
\label{satz:basischange-projective}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
|
||||
existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
|
||||
$A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
|
||||
$A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
|
||||
Tensorieren mit $C$
|
||||
\[
|
||||
C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
|
||||
.\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.
|
||||
|
||||
Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
|
||||
weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
|
||||
folgt
|
||||
\[
|
||||
(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
|
||||
\otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
|
||||
.\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
|
||||
$\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
|
||||
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
|
||||
$(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
|
||||
Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
|
||||
.\] Sei weiter $C$ eine $A$-Algebra und $N$ ein $A$-Modul.
|
||||
Falls $N$ oder $C$ flach sind, ist der natürliche $C$-Modulhomomorphismus
|
||||
\[
|
||||
\operatorname{Hom}_A(M, N) \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C)
|
||||
\] ein Isomorphismus.
|
||||
\label{lemma:tensor-and-hom}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da Tensorieren rechtsexakt ist und $\operatorname{Hom}_{C}(-, N \otimes_A C)$ linksexakt, erhalten wir durch anwenden
|
||||
in dieser Reihenfolge auf die exakte Folge $A^{m} \to A^{n} \to M \to 0$, die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
0 \to \operatorname{Hom}_{C}(M \otimes_A C, N \otimes_A C) \to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
|
||||
.\] Andererseits liefert zunächst anwenden von $\operatorname{Hom}_{A}(-, N)$ die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
0 \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to N^{n} \to N^{m}
|
||||
.\] Tensorieren mit $C$ liefert die exakte Folge
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\operatorname{Tor}_{1}^{A}(N^{m}, C)}_{= 0} \to \operatorname{Hom}_{A}(M, N) \otimes_A C
|
||||
\to (N \otimes_A C)^{n} \to (N \otimes_A C)^{m}
|
||||
.\] Der linke Term verschwindet, weil $N^{m}$ oder $C$ flach ist. Untereinanderschreiben der beiden Folgen mit
|
||||
den natürlichen Homomorphismen und Auffüllen mit $0$ nach links liefert ein kommutatives Diagramm und mit dem 5-er Lemma
|
||||
die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\ref{lemma:tensor-and-hom} wendet sich insbesondere dann an, wenn $M$ endlich erzeugter projektiver Modul ist.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Seien $M$, $N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert. Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann
|
||||
ist der natürliche $S^{-1}A$-Modulhomomorphismus
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
|
||||
\] ein Isomorphismus.
|
||||
\label{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Technische Randbemerkungen}
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||||
|
||||
\begin{lemma}
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||||
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
|
||||
ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
|
||||
\[
|
||||
S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
|
||||
\] als $S^{-1}A$-Algebren.
|
||||
\label{lemma:localisation}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
|
||||
\] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
|
||||
\label{kor:localisation-is-colim}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
|
||||
ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.
|
||||
|
||||
Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
|
||||
Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
|
||||
also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
|
||||
$f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
|
||||
eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
|
||||
diese Abbildung bijektiv ist.
|
||||
|
||||
Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
|
||||
in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
|
||||
Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
|
||||
existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
|
||||
existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
|
||||
Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte
|
||||
Abbildung. Dann ist für $a \in A$:
|
||||
\[
|
||||
\varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a))
|
||||
.\]
|
||||
\label{lemma:preimage-of-d}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p})
|
||||
= f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Endlich étale Morphismen}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus.
|
||||
$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
|
||||
$A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
|
||||
\label{def:finite-locally-free}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
|
||||
wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
|
||||
\label{satz:morph-local-free-char}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
|
||||
Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
|
||||
Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ sind genau dann eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
|
||||
$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$
|
||||
existiert ein $f_i$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$
|
||||
$\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ ist das Ideal $(f_i)$ nicht in $\mathfrak{p}$ enthalten
|
||||
$\iff A = (f_i)$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Geometrisch denke man bei $\varphi\colon A \to B$ an $\psi\colon \spec B \to \spec A$.
|
||||
Wegen $\psi^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$ für $f \in A$, entspricht
|
||||
$A_f \to B_f = B_{\varphi(f)}$ also geometrisch einfach der Einschränkung von $\psi$ auf
|
||||
$\psi^{-1}(D(f)) \to D(f)$.
|
||||
|
||||
Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
|
||||
Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
|
||||
\begin{enumerate}[(i)]
|
||||
\item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
|
||||
%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
|
||||
%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
|
||||
\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
|
||||
\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
|
||||
\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
|
||||
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist.
|
||||
\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
|
||||
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
(iv)$\Rightarrow$(v): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass
|
||||
$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} existiert also für
|
||||
alle $i \in I$ eine
|
||||
Zariskiüberdeckung $\left\{\frac{f_{ij}}{1}\right\}$ von $A_{f_i}$, sodass $(A_{f_{i}f_{ij}}) = (A_{f_i})_{f_{ij}}
|
||||
\to B_{f_i f_{ij}} = (B_{f_i})_{f_{ij}}$ endlich, frei und separabel (da Lokalisieren Separabilität erhält) ist.
|
||||
Zudem ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i) = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j} D(f_i f_{ij})$, also
|
||||
ist $\{f_i f_{ij}\}_{i,j}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$.
|
||||
|
||||
(v)$\Rightarrow$(i): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass $A_{f_i} \to B_{f_i}$
|
||||
endlich frei und separabel ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
ist also $A \to B$ endlich und projektiv.
|
||||
Es genügt also $\Omega_{B / A} = 0$ zu zeigen. Dazu sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ beliebig.
|
||||
Dann ist
|
||||
\[
|
||||
(\Omega_{B / A})_{\mathfrak{p}} = \Omega_{B / A} \otimes_A A_{\mathfrak{p}}
|
||||
= \Omega_{B \otimes_A A_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
|
||||
= \Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}}
|
||||
.\] Da $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ existiert nun ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$.
|
||||
Also $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} \to (B_{f_i})_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ formal
|
||||
unverzweigt, da $A_{f_i} \to B_{f_i}$ formal unverzweigt. Also
|
||||
ist $\Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} = 0$ und damit $A \to B$ endlich étale.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
Jede endlich étale Algebra ist also insbesondere endlich und lokal frei.
|
||||
\label{bem:finite-etale-is-locally-free}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
%\begin{lemma}
|
||||
% Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
|
||||
% $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$.
|
||||
% \label{lemma:separable-is-local}
|
||||
%\end{lemma}
|
||||
%
|
||||
%\begin{proof}
|
||||
% $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung
|
||||
% $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das
|
||||
% ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das
|
||||
% heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
% \[
|
||||
% \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} =
|
||||
% \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}})
|
||||
% \] und damit die Behauptung.
|
||||
%\end{proof}
|
||||
|
||||
%\begin{satz}
|
||||
% Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn
|
||||
% $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist.
|
||||
% \label{satz:equiv-finite-etale}
|
||||
%\end{satz}
|
||||
%
|
||||
%\begin{proof}
|
||||
% ($\Rightarrow$)
|
||||
% Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei
|
||||
% $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und
|
||||
% $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
|
||||
% existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also
|
||||
% folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$.
|
||||
% Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also
|
||||
% $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel.
|
||||
% Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung.
|
||||
%
|
||||
% ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree}
|
||||
% existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und
|
||||
% $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel
|
||||
% über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
|
||||
%\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Stabilität von endlich étale}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Basiswechsel endlich étale]
|
||||
Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
|
||||
\label{satz:basischange}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel.
|
||||
Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also
|
||||
ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Komposition endlich étale]
|
||||
Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
|
||||
$C$ endlich étale $A$-Algebra.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Komposition.
|
||||
Außerdem haben wir die exakte Kotangentialfolge
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\underbrace{C \otimes_B \Omega_{B / A}}_{= 0} \arrow{r}
|
||||
& \Omega_{C / A} \arrow{r}
|
||||
& \underbrace{\Omega_{C / B}}_{= 0} \arrow{r}
|
||||
& 0
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
.\] Aus der Exaktheit folgt also $\Omega_{C / A} = 0$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\subsection{Grad}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
|
||||
Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
|
||||
\item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
|
||||
\item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\label{satz:degree}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
|
||||
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
|
||||
$\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
|
||||
$\iff [B : A] = 0$.
|
||||
\item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
|
||||
\item
|
||||
Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
|
||||
$\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
|
||||
Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
|
||||
$S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
|
||||
$\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
|
||||
$S \subseteq T$. Und damit
|
||||
\[
|
||||
B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
|
||||
\] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
|
||||
auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
|
||||
$[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
|
||||
und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
|
||||
die Aussage aus (einer Variante von) Going-Up (siehe Macdonald Theorem 5.10).
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
%\begin{lemma}
|
||||
% Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
|
||||
% \[
|
||||
% A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
|
||||
% .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
|
||||
% \[
|
||||
% S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
|
||||
% \] ein Isomorphismus.
|
||||
% \label{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
%\end{lemma}
|
||||
%
|
||||
%\begin{proof}
|
||||
% $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
|
||||
% sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
|
||||
% \[
|
||||
% 0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
|
||||
% \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
|
||||
% \] und
|
||||
% \[
|
||||
% 0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
|
||||
% .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
|
||||
%\end{proof}
|
||||
|
||||
%\begin{korollar}
|
||||
% Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
|
||||
% eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
|
||||
% $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
|
||||
%
|
||||
% \label{bem:finite-etale-basis}
|
||||
%\end{korollar}
|
||||
%
|
||||
%\begin{proof}
|
||||
% Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
|
||||
% separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
|
||||
% ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
|
||||
% durch Lokalisieren erhalten.
|
||||
%\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach]
|
||||
Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach.
|
||||
\label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Wir zeigen die Kontraposition: Sei $B$ nicht treuflach, dann existiert
|
||||
nach Algebra 2 ein Maximalideal $\mathfrak{m}$ von $A$, sodass $B = \mathfrak{m}B$.
|
||||
Dann folgt insbesondere $B_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}B_{\mathfrak{m}}$.
|
||||
Da $B_{\mathfrak{m}}$ endlich erzeugter $A_{\mathfrak{m}}$-Modul folgt mit Nakayama $B_{\mathfrak{m}} = 0$, also
|
||||
$[ B : A ](\mathfrak{m}) = 0 < 1$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}
|
||||
Sei $B$ eine $A$-Algebra und $C$ treuprojektive $A$-Algebra.
|
||||
Dann ist $B$ genau dann endlich étale $A$-Algebra, wenn
|
||||
$B \otimes_A C$ endlich étale $C$-Algebra ist.
|
||||
\label{kor:finite-etale}
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Hinrichtung gilt für beliebige Basiswechsel nach \ref{satz:basischange}.
|
||||
Zur Rückrichtung: Nach \ref{satz:faithfully-projective-faithfully-flat} ist $C$ treuflach. Damit folgt
|
||||
die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
|
||||
Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
|
||||
von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
|
||||
existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
|
||||
$\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
|
||||
\label{bem:clopen-sets}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass
|
||||
$\spec A = \coprod_{i \in I} D(f_i)$. Dann ist der natürliche Ringhomomorphismus
|
||||
\[
|
||||
A \longrightarrow \prod_{i \in I} A_{f_i}
|
||||
\] ein Isomorphismus.
|
||||
\label{lemma:disjoint-union-of-spec}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ und $i \in I$. Falls $f_i \not\in \mathfrak{p}$ ist
|
||||
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$. Sei nun $f_i \in \mathfrak{p}$. Beh.: $(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = 0$.
|
||||
|
||||
Wir zeigen $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$.
|
||||
Sei $\mathfrak{q} \in \spec A$ mit $f_i \not\in \mathfrak{q}$. Dann ist
|
||||
$\{\mathfrak{q}\} \subseteq D(f_i)$ und $D(f_i)$ ist abgeschlossen. Also folgt
|
||||
$V(\mathfrak{q}) = \overline{\{\mathfrak{q}\}} \subseteq D(f_i)$. Da $\mathfrak{p} \not\in D(f_i)$, folgt
|
||||
a fortiori $\mathfrak{p} \not\in V(\mathfrak{q})$. M.a.W.: $\mathfrak{q} \not\in \spec A_{\mathfrak{p}}$.
|
||||
Kontraposition: Für $\mathfrak{q} \in \spec A_{\mathfrak{p}}$ folgt bereits $f_i \in \mathfrak{q}$.
|
||||
Also ist $f_i$ nilpotent in $A_{\mathfrak{p}}$ und damit
|
||||
$(A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = (A_{\mathfrak{p}})_{f_i} = 0$.
|
||||
|
||||
Es existiert nun genau ein $i_{0} \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in D(f_{i_0})$. Lokalisieren
|
||||
von $A \to \prod_{i \in I} A_i$ ergibt also
|
||||
\[
|
||||
A_{\mathfrak{p}} \to \left(\prod_{i \in I} A_{f_i}\right)_{\mathfrak{p}}
|
||||
= \prod_{i \in I} (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}
|
||||
.\] Das erste Gleichheitszeichen gilt, da Spektren von Ringen quasikompakt sind, das heißt $I$ endlich ist.
|
||||
Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
|
||||
Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
|
||||
$A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
|
||||
$B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n} \\
|
||||
A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] kommutiert.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale,
|
||||
wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$.
|
||||
\label{th:5.10}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Rückrichtung ist klar nach \ref{kor:finite-etale}. Hinrichtung: Sei $B$ eine endlich
|
||||
étale $A$-Algebra und sei zunächst $[ B : A ] = n$ konstant. Dann zeigen wir die Behauptung per Induktion
|
||||
nach $n$.
|
||||
|
||||
Falls $n = 0$: Dann ist $B = 0$ und wir können $C = A$ setzen. Sei nun $n > 0$.
|
||||
Nach \ref{satz:4.16} existiert eine $B$-Algebra $B'$ und ein
|
||||
Isomorphismus von $B$-Algebren $B \otimes_A B \to B \times B'$.
|
||||
Nach \ref{satz:basischange} ist $B \otimes_A B$ endlich étale $B$-Algebra und
|
||||
$[ B \otimes_A B : B] = n$. Wenn $B$ natürlicherweise als $B$-Algebra aufgefasst wird, ist $[ B : B ] = 1$,
|
||||
also nach \ref{ex:5.3} $[ B' : B ] = [ B \times B' : B ] - [ B : B ] = n-1$. Also wendet
|
||||
sich die Induktionsvoraussetzung an und es gibt eine treuprojektive $B$-Algebra $C$, sodass
|
||||
$B' \otimes_B C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist.
|
||||
|
||||
Dann ist $B \otimes_A C = B \otimes_A B \otimes_B C = (B \times B') \otimes_B C =
|
||||
(B \otimes_B C) \times (B' \otimes_B C) = C \times (B' \otimes_B C)$. Da $C$
|
||||
und $B' \otimes_B C$ als $C$-Algebren total zerlegbar sind, ist auch $B \otimes_A C$ total zerlegbar als
|
||||
$C$-Algebra.
|
||||
|
||||
Nach \ref{satz:composition-projective} ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra. Da $[ B : A ] \ge 1$
|
||||
und $[ C : B ] \ge 1$ ist $\spec C \to \spec B \to \spec A$ surjektiv, also
|
||||
$C$ treuprojektive $A$-Algebra nach \ref{satz:degree}.
|
||||
|
||||
Im Allgemeinen Fall sei $\spec A = \coprod_{n \ge 0} [ B : A ]^{-1}(\{n\})$. Dann existieren
|
||||
idempotente Elemente $(e_n)_{n \ge 0}$, sodass $D(e_n) = [B : A]^{-1}(\{n\})$, also
|
||||
$\spec A = \coprod_{n \ge 0} D(e_n)$. Mit \ref{lemma:disjoint-union-of-spec}
|
||||
ist also $A = \prod_{n \ge 0}^{} A_{e_n}$, wobei wegen der Quasikompaktheit von $\spec A$ fast alle $e_n = 0$ sind.
|
||||
Mit \ref{satz:projective-prod} ist also
|
||||
$B = \prod_{n \ge 0} B_{e_n}$ mit $A_{e_n} \to B_{e_n}$ endlich étale.
|
||||
|
||||
Nun ist $[ B_{e_n} : A_{e_n} ] = n$ und
|
||||
mit dem ersten Teil existiert eine treuprojektive $A_{e_n}$-Algebra $C_{n}$, sodass
|
||||
$B_{e_n} \otimes_A C_n$ total zerlegbare $C_n$-Algebra ist. Setze
|
||||
nun $C = \prod_{n \ge 0} C_{n}$. Nach \ref{satz:projective-prod} ist
|
||||
$C$ endliche, projektive $A$-Algebra und $[C : A]|_{D(e_n)} = [ C_{e_n} : A_{e_n} ] \ge 1$, also
|
||||
$[ C : A] \ge 1$ und damit $C$ treuprojektiv.
|
||||
|
||||
Weiter ist
|
||||
\[
|
||||
B \otimes_A C = \left(\prod_{n \ge 0} B_{e_n} \right) \otimes_{\prod_{n \ge 0} A_{e_n} }
|
||||
\left(\prod_{n \ge 0} C_n\right)
|
||||
= \prod_{n \ge 0}^{} B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n
|
||||
\simeq \prod_{n \ge 0} C_n^{n}
|
||||
\] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei
|
||||
$\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei
|
||||
$\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert
|
||||
einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Der induzierte Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ ist endlich étale.
|
||||
\label{lemma:induced-finite-etale}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$A \to A$ und $A \to 0$ sind endlich étale, also mit \ref{satz:projective-prod} auch
|
||||
$\psi_d \colon A^{E} \to A = A \times 0 \times \ldots \times 0$
|
||||
und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra:
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
|
||||
\label{lemma:local-idempotents}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
|
||||
$1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
|
||||
$1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
|
||||
$1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
|
||||
ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
|
||||
\label{lemma:no-idempotents}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
|
||||
Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
|
||||
$f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
|
||||
|
||||
Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
|
||||
$\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
|
||||
Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
|
||||
$0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
|
||||
genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
|
||||
|
||||
Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
|
||||
gilt
|
||||
$f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
|
||||
\[
|
||||
\psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
|
||||
Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
|
||||
existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
|
||||
es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
|
||||
und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
|
||||
& \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow{l} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
|
||||
A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] kommutiert.
|
||||
\label{lemma:locally-trivial}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da die Mengen der Form $D(a)$ eine Basis der Topologie von $\spec A$ bilden, kann $a$ so gewählt werden, dass
|
||||
$[B : A]$ und $[C : A]$ von konstantem Grad auf $D(a)$ sind mit $\mathfrak{p} \in D(a)$.
|
||||
Durch ersetzen von $A$, $B$ und $C$
|
||||
durch $A_a$, $B_a$ und $C_a$ können wir wegen der totalen Zerlegbarkeit von $f$ und $g$ ohne Einschränkung
|
||||
annehmen, dass $B \simeq A^{D}$ und $C \simeq A^{E}$.
|
||||
|
||||
Der lokale Ring $A_{\mathfrak{p}}$ hat nach \ref{lemma:local-idempotents} keine nicht trivialen idempotenten Elemente.
|
||||
Also ist die induzierte Abbildung $h \colon A_{\mathfrak{p}}^{E} \to A_{\mathfrak{p}}^{D}$ nach
|
||||
\ref{lemma:no-idempotents} induziert von einer Abbildung $\phi\colon D \to E$. $\phi$ induziert
|
||||
nun eine Abbildung $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ und $h$ und $\psi$ haben selbes Bild
|
||||
in
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\operatorname{Hom}_A(A^{E}, A^{D})_{\mathfrak{p}} &\stackrel{\ref{lemma:localisation-finitely-pres}}{=} \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}^{E},
|
||||
A_{\mathfrak{p}}^{D})
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
Nach \ref{kor:localisation-is-colim} existiert nun ein $a \in A \setminus \mathfrak{p}$, sodass
|
||||
$h$ und $\psi$ die selbe Abbildung $A_a^{E} \to A_a^{D}$ induzieren.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
|
||||
$h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = gh$. Dann ist $h$ endlich étale.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Seien zunächst $f$ und $g$ total zerlegbar. Die Eigenschaft endlich étale ist lokal auf $C$ und damit
|
||||
insbesondere auf $A$. Es genügt also für jedes $\mathfrak{p} \in \spec A$ ein $a \in A$ zu finden, sodass
|
||||
$h\colon C_a \to B_a$ endlich étale.
|
||||
Damit folgt die Aussage aus \ref{lemma:locally-trivial} und \ref{lemma:induced-finite-etale}.
|
||||
|
||||
Im Allgemeinen seien $D_1$ und $D_2$ treuprojektive $A$-Algebren, sodass
|
||||
$D_1 \to B \otimes_A D_1$ und $D_2 \to C \otimes_A D_2$ total zerlegbar sind. Dann
|
||||
ist mit \ref{satz:composition-projective} und \ref{satz:basischange-projective}
|
||||
auch $A \to D_2 \to D_1 \otimes_A D_2$ endlich und projektiv. Da
|
||||
$[ D_1 : A ] \ge 1$ folgt erneut mit \ref{satz:basischange-projective}, dass
|
||||
$[ D_1 \otimes_A D_2 : D_2] \ge 1$. Also
|
||||
sind mit \ref{satz:degree} $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec D_2$ und $\spec D_2 \to \spec A$ surjektiv, also
|
||||
auch $\spec D_1 \otimes_A D_2 \to \spec A$. Damit ist $D = D_1 \otimes_A D_2$ treuprojektive $A$-Algebra.
|
||||
|
||||
Da $D_1 \to B \otimes_A D_1$ total zerlegbar ist und $- \otimes_A D_2$ mit endlichen Produkten kommutiert, ist auch
|
||||
$D = D_1 \otimes_A D_2 \to B \otimes_A D_1 \otimes_A D_2 = B \otimes_A D$ total zerlegbar. Analog
|
||||
ist $D \to C \otimes_A D$ total zerlegbar und
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
C \otimes_A D \arrow[from=1-1,to=1-3] & & B \otimes_A D \\
|
||||
& \arrow{ul} D \arrow{ur} &
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\] kommutiert, also wendet sich der obige Speziallfall an und $C \otimes_A D \to B \otimes_A D$ ist endlich étale.
|
||||
|
||||
Da $A \to D$ treuprojektiv, folgt mit \ref{satz:basischange-projective}, dass $C \to C \otimes_A D$ treuprojektiv ist.
|
||||
Anwenden von \ref{kor:finite-etale} auf $C \otimes_A D \to B \otimes_A D = B \otimes_C (C \otimes_A D)$, liefert
|
||||
$h\colon C \to B$ endlich étale.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Aufgaben nach unserem Kapitel}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Aufgabe 5.3]
|
||||
Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
|
||||
$B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
|
||||
jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
|
||||
$[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$.
|
||||
\label{ex:5.3}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn
|
||||
$B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso
|
||||
existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus
|
||||
\[
|
||||
\text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right)
|
||||
= \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A)
|
||||
.\] Das heißt
|
||||
$B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus
|
||||
ist für $1 \le i \le n$.
|
||||
|
||||
Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
[B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}}
|
||||
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}}
|
||||
= \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right)
|
||||
= \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}}
|
||||
= \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p})
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
|
||||
Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
|
||||
für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
|
||||
ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
|
||||
Weiter ist
|
||||
\[
|
||||
\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
|
||||
.\]
|
||||
\label{satz:projective-prod}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die Folge abelscher Gruppen
|
||||
\[
|
||||
\begin{tikzcd}
|
||||
\left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
|
||||
& \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq}
|
||||
& \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\
|
||||
\prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0
|
||||
\end{tikzcd}
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\] ist genau dann exakt, wenn
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\[
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\begin{tikzcd}
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A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0
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\end{tikzcd}
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\] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter
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$\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$.
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||||
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||||
Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$
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existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
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$A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$.
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Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für
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||||
alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn
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$(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und
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alle $i \in I$.
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Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
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%Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren
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%$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und
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%$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann
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%setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring}
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%$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra
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||||
%und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra.
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Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist
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$\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren
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also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach
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\ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative
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Diagramm
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\[
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\begin{tikzcd}
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B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\
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A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u}
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\end{tikzcd}
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.\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen
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und wir sind in der obigen Situation.
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Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem
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ersten Absatz.
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\end{proof}
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\begin{bsp}[]
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Sei $A = \mathbb{C}[X]$ und $B = A[Y]/(Y^2 - X)$.
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Dann ist $\{1, Y\}$ eine Basis
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von $B$ über $A$.
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\begin{proof}
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$\{1, Y\} $ ist ein Erzeugendensystem von $B$ als $A$-Modul, denn
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$Y^2 = X$ in $B$.
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Außerdem folgt für $f, g \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = 0$ bereits, dass
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$f + gY \in (Y^2 - X)$ also existiert ein $h \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = h(Y^2 - X)$.
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Angenommen $g \neq 0$. Dann
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ist $1 = \text{deg}_Y (f + gY) = \text{deg}_Y(h) + \text{deg}_Y(Y^2 -X) = \text{deg}_Y(h) + 2$.
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||||
Widerspruch. Also ist $f \in (Y^2 - X)$, aber da $f \in \mathbb{C}[X]$ folgt $f = 0$. Also
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sind $\{1, Y\}$ linear unabhängig.
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\end{proof}
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$B$ ist also endlich frei und insbesondere projektiv über $A$. Allerdings ist
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mit $f = Y^2 - X$
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\[
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\Omega_{B / A} = \Omega_{(A[Y] / (f)) / A} \simeq A[Y]/(f, f') = A[Y]/(Y^2 - X, 2Y)
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||||
= \mathbb{C}[X,Y]/(Y^2 - X, 2Y)
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||||
.\] Nach Ersetzen von $A$ durch $A_X = \mathbb{C}[X, X^{-1}]$
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ist $Y^2$ eine Einheit in $B$ und damit auch $Y$. Also ist
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\[
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\Omega_{B / A} = B / (2Y) = 0
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||||
.\] Also $A \to B$ endlich étale. Es ist $[ B : A ] = 2$ und
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sei $\psi\colon \spec B \to \spec A$ die induzierte Abbildung. Dann ist
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$\spec A \simeq D(X) \subseteq \spec \mathbb{C}[X]$. Sei $\lambda \in \mathbb{C}^{\times}$
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und $x_{\lambda} = \mathfrak{p}_{\lambda}$ das von $(X - \lambda)$ erzeugte Maximalideal.
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Dann folgt
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\begin{align*}
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\psi^{-1}(x_{\lambda})
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||||
&\simeq \spec \kappa(x_{\lambda}) \otimes_A B \\
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||||
&= \spec A/(X - \lambda) \otimes_{A} A[Y]/(Y^2-X) \\
|
||||
&\simeq \spec A[Y]/(Y^2 - X, X - \lambda) \\
|
||||
&\simeq \spec \mathbb{C}[Y]/(Y^2 - \lambda) \\
|
||||
&= \{ Y - \lambda, Y + \lambda \}
|
||||
.\intertext{Aber für den generischen Punkt $\xi \in \spec A$ folgt}
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||||
\psi^{-1}(\xi) &\simeq \spec \kappa(\xi) \otimes_A B \\
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||||
&\simeq \spec \mathbb{C}(X) \otimes_A A[Y] / (Y^2 - X) \\
|
||||
&\simeq \spec \mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)
|
||||
.\end{align*}
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||||
Das Polynom $(Y^2 - X)$ ist irreduzibel in $\mathbb{C}(X)$ also
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||||
ist $\mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)$ eine Körpererweiterung vom Grad $2$ von $\mathbb{C}(X)$.
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Insbesondere ist die Faser $\psi^{-1}(\xi)$ einelementig, also ist
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$\psi$ keine topologische Überlagerung.
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Es ist weiter
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\begin{align*}
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||||
B \otimes_A B &= B \otimes_A A[Z]/(Z^2-X) \\
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||||
&= B[Z]/(Z^2-X) \\
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||||
&= B[Z] / (Z - Y) (Z + Y) \\
|
||||
&\simeq B[Z] / (Z - Y) \times B[Z] / (Z + Y)\\
|
||||
&\simeq B \times B
|
||||
.\end{align*}
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||||
Also wird $A \to B$ durch Basiswechsel mit $A \to B$ total zerlegbar.
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||||
\end{bsp}
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||||
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||||
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||||
\end{document}
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||||
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,108 @@
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||||
import numpy as np
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||||
import itertools
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import sys
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||||
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||||
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||||
def s_n(n):
|
||||
return list(itertools.permutations(range(1,n+1)))
|
||||
|
||||
def canon_tab(n):
|
||||
return list(range(1,n+1))
|
||||
|
||||
def split_rows(part, lst):
|
||||
assert(sorted(part, reverse=True) == part)
|
||||
n = sum(part)
|
||||
xs = lst.copy()
|
||||
split = []
|
||||
for s in part:
|
||||
split.append(xs[0:s])
|
||||
xs = xs[s:]
|
||||
return split
|
||||
|
||||
def is_row_stab(part, perm):
|
||||
n = sum(part)
|
||||
assert(len(perm) == n)
|
||||
return list(map(sorted, split_rows(part, canon_tab(n)))) == list(map(sorted, split_rows(part, list(perm))))
|
||||
|
||||
def cycles(perm):
|
||||
cycles = []
|
||||
xs = list(range(1, len(perm)+1))
|
||||
while len(xs) > 0:
|
||||
c = [xs[0]]
|
||||
k = xs[0]
|
||||
while (perm[k-1] not in c):
|
||||
k = perm[k-1]
|
||||
c.append(k)
|
||||
xs = [ x for x in xs if x not in c ]
|
||||
cycles.append(c)
|
||||
return cycles
|
||||
|
||||
def cycle_type(perm):
|
||||
cs = cycles(perm)
|
||||
types = {}
|
||||
for c in cs:
|
||||
if len(c) not in types:
|
||||
types[len(c)] = 1
|
||||
else:
|
||||
types[len(c)] += 1
|
||||
t = []
|
||||
for i in range(1, max(perm)+1):
|
||||
t.append(types.get(i, 0))
|
||||
return tuple(t)
|
||||
|
||||
def conjugacy_classes(n):
|
||||
cs = {}
|
||||
for perm in s_n(n):
|
||||
ct = cycle_type(perm)
|
||||
if ct not in cs:
|
||||
cs[ct] = [perm]
|
||||
else:
|
||||
cs[ct].append(perm)
|
||||
l = list(cs.items())
|
||||
return sorted(l, key=lambda x: x[0], reverse=True)
|
||||
|
||||
def partitions(n, conj_classes=None):
|
||||
parts = []
|
||||
if conj_classes == None:
|
||||
conj_classes = conjugacy_classes(n)
|
||||
for cycle_type, conj in conj_classes:
|
||||
part = []
|
||||
for i, c in enumerate(cycle_type):
|
||||
for s in range(0, c):
|
||||
part.append(i+1)
|
||||
parts.append(sorted(part, reverse=True))
|
||||
#parts.append([(i+1) * cycle_type[i] for i in range(0, n)])
|
||||
return list(sorted(parts, reverse=True))
|
||||
|
||||
def psi(n):
|
||||
cs = conjugacy_classes(n)
|
||||
ps = partitions(n, cs)
|
||||
m = np.zeros((len(cs), len(cs)))
|
||||
for i, part in enumerate(ps):
|
||||
row_stabs = set(filter(lambda sigma: is_row_stab(part, sigma), s_n(n)))
|
||||
for j, (cycle_type, conj) in enumerate(cs):
|
||||
m[i, j] = len(row_stabs & set(conj)) * np.math.factorial(n) / (len(row_stabs) * len(conj))
|
||||
return m
|
||||
|
||||
def sigma(n):
|
||||
cs = conjugacy_classes(n)
|
||||
m = np.zeros((len(cs), len(cs)))
|
||||
for i, (cycle_type, conj) in enumerate(cs):
|
||||
m[i, i] = len(conj) / np.math.factorial(n)
|
||||
return m
|
||||
|
||||
if __name__ == '__main__':
|
||||
if len(sys.argv) >= 2:
|
||||
n = int(sys.argv[1])
|
||||
else:
|
||||
n = 3
|
||||
|
||||
psi = psi(n)
|
||||
sigma = sigma(n)
|
||||
|
||||
a = np.dot(psi, np.dot(sigma, np.transpose(psi)))
|
||||
k = np.linalg.cholesky(a)
|
||||
x = np.dot(np.linalg.inv(k), psi)
|
||||
print("Character table for S_n where n =", n)
|
||||
print("Rows are indexed by partitions and columns by conjugacy classes")
|
||||
print(x.round())
|
||||
Some files were not shown because too many files have changed in this diff Show More
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