added homotopie figure

.gitignore

@@ -5,3 +5,5 @@
 *.synctex.*
 *.fls
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ana1.tex

@@ -32,8 +32,8 @@
             $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\
             $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$
         \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$.
-            \begin{figure}[h!]
-                \begin{tikzpicture}
+            \begin{figure}[ht!]
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -50,7 +50,7 @@
                         \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
-                \begin{tikzpicture}
+                \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
                     \begin{axis}%
                         [grid=both,
                          minor tick num=4,
@@ -61,7 +61,7 @@
                          ymax=1,
                          ymin=0
                         ]
-                        \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                        \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                       \end{axis}
                 \end{tikzpicture}
                 \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion}
@@ -93,10 +93,10 @@
     $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
     \[
         \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
-        := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
+        \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
-    \begin{figure}[h!]
-        \begin{tikzpicture}
+    \begin{figure}[ht!]
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -113,7 +113,7 @@
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \begin{tikzpicture}
+        \begin{tikzpicture}[scale = 0.95]
             \begin{axis}%
                 [grid=both,
                  minor tick num=4,
@@ -124,13 +124,13 @@
                  ymax=1,
                  ymin=-0.4,
                 ]
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
-                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
+                \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,red] {(and(x>=0  , x<1)   * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1};
                 \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8};
-                \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3};
+                \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
               \end{axis}
         \end{tikzpicture}
-        \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
+        \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
     \end{figure}
     Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
     Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
@@ -138,10 +138,10 @@
 \end{bem}
 
 \begin{bsp}
-    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
+    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
-        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
+        | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in \R \implies
         f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz}
     .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt
     \[
@@ -188,7 +188,7 @@
     Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
     $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
     \[
-        \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
+        \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
     .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
     abgeschlossen ist.
 \end{definition}
@@ -197,21 +197,21 @@
     Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R
-            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$
+            \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$.
         \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]
             \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt
-            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$
+            $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
+        \item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
             $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
             \[
                 \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
             .\] 
-            ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
+            ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen
             $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
             $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
             $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
@@ -219,7 +219,7 @@
                 |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
                 \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
             .\] 
-        \item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
+        \item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
             $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.
 
             Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
@@ -234,13 +234,13 @@
                 \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
             .\end{align*}
 
-            ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
+            ,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
             \[
                 |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
                 \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
             .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
             $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
-            $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
+            $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
 
             Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
             \[
@@ -262,7 +262,7 @@
 \begin{definition}
     Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
     \[
-        C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
+        C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
     ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
 \end{definition}
 
@@ -280,7 +280,7 @@
 Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$?
 
 \begin{satz}
-    Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
+    Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$
     mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt
     $f$ stetig und Riemann-integrierbar und
     \[
@@ -293,53 +293,55 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar.
 
     Es gilt
-    \[
-        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|   
-        \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}}
-    .\] 
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| &= \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right|\\
+        &\le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx\\
+        &\le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| \cdot (b-a)\\
+        &=\underbrace{\norm{f_n - f}_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}.
+    \end{align*}
 \end{proof}
 
 \begin{satz}\label{permutesumint}
     Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
-    $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
+    $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
-        f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
+        f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
-        \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx  
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \\
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x
     ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
+    $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{k=0}^{n} f_k(x)$ stetig und Riemann-integrierbar.
 
-    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
+    Die Folge der Partialsummen $(\sum_{k=0}^{n} f_k)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h.
     \[
-        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
+        f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes}
     .\] Es gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx =
-        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x =
+        \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x
     .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d.
     $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt
     \begin{align*}
-        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
-        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\
-        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx   
+        &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)  \\
+        \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x \right| \le \epsilon \cdot (b-a)\\
+        \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) \d x   
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
+\begin{korollar}[Integration von Potenzreihen]
     Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
     \[
-        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
+        \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} \d x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:

ana10.tex

@@ -0,0 +1,184 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\subsection{Lineare und nichtlineare Gleichungssysteme}
+
+Motivation: Es sei ein quadratisches Gleichungssystem der Form
+\begin{alignat*}{2}
+    &f_1(x_1, \ldots, x_n) &=\;& b_1 \\
+    &\; \vdots &&\vdots \\
+    &f_n(x_1, \ldots, x_n) &=\;& b_n
+,\end{alignat*}
+eine Vektorform $f(x) = b$ und ein $b \in \mathbb{K}^{n}$ gegeben, s.d.
+\[
+    f= \begin{pmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_n  \end{pmatrix} \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}
+.\] 
+Ziel: $x = f^{-1}(b)$ finden als Grenzwert einer Folge $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$.
+
+Ansatz: Definiere $g(x) \coloneqq x - \sigma (f(x) - b)$ für ein $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $
+und suche \underline{Fixpunkt} von $g\colon D \to \mathbb{K}^{n}$ $(x = g(x))$.
+
+Fixpunktiteration: Startwert $x^{(0)}$. Iterationsschritt
+\[
+    x^{(k)} = g(x^{(k-1)}), \quad k \in \N
+.\] 
+Falls $f$ stetig, dann ist auch $g$ stetig. Damit folgt, falls $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x$, dann
+$g\left( x^{(k-1}) \right) \xrightarrow{k \to \infty} g(x)$. Damit folgt
+\[
+    \underbrace{x^{(k)}}_{\xrightarrow{k \to \infty} x}
+    = \underbrace{g\left( x^{(k-1}) \right)}_{\xrightarrow{k \to \infty} g(x)}
+.\] Für $k \to \infty$, folgt also $x = g(x)$, also ist $x$ Fixpunkt. Damit folgt
+$x = g(x) = x - \sigma (f(x) - b) \implies f(x) = b$.
+
+Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
+
+\begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
+    Eine Funktion $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ heißt\\
+    \underline{Lipschitz-stetig}, wenn eine Konstante $L < \infty$ existiert, s.d.
+    \[
+        \Vert g(x) - g(y) \Vert \le L \Vert x - y \Vert, \qquad \forall x, y \in D
+    .\] Falls $L < 1$ heißt $g$ Kontraktion (bezügl. Norm $\Vert \cdot \Vert$).
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Banachscher Fixpunktsatz]
+    \label{satz:banach-fix}
+    Sei $g\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n}$ eine Funktion mit den Eigenschaften
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $g(M) = M$ für ein $M \subseteq D$, $M$ abgeschlossen
+        \item $g$ ist Kontraktion auf $M$, d.h. $\exists L < 1$, s.d.
+            $\Vert g(x) - g(y) \Vert \le L \Vert x - y \Vert$, $\forall x, y \in M$.
+    \end{enumerate}
+    Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es existiert genau ein Fixpunkt $x^{*} \in M$ von $g$.
+        \item $\forall x^{(0)} \in M$ ist die Iterationsfolge $x^{(k)} = g\left( x^{(k-1)} \right)$ wohldefiniert
+            $(x^{(k)} \in M)$ und $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x^{*}$.
+        \item Es gilt die Abschätzung:
+            \[
+                \Vert x^{(k)} - x^{*}  \Vert \le \frac{L^{k}}{1 - L} \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Seien $x, x' \in M$ zwei Fixpunkte. Dann
+            \begin{align*}
+                \Vert x - x' \Vert = \Vert g(x) - g(x') \Vert \le L \Vert x - x'\Vert
+            .\end{align*}
+            Damit folgt
+            \begin{align*}
+                \underbrace{(1 - L)}_{> 0} \underbrace{\Vert x - x' \Vert}_{\ge 0} \le 0
+                \implies \Vert x - x'\Vert = 0 \implies x = x'
+            .\end{align*}
+        \item $g(M) = M \implies x^{(k)} = g\left( x^{(k-1)} \right)$, $k \in \N$ ist wohldefiniert,
+            d.h. $x^{(k)} \in M$, $\forall k \in \N$, falls $x^{(0)} \in M$.
+
+            Z.z.: $x^{(k)}$ konvergiert mit $\displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)} \in M$, also
+            g.z.z.: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ ist Cauchy-Folge.
+            \begin{leftright}
+            \begin{salign*}
+                \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert &= \left\Vert g(x^{(k)}) - g(x^{(k-1)}) \right\Vert \\
+                                                &\le L \Vert x^{(k)} - x^{(k-1)} \Vert \\
+                                                &= L \left\Vert g(x^{(k-1)}) - g(x^{(k-2)}) \right\Vert \\
+                                                &\le L \cdot L \cdot \Vert x^{(k-1)} - x^{(k-2)} \Vert\\
+                                                &\le \underbrace{L \cdot \ldots \cdot L}_{k}
+                                                \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert \\
+                                                &= L^{k} \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert
+                                                \intertext{Seien $k, m$ beliebig. Dann gilt
+                                                $\forall \epsilon > 0$}
+                \Vert x^{(k+m)} - x^{(k)} \Vert &= \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} + x^{(k+m-1)} - \ldots x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
+                                                &\le \Vert x^{(k+m)} - x^{(k+m-1)} \Vert
+                                                + \ldots + \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
+                                                &= L^{m-1} \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert
+                                                + L^{m-2} \Vert x^{k+1} - x^{k} \Vert
+                                                + \ldots + \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
+                                                &= (L^{m-1} + L^{m-2} + \ldots + 1) \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
+                                                &= \frac{1 - L^{m}}{1 - L} \Vert x^{(k+1)} - x^{(k)} \Vert \\
+                                                &\le \frac{1 - L^{m}}{1 - L} L^{k} \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert \\
+                                                &\le \frac{L^{k}}{1-L} \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert \\
+                                                &\stackrel{L < 1}{<}\epsilon \qquad \text{ für } k \text{ groß genug}
+            .\end{salign*}
+            \end{leftright}
+            Also ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge in $M$ und es existiert
+            ein $x^{*} \in M$, s.d. $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ gegen
+            $x^{*}$ konvergiert. $x^{*}$ ist ein Fixpunkt von $g$, weil
+            \[
+                x^{*} = \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = \lim_{k \to \infty} g\left( x^{(k-1)} \right)
+                \qquad \stackrel{g \text{ stetig}}{=} \qquad
+                g\left( \lim_{k \to \infty} x^{(k-1)} \right) = g(x^{*})
+            .\] 
+        \item Für festes $k \in \N$ gilt
+            \begin{align*}
+                \Vert \underbrace{x^{(k+m)}}_{\xrightarrow{m \to \infty} x^{*}} - x^{(k)} \Vert \le \frac{L^{k}}{1-L} \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert \implies \Vert x^{*} - x^{(k)} \Vert \le \frac{L^{k}}{1 -L}
+                \Vert x^{(1)} - x^{(0)} \Vert
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Für den Beweis ist wichtig, dass der grundlegende Raum vollständig ist, d.h. dass alle
+    Cauchy-Folgen in diesem Raum konvergieren.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Anwendung: Lineare Gleichungssysteme]
+    $A = \left( a_{ij} \right)_{i,j = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und $b = (b_i)_{i = 1}^{n} \in \mathbb{K}^{n}$. Da $A$ regulär, hat das LGS $Ax = b$ genau
+    eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) \coloneqq x - \sigma (Ax - b)$ mit
+    $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $.
+
+    Fixpunktiteration $x^{(k)} = x^{(k-1)} - \sigma (Ax^{(k-1)} - b)$, $k \in \N$ konvergiert, wenn
+    $g$ kontraktiv ist. Zum Beispiel in $\ell_2$:
+    \begin{align*}
+        \Vert g(x) - g(y) \Vert_2 &= \Vert x - \sigma(Ax - b) - y + \sigma(Ay -b)\Vert_2 \\
+                                  &= \Vert x - y - \sigma A(x-y) \Vert_2 \\
+                                  &= \Vert (\mathbb{I} - \sigma A)(x-y) \Vert_2 \\
+                                  &\le \Vert \mathbb{I} - \sigma A \Vert_2 \Vert x - y \Vert_2
+    ,\end{align*} d.h. $g$ kontraktiv, falls $\vert \mathbb{I} - \sigma A \Vert_2 < 1$.
+
+    Frage: Wahl von $\sigma$? Wähle $\sigma = \Vert A \Vert_{\infty}^{-1} = \frac{1}{\Vert A \Vert_{\infty}}$, falls $A$ hermitesch und positiv definit (= ,,Richardson Iteration``). Zu überprüfen
+    $\left\Vert \mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}} \right\Vert_2 < 1$.
+    Da $A$ positiv definit und hermitesch, sind alle Eigenwerte $\lambda > 0$. Es gilt
+    $\forall $ EW: $0 < \lambda \le \Vert A \Vert_{\infty}$. Für EW von $\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A\Vert_{\infty}} $ gilt $\mu = 1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}$, $\lambda$ Eigenwert von $A$. Also
+    $0 \le \underbrace{1 - \frac{\lambda}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{= \mu} < 1$, mit \ref{lemma:spektralnorm} folgt
+    $\Big\Vert \underbrace{\mathbb{I} - \frac{A}{\Vert A \Vert_{\infty}}}_{\text{hermitesch}} \Big\Vert_2 < 1$. Falls $A$ hermitesch und positiv definit, ist also
+    die Richardson Iteration konvergent.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Starke Monotonie]
+    Eine Funktion $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$ heißt stark monoton, wenn
+    eine Konstante $m > 0$ existiert, s.d. $\forall x, y \in D$ gilt
+    \[
+        (f(x) - f(y), x-y)_2 \ge m \Vert x - y \Vert_2^2
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Anwendung: Nichtlineare Gleichungssysteme]
+    Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$ Lipschitz stetig mit $L$ und stark monoton mit $m > 0$.
+    Betrachte $f(x) = b$, $g(x) \coloneqq x - \theta (f(x) - b)$.
+
+    Frage: Wahl von $\theta$, s.d. $\forall x ^{(0)} \in D$ die Fixpunktiteration konvergiert?
+    Es ist
+    \begin{align*}
+        \Vert g(x) - g(y) \Vert_2^2 &= \Vert x - \theta (f(x) - b) - y + \theta (f(y) - b) \Vert_2^2 \\
+                                    &= \Vert x - y - \theta (f(x) - f(y)\Vert_2^2 \\
+                                    &= \Vert x - y \Vert_2^2 - 2 \theta (x-y, f(x) - f(y))_2
+                                    + \theta^2 \Vert f(x) - f(y) \Vert_2^2 \\
+                                    &\le \Vert x - y \Vert_2^2 - 2 \theta m \Vert x - y \Vert_2^2
+                                    + \theta^2 L^2 \Vert x- y \Vert_2^2 \\
+                                    &= (1 - 2\theta m + \theta^2 L^2) \Vert x - y \Vert_2^2
+    .\end{align*}
+    Die Fixpunktiteration konvergiert, falls $1 - 2 \theta m + \theta^2L^2 < 1$, d.h.
+    für $\theta \in \left( 0, \frac{2m}{L^2} \right) $. Dann existiert
+    ein $\displaystyle x^{*} = \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ mit $g(x^{*}) = x^{*}$. Ist
+    $x^{*}$ eindeutig? Seien $x, x'$ zwei Lösungen. Dann ist
+    \begin{salign*}
+        0 &= (\underbrace{f(x) - b + b -f(x')}_{= 0}, x - x')_2 \\
+        &= (f(x) - f(x'), x-x')_2 \\
+        &\stackrel{f\text{ stark monoton}}{\ge} m \Vert x - x' \Vert_2^2 \\
+        &\ge 0
+    .\end{salign*}
+    Also $x = x'$, damit ist $x^{*}$ eindeutig.
+\end{bem}
+
+\end{document}

ana11.tex

@@ -0,0 +1,217 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Differenzierbare Funktionen in \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
+
+Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht
+der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$,
+\[
+    g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
+.\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}.
+
+\section{Partielle Differenzierbarkeit}
+
+\begin{definition}[Partielle Ableitung]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$.
+    \begin{itemize}
+        \item $f$ heißt
+    im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der
+    Grenwert
+    \[
+        \partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
+        .\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
+        Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$.
+    \item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$
+        existieren.
+    \item Sind $\partial_i f(x)$ $\forall i$ stetig, dann heißt $f$ stetig partiell differenzierbar.
+    \item Falls $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{m}$, dann heißt $f$ (stetig) partiell differenzierbar,
+        falls alle Komponentenfunktionen $f_j$ $(1 \le j \le m)$ (stetig) partiell differenzierbar
+        in $x \in D$ sind, d.h. wenn $\partial_i f_j(x)$ $\forall i=1,\ldots,n$, $j = 1,\ldots,m$ existieren.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Interpretation als gewöhnliche Ableitung]
+    Sei $f(x) = f(x_1, \ldots, x_n)$. Definiere $\tilde{f}(\xi) = f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \xi, x_{i+1}, \ldots, x_n)$, d.h. $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ fest. Dann ist
+    \[
+        \partial_i f(x) = \frac{\d{\tilde{f}(\xi)}}{\d\xi}
+    .\] 
+    D.h. für partielle Ableitungen
+    gelten analoge Regeln, wie für die gewöhnliche Ableitung, insbesondere Produktregel, Quotientenregel
+    und auch Kettenregel.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    Die Funktion
+    \[
+        r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
+    .\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen
+    Ableitungen
+    \begin{align*}
+        \partial_i r (x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)
+        \quad \qquad \stackrel{\text{gew. Kettenregel}}{=} \quad \qquad
+        \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} } 2x_i
+        = \frac{x_i}{\Vert x \Vert_2}
+    .\end{align*}
+    Sei $F\colon \R_+ \to \R$ beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist $f(x) = F(r(x))$ auf
+    $\R^{n} \setminus \{0\} $ definiert und partiell differenzierbar.
+    \begin{align*}
+        \partial_i f(x) = \frac{\d F(r(x))}{\d y} \partial_i r(x) = F'(r(x)) \frac{x_i}{\Vert x\Vert_{2}}
+        = F'(r(x)) \frac{x_i}{r(x)}
+    .\end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    Für $n =1$ gilt: $f$ differenzierbar $\implies$ $f$ stetig. Für $n > 1$ und $f$ partiell
+    differenzierbar, folgt i.A. nicht, dass $f$ stetig ist.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$. Für $x \in D$ gelte: $\exists K_r(x) \subseteq D$,
+    s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$,
+    d.h.
+    \[
+        \sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
+    .\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $n = 2$ und $y = (y_1, y_2) \in K_r(x)$. Es ist
+    \begin{salign*}
+        f(y_1, y_2) - f(x_1, x_2) &= f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) + f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2)
+        \intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
+        $\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also}
+        f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1)
+        \intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
+        f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2)
+        \intertext{Dann folgt}
+        |f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
+        + \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
+        &\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\
+        &= M \Vert y - x \Vert_1
+    .\end{salign*} 
+    Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$
+    \[
+        \Vert y -x \Vert_1 \le \delta  \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon
+.\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig.
+Für $n > 2$ analog.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R$ partiell differenzierbar mit $\partial_i f \colon D \to \R$.
+    \begin{itemize}
+        \item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal
+            partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
+            \[
+                \partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
+                \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
+            .\] 
+        \item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen
+            $k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Im Allgemeinen ist $\partial_i \partial_j f(x) \neq  \partial_j \partial_i f(x)$!
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen  und $f\colon D \to \R$ zweimal stetig differenzierbar in
+    einer Umgebung $K_r(x) \subseteq D$ eines Punktes $x \in D$. Dann gilt
+    \[
+        \partial_i \partial_j f(x) = \partial_j \partial_i f(x), \qquad \forall i,j=1,\ldots,n
+    .\] Allgemein: Für eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist die Reihenfolge
+    der partiellen Ableitungen vertauschbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $n = 2$ und
+            \[
+                A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
+                - \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)}
+            .\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
+            $A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt
+            \begin{salign*}
+                \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1)
+                \intertext{Für $\varphi'$ gilt}
+                \varphi'(x_1) &= \partial_1 f(x_1, x_2 + h_2) - \partial_1 f(x_1, x_2) \\
+                              &\stackrel{\text{MWS bezügl. } x_2}{=} 
+                              \partial_2 (\partial_1 f(x_1, x_2 + \theta_1')) \cdot h_2, \quad \theta_1' \in (0, h_2)
+                \intertext{Dann folgt}
+                \varphi'(x_1 + \theta_1) &= \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1')) h_2
+            .\end{salign*}
+            Und damit ist
+            \begin{salign*}
+                A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1'))
+                \cdot h_1 \cdot h_2
+                \intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
+                A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\
+                  &\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\
+                  &= h_1 \cdot h_2 \partial_1
+                  (\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
+                  \theta_2' \in (0, h_2)
+            .\end{salign*}
+            Also folgt
+            \[
+                \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') = \frac{A}{h_1 \cdot h_2}
+                = \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
+            .\] 
+            Die partiellen Ableitungen $\partial_2 \partial_1 f$ und
+            $\partial_1 \partial_2 f$ sind stetig in $K_r(x)$, also gilt
+            für $h_1, h_2 \to 0$, d.h. $x_1 + \theta_1 \to x_1, x_2 + \theta_1' \to x_2, \ldots$
+            \begin{salign*}
+                \partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0}
+                \partial_2 \partial_1 f(x) \\
+                \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
+                &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0} \partial_1 \partial_2 f(x)
+            .\end{salign*}
+            Also $\partial_1 \partial_2 f(x) = \partial_2 \partial_1 f(x)$. Für $n > 2$ analog.
+        \item Sei $f$ k-mal stetig differenzierbar. Dann folgt durch Induktion nach $k$
+            \[
+                \partial_1 \ldots \partial_k f(x) = \partial_{i_1} \ldots \partial_{i_k} f(x)
+            .\] für jede Permutation ($i_1, \ldots, i_k)$ von $(1 \ldots k)$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\ 
+    \begin{itemize}
+        \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
+            $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor
+            \[
+                \text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix}  \in \R^{n}
+            \] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$.
+        \item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$
+            eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix
+            \[
+                H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
+            \] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
+        \item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$
+            eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix
+            \[
+                J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\
+                    \vdots & \ddots & \vdots \\
+                    \partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m
+                \end{pmatrix} \in \R^{m \times n}
+            .\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$.
+
+            Schreibweise: $J_f(x) = f'(x) = \left( \nabla f(x) \right)^{T}$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    $r(x) = \Vert x \Vert_2$.
+    \[
+        \nabla r(x) = \begin{pmatrix} \vdots \\ \partial_i r(x) \\ \vdots \end{pmatrix}
+        = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} \in \R^{n}
+    .\] Für die Hesse-Matrix $\nabla ^2 r(x) = \left( \partial_j \frac{x_i}{r(x)} \right)_{i,j=1}^{n}$ folgt
+    \[
+        \partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right)
+        = \begin{cases}
+            \frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\
+            - \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq  j
+        \end{cases}
+        .\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana12.tex

@@ -0,0 +1,158 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+
+\section{Totale Differenzierbarkeit}
+Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.
+
+\begin{definition}[total differenzierbar]
+    Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \underline{(total) differenzierbar}, falls es eine lineare Abbildung $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass 
+    \begin{equation}\label{eq:diffbar}
+        \lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h\neq 0}} \frac{f(x + h) - f(x) - A\cdot h}{\norm{h}} = 0
+    \end{equation}
+    Oft wird (\ref{eq:diffbar}) durch eine Bedingung an den Rest $\omega(h),\; \omega\colon D \to \R^m$
+    definiert:
+    \[
+        f(x + h) = f(x) + A\cdot h + \omega(h)
+    ,\] wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\omega(h)}}{\norm{h}} = 0 \;(\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow \omega(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet.
+
+    $A$ heißt das \underline{Differential} von $f$ im Punkt $x$. 
+    Schreibweise: \[\mathrm{d} f(x),\; \mathrm{d} f\Big|_x,\; \mathrm{d} f_x,\; Df(x),\; Df\Big|_x,\; Df_x,\; \mathrm{d} f(x)\Big|_{x = x_0},\; Df(x_0).\]
+\end{definition}
+\begin{bem}
+    Für $n=m=1$ ist die Definition der totalen Ableitung äquivalent zur Definition der Ableitung von Funktionen einer Variablen. 
+\end{bem}
+\begin{satz}[Differenzierbarkeit]
+    Sei $D \subset \R^n$ offen. Für Funktionen $f: D \to \R^m$ gilt:
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $f$ in $x\in D$ differenzierbar, dann ist $f$ partiell differenzierbar und $Df(x) = J_f(x),\; J_f(x)$ Jacobi-Matrix
+        \item Sei $f$ partiell differenzierbar in einer Umgebung von $x\in D$ und die partiellen Ableitungen stetig in $x$, dann ist $f$ differenzierbar in $x$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    $n=2$ und $m = 1$.
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $f$ differenzierbar. Dann gilt \begin{align*}
+            \lim\limits_{h_i\to 0} \frac{f(x + h_i \cdot e^{(i)}) - f(x)}{h_i}
+            &= \lim\limits_{h_i\to 0} \left(Df(x) \cdot e^{(i)} + \frac{\omega(h_i)}{h_i}\right)\\
+            &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \underbrace{\lim\limits_{h_i\to 0} \frac{\omega(h_i)}{h_i}}_{\to 0}\\
+            &= Df(x) \cdot e^{(i)}
+        \end{align*}
+            $ \implies f$ partiell differenzierbar und $Df(x)e^{(i)} = \begin{pmatrix}
+            \partial_i f_1\\ \vdots \\ \partial_i f_m
+        \end{pmatrix} \implies Df(x) = J_f(x)$.
+        \item Sei $f$ stetig partiell differenzierbar und $h = \begin{pmatrix}
+            h_1 \\ h_2
+        \end{pmatrix}$. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            f(x + h) - f(x) &= f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2) + f(x_1 + h_1, x_2) - f(x_1, x_2)
+            \intertext{$\exists \theta_1, \theta_2 \in (0,1)$ mit }
+            f(x + h) - f(x)&\stackrel{\text{MWS}}{=} h_2 \partial_2 f(x_1 + h_1, x_2 + \theta_2 \cdot h_2) + h_1 \partial_1 f(x_1 + \theta_1 \cdot h_1, x_2)\\
+            &= h_2(\partial_2f(x_1,x_2) + w_2(h_1,h_2)) + h_1(\partial_1f(x_1, x_2) + w_1(h_1,h_2)),
+            \intertext{wobei}
+            \omega_1(h_1, h_2) &= \partial_1f(x_1 + \theta_1 h_1, x_2) - \partial_1 f(x_1, x_2)
+            \intertext{und}
+            \omega_2(h_1,h_2) &= \partial_2f(x_1  + h_1, x_2 + \theta_2 h_2) - \partial_2f(x_1,x_2).
+        \intertext{$\partial_1f(x), \partial_2f(x)$ stetig $\implies \lim\limits_{h\to 0} \omega_1(h_1,h_2) = 0,\; \lim\limits_{h\to 0} \omega_2(h_1,h_2) = 0$. Daher gilt}
+            f(x + h) - f(x) &= h_1\partial_1 f(x) + h_2\partial_2f(x) + h_1\omega_1(h) + h_2\omega_2(h)\\
+            &= (\partial f_1(x), \partial f_2(x))\begin{pmatrix}
+                h_1\\h_2
+            \end{pmatrix} + (\omega_1(h), \omega_2(h))\begin{pmatrix}
+                h_1\\h_2
+            \end{pmatrix}\\
+            &= Df(x) \cdot h + \tilde{\omega}(h)
+        \end{salign*}
+        mit $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\tilde{\omega}(h)}}{\norm{h}} = 0$.
+        Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$.
+        \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+    stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht.
+\end{korollar}
+\begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung}
+    Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \underline{Richtungsableitung})
+    \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $x \in D$ und definiere die Funktion $\xi(t) \coloneqq x + tv$. $\xi(t)\in D$ für $t \in [0, \epsilon)$ für genügend kleine $\epsilon > 0$. Betrachte die Komposition $h \coloneqq f\circ \xi: [0,\epsilon) \to \R$. Dann gilt
+    \begin{salign*}
+        \pdv{f}{v}(x) &\stackrel{\text{Def. Richtungsabl.}}{=} \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\\
+        &\stackrel{\text{Def. Abl.}}{=} \dv{}{t} f(x + tv)\bigg|_{t=0}\\
+        &\stackrel{f(x + tv) = (f \circ \xi)(t)}{=}\dv{h}{t}\bigg|_{t=0}\\
+        &= h'(0)
+        \intertext{Kettenregel:}
+        h'(t) &= \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f}{x_i}(\xi(t))\cdot \xi_i'(t)\\
+        \implies h'(0) &\stackrel[\xi_i'(t) = v_i]{\xi(0) = x + 0\cdot v}{=} \sum_{i = 1}^{n}\pdv{f}{x_i}(x)\cdot v_i\\
+        &= (\nabla f(x),v)_2
+    \end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+    Sei $\nabla f(x) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\]
+    Damit gilt für $\norm{v}_2 = 1$ \[\pdv{f}{v}(x) \oldstackrel{\text{Lemma } \ref{lemma:richtungsableitung}}{=} (\nabla f, v)_2 = \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \norm{v}_2 \cdot \cos(\theta) \oldstackrel{\norm{v}_2 =1}{=} \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \cos(\theta)\]
+    $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1$, also wenn $v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$.
+\end{korollar}
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Es gibt Funktionen, für welche alle Richtungsableitungen existieren, die aber dennoch nicht (total) differenzierbar sind.
+        \item Es gibt Funktionen, die stetig und partiell differenzierbar, aber nicht (total) differenzierbar sind.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\begin{satz}[Kettenregel]
+    Seien $D_f \subset \R^n$ und $D_g \subset \R^m$ offen, $g \colon D_g \to \R^n, f: D_f \to \R^r$ Abbildungen. Falls $g$ im Punkt $x \in D_g$ und $f$ im Punkt $y = g(x) \in D_f$ differenzierbar sind, gilt: Die Komposition $h = f\circ g$ ist im Punkt $x$ differenzierbar und \[\underbrace{D_x h(x)}_{\in \R^{r \times m}} = \underbrace{D_y f(g(x))}_{\in \R^{r \times n}} \underbrace{D_x g(x)}_{\in \R^{n \times m}}\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Seien $x\in D_g$ und $y = g(x) \in D_f$. Dann gilt nach Voraussetzungen 
+    \begin{align*}
+        g(x + \xi) &= \underbrace{g(x)}_{\eqqcolon y} + \underbrace{D_xg(x) \xi + \omega_g(\xi)}_{\eqqcolon \eta} &&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\xi \in D_g}{\norm{\xi} \to 0}} \frac{\norm{\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0\\
+        f(y + \eta) &= f(y) + D_yf(y) \eta + \omega_f(\eta)&&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\eta \in D_f}{\norm{\eta} \to 0}} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0\\
+    \end{align*}
+    Dann erhalten wir 
+    \begin{salign*}
+        (f\circ g)(x + \xi) &= f(g(x + \xi))\\
+        &\stackrel{g(x + \xi) = g(x) + \eta = y + \eta}{=} f(y + \eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y)\cdot \eta + \omega_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y) (D_xg(x)\xi + \omega_g(\xi)) + \omega_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y)D_x g(x) \cdot \xi + D_yf(y) \omega_g(\xi) + \omega_f(\eta)\\
+        &= (f\circ g)(x) + \underbrace{D_yf(y)D_xg(x)}_{D_x(f\circ g)} \cdot \xi + \omega_{f\circ g}(\xi),
+    \end{salign*}%eta = D_xg(x)\xi + w_g(\xi)
+    wobei hier $\omega_{f\circ g}(\xi) = D_yf(y)\omega_g(\xi) + \omega_f(\eta)$. Es genügt also zu zeigen, dass \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0.\]
+    Aus $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$ folgt sofort
+    $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$.
+    Wir schließen aber auch, dass es eine Konstante $c >0$ geben muss, sodass $\norm{\omega_g(\xi)} \leq c
+    \norm{\xi}$. Wegen $\lim\limits_{\norm{\eta}\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0$
+    muss es ein $\tilde{\omega}_f(\eta)$ mit $\lim\limits_{\eta\to 0} \tilde{\omega}_f(\eta) = 0$ geben,
+    sodass $\omega_f(\eta) = \norm{\eta}\cdot \tilde{\omega}_f(\eta)$. Mit diesen Aussagen gilt:
+    \begin{salign*}
+        \norm{\omega_f(\eta)} %&\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
+        &= \norm{D_x g(x)\xi + \omega_g(\xi)} \norm{\tilde{\omega}_f (\eta)}\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{\omega_g(\xi)}\right) \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}\\
+        \implies \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)
+        \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}
+        \intertext{Wegen $\lim\limits_{\xi\to 0} \eta = \lim\limits_{\xi\to 0} D_xg(x)\xi + \omega_g(\xi) = 0$
+        folgt $\displaystyle \lim_{\xi \to 0} \tilde{\omega}_f(\eta) = 0$ und damit}
+        0 \le \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}}
+        &\le \lim\limits_{\xi\to 0} \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{\omega}_f(\eta)}
+        = \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{ \lim_{\xi \to 0} \tilde{\omega}_f(\eta)}
+        = 0
+    \end{salign*}
+    Insgesamt erhalten wir
+    \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{\omega_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}}
+    \le \lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)\omega_g(\xi)}}{\norm{\xi}}
+    + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\]
+\end{proof}
+\begin{bem}[Komponentenweise für $i = 1,\dots,m$ und $j = 1, \dots, r$]
+    \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x),\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\]
+    Spezialfall: $m = r = 1 \ (g \colon D_g \subset \R \to \R^n,\; f\colon D_f\subset    \R^n \to \R)$
+    \[h'(x) = \dv{}{x} h(x) = \dv{}{x} f(g(x)) = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f}{y_k}\ (g_1(x), \dots, g_n(x))\cdot \dv{}{x} g_k (x) = (\nabla_yf(g(x)), g'(x))_2\]
+\end{bem}
+\end{document}
+Kostinas Version des letzen Beweises vor der Bemerkung
+\begin{salign*}
+    \norm{w_{f\circ g}(\xi)} &= \Vert w_f(\underbrace{D_xg(x)\xi + w_g(\xi)}_{\eta})\Vert\\
+    &\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (D_xg(x)\xi + w_g(\xi))\\
+    &\le (\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\
+    &\le (\norm{D_xg(x)} + c)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\
+    \implies \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} &= (\norm{D_xg(x)} + c) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}
+\end{salign*}

ana13.tex

@@ -0,0 +1,297 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+
+\section{Mittelwertsatz}
+\begin{bem}
+	Reminder:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Ist $f: [a,b] \to \R$ differenzierbar, dann gilt (HDI):
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}  \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
+				\end{salign*}
+		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) - f(x) = f'(x+ \tau h) \cdot h.
+				\end{salign*}
+		\item 	Sei $A = \left(a_{i,j} \right)_{i,j = 1}^{m,n} : [a,b] \to \R^{m \times n}$. Dann sei:
+				\begin{salign*}
+					\int_{a}^{b} A(s) \d{s} \coloneqq \left( \int_{a}^{b} a_{i,j}(s) \d{s} \right)_{i,j=1}^{m,n}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+\begin{satz}[Mittelwertsatz]
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h \right)_{2} = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}\right)^{T} \cdot h.
+	\end{salign*}	 	
+	Sei $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar, mit Jacobi-Matrix $J_{f}(x)$, dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} J_{f}(x + sh) \d{s} \right) h.
+	\end{salign*}
+    \label{satz:mittelwertsatz}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R, \ g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \overset{\text{HDI}}{=} \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s} \overset{\text{Kettenregel}}{=} \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
+	\end{salign*}
+	Ist $m = 1$, so gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) &= \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \cdot h_{i} = \sum_{i=1}^{n} \left( \int_{0}^{1} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h_{i} \\ &= \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h\right)_{2}
+	\end{salign*}
+	Ist $m \geq 2$, so gilt analog zu oben:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Für $m = 1$, d.h. $f: \R^{n} \supset D \to \R$ gilt sogar für ein bestimmtes $\tau \in (0,1)$:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \left( \nabla^{T} f(x+sh) \cdot h \right)\d{s} = \nabla^{T} f(x+\tau h) \cdot h.
+	\end{salign*}
+	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber nicht (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) \neq J_{f}(x + \tau h) \cdot h.
+	\end{salign*}
+\end{bem}
+\begin{lemma} 
+    \label{lemma:dreieck-integrale}
+	Seien $v: [a,b] \to \R^{n}$ und $A: [a,b] \to \R^{m \times n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		\norm{\int_{a}^{b} v(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s}, && \norm{\int_{a}^{b} A(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{A(s)}_{2} \d{s}
+	\end{salign*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Sei $u \in \R^{n}$, $u = \int_{a}^{b} v(s) \d{s} = \begin{pmatrix}
+            \int_{a}^{b} v_{1}(s) \d{s} \\ \vdots \\ \int_{a}^{b} v_{n}(s) \d{s}
+        \end{pmatrix}$ und $K = \norm{u}_{2}$. Dann gilt:
+        \begin{salign*}
+        		K^{2} &\stackrel{\ell_{2} \text{Norm}}{=} \left(u,u\right)_{2} = \left( \int_{a}^{b} v(s) \d{s}, u\right)_{2} = \int_{a}^{b} \left(v(s), u\right)_{2} \d{s} \\
+        		&\stackrel{\text{CSU}}{\leq} \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \cdot \norm{u}_{2} \d{s} = K \cdot \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s} \\ \hfill \\
+        		\implies \ & K = \norm{\int_{a}^{b} v(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s}.
+        \end{salign*}
+        Der Beweis für $A(s)$ folgt ganz analog mit $u = \int_{a}^{b} A(s) \d{s} \in \R^{m \times n}$. 
+\end{proof}
+\begin{definition}
+	$D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\
+	Geometrisch: Für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
+\end{definition}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon}
+	\end{salign*}
+	mit $M \coloneqq \sup_{z \in K_{\varepsilon}(x)} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist lokal Lipschitz-stetig. \\
+	Sei $D$ konvex, dann gilt 
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall x,y \in D
+	\end{salign*}
+	mit $M \coloneqq \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist auf $D$ Lipschitz-stetig.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Aus Lemma \ref{lemma:dreieck-integrale} folgt:
+	\begin{salign*}
+        \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh) h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ &\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \cdot \norm{h}_{2} \\ \hfill \\ \implies \ & \norm{f(x+h) - f(x)}_{2} = \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh)h \d{s}}_{2} \leq M \cdot \norm{x+h-x}_{2}.
+	\end{salign*}
+	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
+	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,\dotsc,m\}$:
+	\begin{salign*}
+		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{j}-x_{j}) \d{s}.
+	\end{salign*}
+	Und damit in Vektorform:
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} &= \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+s(y-x)) \cdot (y-x) \d{s}}_{2} \\ 
+        &\stackrel{\text{Lemma \ref{lemma:dreieck-integrale}}}{\leq} \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+s(y-x)) \cdot (y-x)}_{2} \d{s} \\
+		&\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+s(y-x))}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \d{s} \\ 
+		&\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+s(y-x))}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \\
+		&\stackrel{D \ \text{konvex}}{\leq} \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \\
+        &= M \cdot \norm{y-x}_{2}.
+	\end{salign*}	
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/\allowbreak Jacobi-Matrix von $f$. 
+\end{bem}
+
+\section{Taylor-Entwicklung}
+\begin{bem}
+	Reminder - Höhere Ableitungen:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Sei $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ partiell differenzierbar. Seien alle partiellen Ableitungen $$\partial_{i}f: D \to \R^{m}, \ \partial_{i}f = \begin{pmatrix}
+			\partial_{i} f_{1} \\ \vdots \\ \partial_{i}f_{m}
+		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,\dotsc,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}\dots \partial_{i_{1}}f$
+        \ ($i_{k},\dotsc,i_{1} \in \{1,\dotsc,n\}$) partiell differenzierbar sind.
+		\item 	$f: D \to \R^{m}$ ist $k$-mal stetig partiell differenzierbar, wenn $f$ \ $k$-mal differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der $k$-ten Ordnung stetig sind ($f \in C^{k}(D,\R^{m})$).
+		\item 	Es gilt:
+				\begin{salign*}
+					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,\dotsc,n\}, k \in \{1,\dotsc,m\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
+				\end{salign*}
+		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}\dots\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,\dotsc,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{n}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}\dots\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},\dotsc,i_{k} \in \{1,\dotsc,n\}.$$
+	\end{enumerate}
+	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+        \item 	Sei $f: (a,b) \to \R$ \ $(r+1)$-mal stetig differenzierbar. Dann gilt:
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) = \sum_{k=0}^{r}  \frac{f^{(k)}(x)}{k!} h^{k} + R_{r+1}^{f}(x,h).
+				\end{salign*}
+		\item 	Für das Restglied in Lagrange-Form gilt ($\theta \in (0,1)$):
+				\begin{salign*}
+					R_{r+1}^{f}(x,h) = \frac{f^{(r+1)}(x+\theta h) }{(r+1)!} h^{r + 1}.
+				\end{salign*}
+		\item 	Für das Restglied in Integral-Form:
+				\begin{salign*}
+					R_{r+1}^{f}(x,h) = \frac{h^{r+1}}{r!} \int_{0}^{1} f^{(r+1)}(x+th)(1-t)^{r} \d{t}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+\begin{satz}[Taylor-Formel]
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $x \in D$, $h \in \R^{n}$ mit $\{x+th \ | \ t \in [0,1] \} \subset D$ und $f \in C^{r+1}(D,\R)$. Dann existiert ein $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \underbrace{f(x) + \sum_{k=1}^{r} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k} = 1}^{n} \partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(x) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}}_{\text{Taylor-Polynom}} \\ &+ \underbrace{\frac{1}{(r+1)!} \sum_{i_{1},\dotsc,i_{r+1} = 1}^{n} \partial_{i_{r+1}}\dots\partial_{i_{1}}f(x+\theta h) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{r+1}}}_{\text{Restglied}}
+	\end{salign*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Sei $g \colon [0,1] \to \R, g(t) \coloneqq f(x+th)$. Es gilt $g \in C^{r+1}([0,1], \R)$ und
+	\begin{equation} \label{eq::taylor-hilfsfkt}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}}(x+th) \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.
+	\end{equation}
+	Wir zeigen (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) durch Induktion nach $k$. \\
+	(IA) \ $k=1$ \ Es ist $g \in C^{1}$ und nach Kettenregel gilt: $$ \frac{\d{g}}{\d{t}}(t) = \frac{\d}{\d{t}}f(x+th) = \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x+th)}{x_{i}} \cdot h_{i}. $$
+	(IV) Für ein $k \in \N$ gilt (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}). \\
+	(IS) \ $k \mapsto k+1$ \ Nach Induktionsvoraussetzung gilt: $$\frac{\text{d}^{k} g(t)}{\d t^{k}} =\sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}}.$$
+	Aus $f \in C^{k+1}(D, \R)$ folgt, dass $\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}} \in C^{1}([0,1], \R)$, womit nach Kettenregel folgt:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k+1} g(t)}{\d{t^{k+1}}} &= \frac{\d}{\d{t}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \\  
+		&= \sum_{j=1}^{n} \pdv{}{x_{j}} \left( \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} \right) \cdot h_{j} \\
+		&= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k+1}=1}^{n} \frac{\partial^{k+1}f(x+th)}{\partial x_{i_{k+1}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k+1}}.
+	\end{salign*}
+	Ferner liefert die Taylor-Formel in $\R$ für $g$ die Existenz eines $\theta \in [0,1]$ sodass gilt:
+	\begin{salign*}
+		g(1) - g(0) = f(x+h) - f(x) = \left(\sum_{k=1}^{r} \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \right) + \frac{g^{(r+1)}(\theta)}{(r+1)!}.
+	\end{salign*}
+	Einsetzen von (\ref{eq::taylor-hilfsfkt}) liefert die Behauptung.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Um die Notation vieler, verschieden indizierter partieller Ableitungen zu erleichtern, führen wir die \underline{Multiindex-Notation} ein: \\
+	Für $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n}) \in \N_{0}^{n}$ seien:
+	\begin{salign*}
+		\vert \alpha \vert  \ &\coloneqq \ \alpha_{1} + \dots +\alpha_{n} \in \N_{0} \\
+		\partial^{\alpha}f \ &\coloneqq \ \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f = \frac{\partial^{\vert \alpha \vert}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}}, & \ \text{für} \ f \in C^{\vert \alpha \vert}(D, \R), \\
+		\alpha ! \ &\coloneqq \ \alpha_{1} ! \dotsm \alpha_{n} ! \in \N_{0}, \\
+		h^{\alpha} \ &\coloneqq \ h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \in \R, & \ \text{für} \ h = (h_{1},\dotsc,h_{n})^{T} \in \R^{n}.
+	\end{salign*}	 
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+	Seien $n = 3$, $\alpha= (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$. Multiindizes der Ordnung $\vert \alpha \vert = 2$ sind: \\
+	\begin{table}[h]
+	\centering
+	\setlength{\tabcolsep}{8pt}
+	\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
+	\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
+		$\alpha$ & $(2,0,0)$ & $(0,2,0)$ & $(0,0,2)$ & $(1,1,0)$ & $(1,0,1)$ & $(0,1,1)$ \\
+		\hline 
+		$\alpha !$ & $2! \cdot 0! \cdot 0! = 2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $1$ \\
+		\hline 
+		$\partial^{\alpha}f$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}$, & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}}$ & $\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}$
+	\end{tabular}
+	\end{table} \\
+	Summennotation für partielle Ableitungen $2$-ter Ordnung:
+	$$ \sum_{\vert \alpha \vert = 2} \partial^{\alpha}f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{3}^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1} \partial x_{3}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2} \partial x_{3}}. $$
+\end{bsp}
+\begin{bem}
+	Mit dieser Notation lässt sich die Taylor-Formel kompakt schreiben als:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha} f(x)}{\alpha !} h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha} f(x+\theta h)}{\alpha !} h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+\end{bem}
+\begin{proof}
+	Die Reihenfolge der Differenzierung kann vertauscht werden. Daraus folgt für alle $k$-Tupel $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ mit $i_{j} \in \{1,\dotsc,n\}$ für $j \in \{1,\dotsc,k\}$: $$\partial_{i_{k}}\dots\partial_{i_{1}}f(y)\cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(y) \cdot h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} = \partial^{\alpha} f(y) \cdot h^{\alpha} $$
+	wobei $\alpha = (\alpha_{1},\dotsc,\alpha_{n})$ mit $\alpha_{s} \coloneqq \#\{ i_{j} \ | \ i_{j} = s \ \text{für} \ j \in \{1,\dotsc,k\} \}$ (Anzahl wie oft Index $s$ in $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ vorkommt). \\
+	Ohne Beweis (siehe S.72 Skript Ana2 Rolf Rannacher): für $\alpha\in \N_{0}^{n}$ mit $\vert \alpha \vert = k$ gilt: die Anzahl von $k$-Tupeln $(i_{1},\dotsc,i_{k})$ bei denen der Index $s$ genau $\alpha_{s}$-mal vorkommt ist $$\frac{k!}{\alpha_{1}! \dotsm \alpha_{n}!} = \frac{k!}{\alpha!}.$$
+	Daraus folgt
+	\begin{salign*}
+		\frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) &= \sum_{i_{1},\dotsc,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f(x+th)}{\partial x_{i_{k}}\dots\partial x_{i_{1}}} \cdot h_{i_{1}} \dotsm h_{i_{k}} = \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha_{1}!\dotsm \alpha_{n}!} \partial_{1}^{\alpha_{1}}\dots\partial_{n}^{\alpha_{n}}f(x+th) h_{1}^{\alpha_{1}} \dotsm h_{n}^{\alpha_{n}} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert = k} \frac{k!}{\alpha !} \partial^{\alpha}f(x+th)h^{\alpha},
+	\end{salign*}
+	womit insbesondere auch gilt 
+	\begin{salign*}
+		\sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(t) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x+th)}{\alpha!}h^{\alpha}.
+	\end{salign*}
+	Und können ferner festhalten:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=} \sum_{k=0}^{r} \frac{1}{k!} \cdot \frac{\text{d}^{k} g}{\d{t^{k}}}(0)+ \frac{1}{(r+1)!} \frac{\text{d}^{r+1} g(\theta)}{\d{t^{r+1}}}\\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \frac{1}{(r+1)!}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert\leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\text{Restglied in Lagrange-Form}} \\
+		\intertext{und analog:}
+		f(x+h) &= g(1) \oldstackrel{\text{Taylor in } \R}{=}\sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \frac{\text{d}^{r+1}g(t)}{\d{t^{k+1}}}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} +  \frac{1}{r!} \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{(r+1)! \cdot \partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{(r+1) \int_{0}^{1} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+t h)}{\alpha!}h^{\alpha}(1-t)^{r} \d{t}}_{\text{Restglied in Integral-Form}}
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar} \label{kor::taylor-omega-form}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f\in C^{r+1}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, für die $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$) $$f(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \omega_{r+1}(x, h),$$ sodass $$\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0,$$ also $\omega_{r+1}(x,h) = o(\norm{h}^{r+1})$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Da $D$ offen ist, existiert ein $\delta > 0$ mit $K_{\delta}(x) \subset D$. Nach Taylor-Formel existiert für alle $h \in \R^{n}$ mit $\norm{h} < \delta$ ein $\theta \in [0,1]$ sodass 
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) &= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)}{\alpha!}h^{\alpha} \\
+		&= \sum_{\vert \alpha \vert \leq r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} + \underbrace{\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{\partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}}_{\eqqcolon \, \omega_{r+1}(x,h)}
+	\end{salign*}
+	Nun gilt noch zu zeigen, dass: $\frac{\omega_{r+1}(x,h)}{\norm{h}^{r+1}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0$. \\
+	Es gilt: 
+	\begin{salign*}
+		\vert h^{\alpha} \vert = \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \leq \norm{h}^{\alpha_{1}} \dotsm \norm{h}^{\alpha_{n}} = \norm{h}^{\vert \alpha \vert}.
+	\end{salign*}
+	Womit wir abschätzen können:
+	\begin{salign*}
+		\frac{\vert \omega_{r+1}(x,h) \vert}{\norm{h}^{r+1}} &= \frac{1}{\norm{h}^{r+1}} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \cdot \vert h_{1}^{\alpha_{1}} \vert \dotsm \vert h_{n}^{\alpha_{n}} \vert \\
+		&= \frac{\vert h^{r+1} \vert}{\norm{h}^{r+1}}\sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert \\
+		&\stackrel{\vert h^{r+1} \vert \leq \norm{h}^{r+1}}{\leq} \sum_{\vert \alpha \vert = r+1} \frac{1}{\alpha !} \underbrace{\vert \partial^{\alpha}f(x+\theta h)-\partial^{\alpha}f(x) \vert}_{\oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0, \ \text{weil alle} \ \partial^{\alpha}f \text{ stetig sind}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f \in C^{2}(D,\R)$. Dann gilt für alle $x \in D$ und $h \in \R^{n}$, sodass $x+th \in D$ (für alle $t \in [0,1]$):
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2} + \omega_{2}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{2}(x,h)}{\norm{h}^{2}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Dabei ist $H_{f}(x)$ die Hesse-Matrix von $f$. Das heißt das Taylor-Polynom 2. Ordnung ist eine quadratische Approximation von $f$. Für $f \in C^{1}(D,\R)$ gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) = f(x) + \left( \nabla f(x), h \right)_{2} + \omega_{1}(x,h), && \text{mit} \ \frac{\omega_{1}(x,h)}{\norm{h}} \oldstackrel{h \to 0}{\longrightarrow} 0.
+	\end{salign*}
+	Das heißt das Taylor-Polynom 1. Ordnung ist eine lineare Approximation von $f$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Folgt aus \ref{kor::taylor-omega-form} mir $r+1=2$ bzw. $r+1 = 1$ sowie:
+	\begin{salign*}
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 0} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= f(x), \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 1} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{1!} \cdot \sum_{i=1}^{n} \pdv{f(x)}{x_{i}} \cdot  h_{i} = \left( \nabla f(x), h \right)_{2}, \\
+		\sum_{\vert \alpha \vert = 2} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!} h^{\alpha} &= \frac{1}{2!} \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}} h_{i} \cdot h_{j} = \frac{1}{2} \left( H_{f}(x)h, h\right)_{2}.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{definition}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ beliebig oft partiell differenzierbar, $x \in D$. Dann heißt die \underline{Taylor-Reihe von $f$ in $x$}:
+	$$ T_{\infty}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{\infty} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha}.$$
+\end{definition}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Dann gilt $$ T_{r}^{f}(x+h) = \sum_{\vert \alpha \vert = 0}^{r} \frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha!}h^{\alpha} \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} f(x+h),$$ wenn  
+	\begin{equation} \label{eqq::taylor-rest-gegen-null}
+		R_{r+1}^{f}(x,h) \oldstackrel{r \to \infty}{\longrightarrow} 0, \ \ \ \ \ x \in D.
+	\end{equation}
+	Eine hinreichende Bedingung für (\ref{eqq::taylor-rest-gegen-null}) ist $$\sup_{\vert \alpha \vert \geq 0} \ \sup_{x \in D} \vert \partial^{\alpha} f(x) \vert \leq M_{f} < \infty,$$ das heißt alle partiellen Ableitungen von $f$ sind gleichmäßig beschränkt. 
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+	Siehe Skript Ana2 Rolf Rannacher, Seite 74, Übungsaufgabe 3.23.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Taylor Reihe von $f$ konvergiert gegen $f$, wenn die Funktion $f$ durch eine Potenzreihe beschrieben wird (also wenn $f$ analytisch ist).
+\end{bem}
+
+
+
+\end{document}

ana14.tex

@@ -0,0 +1,353 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\def\mathunderline#1#2{\color{#1}\underline{{\color{black}#2}}\color{black}}
+\section{Extremwertaufgaben}
+
+\begin{definition}[lokales Maximum/Minimum]
+    Sei $D \subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$. Ein Punkt $x\in D$ heißt lokales \underline{Minimum (Maximum)} von $f$, falls eine Umgebung $K_\delta(x)\subset \R^n$ existiert mit \[f(x)\leq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D\] ($f(x)\geq f(y),\; \forall y\in K_\delta(x)\cap D$). Falls \[f(x) < f(y), \forall y \in K_\delta(x)\cap D\setminus\{x\}\] ($f(x) > f(y)$), dann heißt $x$ \underline{striktes} lokales Minimum (Maximum).
+\end{definition}
+\begin{satz}[Notwendige Bedingung für lokales Extremum (Min oder Max)]
+    \label{satz:notwendig-extremum}
+Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\colon D\to \R$ stetig differenzierbar und $x\in D$ ein lokales Extremum von $f$. Dann gilt : $\nabla f(x) = 0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Für $i = 1,\dots,n$, betrachte $g_i(t)\coloneqq f(x + te_i)$. Da $D$ offen ist, sind alle $g_i$ auf einem Intervall $(-\delta, \delta), \delta > 0$ wohldefiniert und differenzierbar. $g_i(t)$ hat in $t = 0$ ein lokales Minimum/Maximum , also gilt $\forall i = 1, \dots, n$ \[\dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} = 0.\]
+    Aufgrund der totalen Differenzierbarkeit von $f$ folgt
+    \[ 0 =  \dv{g_i(t)}{t}\bigg|_{t=0} \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{j = 1}^{n}\pdv{f(x)}{x_j} \cdot \delta_{ij} = \pdv{f(x)}{x_i} \qquad \forall i = 1\dots, n
+    \]
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    Die Umkehrung ist falsch, z.B. $f(x) = x^3,\; f\colon \R \to \R$, hat in $x=0$ $\nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f(x) = x^3$.\\
+    $f\colon \R^2 \to \R,\; f(x_1, x_2) = x_1x_2$ hat in $x = \begin{pmatrix}
+        0\\0
+    \end{pmatrix} \nabla f(x) = 0$, aber $x = 0$ ist kein Max/Min von $f$.
+\end{bem}
+\begin{satz}[Hinreichende Bedingung für lokales Extremum]\ 
+    Sei $D\subset \R^n$ offen, $f\in C^2(D,\R)$ und $x\in D$ mit $\nabla f(x) = 0$. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $H_f(x)$ positiv definit $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ negativ definit $\implies x$ striktes lokales Maximum von $f$.
+        \item $H_f(x)$ indefinit $\implies x$ kein lokales Extremum.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nach Taylor gilt lokal um $x$:
+    \[f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x), h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h)\] mit $\frac{\omega_2(x,h)}{\norm{h}^2} \oldstackrel{h \to 0}{\to} 0$
+    \begin{enumerate}
+        \item Sei $H_f(x)$ positiv definit. Betrachte $\min_{\norm{h}=1} (H_f(x)h, h)_2$. Die Menge $\{h\in \R^n\mid\norm{h} = 1\}$ ist kompakt $\implies (H_f(x)h, h)_2$ nimmt ihr Minimum auf $\{h\in \R^n\mid \norm{h} =1\}$ als stetige Funktion an. $\implies \alpha \coloneqq \min_{\norm{h} = 1} (H_f(x)h, h)_2 > 0$, da $H_f(x)$ positiv definit ist. Sei $h\in \R^n\setminus\{0\}$ beliebig. Dann gilt
+        \[(H_f(x)h, h)_2 = \norm{h}^2 \underbrace{\left(H_f(x)\cdot \frac{h}{\norm h}, \frac{h}{\norm h}\right)_2}_{\geq \alpha}\geq \alpha \norm h^2 > 0\]
+        Wähle $\delta > 0$ klein, sodass $\forall \norm h < \delta$ gilt $|\omega_2(x,h)| \leq \frac{\alpha}{4}\norm h^2$ (weil $\omega_2(x,h) = o(\norm h^2)$). Damit gilt $\forall h, \norm h < \delta$
+        \[f(x+h) = f(x) + (\underbrace{\nabla f(x)}_{=0}, h)_2 + \frac{1}{2}(H_f(x)h, h)_2 + \omega_2(x,h) \geq f(x) + \frac{\alpha}{2}\norm h^2 - \frac{\alpha}{4}\norm h^2 > f(x)\]
+        $\implies x$ striktes lokales Minimum von $f$.
+        \item Ersetze $f$ durch $-f$, dann 1)
+        \item $\exists h \in \R^n$ mit $(H_f(x)h, h)_2 = \alpha > 0$, sodass
+        \[
+          f(x + th) \oldstackrel{\text{Taylor}}{=} f(x) + \frac{1}{2}t^2\cdot \alpha + \omega_2 (x , th) = f(x) + t^2\left(\frac{\alpha}{2}+ \underbrace{\frac{\omega_2(x,th)}{t^2}}_{\oldstackrel{t\to 0}{\longrightarrow}0}\right) \oldstackrel{\text{für } 0 < t \ll 1}{>} f(x)
+        \]
+        Außerdem $\exists \eta \in \R^n$ mit $(H_f(x)\eta, \eta)_2 = \beta < 0$. Analog $\implies f(x + t\eta) \leq f(x) + \beta\frac{t^2}{4}< f(x)$ für $0 < t \ll 1$. $\implies f(x)$ kein Maximum/Minimum.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 + 2y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\4y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & 4
+        \end{pmatrix}$ positiv definit. $\implies \begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = 0$ striktes lokales Minimum (sogar global).
+        \begin{tabular}{cll}
+            $f(x)\leq f(y)$ &$\forall y\in D$ & globales Minimum\\
+            $f(x) < f(y)$ &$\forall y\in D\setminus\{x\}$ &striktes globales Minimum
+        \end{tabular}
+        \item $f(x,y) \coloneqq x^2 - y^2 \implies \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2x\\-2y
+        \end{pmatrix} = 0$ für $\begin{pmatrix}
+            x\\y
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            0\\0
+        \end{pmatrix}$.
+        $H_f(x,y) = \begin{pmatrix}
+            2 & 0\\ 0 & -2
+        \end{pmatrix}$ indefinit. $\implies 0 \in \R^2$ kein lokales Extremum.
+        \item $f_1(x,y) \coloneqq x^2 + y^4,\; f_2(x,y) \coloneqq x^2,\; f_3(x,y)\coloneqq x^2 + y^3$
+        Es gilt
+        \[
+            \nabla f_i(0) = 0\in \R^2,\; H_{f_i}(0) = \begin{pmatrix}
+                2 & 0\\
+                0 & 0
+            \end{pmatrix}
+            \forall i =1,2,3
+        \]
+        Die Hesse-Matrix ist positiv semidefinit. Es gilt
+
+        \begin{tabular}{lcl}
+            für $f_1$:& Punkt 0 ist ein& \underline{striktes} lokales Maximum,\\
+            für $f_2$:& Punkt 0 ist ein& \underline{lokales Minimum}, aber \underline{nicht strikt},\\
+            für $f_3$:& Punkt 0 ist ein& Sattelpunkt.
+        \end{tabular}
+    \end{enumerate}
+    \begin{figure}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 + 2*y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+    \begin{axis}
+    [
+    domain=-1:1,
+    samples=20,
+    grid = major
+    ]
+    \addplot3 [surf] {x^2 - y^2};
+    \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Links: $f(x,y) = x^2 +2y^2$ ist ein Paraboloid, Rechts: $f(x,y) = x^2-y^2$ ist eine Sattelfläche}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+\section{Implizite Funktionen und Umkehrabbildung.}
+Frage: \underline{Umkehrabbildung:} Auflösen von $x = g(y)$, d.h.
+\begin{equation}
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        x_1&=g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        x_n&=g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\} \Leftrightarrow
+    \left\{\begin{array}{rl}
+        0&=x_1-g_1(y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        0&=x_n-g_n(y_1,\dots,y_n)\\
+    \end{array}\right\}\tag{*}\label{star}
+\end{equation}
+$n$ Gleichungen, $n$ Unbekannte $y_1,\dots, y_n$.
+Gesucht: Abbildung $f$ mit $y = f(x)$ ($f=g^{-1})$, s.d. $(x,f(x))$ Gleichung \eqref{star} löst (lokal um $(x_0,y_0=f(x_0))$).
+
+\paragraph{Implizite Funktion} $m$ Gleichungen, $m$ Unbekannte $y_1,\dots, y_m$.
+\begin{equation}
+    \left.\begin{array}{rl}
+        0&=F_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)\\
+        \vdots&\\
+        0&=F_m(x_1,\dots, x_n,y_1,\dots,y_m)
+    \end{array}\right\}\tag{**}\label{doublestar}
+\end{equation}
+$0 = F(x,y)$ Auflösen nach $y$, d.h.
+Gesucht: Abbildung $f$, s.d. $y = f(x)$ mit $(x,f(x))$ löst \eqref{doublestar} (lokal um eine Lösung $(x_0,y_0):F(x_0,y_0) = 0$)
+\begin{bsp}
+    $m=1,\;n=1,\; F(x,y) = x^2 + y^2-1$
+
+    \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
+            \draw[->] (0,-1.5) -- node[right,pos=.9] {} (0,1.5);
+            \draw[->] (-1.5,0) -- node[below,pos=1.3] {$F(x,y) = 0$} (1.5,0);
+            \draw (0,0) circle (1cm);
+            \draw[fill=red,draw=red] (0,1) circle (2pt);
+            \node[color=red] at (.3,1) {)};
+            \node[color=red] at (-.3,1) {(};
+            \draw[fill=blue,draw=blue] (1,0) circle (2pt);
+            \node[color=blue] at (1.3,0) {)};
+            \node[color=blue] at (.7,0) {(};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}[c]{0.65\textwidth}
+        An der Stelle $\mathunderline{red}{x_0 = 0,\; y_0 = 1}$ gilt  $F(0,1)=0$,\\ also
+        $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y^2 = 1-x^2$.
+        \[\implies \mathunderline{red}{f(x)\coloneqq \sqrt{1-x^2}}\text{ für } |x| < 1\] $\mathunderline{red}{\text{ erfüllt }F(x,f(x)) = 0},\; |x| < 1$.
+    \end{minipage}
+
+Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung von $x_0 = 1$, sodass \[\mathunderline{blue}{\exists f\colon U(x_0) \to \R\text{ mit }F(x,f(x)) = 0}.\]
+\end{bsp}
+\begin{satz}[Satz über implizite Funktionen]
+    \label{satz:sif}
+    Sei $D^x \subset \R^n$ offen, $D^y \subset \R^m$ offen, $F \in C^1 (D^x\times D^y,\R^m)$ (stetig differenzierbar) und $(\hat{x}, \hat{y})\in D^x\times D^y$ mit $F(\hat x, \hat y) = 0$. Die $m\times m$ Matrix 
+    \[
+        D_yF(x,y) =\begin{pmatrix}
+            \pdv{F_1}{y_1} &\dots &\pdv{F_1}{y_m}\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
+            \pdv{F_m}{y_1}&\dots&\pdv{F_m}{y_m}
+        \end{pmatrix}
+    \]
+    sei im Punkt $(\hat x, \hat y)$ invertierbar. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exists$ offene Umgebungen $U(\hat x) \subset D^x,\; U(\hat y)\subset D^y$  um $\hat x$ und $\hat y$ und $\exists$ eine stetige Funktion $f\colon U(\hat x) \to U(\hat y)$, s.d.
+        \[F(x,f(x)) = 0\quad\forall x\in U(\hat x)\]
+        \item $f$ ist eindeutig bestimmt, d.h. $F(x,y) = 0$ für $(x,y) \in U(\hat x)\times U(\hat y)\Leftrightarrow y = f(x)$
+        \item $f$ ist in $\hat x$ stetig differenzierbar und $J_f(\hat x) = D_xf(\hat x)\in \R^{m \times n}$ ist \[D_xf(\hat x) = -(D_yF(\hat x, \hat y))^{-1}D_xF(\hat x, \hat y).\]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item O.B.d.A. sei $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ (sonst betrachte $F(x,y) - F(\hat x, \hat y)$). Die Matrix $J_y \coloneqq D_yF(0,0)$ ist regulär. Definiere $G\colon D^x\times D^y \to \R^m,\; G(x,y) \coloneqq y - J^{-1}_yF(x,y)$. $G$ ist stetig differenzierbar und erfüllt: $G(0,0) = 0$ und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow G(x,y) = y$. Jacobi-Matrix von $G(x,y)$ bzgl. $y$:
+        \[D_yG(x,y) = \mathbb{I} - J_y^{-1} D_yF(x,y) \text{ und insb. } D_yG(0,0) = \mathbb{I} - J_y^{-1}J_y = 0.\]
+        $F$ stetig differenzierbar $\implies D_yG(x,y)$ stetig $\implies \exists K_r^x(0) \times K_r^y(0) \subset D^x \times D^y$ mit Radius $r$, sodass $\norm{D_yG(x,y)}_2\leq \frac{1}{2},\; (x,y)\in K_r^x(0)\times K_r^y(0)$. $G(0,0) = 0\implies \exists K_s^x(0)\subset K_r^x(0)$ mit Radius $0< s\le r$ sodass 
+        \[\norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2} r,\; x\in K_s^x(0)\]
+        Ziel: Konstruiere $f\colon K_s^x(0)\to K_r^y(0)$ stetig mit $G(x,f(x)) = f(x)\; (\Leftrightarrow F(x,f(x)) = 0)$. Betrachte Fixpunktgleichung
+        \[G(x,y) = y,\; x\in K_s^x(0).\]
+        Für $(x,y_1),\; (x,y_2)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt 
+        \[\norm{G(x,y_1) - G(x,y_2)}_2 \oldstackrel{\text{MWS}}{\le} \sup_{(x,y)\in K_s^x(0)\times K_r^y(0)}\norm{D_yG(x,y)}_2 \cdot \norm{y_1-y_2}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}_2.\]
+        Sei $y\in \overline{K_r^y(0)}$
+        \[\norm{G(x,y)}_2 \le \norm{G(x,y)-G(x,0)}_2 + \norm{G(x,0)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y}_2 + \frac{1}{2}r\le r\]
+        d.h. $G(x,\cdot)$ ist eine Selbstabbildung der abgeschlossenen Kugel $\overline{K_r^y(0)}$.
+        
+        Außerdem, $\norm{G(x,y_1) -G(x,y_2)}_2 \le \frac{1}{2}\norm{y_1-y_2}\implies G(x,\cdot)$ ist eine Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $L=\frac{1}{2}$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz (\ref{satz:banach-fix})
+        folgt $\forall x \in K_s^x(0) \exists!$ ein Fixpunkt $y(x)\in K_r^y(0)$ von $G(x,\cdot)$:
+        \[y(x) = \lim\limits_{k\to \infty} y^{(k)}(x),\; y^{(k)}(x)=G(x,y^{(k-1)}(x)),\; k\in \N\] mit Startpunkt $y^{(0)}(x)\coloneqq 0$.
+        Es gilt die Fehlerabschätzung $\forall x \in K_s^x(0)$:
+        \[\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}_2 \le 2^{-k}\norm{y^{1}(x)-y^{(0)}(x)}_2 = 2^{-k}\norm{G(x,0)-0}_2 \le 2^{-k} \frac{1}{2}r\]
+        Für $k\in \N$ gilt \[y^{(k)}(x) = G(x,y^{(k-1)}(x)) = y^{(k-1)}(x)-J_y^{-1}\underbrace{F(x,y^{(k-1)}(x))}_{\text{stetig}}\]
+        Induktiv folgt $y^{(k)}(x)$ stetig in $x\in K_2^x(0)$. Definiere $f(x)=y(x),\; f\colon K_s^x(0) \to K_r^y(0)$ und nach Konstruktion gilt
+        \[G(x,f(x)) = f(x),\quad x\in K_s^x(0).\]
+        Aus der Abschätzung $\norm{y(x)-y^{(k)}(x)}\leq 2^{-k-1}\cdot r,\; x\in K_s^x(0)$ folgt, dass  $y^{(k)}(x)\oldstackrel{k\to \infty}{\longrightarrow} y(x)$ gleichmäßig auf $K_s^x(0)$ konvergiert $\implies y(x)$ stetig.
+        $\implies$ 1. Behauptung für $(\hat x, \hat y) = (0,0)$ mit $U(\hat x)\coloneqq K_s^x(0)$ und $U(\hat y)\coloneqq K_r^y(0)$.
+        \item Die Eindeutigkeit von $y = f(x)$ folgt nun aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Für $x\in K_s(\hat x)$ ist der Fixpunkt der Gleichung $G(x,y) = y$ eindeutig bestimmt.
+        \item Da $F(x,y)$ in $(0,0)$ differenzierbar ist, gilt nach Definition der Differenzierbarkeit 
+        \[
+            F(x,y) = \underbrace{F(0,0)}_{=0} + D_xF(0,0)\cdot x + \underbrace{D_yF(0,0)}_{=J_y}\cdot y + \omega(x,y),
+        \]
+        wobei $\omega \colon K_s^x(0)\times K_r^y(0) \to \R^m$ die Eigenschaft $\norm{\omega(x,y)}_2 = o(\norm{(x,y)}_2)$ besitzt. Aus dem Beweis von 1. wissen wir, dass $F(x,f(x)) = 0$ für $x\in K_s^x(0)$ gilt. Einsetzen ergibt 
+        \begin{align*}
+            0 &= F(x,f(x)) = D_xF(0,0) \cdot x + J_y \cdot f(x) + \omega(x, f(x))\\
+            f(x) &= -J_y^{-1}\cdot D_xF(0,0) \cdot x \underbrace{ - J_y^{-1} \cdot \omega(x,f(x))}_{\eqqcolon \psi(x)}\\
+            &= -J_y^{-1} D_xF(0,0) x + \psi(x)
+        \end{align*}
+        Reminder: Def. Differenzierbarkeit: $f(0 +x) = \underbrace{f(0)}_{=0} + Df(x) \cdot x + \psi(x)$ mit $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$
+        Es genügt also zu zeigen, dass $\psi(x) = o(\norm{x}_2)$, d.h. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} = 0$. Wir nutzen $\omega(x,y) = o(\norm{(x,y)}_2)$, d.h. \[\frac{\norm{\omega(x,y)}_2}{\norm{(x,y)}_2} \xrightarrow{\norm{(x,y)_2}\to 0} 0 \]
+        d.h. $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta_1 \in (0,s),\; \delta_2\in (0,r)$ sodass $\forall x$ mit $\norm{x}_2\le \delta_1$ und $\forall y$ mit $\norm{y}_2 \le \delta_2$ gilt 
+        \[
+            \norm{\omega(x,y)}_2 \le \epsilon \norm{(x,y)}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{y}_2) 
+        \]
+        Da $f$ überdies auch stetig ist (siehe Beweis 1.), gibt es ein $\delta \in (0,\delta_1)$ sodass $\forall \norm{x}_2 \le \delta$ gilt $\norm{f(x)}_2\le \delta_2$. Daraus schließen wir für $x$ mit $\norm{x}_2 \le \delta$:
+        \[
+            \norm{\omega(x,f(x))}_2 \le \epsilon(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)  
+        \]
+        Dies können wir nun auf $f(x)$ anwenden.
+        \begin{salign*}
+            f(x) &= -J_y^{-1} D_xF(0,0)\cdot x + \psi(x)
+            \intertext{Es gilt $\psi(x) = -J_y^{-1}\omega(x,f(x))$}
+            \norm{f(x)} &\le \underbrace{\norm{J_y^{-1} D_xF(0,0)}_2}_{\eqqcolon c_1} \cdot \norm{x}_2 + \underbrace{\norm{J_y^{-1}}_2}_{\eqqcolon c_2} \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2\\
+            &\le c_1 \norm{x}_2 + c_2 \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Setzen wir nun $\epsilon = \frac{1}{2c_2}$, so erhalten wir für genügend kleines $x$}
+            &\le c_1\norm{x}_2 + c_2\cdot \frac{1}{2c_2}(\norm{x}_2 + \norm{f(x)}_2)\\
+            &= \left(c_1 + \frac{1}{2}\right) \norm{x}_2 + \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2\\
+            \implies \frac{1}{2}\norm{f(x)}_2 &\le \left(c_1+ \frac{1}{2}\right)\norm{x}_2
+        \end{salign*}
+        Zusammen erhalten wir also:
+        \begin{salign*}
+            \norm{\psi(x)}_2 &\le \norm{J_y^{-1}}_2 \cdot \norm{\omega(x,f(x))}_2
+            \intertext{Für $\norm{x}_2 \le \delta$ gilt}
+            &\le c_2 \cdot \epsilon(\norm{x}_2 + (2c_1 +1)\norm{x}_2)\\
+            &\le \epsilon \cdot c_3 \cdot \norm{x}_2
+            \intertext{Daraus schließen wir}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\le \epsilon \cdot c_3
+            \intertext{Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt}
+            \frac{\norm{\psi(x)}_2}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0\\
+            \implies \frac{\psi(x)}{\norm{x}_2} &\stackrel{x \to 0}{\to} 0
+        \end{salign*}
+        Daraus folgt nun schließlich für das Differential von $f$ in $x = 0$
+        \[D_xf(0) = -J_y^{-1} D_xF(0,0)\]
+        Weiter müssen wir noch zeigen, dass $D_xf(x)$ in $K_\delta^x(0) \subset K_s^x(0)$ existiert und stetig ist in $x = 0$. Da $D_yF(x,y)$ stetig in $(0,0)$ ist, gibt es ein $\delta > 0$, sodass $\forall (x,y) \in K_s^x(0) \times K_\delta^y(0) \subset K_s^x(0)\times K_r^y(0)$ gilt
+        \[
+            \norm{D_yF(0,0) - D_yF(x,y)}_2 < \frac{1}{\norm{D_yF(0,0)^{-1}}_2}  
+        \]
+        Nach dem Störungssatz (\ref{kor:stoerung})
+        ist also $D_yF(x,y)$ regulär, also $\det D_yF(x,y) \neq 0$. Die Elemente von $D_yF(x,y)^{-1}$ sind nach der Cramerschen Regel stetige Funktionen der Elemente von $D_yF(x,y)$.
+        Daher ist \[(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y)\] als Produkt stetiger Funktionen stetig und nach Definition der Stetigkeit gilt
+        \[
+            \norm{(D_yF(x,y))^{-1}D_xF(x,y) - (D_yF(0,0))^{-1}D_xF(0,0)} \xrightarrow{\norm{(x,y)}_2 \to 0} 0  
+        \]
+        Analog wie oben folgern wir
+        \[f(x+h)-f(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x)) \cdot h + \omega(x,h),\quad \omega(x,h) = o(\norm{h}_2)\]
+        Die Ableitung $D_xf(x) = -(D_yF(x,f(x)))^{-1} D_xF(x,f(x))$ von $f$ ist stetig in $x = 0$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{bsp}
+    $F(x,y) \coloneqq x^2 + y^2 -1$. Dann ist $D_yF(x,y) = 2y$. Nach dem Satz über implizite Funktionen folgt,  dass $F(x,y) = 0$ in einer Umgebung von $(\hat x, \hat y)$ mit $\hat x^2 + \hat y^2 -1 = 0,\; \hat y \neq 0$ (d.h. $\hat x \neq \pm 1$) eindeutig durch $y = \sqrt{1-x^2}$ oder $y = -\sqrt{1-x^2}$ nach $y$ auflösbar ist.
+\end{bsp}
+\begin{bem}[Implizites Differenzieren]
+    SIF und $F(x,y) = 0 \Leftrightarrow y=f(x),\; F(x,f(x)) = 0$.
+    Kettenregel: $0 = F(x,f(x))$.
+    \[
+        0 = \dv{F}{x}(x,f(x)) = \left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y} \cdot \pdv{f}{x}\right) \implies \pdv{f}{x} = -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\pdv{F}{x}
+    \]
+    Die zweiten Ableitungen erhält man durch implizites Differenzieren von $\dv{F(x,f(x))}{x} = 0$.
+\end{bem}
+\begin{bsp}
+    $F\colon \R^2 \to \R,\; F(x,f(x)) = 0$
+    \begin{align*}
+        0 &=\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'&&\text{1. Ableitung}\\
+        0 &= \dv{}{x}\left(\pdv{F}{x} + \pdv{F}{y}f'\right) &&\text{2. Ableitung}\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + \pdv{^2F}{y\partial x}f' + \left(\pdv{^2F}{x\partial y} + \pdv{^2F}{y^2}f'\right)f' + \pdv{F}{y}f''\\
+        0 &= \pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2 + \pdv{F}{y}f''\\
+        f'' &= -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\left(\pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2\right)
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Umkehrabbildungen}
+Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}: B_f \to \R^n$?
+\begin{definition}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen. Eine Abbildung $f\colon D\to \R^n$ heißt \underline{regulär} in $\hat x\in D$, wenn $\exists K_\delta(\hat x) \subset D$, sodass $f$ in $K_\delta(\hat x)$ stetig differenzierbar und die Jacobimatrix $J_f(\hat x)$ regulär ist. $f$ heißt regulär in $D$, wenn $f$ in jedem Punkt $\hat x \in D$ regulär ist.
+\end{definition}
+\begin{satz}[Umkehrabbildung]\label{umkehrfunktion}
+    Sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D\to \R^n$ regulär in $\hat x\in D$. Dann $\exists$ eine offene Umgebung $V(\hat x) \subset D$ von $\hat x$ derart, dass $U(\hat y) \coloneqq f(V(\hat x))$ eine offene Umgebung von $\hat y = f(\hat x) $ ist und $f\colon V(\hat x) \to U(\hat y)$ bijektiv. Weiter gilt: Die Umkehrabbildung $f^{-1}: U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist regulär in $\hat y$ und 
+    \[J_{f^{-1}}(\hat y) = (J_f(\hat x))^{-1},\; \det J_{f^{-1}}(\hat y) = \frac{1}{\det J_f(\hat x)}\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei $\hat x \in D$ und $\hat y \coloneqq f(\hat x)\in f(D)$.
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \coordinate (x) at (-.5,-.5);
+            \coordinate (y) at (5.5,-.5);
+            \draw[color = black] (0,0) circle (2cm);
+            \node at (0,1.5) {$D$};
+            \draw[thick, color = red] (x) circle (1cm);
+            \draw[color = blue, fill = blue!20!white] (-.5,-.5) circle (.7cm);
+            \node[color = red] at (1,0) {$U(\hat x)$};
+            \draw[->] (2,0) -- node[pos = 0.6, above] {$f$} (4,0);
+            \draw[color = black] (6,0) circle (2cm);
+            \node at (6,1.5) {$f(D)$};
+            \draw[thick, color = red, fill = blue!20!white] (y) circle (1cm);
+            \node[color = red] at (7,0) {$U(\hat y)$};
+            \node[color = blue] at (-.6,-.2) {$V(\hat x)$};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=-45:$\hat x$] at (x) {};
+            \node [fill=black,inner sep=1pt,circle,label=0:$\hat y$] at (y) {};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{figure}
+    Betrachte $F \colon \R^n \times D \to \R^n, F(y,x) = y-f(x)$. Für $(\hat x, \hat y)$ gilt $F(\hat y, \hat x) = 0$. Die Jacobimatrix $D_xF(y,x) = -J_f(x)$ ist regulär in $\hat x$. Mit Vertauschung von $x$ und $y$ folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, dass Umgebungen $U(\hat y)$, $U(\hat x)$ und genau eine stetig differenzierbare Abbildung $g:U(\hat y) \to U(\hat x)$ existieren, sodass $\forall y \in U(\hat y)$
+    \[
+        0 = F(y,g(y)) = y-f(g(y)), \implies \exists! x = g(y)\in U(\hat x) \text{ mit } y= f(x)
+    \]
+    Setze dann \[V(\hat x) \coloneqq U(\hat x) \cap f^{-1}(U(\hat y)) = \{ x\in U(\hat x)\mid f(x) \in U(\hat y)\}.\]
+    Da $U(\hat x)$ und $f^{-1}(U(\hat y))$ offen sind, ist auch $V(\hat x)$ offen. Daher ist $f\colon V(\hat x)\to U(\hat y)$ bijektiv und die Umkehrabbildung $f^{-1}\colon U(\hat y) \to V(\hat x)$ ist gerade $g$.
+    \begin{align*}
+        J_{f\circ f^{-1}}(\cdot) = J_{\mathrm{id}}(\cdot) &= \mathbb{I}
+        \intertext{Mit der Kettenregel folgt}
+        J_f(\hat x) \cdot J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = \mathbb{I}\\
+        \implies J_{f^{-1}}(f(\hat x)) = J_f(\hat x)^{-1}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+\begin{korollar}
+    Sei $D\subset \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ regulär und $O \subset D$ offen. Dann ist $f(O)$ offen.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Sei $O \subset D$ offen und $y\in f(O)$ beliebig mit $y = f(x),\; x\in O$. Nach Satz \ref{umkehrfunktion} existieren $\forall y$ Umgebungen $K_r(y)\subset f(O)$ und $K_s(x)\subset O$ sodass $K_r(y)\subset f(K_s(x))\implies f(O)$ offen.
+\end{proof}
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Satz \ref{umkehrfunktion} garantiert nur die lokale Umkehrbarkeit von $f$.
+        \item Es seien $U, V$ offene Mengen in $\R^n$ und $f\colon U\to V$ stetig differenzierbar.\\ $f$ heißt \underline{Diffeomorphismus}, falls $f$ bijektiv ist und die Umkehrabbildung $f^{-1}: V \to U$ stetig differenzierbar ist.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\end{document}

ana15.tex

@@ -0,0 +1,157 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen}
+
+Problemstellung: ,,Restringierte`` Optimierungsaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen.
+
+Sei $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$, $D \subseteq \R^{n}$.
+Wir suchen einen Punkt $\hat{x} \in D$, s.d. $\hat{x} \in S \coloneqq \{ x \in D  \mid g(x) = 0\} $ und
+$\exists U(\hat{x})$ s.d. $f(\hat{x}) \le f(x)$, $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$. \\
+Dann heißt $\hat{x}$ lokales Minimum unter Nebenbedingung $g(x) = 0$. Analog: lokales Maximum unter
+Nebenbedingung $\hat{x} \in S$, s.d. $\exists U(\hat{x})$ mit $f(\hat{x}) \ge f(x)$
+$\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
+
+\begin{satz}[Multiplikatorregel von Lagrange: Notwendige Bed. 1. Ordnung für lokales Minimum unter
+    Nebenbedingungen]
+    \label{satz:lagrange-mult}
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$ und $g\colon D \to \R^{k}$ partiell stetig
+    differenzierbar. Sei $\hat{x} \in D$ ein Extremum unter der Nebenbedingung
+    $g(x) = 0$ und die Gradienten $\nabla g_1(\hat{x}), \ldots, \nabla g_k(\hat{x})$
+    seien linear unabhängig in $\R^{n}$. Dann gilt
+    \[
+    \exists \hat{\lambda} = \begin{pmatrix} \hat{\lambda}_1 \\ \vdots \\ \hat{\lambda}_k \end{pmatrix}
+    \in \R^{k} \text{ mit }
+    \sum_{i=1}^{k} \hat{\lambda}_i \nabla g_i(\hat{x}) = \nabla f(\hat{x})
+    (\iff \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = \nabla f(\hat{x}))
+    .\]
+    Die Zahlen $\hat{\lambda}_1, \ldots, \hat{\lambda}_k$ heißen \underline{Lagrange-Multiplikatoren}.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Nach Voraussetzungen gilt
+    \[
+        \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x} =
+        \underbrace{\left( \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_1}\ldots \frac{\partial g_i(\hat{x})}{\partial x_n} \right)}_{i = 1\ldots k, \text{linear unabhängige Vektoren}}
+    .\] Also hat $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x}) \in \R^{k \times n}$ Rang $k$.
+    O.B.d.A. die ersten $k$ Spalten von $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ bilden
+    eine quadratische invertierbare Matrix.
+    Dann lassen sich $x$ und $\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})$ aufspalten:
+    \[
+        x = \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} 
+            \quad
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial x}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times n}}
+            =
+            \Big( \underbrace{\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times k}} ;
+            \underbrace{\frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})}_{\in \R^{k \times (n-k)}} \Big)
+    .\] mit $y \in \R^{k}$, $z \in \R^{n-k}$ und
+    $\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \in \R^{k \times k}$ regulär.
+
+    Setze $\hat{x} = \begin{pmatrix} \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix}$.
+    Wende nun Satz \ref{satz:sif} auf $g(x) = g(y,z) = 0$ an. Dann existieren
+    Umgebungen $U(\hat{z}) \subseteq \R^{n-k} $, $U(\hat{y}) \subseteq \R^{k}$ und
+    eine eindeutige Abbildung
+    \begin{align*}
+        \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
+        z &\mapsto \varphi(z) = y
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
+        \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$
+        \item $\varphi \in C^{1}\left( U(\hat{z}), \R^{k} \right) $ stetig differenzierbar.
+        \item $\underbrace{\varphi'(\hat{x})}_{D_x\varphi(\hat{x})} =
+            - \left(\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x})\right)^{-1} \cdot
+            \left( \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x}) \right)$
+    \end{enumerate}
+    Betrachte $\tilde{f}(z) = f(\varphi(z), z)$, $\tilde{f}(z) \colon U(\hat{z}) \to \R$. Da
+    $\hat{x}$ Extremum von $f(x)$ unter $g(x) = 0$, ist $\hat{z}$ lokales Extremum von $\tilde{f}(z)$ in
+    $U(\hat{z})$. Mit \ref{satz:notwendig-extremum} folgt also $\forall i = 1 \ldots n-l$:
+    \begin{salign*}
+        0 &= \frac{\partial \tilde{f}(\hat{z})}{\partial z_i} \\
+        &\stackrel[\tilde{f} = f(\varphi(z), z)]{\text{Kettenregel}}{=} \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}
+        \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{z_i} + \frac{\partial f(\hat{x}) }{z_i}
+        \intertext{Damit folgt}
+        0 &= \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \cdot \frac{\partial \varphi(\hat{z})}{\partial z}
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} \qquad (*)
+        \intertext{Definiere}
+        \hat{\lambda}^{T} &= \underbrace{\frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y}}_{\left(\frac{\partial f}{\partial y_1} \ldots \frac{\partial f}{\partial y_k}\right)}
+        \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right)^{-1}
+        \intertext{Damit folgt}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} &= \hat{\lambda}^{T} \left( \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \right) 
+    .\end{salign*}
+    Mit $(*)$ folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} \left( -
+        \left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial y} \right)^{-1}
+        \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z}\right)
+        + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z}
+        = - \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial z} + \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = 0
+    .\end{salign*}
+    Insgesamt folgt
+    \begin{align*}
+    \begin{rcases}
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial y} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}) \\
+        \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial z} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g}{\partial z}(\hat{x})
+    \end{rcases}
+    \implies
+    \frac{\partial f(\hat{x})}{\partial x} = \hat{\lambda}^{T} \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Interpretation von Satz \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Definiere Lagrange-Funktion
+    \[
+        \mathcal{L}(x, \lambda) \coloneqq f(x) - \lambda^{T}g(x), \quad (x, \lambda) \in D \times \R^{k}
+    .\] Falls $\hat{x}$ lokales Minimum von $f$ unter Nebenbedingung $g(x) = 0$ und
+    $\text{Rg}\left( \frac{\partial g(\hat{x})}{\partial x}\right) = k$. Dann ex.
+    genau ein $\hat{\lambda} \in \R^{k}$ s.d. $(\hat{x}, \hat{\lambda})$ ein stationärer Punkt
+    der Lagrange Funktion ist:
+    \begin{align*}
+        \nabla_x \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= \nabla f(\hat{x}) - \nabla g(\hat{x}) \hat{\lambda} = 0 \\
+        \nabla_\lambda \mathcal{L}(\hat{x}, \hat{\lambda}) &= g(\hat{x}) = 0
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[Anwendung von \ref{satz:lagrange-mult}]
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}$ eine symmetrische Matrix. Dann betrachte
+    \[
+        f(x) \coloneqq  (x, Ax)_2 = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j
+    .\] Bestimme Extrema von $f(x)$ unter Nebenbedingungen $\Vert x \Vert = 1$.
+
+    Definiere $g(x) = \Vert x \Vert_2^2 - 1$ und $S \coloneqq \{ x \in \R^{n}  \mid g(x) = 0\} $. Dann
+    gilt für $x \in S$: $\nabla g(x) = 2x \neq 0$, da $\Vert x \Vert_2^2 = 1$. Für
+    $f(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$ gilt für $k = 1 \ldots n$:
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial f}{\partial x_k} &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\delta_{ik}x_j
+        + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_i \delta_{jk} \\
+        &= \sum_{j=1}^{n} a_{kj} x_j + \sum_{i=1}^{n} a_{ik} x_i \\
+        &\stackrel{a_{ij} = a_{ji}}{=} 2 \sum_{i=1}^{n} a_{ki}x_i
+        \intertext{Also folgt}
+        \nabla f(x) &= 2 A x
+    .\end{salign*}
+    Existiert ein $\hat{x}$? Da $S$ kompakt und $f$ stetig, nimmt $f$ (auf $S$) ein
+    Maximum und Minimum an. Nach Satz \ref{satz:lagrange-mult} ex. ein $\hat{\lambda} \in \R$, s.d.
+    \begin{alignat*}{3}
+        &&\quad \nabla f(\hat{x}) &= \hat{\lambda} \nabla g(\hat{x}) \\
+        &\implies& 2 A \hat{x} &= \hat{\lambda} 2 \hat{x} \\
+        &\implies& A \hat{x} &= \hat{\lambda} \hat{x}
+    .\end{alignat*}
+    Also ist $\hat{\lambda}$ Eigenwert von $A$ zum Eigenvektor $\hat{x}$. Damit folgt
+    \[
+        f(\hat{x}) = (\hat{x}, A \hat{x})_2 = (\hat{x}, \hat{\lambda}\hat{x})_2
+        = \hat{\lambda} \underbrace{\Vert \hat{x} \Vert_2^2}_{= 1} = \hat{\lambda}
+    .\] Das bedeutet, dass
+    \[
+        \inf \{(x, Ax)_2  \mid \Vert x \Vert_2 = 1\} = f(\hat{x}) = \hat{\lambda} = \lambda_{\text{min}}
+    .\] Also folgt
+    \begin{align*}
+        \lambda_{\text{min}} &= \min_{\Vert x \Vert_2 = 1} \underbrace{x^{T} Ax}_{(x,Ax)_2}
+        = \min_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \underbrace{\frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_{2}^2}}
+        _{\text{Rayley-Quotient}} \\
+        \lambda_{\text{max}} &= \max_{x \in \R^{n} \setminus \{0\} } \frac{x^{T}Ax}{\Vert x \Vert_2^2}
+    .\end{align*}
+    $\lambda_{\text{min}}$ bzw. $\lambda_{\text{max}}$ sind der kleinste bzw. größte Eigenwert von $A$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana16.tex

@@ -0,0 +1,462 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usetikzlibrary{math}
+\begin{document}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}
+
+\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
+\section{Explizite Differentialgleichungen}
+Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
+\[
+    F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  
+\] oder
+\[
+    y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
+\]
+für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
+Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
+\begin{align*}
+    x_1 &\coloneqq y\\
+    x_2 &\coloneqq y'\\
+    &\vdots\\
+    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
+\end{align*}
+also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
+\[
+    x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
+        x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
+    \end{pmatrix}
+\]
+Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
+\[
+    x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  
+\]
+Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
+        \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
+            y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
+            y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
+            y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
+        \end{align*}
+        Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
+        \[
+            my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  
+        \]
+        äquivalent zum System:
+        \begin{align*}
+            x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
+            x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
+        \end{align*}
+        \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
+        \begin{align*}
+            N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
+            N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
+            N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
+                &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
+            N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
+               & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
+        \end{align*}
+        \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{ccc}
+                succeptible & infected & removed\\
+                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
+            \end{tabular}    
+        \end{center}
+        \begin{align*}
+            N &= I + S + R\\
+            \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
+            \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
+            \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
+        \end{align*}
+        Dabei sei
+        \begin{align*}
+            \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
+            \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
+            \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
+            \beta&
+                \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
+            \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]
+        \begin{axis}%
+            [%minor tick num=4,
+             %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             %enlargelimits={abs=0.2},
+             %ymax=5,
+             %ymin=0
+             width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+             axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+             view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+             xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits
+             ymin=0, ymax=1.1,
+             domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions
+             xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks
+             xticklabels={$t_0$},
+             yticklabels={$y_0$},
+             xlabel=$t$,
+             ylabel=$y$,
+             samples=11, % How many arrows?
+             cycle list={    % Plot styles
+                     gray,
+                     quiver={
+                         u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows
+                         scale arrows=0.075,
+                         every arrow/.append style={
+                             -latex % Arrow tip
+                         },
+                     }\\
+                     red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function
+                }
+            ]
+            \addplot3 (x,y,0);
+            \addlegendentry{$f(t,y)$}
+            \addplot{(x-0.25)^2+0.15};
+            \addlegendentry{$y(t)$}
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[System erster Ordnung]
+    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
+    \begin{equation}
+        y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
+    \end{equation}
+    ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
+\end{definition}
+Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 
+    \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
+\end{enumerate}
+\begin{bem}
+    $y = \begin{pmatrix}
+        y_1\\\vdots\\y_n
+    \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
+        f_1\\\vdots\\f_n
+    \end{pmatrix}$ Dann ist 
+    \begin{align*}
+        \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
+    \end{align*}
+\end{bem}
+\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
+    AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
+    \begin{align*}
+        y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
+        y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
+    \end{align*}
+    Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\graph(y) \subset D$
+        \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
+        \item $y(t_0) = y_0$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
+    Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
+    \[
+        y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 
+    \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
+    \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
+    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
+\end{proof}
+\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
+\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
+    Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
+    \[
+        D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
+    \]
+    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
+\end{satz}
+%\begin{figure}[h]
+%    \begin{tikzpicture}
+%        \begin{axis}%
+%            [grid=none,
+%             minor tick num=4,
+%             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+%             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+%             axis lines=middle,
+%             %enlargelimits={abs=0.2},
+%             ymax=5, ymin=-1.5,
+%             xmin=2, xmax=7,
+%             xtick={5}, ytick={2},
+%             xticklabels={$t_0$},
+%             yticklabels={$y_0$},
+%             xlabel=$t$,
+%             ylabel=$x$,
+%            ]
+%            \draw (4,1) rectangle (6,3);
+%            \node at (5.8,1.3) {$D$};
+%            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};
+%            \addlegendentry{$y(t)$}
+%          \end{axis}
+%    \end{tikzpicture}
+%\end{figure}
+Reminder:
+\begin{enumerate}
+    \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
+    \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
+    \item Satz von Arzela-Ascoli:
+         Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 
+         \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 
+         \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
+        Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
+    \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 
+    \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
+    \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
+        \int_a^by_1(t)\d t\\
+        \vdots\\
+        \int_a^by_n(t)\d t
+    \end{pmatrix}\in \R^n\]
+\end{enumerate}
+\begin{proof} (Satz von Peano)\\
+    Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
+    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
+    \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
+    Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
+        \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
+        \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 
+    \end{itemize}
+    Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
+    \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={
+                    g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)
+                    f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative
+                    %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)
+                    %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative
+                }]
+            \def\h{1} % step length (accuracy of approximation)
+            \def\torig{2} % y_0
+            \def\yorig{1} % t_0
+            \begin{axis}%
+                [grid=none,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 ymax=10, ymin=-1.5,
+                 restrict y to domain=-2:12,
+                 xmin=-1, xmax=7,
+                 xtick={2,3,4,5},
+                 ytick=\empty,
+                 xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$y$,
+                 legend pos=outer north east
+                ]
+                \def\d{0}
+                \def\t{0}
+                \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),
+                                     remember=\t as \tlast (initially \torig)]
+                                    in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {
+                    \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}
+                    \colour
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};
+                    }
+                    \temp
+                    \if\i3
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) 
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});
+                        }
+                    \else
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                        }
+                    \fi
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};
+                    }
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}
+                    \temp
+                }
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$}
+    \end{figure}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
+        \[
+            \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
+        \]
+        Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
+        \begin{align*}
+            y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
+            &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
+            &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+            \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
+            &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
+            &= (t-t_0)\cdot M\\
+            &\le T\cdot M\\
+            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
+            &\le \beta
+        \end{align*}
+        Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
+        \item \begin{enumerate}[(a)]
+            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.
+                \begin{figure}[h]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);
+                        f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);
+                        f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);
+                        f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]
+                        \begin{axis}%
+                            [grid=none,
+                             %minor tick num=4,
+                             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                             axis lines=middle,
+                             %enlargelimits={abs=0.2},
+                             ymax=10, ymin=-1.5,
+                             xmin=1, xmax=6,
+                             xtick={2,3,4,5},
+                             ytick={1},
+                             xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                             yticklabels={$y_0$},
+                             xlabel=$t$,
+                             ylabel=$x$,
+                            ]
+                            \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};
+                            \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                            \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};
+                            %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};
+                            %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};
+                          \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                    \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}
+                \end{figure}
+            \begin{itemize}
+                \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
+                \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                        &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
+                    &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                    \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
+                \end{align*}
+                \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
+                    &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
+                \end{align*}
+                Daraus folgt 
+                \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
+                = |t-t'|M\]
+            \end{itemize}
+                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
+                \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
+                Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
+            \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
+            \begin{align*}
+                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
+                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
+                \\
+                &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
+                &\le M\cdot T + \norm{y_0}
+            \end{align*}
+            Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
+        \end{enumerate}
+        Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
+        \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
+        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
+        \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
+
+            Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für
+            ein $i$ gilt
+            \begin{salign*}
+                y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})
+                         + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                        \vdots \; & \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s
+                         + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\
+                         &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         - f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s
+                         + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s
+                         \tageq \label{eq:peano:1}
+            .\end{salign*}
+            Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.
+            $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+            .\]
+            Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt
+            $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+                \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon
+            .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$
+            \[
+                \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon
+                \tageq \label{eq:peano:2}
+            .\] Damit folgt
+            \begin{salign*}
+                \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert
+                \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&
+                \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}
+                \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s
+                \Bigg\Vert \\
+                \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s
+                + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\
+                =& \epsilon |t - t_0|
+                \intertext{Damit folgt}
+                \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0
+                - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s
+                \Bigg\Vert
+                \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|
+                \intertext{Also folgt}
+                \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|
+            .\end{salign*}
+            Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit
+            \[
+                y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana17.tex

@@ -0,0 +1,274 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bem}[Bedeutung des Existenzsatz von Peano]
+    Für die lokale Lösbarkeit des Systems $y' = f(t,y)$ reicht
+    die Stetigkeit der rechten Seite. Aber auch wenn $f(t,y)$ auf einem
+    Streifen $[a,b] \times \R^{n}$ stetig ist, kann nicht erwartet werden, dass die Lösung
+    der AWA im Intervall $[a,b]$ definiert ist.
+
+    Zum Beispiel: $y' = 1 + y^2$. $f(t,y) = 1 + y^2$ ist stetig auf $\R \times \R$. Als Lösung
+    folgt $y = \tan(t + c)$, denn
+    \begin{align*}
+        y' = \frac{1}{\cos^2(t+c)} = \frac{\cos^2(t+c) + \sin^2(t+c)}{\cos^2(t+c)}
+        = 1 + \tan^2(t+c) = 1 + y^2
+    .\end{align*}
+    Das heißt Lösungen sind nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert. Der Satz von Peano
+    macht eine Aussage über die Größe des Existenzintervalls (die nur von Stetigkeitseigenschaften
+    von $f(t,x)$ abhängig ist).
+\end{bem}
+\begin{figure}[h]
+    \label{fig:tan-dgl-solution}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [default 2d plot,
+             ymax=4,
+             ymin=-4,
+             xmin=-4,
+             xmax=4,
+             xtick={-3.14, -1.57, 0, 1.57, 3.14},
+             xticklabels={$\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
+            ]
+            \addplot[domain=1.58:4.70,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-1.56:1.56,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-4.72:-1.58,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Lösung $y = \tan(t+c)$ nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert.}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Fortsetzungssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
+    Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
+
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T_{*}, t_0 + T^{*})$
+    bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wiederholte Anwendung des Satz von Peano (siehe R.R. S. 111).
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die maximal fortgesetzten Lösungen nach links und rechts laufen bis der Graph von $y$ an
+    den Rand von $D$ stößt. Dabei ist es möglich, dass
+    \[
+        \text{Graph}(y) = \{ (t, y(t)) , t \in I_{\text{max}}\}
+    \] unbeschränkt ist, weil $t \to t_0 + T^{*} = \infty$ oder
+    $\Vert y(t) \Vert \xrightarrow{t \to t_0 + T^{*}} \infty$.
+
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = tan(deg(\x-2));}]
+            \begin{axis}%
+                [default 2d plot,
+                 grid=none,
+                 ymax=4,
+                 ymin=-4,
+                 xmin=0,
+                 xmax=4,
+                 xtick=\empty, ytick=\empty,
+                ]
+                \addplot[domain=0.56:3.56,samples=100,smooth,red] {f(x)};
+                \draw[dashed] (0.56, 5) -- (0.56, -5);
+                \draw[dashed] (3.45, 5) -- (3.45, -5);
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=10mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=9mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=6mm, minimum height=6mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=5mm, minimum height=5mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=4mm, minimum height=4mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.65, -4) node{$\partial D$};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Schrittweise Fortsetzung einer Lösung bis zum Rand von $D$}
+    \end{figure}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[Globale Existenz]
+    Sei $f(t,x)$ auf ganz $\R \times \R^{n}$ definiert und stetig. Seien alle lokalen Lösungen
+    $y(t)$ beschränkt durch eine stetige Funktion $\rho\colon \R \to \R$ mit
+    \[
+        \Vert y(t) \Vert \le \rho(t), \quad t \in [t_0 - T, t_0 + T]
+    .\] Dann ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wegen der Schranke, kann keine lokale Lösung auf einem beschränkten Zeitintervall
+    einen unbeschränkten Graphen haben. Also ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Regularitätssatz]
+    Sei $y$ eine Lösung der AWA $y' = f(t,y)$ auf dem Intervall $I$ und
+    sei $f \in C^{m}(D)$ mit $m \ge 1$. Dann gilt $y \in C^{m+1}(I)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Da $y(t)$ Lösung, folgt
+    \[
+        y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s)) \d s, \quad t \in I
+    .\] Sei nun $f \in C^{1}(D)$. Dann ist $y$ zweimal stetig differenzierbar
+    mit
+    \begin{align*}
+        y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t, y(t))
+        = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        + \underbrace{\frac{\partial}{\partial y} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}_{= f \text{ also stetig}}
+    .\end{align*}
+    Durch Wiederholung dieses Arguments folgt $y \in C^{m+1}$ falls $f \in C^{m}(D)$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Was kann passieren, falls $f(t,x)$ nicht stetig ist? Beispiel: Coulomb Reibung. Sei
+    $c > 0$ und $v(0) = v_0$.
+    \begin{align*}
+        \dot{s} &= v \\
+        \dot{v} &= -c \cdot \text{sign}(v)
+    .\end{align*}
+    Lösung: $v(t) = v_0 - ct$. Lösungen der DGL existieren ab $t = \frac{v_0}{c}$ nicht.
+    Abhilfe: Philipov Regel (siehe Literatur).
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = -2;}]
+            \begin{axis}%
+                [%minor tick num=4,
+                 %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 legend pos=outer north east,
+                 %enlargelimits={abs=0.2},
+                 %ymax=5,
+                 %ymin=0
+                 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+                 xmin=0, xmax=2, % Axis limits
+                 ymin=-1.1, ymax=1.1,
+                 domain=0:2, y domain=-1:1, % Domain over which to evaluate the functions
+                 xtick=\empty, ytick={1}, % Tick marks
+                 xticklabels={$t_0$},
+                 yticklabels={$v_0$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$v$,
+                 samples=7, % How many arrows?
+                ]
+                \addplot3[
+                    y domain=1:0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={-2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x,y+0.1,0);
+                \addplot3[
+                    forget plot,
+                    y domain=-1:-0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x, y-0.1,0);
+                \addlegendentry{$f(t,v) = - c \cdot \text{sign}(v)$}
+                \addplot[blue, domain=0:1] {2 - 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(1)}(t) = - c + v_0^{(1)}$}
+                \addplot[forget plot, blue, domain=0:0.5] {1 - 2*x};
+                \addplot[red, domain=0:0.75] {-1.5 + 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(2)}(t) = + c + v_0^{(2)}$}
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Mögliche Lösungen der DGL $\dot{v} = - c \cdot \text{sign}(v)$ mit
+        $v_0^{(1)} > 0$ und $v_0^{(2)} < 0$. Ab $t = \frac{v_0}{c}$ existiert keine Lösung.}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Uneindeutigkeit von AWA]
+    \label{bsp:dgl-uneindeutig}
+    Sei $y' = f(t,y) \coloneqq \sqrt{|y(t)|}$ mit $y(t_0) = y_0$. Es
+    ist $f(t,y)$ stetig auf $\R \times \R$.
+
+    Für $y_0 \ge 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:
+    \begin{align*}
+        y(t) &= \frac{(t-t_0 + 2 \sqrt{y_0})^2}{4} \qquad t_0 - 2 \sqrt{y_0} \le t < \infty
+        \intertext{Für $y_0 \le 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:}
+        y(t) &= - \frac{(t-t_0 - 2 \sqrt{-y_0})^2}{4} \qquad -\infty < t \le t_0 + 2 \sqrt{-y_0}
+        \intertext{Für $y_0 = 0$ ist jedoch $\forall t_0 \in \R$ auch}
+        y(t) &= 0
+    .\end{align*}
+    eine Lösung der AWA.
+
+    Falls $y_0 > 0$ oder $y_0 < 0$ ist $y(t; t_0, y_0)$ eindeutig bestimmt, aber für $y(t_0) = 0$
+    existieren unendlich viele Lösungen.
+    
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick={4,-4},
+                     yminorticks=false,
+                     minor tick style={draw=none},
+                     xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$, $y_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,red] {((x-6+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-10:10,samples=100,smooth,blue] {-((x-6-4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Lösungen für $y_0 > 0$ (rot) bzw. $y_0 < 0$ (blau) und ihre Fortsetzungen.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick=\empty,
+                     xticklabels={$t_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=-2:14,samples=100,smooth,orange] {0};
+                    \addplot[domain=14:20,samples=100,smooth,orange] {((x-18+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:-2,samples=100,smooth,orange] {-((x+6-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,blue] {0};
+                    \addplot[domain=10:20,samples=100,smooth,blue] {((x-14+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:2,samples=100,smooth,blue] {-((x+2-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=4:8,samples=100,smooth,red] {0};
+                    \addplot[domain=8:20,samples=100,smooth,red] {((x-12+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:4,samples=100,smooth,red] {-((x-4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Für $y_0 = 0$ existieren beliebig viele zusammengesetzte Lösungen.}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Zur Uneindeutigkeit von AWA}
+    \end{figure}
+
+    Beobachtung: $f(t,x)$ ist stetig auf $\R \times \R$, aber $f(t,x)$ ist nicht Lipschitz stetig
+    in $(t,0)$ $\forall t \in \R$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana18.tex

@@ -0,0 +1,193 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Eindeutigkeit und lokale Stabilität}
+
+\begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit]
+    Sei $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und $f\colon D \to \R^{n}$. $f$ ist in $D$
+    Lipschitz-stetig bzgl. $x$ mit Lipschitz-Konstante $L \ge 0$, falls $\forall (t,x), (t, \tilde{x}) \in D$ gilt
+    \[
+        \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L \Vert x - \tilde{x} \Vert
+    .\] $f$ ist lokal Lipschitz-stetig bzgl. $x$ in $D$, falls für
+    alle Punkte $(t, x) \in D$ eine Umgebung $U$ existiert, s.d.
+    $f$ in $D \cap U$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Sei $D = \R \times G$, $G \subseteq \R^{n}$ konvex
+            und $f\colon D \to \R^{n}$ stetig partiell differenzierbar nach $x$
+            mit $\displaystyle \sup_{x \in G} \left\Vert \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \right\Vert \le L(t)$,
+            dann ist $f$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$.
+            \begin{proof}
+                \begin{align*}
+                    \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert
+                    \quad \stackrel{\text{\ref{satz:mittelwertsatz}}}{=} \quad
+                    \left\Vert \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x} (t,s) \d s (x - \tilde{x}) \right\Vert
+                    \le L(t) \Vert x - \tilde{x}\Vert
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item $f(y) = \sqrt{y}$, $f\colon [0, \infty[\; \to \R$ ist nicht Lipschitz-stetig, denn
+            $|f(y) - f(0)| = \sqrt{y} $ und $\forall L \ge 0$ $\exists y \in [0, \infty[$ mit
+            $|\sqrt{y}| \ge L \cdot |y|$.
+        \item $f(y) = \sqrt{y} $, $f\colon \;]0, \infty[\; \to \R$ ist lokal Lipschitz-stetig.
+            \begin{proof}
+                Sei $y_0 \in ]0, \infty[$ fest. Betrachte
+                $U = \left[ \frac{y_0}{2}, \infty \right] \subseteq \R$. Es gilt
+                $\left| f'(y) \right| = \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} } \right| $. Dann folgt
+                \[
+                \max_{x \in U} \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} }  \right| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{y_0}}
+            .\] Damit ist mit (1) $f$ Lipschitz-stetig auf $U$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}[von Gronwall]
+    Sei $w(t) \ge 0$ stückweise stetig und genüge für $a, b \in \R$ der Integralgleichung
+    \[
+        w(t) \le a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b, \quad t \ge t_0
+    .\] Dann gilt
+    \[
+        w(t) \le e^{a(t-t_0)}b, \quad t \ge t_0
+    .\] 
+    \label{lemma:gronwall}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $t \ge t_0$. Betrachte die Funktion $\psi(t) \coloneqq a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b$. Es gilt
+    $\psi'(t) = a w(t)$ und nach Voraussetzung
+    \[
+        \psi'(t) = a w(t) \le a \left( a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b \right) = a \psi(t)
+    .\] Betrachte nun $e^{-at}\psi(t)$ und berechne
+    \begin{salign*}
+        (e^{-at} \psi(t))' = - a e^{-at}\psi(t) + e^{-at}\psi'(t)
+        = e^{-at} \underbrace{\left( \psi'(t) - a \psi(t) \right)}_{\le 0} \le 0 \tageq\label{eq:gronwall-1}
+    .\end{salign*}
+    Die Funktion $e^{-at}\psi(t)$ ist also monoton fallend. Damit folgt
+    \begin{salign*}
+        e^{-at}\psi(t) &\stackrel{\text{mon. fallend}}{\le } e^{-a t_0} \psi(t_0) = e^{-a t_0} b \\
+        e^{-at} w(t) &\stackrel{\text{(\ref{eq:gronwall-1})}}{\le} e^{-at} \psi(t) \le e^{- a t_0} b
+        \intertext{Insgesamt folgt also}
+        w(t) &\le e^{a(t - t_0)} b
+    .\end{salign*}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Stabilitäts- und Eindeutigkeitssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig
+    bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung
+    \[
+        y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I
+    \] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt
+    \[
+        \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0
+    ,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-Konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf
+    $K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
+
+    Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y),\ y(t_0) = y_0)$, dann
+    gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$.
+    Betrachte
+    \begin{salign*}
+        h(t) \coloneqq y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=}
+        y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\
+        &= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s + y(t_0) - v(t_0) 
+        \intertext{Dann folgt}
+        \Vert h(t) \Vert &\le \int_{t_0}^{t} \underbrace{\Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \Vert}_{\le L_k \Vert y(s) - v(s) \Vert} \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert \\
+        &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } L_K \int_{t_0}^{t} \Vert h(s) \Vert  \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0) \Vert
+        \intertext{Damit folgt mit Lemma \ref{lemma:gronwall}}
+        \Vert h(t) \Vert &\le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \ge t_0
+    .\end{salign*}
+    Seien nun $y(t)$ und $v(t)$ zwei Lösungen der AWA
+    \[
+    \begin{cases}
+        y' = f(t,y) & t \in I = [t_0, t_0 + T], T \text{ aus Peano} \\
+        y(t_0) = y_0
+    \end{cases}
+    .\] Aus
+    \[
+       \Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y_0 - y_0\Vert = 0, \quad t \in I
+   ,\] folgt $y(t) = v(t)$ auf dem gemeinsamen Existenzintervall $I$. 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Lindelöf]
+    Sei $f\colon D \to \R^{n}$ stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Dann
+    gilt $\forall (t_0, y_0) \in D$, $\exists \epsilon > 0$ und eine Lösung der AWA
+    \begin{align*}
+        &y\colon I = [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon] \to \R^{n} \\
+        &y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I \\
+        &y(t_0) = y_0
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Unabhängig vom Satz von Peano, basiert auf dem Fixpunktsatz von Banach.
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $\delta  > 0$ s.d.
+            \[
+                K\coloneqq \{ (t,x) \in \R \times \R^{n}  \mid |t-t_0| \le \delta, \Vert x - y_0 \Vert \le \delta \} \subseteq D
+            \] und $f(t,x)$ auf $K$ Lipschitz-stetig ist, d.h. es ex. ein $L_K \ge 0$, s.d.
+            \[
+            \Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L_K \Vert x - \tilde{x} \Vert,
+            \quad (t,x), (t, \tilde{x}) \in K
+            .\] $K$ ist kompakt und $f$ stetig, d.h. $f$ ist beschränkt auf $K$, d.h. $\exists M \ge 0$
+            s.d. $\Vert f(t,x) \Vert \le M$, $(t,x) \in K$. Wir setzen
+            \[
+                \epsilon \coloneqq \text{min}\left( \delta , \frac{\delta }{M}, \frac{1}{2L_K} \right),
+                \quad I_{\epsilon} \coloneqq [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon]
+            .\] Definiere Vektorraum $V \coloneqq C(I_{\epsilon})$ mit Norm
+            $\Vert y \Vert_{\infty} = \max_{t \in I_\epsilon} \Vert y(t) \Vert$. Dann ist
+            $V$ ein Banach-Raum.
+        \item Definiere auf $V$ die Abbildung $g\colon V \to V$
+            \[
+                g(y)(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
+            .\] Betrachte Teilmenge
+            \[
+                V_0 \coloneqq \left\{ v \in V  \;\Big|\; \max_{t \in I_{\epsilon}} \Vert v(t) - y_0 \Vert \le \delta
+                \right\} 
+                \subseteq V
+            .\] Für $y \in V_0$ gilt für $t \in I_{\epsilon}$
+            \begin{salign*}
+                \Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\
+                &\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s  \\
+                &\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t}  \d s \\
+                &= M|t-t_0|
+                \le M\epsilon
+                \le \delta 
+            .\end{salign*}
+            Damit folgt also $g(V_0) \subseteq V_0$. Seien nun $y, v \in V_0$:
+            \begin{salign*}
+                \Vert g(y)(t) - g(v)(t) \Vert
+                &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right)  \d s \right\Vert \\
+                &\le \int_{t_0}^{t} \Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s))\Vert \d s \\
+                &\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } \int_{t_0}^{t} L_K \Vert y(s) - v(s) \Vert \d s \\
+                &\le L_k \max_{s \in [t_0, t]} \Vert y(s) - v(s) \Vert \int_{t_0}^{t}  \d s \\
+                &\le L_k \Vert y - v \Vert_{\infty} \underbrace{|t - t_0|}_{\le \epsilon} \\
+                &\stackrel[\epsilon \le \frac{1}{2L_K}]{}{\le} \frac{1}{2} \Vert y - v\Vert_{\infty}
+            .\end{salign*}
+            Damit ist $g$ auf $V_0$ eine Kontraktion und hat damit mit Satz \ref{satz:banach-fix}
+            genau einen Fixpunkt $y^{*}$, d.h.
+            \[
+                y^{*}(t) = g(y^{*})(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{*}(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon}
+            .\] Damit ist $y^{*}(t)$, $t \in I_{\epsilon}$ eindeutige lokale Lösung der
+            AWA $y'= f(t,y)$, $y(t_0 ) = y_0$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Der Beweis liefert ein Verfahren für beliebiges $y_0$ und $t \in I_{\epsilon}$:
+            \begin{align*}
+                y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s
+                \xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA}
+            .\end{align*}
+        \item Ohne die Forderung der Lipschitz-Stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren
+            (siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano
+            immer noch.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\end{document}

ana19.tex

@@ -0,0 +1,431 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Globale Stabilität}
+
+\begin{definition}[Exponentielle Stabilität]
+	Sei $y(t)$ die globale Lösung einer AWA. $y(t)$ heißt \underline{exponentiell stabil}, falls Konstanten $\delta, \alpha, A > 0$ existieren, sodass $\forall t_{*} \geq t_{0}$ und $\forall w_{*} \in \R^{n}$ mit $\norm{w_{*}} < \delta$ die gestörte AWA
+		\[
+			v'(t) = f\left(t,v(t)\right), \ \ \ t \geq t_{*}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+		\]
+	eine globale Lösung $v(t)$ hat, für welche gilt:
+		\[
+			\norm{v(t) -y(t)} \leq Ae^{-\alpha (t-t_{*})} \norm{w_{*}}, \ \ \ t \geq t_{*}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Monotone AWA]
+	Die Funktion $f(t,x)$ heißt \underline{stark monoton} falls ein $\lambda > 0$  existiert, sodass für alle $(t,x), (t,y) \in D$ gilt:
+		\[
+			-\left( f(t,x) - f(t,y), x-y \right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Globaler Stabilitätssatz]
+	Sei $f(t,x)$ einer AWA stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$ und stark monoton. Dann sind alle Lösungen der AWA global und exponentiell stabil, mit $\delta$ beliebig und $\alpha = A = 1$. \\
+	Zusatz: Gilt $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$, dann sind alle Lösungen gleichmäßig beschränkt. 
+		\label{satz:global-stabil}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Lösungen der AWA
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)), \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ y(t_{0}) = y_{0},
+				\]
+				und der gestörten AWA
+				\[
+					v'(t) = f(t,v(t)), \ \ \ t \geq t_{*} \geq t_{0}, \ \ \ v(t_{*}) = y(t_{*}) + w_{*}
+				\]
+				existieren global und sind eindeutig. \\
+				Da $f$ Lipschitz-stetig ist gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x)} \leq \norm{f(t,x) - f(t,0)} + \norm{f(t,0)} \leq L\norm{x} + \norm{f(t,0)}.
+				\end{salign*}
+				Für die Lösung $y(t)$ gilt:
+				\begin{salign*} 
+					y(t) &= y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f(s,y(s)) \d{s} 
+				\intertext{und damit}
+					\norm{y(t)} &\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,y(s))} \d{s} \\
+					&\leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} L \norm{y(s)} \d{s} + \int_{t_{0}}^{t} \norm{f(s,0)} \d{s} 
+				\intertext{$\norm{f(s,0)}$ stetig auf $[t,t_{0}]$, also gleichmäßig beschränkt, d.h. es existiert ein $M_{t} > 0$ sodass für alle $s \in [t_{0},t]$ gilt $\norm{f(s,0)} \leq M_{t}$ und damit:}
+					&\leq L \int_{t_{0}}^{t} \norm{y(s)} \d{s} + \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right|
+				\end{salign*}
+				Mit dem Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ folgt:
+				\[
+					\norm{y(t)} \leq e^{L(t-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0}\right| \right).
+				\]
+				Somit liefern der Satz von Peano und der Fortsetzungssatz, dass $y(t)$ auf dem maximalen Existenzintervall $I_{\max} = [t_{0},t_{\max})$ existiert, wobei entweder $t_{\max} = \infty$ gilt, oder $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $. \\
+				Wir führen $t_{\max} < \infty$ mit $\max_{[t_{0},t]} \norm{y(t)} \oldstackrel{t \to \infty}{\longrightarrow} \infty $ zum Widerspruch. Bereits gezeigt wurde, dass gilt:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} &\leq e^{L(t-t_{0})}\left( \norm{y_{0}} + M_{t}\left| t-t_{0} \right| \right) \leq e^{L(t_{\max}-t_{0})} \left( \norm{y_{0}} + M_{t_{\max}}\left| t_{\max} -t_{0} \right| \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt für $t \to t_{\max}$. Dies ist ein Widerspruch, also gilt bereits $t_{\max} = \infty$. Damit existiert $y(t)$ für $t \in [t_{0},\infty)$.
+		
+		\item 	$y(t)$ ist exponentiell stabil. Dafür gilt es zu zeigen, dass für $t\geq t_{*}$:
+				\[
+					\norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\]
+				Sei $w(t) \coloneqq v(t) - y(t)$. Dann gilt:
+				\begin{align*}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} = 2\left(w'(t),w(t)\right)= 2 \left(f(t,v(t))-f(t,y(t)), v(t) - y(t) \right) 
+				\intertext{und da $f$ stark monoton ist, folgt:}
+					&\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} \leq -2\lambda \norm{w(t)}^{2} \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{w(t)}^{2} +2\lambda \norm{w(t)}^{2} \leq 0.
+				\end{align*}
+				Ferner gilt:
+				\begin{align*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left(e^{2\lambda (t-t_{*})} \norm{w(t)}^{2}\right) = \underbrace{e^{2\lambda (t-t_{*})}}_{> 0} \underbrace{\left( \frac{\d{}}{\d{t}}\norm{w(t)}^{2} + 2\lambda\norm{w(t)}^{2} \right)}_{\leq 0} \leq 0
+				\end{align*}
+				Woraus wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					& \int_{t_{*}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{2\lambda(s-t_{*})}\norm{w(s)}^{2} \right) \d{s} = e^{2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t)}^{2} - \norm{w(t_{*})}^{2} \leq 0 \\
+					\implies \ & \norm{w(t)}^{2} \leq e^{-2\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})}^{2} \\
+					\implies \ & \norm{w(t)} \ \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w(t_{*})} \\
+					\implies \ & \norm{v(t) - y(t)} \leq e^{-\lambda(t-t_{*})}\norm{w_{*}}.
+				\end{salign*}
+		
+		\item 	$y(t)$ ist gleichmäßig beschränkt falls $\sup_{t \geq t_{0}} \norm{f(t,0)} < \infty$. Denn: \\
+				Es gilt:
+				\[
+					y'(t) = f(t,y(t)) \ \ \ \ \ \implies \ \ \ \ \ y'(t) - f(t,y(t)) + f(t,0) = f(t,0).
+				\]
+				Indem wir das Skalarprodukt mit $y(t)$ bilden, erhalten wir daraus:
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) - \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t) - 0\right) = \left(f(t,0),y(t)\right).
+				\]
+				Außerdem gilt
+				\[
+					\left(y(t), y'(t)\right) = \frac{1}{2}\frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2}
+				\]
+				und aufgrund der Monotonie:
+				\[
+					 \left(f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right) \leq -\lambda\norm{y(t)}^{2}.
+				\]
+				Somit können wir folgern:
+				\begin{salign*}
+					\frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} &\leq \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} - \left( f(t,y(t)) - f(t,0), y(t)\right)\\
+					&= \left(f(t,0), y(t)\right) \oldstackrel{\text{CSU}}{\leq} \norm{f(t,0)}\cdot \norm{y(t)} \\
+					&\stackrel{2ab \le a^2 + b^2}{\le} \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} + \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt
+				\begin{salign*}
+					& \frac{1}{2} \cdot \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} - \frac{\lambda}{2} \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{2\lambda} \norm{f(t,0)}^{2} \\
+					\implies \ \ & \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \norm{f(t,0)}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Multiplikation mit $e^{\lambda(t-t_{0})}$ liefert:
+				\begin{salign*}
+					\frac{\d{}}{\d{t}} \left( e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2}\right) = e^{\lambda(t-t_{0})} \left( \frac{\d{}}{\d{t}} \norm{y(t)}^{2} + \lambda \norm{y(t)}^{2} \right) \leq \frac{1}{\lambda} e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{f(t,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+				woraus folgt:
+				\begin{salign*}
+					\int_{t_{0}}^{t} \frac{\d{}}{\d{s}} \left( e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{y(s)}^{2}\right) \d{s} = e^{\lambda(t-t_{0})}\norm{y(t)}^{2} - \norm{y(t_{0})}^{2} \leq \frac{1}{\lambda} \int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s}
+				\end{salign*}
+				und ferner sogar
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} &\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})}\norm{f(s,0)}^{2}\d{s} \\
+					&\leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} +\frac{1}{\lambda} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Wir halten fest:
+				\begin{salign*}
+					e^{-\lambda(t-t_{0})}\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(s-t_{0})} \d{s} = e^{-\lambda(t-t_{0})}\left( \frac{1}{\lambda}e^{\lambda(t-t_{0})} -\frac{1}{\lambda}\right) \leq \frac{1}{\lambda}.
+				\end{salign*}
+				Somit können wir schließen:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)}^{2} \leq e^{-\lambda(t-t_{0})}\norm{y_{0}}^{2} + \frac{1}{\lambda^{2}} \max_{s \in [t_{0},t]} \norm{f(s,0)}^{2}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+
+
+\section{Lineare Systeme von Differentialgleichungen}
+
+\begin{definition}[Lineare AWA]
+	Sei $A(\cdot) \colon I \to \R^{n \times n}$ eine Matrixfunktion, sowie $b(\cdot) \colon I \to \R^{n}$ eine Vektorfunktion. Dann ist eine lineare AWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			y'(t) &= A(t)y(t) + b(t), \ \ \ t\geq t_{0} \\
+			y(t_{0}) &= y_{0}.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Lösung einer linearen AWA]
+	Seien $A \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0}, \infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
+		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
+	\end{enumerate}
+	\label{satz:lineare-awa}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Der Satz von Peano liefert die Existenz eines $T >0$ sodass eine lokale Lösung $y \colon [t_{0},t_{0}+T] \to \R^{n}$ der linearen AWA existieren, für welche gilt ($t \in [t_{0},t_{0}+\infty]$):
+				\begin{salign*}
+					& y(t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \left( A(s)y(s) + b(s)\right) \d{s} \\
+					\implies \ \ & \norm{y(t)} \leq \norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t} \left( \norm{A(s)}\cdot\norm{y(s)} + \norm{b(s)}\right) \d{s}.
+				\end{salign*}
+				Das Lemma von Gronwall für $w(t) = \norm{y(t)}$ liefert für $t \in [t_{0},t_{0}+T]$:
+				\begin{salign*}
+					\norm{y(t)} \leq \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} \norm{A(s)} \d{s}\right)\left(\norm{y_{0}} + \int_{t_{0}}^{t}\norm{b(s)} \d{s} \right)
+				\end{salign*}
+				Also ist $\norm{y(t)}$ beschränkt durch ein $C(T, A(\cdot), b(\cdot)) > 0$. Nach Fortsetzungssatz ist der Graph von $y(t)$ fortsetzbar bis an den Rand von $D$. Damit existiert $y(t)$ für alle $t \geq t_{0}$. \\
+				$f(t,x)$ ist Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Denn:
+				\begin{salign*}
+					\norm{f(t,x) - f(t,y)} & = \norm{A(t)(x-y)} \leq \norm{A(t)}\cdot\norm{x-y}.
+				\end{salign*}
+				Damit folgt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Picard-Lindelöf.
+		
+		\item 	Sei $A(t)$ negativ definit, dann existiert ein $\lambda > 0$ sodass:
+				\begin{salign*}
+					-\left(f(t,x) - f(t,y),(x-y)\right) = - \left(A(t)(x-y), (x-y)\right) \geq \lambda \norm{x-y}^{2}.
+				\end{salign*}
+				Sei $b(t)$ beschränkt, dann gilt $\sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{f(t,0)} = \sup_{t \in [t_{0},\infty)} \norm{b(t)} < \infty$. Damit folgt nach Satz \ref{satz:global-stabil}, dass $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil ist.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
+	Ein homogenes lineares System von DGLn ist der Form
+	\begin{equation}
+		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
+	\end{equation}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
+					\[
+						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,\dots,n\}
+					\]
+				Dann ist $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
+		\item 	Sei $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraums $H$, dann ist $\{y^{1}(t),\dots,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn:
+				\begin{itemize}
+					\item 	Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$.
+					\item 	Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt:
+							\[
+								(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right).
+							\]
+							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
+				\end{itemize}
+		
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},\dots,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},\dots,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,\dots,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
+				\[
+					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
+				\]
+				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,\dots,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) linear unabhängig sind. \\
+				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
+		\item 	Analog zu 2).
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Eine Basis $\{\varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ ($e^i$ Standardbasisvektor) heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},\dots,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLn. \\
+	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
+		\[
+			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = \mathbb{I}.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
+	Ein inhomogenes lineare System von DGLn ist der Form
+		\[
+			y'(t) = A(t)y(t) + b(t).
+		\]
+	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für konstantes $c \in \R^{n}$ ist
+				\[
+					y_{b}(t) \coloneqq \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right)
+				\]
+				eine partikuläre Lösung des inhomogenen linearen Systems.
+		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
+				\[
+					y(t) = y_{b}(t) + v(t),
+				\]				
+				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
+		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
+				\[
+					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi + \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
+				\]
+				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
+		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
+				\[
+					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{b}) = Aw.
+				\]
+				Also bereits $w \in H$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
+				\[
+					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(\tau) \d{\tau} \right)
+				\]
+				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
+		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
+				\[
+					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
+				\]
+				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraische Argumente zurückgreift.
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Randwertaufgaben}
+\begin{bem}
+	Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
+			& r(y(a),y(b)) = 0
+		\end{salign*}
+	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungen erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
+		\[
+			r\left( y(t_{1}),\dots,y(t_{k}) \right) = 0.
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+	Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel:
+		\[
+			y'' + y = 0
+		\]
+	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
+		\begin{salign*}
+			y_{1} = y,\ y_{2} = y', && 	\begin{cases}
+											y_{1}' = y_{2} \\
+											y_{2}' = -y_{1}
+										\end{cases}.
+		\end{salign*}
+	Dieses Problem hat die allgemeine Lösung
+		\[
+			y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).
+		\]
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWA $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWA unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
+				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWA keine Lösung.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA]
+	Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\
+			& B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Eine Lösung des inhomogenen DGL-System ist von der Form:	
+		\[
+			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
+		\]
+	Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
+		\]
+	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) lösen die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
+		\]
+	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,\dots,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
+		\[
+			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),\dots,\varphi^{n}(t) \right].
+		\]
+	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
+		\begin{salign*}
+			y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}.
+		\end{salign*}
+	Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt:
+		\[
+			B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g.
+		\]
+	Dies lässt sich umformen zu:
+		\[
+			B_{a}(\underbrace{\varphi^{0}(a)}_{=0} + \underbrace{\phi(a)}_{=\mathbb{I}}s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
+		\]
+	Also:
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b).
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
+	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann, wenn $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte homogene RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System 
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
+		\]
+		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
+	\glqq $\Rightarrow$\grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
+		\[
+			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n},
+		\]
+	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},\dots,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
+	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
+		\[
+			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0
+		\]
+	Daraus folgen alle Behauptungen.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
+\end{bem}
+
+Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
+	\[
+		y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
+	\]
+Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
+Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
+Wir führen die Notationen
+	\begin{salign*}
+		f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{x}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+		r_{y}'(x,y) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
+	\end{salign*}
+für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
+
+\begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
+	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann, wenn die lineare RWA 
+		\begin{salign*}
+			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
+			& r_{x}'(y(a),y(b))\cdot v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))\cdot v(b) = 0
+		\end{salign*}
+	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128.
+\end{proof}
+
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+
+
+
+
+\end{document}

ana2.tex

@@ -7,12 +7,12 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \section{Der Funktionen-Raum \texorpdfstring{$R[a,b]$}{\textit{R[a,b]}}}
 
 \begin{definition}
-    Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
+    Eine Funktion $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
     Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls $\text{Re}(f)$ und
     $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
     Man setzt
     \[
-        \int_{a}^{b} f(x) \d x := \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x \coloneqq \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
     .\] 
 
 \end{definition}
@@ -21,7 +21,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
     \begin{enumerate}
         \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
             komplexwertige Funktionen
-        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
+        \item Die Rechenregeln für das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
             Integrale, insbesondere gilt:
             \begin{align*}
                 \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\
@@ -39,10 +39,10 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         \item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
             rechtsseitigen Grenzwerte
             \[
-                f(\xi_{\pm} := \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
+                f(\xi_{\pm}) \coloneqq \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
             .\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
             \[
-                f(\xi) := \frac{f(\xi_{-} + f(\xi_{+})}{2}
+                f(\xi) \coloneqq \frac{f(\xi_{-}) + f(\xi_{+})}{2}
             .\] gesetzt.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -57,12 +57,12 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}
     Wir definieren
     \[
-        (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''})
+        (f, g) \coloneqq \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
     .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Skalarprodukt]
-    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
+    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $\langle\cdot, \cdot \rangle\colon V \times V \to \mathbb{K}$
     heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
     \begin{enumerate}[(S1)]
         \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
@@ -113,7 +113,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
             \[
                 0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
                 + \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
-            .\] Setze $\alpha := - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
+            .\] Setze $\alpha \coloneqq - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
             \begin{align*}
                 0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
                 + \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
@@ -128,7 +128,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{definition}[$L^2$-Norm]
     Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
     \[
-        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} := (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
+        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} \coloneqq (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
     .\] 
 \end{definition}
 
@@ -150,7 +150,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 
 \begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
     Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
-    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
+    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}f$, wenn gilt
     \[
         \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
     .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:
@@ -170,7 +170,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
                 \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
                 \implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
             .\] 
-            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) := x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
+            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) \coloneqq x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
             \begin{figure}[h!]
                 \centering
                 \begin{tikzpicture}
@@ -249,11 +249,11 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
 \begin{satz}
     Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
     \begin{align*}
-        c_k(x) &:= \begin{cases}
+        c_k(x) &\coloneqq \begin{cases}
             1 & k = 0 \\
             \cos(k x) & \text{sonst}
         \end{cases} \\
-        s_l(x) &:= \sin (l x)
+        s_l(x) &\coloneqq \sin (l x)
     \end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
     Orthogonalsystem und es gilt
     \begin{align*}
@@ -261,7 +261,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
         &\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
         &\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
     \intertext{Hier sei}
-    &\delta_{kl} := \begin{cases}
+    &\delta_{kl} \coloneqq \begin{cases}
         1 & k = l \\
         0 & k \neq l
     \end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}

ana20.tex

@@ -0,0 +1,349 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+    \chapter{Kurven im \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
+    \section{Kurven}
+    \begin{definition}[Kurve]
+        Eine Kurve $\gamma$ im $\R^n$ ist eine stetige Abbildung $\gamma\colon I\to \R^n$, $I$ Intervall (z.B. $I = [a,b]$ oder $I = \R$). Schreibweise: \[\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+            \gamma_1(t)\\
+            \vdots\\
+            \gamma_n(t)
+        \end{pmatrix}.\]
+        Dabei gilt $\gamma$ stetig $\Leftrightarrow$ $\gamma_i$ stetig $\forall i = 1,\dots, n$.
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                    \draw[->,color=blue, thick] (0.5,0.5) -- node[above left] {$v$} (1.5,1.5);
+                    \draw (0,0) -- (2,2);
+                    \node at (0.5,0.5) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0.5,0.5) {$a$};
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 1, Gerade}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                    \node at (0,0) {\textbullet};
+                    \node[below right] at (0,0) {$a$};
+                    \draw[->, thick] (0,0) -- node[pos=.5, above left] {$r$} (1.05,1.05);
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 2, Kreis}
+            \end{subfigure}
+            \begin{subfigure}[b]{0.35\textwidth}
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
+                    \begin{axis}[
+                        grid = major
+                        ]
+                        \addplot3[variable=t,mesh,samples=70,domain=0:2] (cos(360*t), { sin(360* t) }, 0.5*t);
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \subcaption{Beispiel 3, Helix}
+            \end{subfigure}
+        \end{figure}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade in $\R^n$ durch einen Punkt $a\in \R^n$ in Richtung $v \in \R^n\setminus\{0\}$:
+            \[
+                \gamma(t) = a + tv,\; I = \R.
+            \]
+            \item Kreis in $\R^2$ um $a\in \R^2$ mit Radius $r > 0$
+            \[
+                \gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                    \cos(t)\\
+                    \sin(t)
+                \end{pmatrix},\; t\in [0, 2\pi]  
+            \]
+            \item Helix in $\R^3$ mit $r > 0, c \neq 0$.
+            \[
+                \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    r\cos(t)\\
+                    r\sin(t)\\
+                    c\cdot t
+                \end{pmatrix}
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Differenzierbarkeit]
+        \begin{enumerate}
+            \item $\gamma$ heißt stetig differenzierbar, wenn $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ stetig differenzierbar sind. Dabei bezeichnet man
+            \[\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                \gamma_1'(t)\\
+                \vdots\\
+                \gamma_n'(t)
+            \end{pmatrix}\]
+            als Tangential- bzw. Geschwindigkeitsvektor.
+            \item $\gamma$ heißt regulär, wenn gilt: $\forall t\in I$ gilt $\gamma'(t)\neq 0$.
+            \item $r(t) \coloneqq \norm{\gamma'(t)}_2\colon I\to \R$ heißt Geschwindigkeit von $\gamma$.
+            \[
+                \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{|\gamma_1'(t)|^2 + \dots + |\gamma_n'(t)|^2}  
+            \]
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{figure}
+        \centering
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2-1},{x^3-x}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 4: nicht injektive Kurve,\\ \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = \pm 1$.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                \begin{axis}[axis lines=middle]
+                    \addplot [domain=-2:2,samples=40]({x^2},{x^3}); 
+                    \node[color=red] (a) at (0,0) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 5: Neilsche Parabel, \textcolor{red}{\textbullet} liegt bei $t = 0$ und ist ein singulärer Punkt.}
+        \end{subfigure}
+    \end{figure}
+    \begin{bsp}
+        \begin{enumerate}
+            \item Gerade: $\gamma(t) = a + v\cdot t$.
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    v_1\\
+                    \vdots\\
+                    v_n
+                \end{pmatrix} = v,\; r(t) = \norm{v}_2 \xRightarrow{v\neq 0} \gamma \text{ ist regulär}
+            \]
+            \item Kreis: $\gamma(t) = a + r\begin{pmatrix}
+                \cos(t)\\
+                \sin(t)
+            \end{pmatrix}$.
+            \[
+                \gamma'(t) = r\begin{pmatrix}
+                    -\sin(t)\\
+                    \cos(t)
+                \end{pmatrix} \xRightarrow{r \neq 0} \gamma'(t) \neq 0\;\forall t,
+            \]
+            da $\sin$ und $\cos$ keine gemeinsamen Nullstellen haben.
+            \[
+                r(t) = \norm{\gamma'(t)}_2 = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r  
+            \]
+            \item Helix: $\gamma(t) = \left(r\cos(t), r\sin(t), ct\right)^T$
+            \[
+                \gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                    -r\sin(t)\\
+                    r\cos(t)\\
+                    c
+                \end{pmatrix} \neq 0\; (c \neq 0)
+            \]
+            Außerdem ist
+            \[
+                r(t) = \sqrt{r^2 + c^2} > 0  
+            \]
+            \item Kurven stellen nicht notwendig injektive Abbildungen dar.
+            \[
+                \gamma\colon \R\to \R^2,\quad \gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                    t^2-1\\
+                    t^3-t
+                \end{pmatrix} 
+            \]
+            Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y)\in \R^2\colon y^2 = x^2 + x^3\}$. Dabei ist $\gamma(-1) = \begin{pmatrix}
+                0\\0    
+            \end{pmatrix} = \gamma(1)$. Allerdings ist $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2-1
+            \end{pmatrix}$ bei $-1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                -2\\2
+            \end{pmatrix}$ und bei $1$ gleich $\begin{pmatrix}
+                2\\2
+            \end{pmatrix}$.
+            \item Neilsche Parabel $\gamma\colon \R \to \R^2, \quad \gamma(t) = (t^2, t^3)$. Das Bild von $\gamma$ ist $\gamma(\R) = \{(x,y) \in \R^2\colon x\geq 0, y = \pm \sqrt{x^3}\}$. Es gilt $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                2t\\3t^2
+            \end{pmatrix}$ und daher insbesondere $\gamma'(0) = \begin{pmatrix}
+                0\\0
+            \end{pmatrix}$. Daher ist $\gamma(t)$ nicht regulär und $t = 0$ ist ein singulärer Punkt.
+        \end{enumerate}
+    \end{bsp}
+    \begin{definition}[Tangente]
+        Sei $\gamma\in C^1(I;\R^n)$. Sei ein $t_0\in I$ regulär (d.h. $\gamma'(t_0) \neq 0$). Dann ist die Tangente an $\gamma(t_0)$ eine Gerade durch $\gamma(t_0)$ in Richtung $\gamma'(t_0)$
+        \[
+            \{\gamma(t_0) + s\gamma'(t_0) \mid s\in \R\}.  
+        \]
+    \end{definition}
+    \section{Die Bogenlänge}
+    Sei $\gamma\colon I \to \R^n$ eine stetige Kurve. Sei $\mathcal{Z} = \{t_0,t_1,\dots, t_M\},\;t_i\in I$ eine Partition des Intervalls $I$. $\mathcal{Z}$ definiert ein Sehnenpolygon von $\gamma$ mit Ecken $\gamma(t_0),\dots, \gamma(t_M)$ der Länge 
+    \[
+        S(\mathcal{Z})\coloneqq \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i)- \gamma(t_{i-1})}_2,\; S(\mathcal{Z})\in \R.
+    \]
+    Sei $\mathcal{Z}^*$ eine weitere Partition des Intervalls $I$, die aus $z$ durch Hinzunahme weiterer Teilungspunkte entsanden ist, dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq S(\mathcal{Z})$.
+    Betrachte Teilintervall $[t_0,t_1]$ und sei $t_0 = s_0 < s_1 < \dots < s_K = t_1$, dann ist
+    \[
+        \norm{\gamma(t_1) - \gamma(t_0)} = \norm{\sum_{i = 1}^{K} \gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \leq \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(s_i) - \gamma(s_{i-1})} \implies S(\mathcal{Z}) \leq S(\mathcal{Z}^*).  
+    \]
+    Seien $\mathcal{Z}_1$ und $\mathcal{Z}_2$ zwei Zerlegungen und $\mathcal{Z}^*$ eine gemeinsame Verfeinerung. Dann gilt $S(\mathcal{Z}^*) \geq \max(S(\mathcal{Z}_1), S(\mathcal{Z}_2))$
+    \begin{definition}[Rektifizierbarkeit]
+        Eine stetige Kurve $\gamma\in C^0(I;\R^n)$ heißt rektifizierbar, wenn die Menge aller Längen $S(\mathcal{Z})$ von Polygonen zu Partitionen $\mathcal{Z}$ von $I$ beschränkt ist. In diesem Fall heißt $S(\gamma) \coloneqq \sup\{S(\mathcal{Z})\mid \mathcal{Z} \text{ Partition von } I\}$ die Länge von $\gamma$, in anderen Worten $\forall\epsilon > 0,\; \exists \delta > 0, \;\forall$ Partitionen von $I$ gilt:
+        \[
+            \max_i |t_{i-1} - t_i| < \delta \implies |S(\mathcal{Z}) - S(\gamma)| < \epsilon
+        \]
+    \end{definition}
+    \begin{bsp}[Lipschitz-stetige Kurven]
+        Sei $\gamma\colon I\to \R$ Lipschitz-stetig mit $|I| < \infty$, dann gilt für alle Zerlegungen $\mathcal{Z}$ von $I$:
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) = \sum_{i = 1}^{M}\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \oldstackrel{\gamma \text{ L-stetig}}{\le} \sum_{i = 1}^{M} L\cdot |t_i - t_{i-1}| = L\cdot |I|  
+        \]
+    Also ist $\gamma$ rektifizierbar.
+    \end{bsp}
+    \begin{satz}[Kurvenlänge stückweiser $C^1$-Kurven]
+        Sei $\gamma\in C^0([a,b],\R^n)$ eine stetige Kurve mit $[a,b]$ kompakt, $\gamma$ stückweise $C^1$, d.h. $\exists$ Zerlegung $a = s_0 < s_1 <\dots < s_M = b$ mit 
+        \[
+            \left.\gamma\right|_{[s_{i-1}, s_i]} \in C^1([s_{i-1},s_i], \R^n),\quad \forall i = 1, \dots, M.  
+        \]
+        Dann ist $\gamma$ rektifizierbar und hat die Länge \[S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}_2\d t = \sum_{i = 1}^{M}\int_{s_{i-1}}^{s_i} \norm{\gamma'(t)}_2 \d t.\]
+        Insbesondere hat der Graph einer $C^1$-Funktion $f\in C^1([a,b], \R), \ \gamma_f(t)\coloneqq (t, f(t))^T$ die Länge \[S(\gamma_f) = \int_a^b \sqrt{1 + f'(t)^2} \d t.\]
+     \end{satz}
+     \begin{proof}
+         Sei $\mathcal{Z} = \{t_0, \dots, t_N\}$ eine Partition, betrachte $\mathcal{Z}^* = \mathcal{Z} \cup \{s_0,\dots, s_M\} = \{x_0,\dots, x_K\}$. Dann gilt
+         \begin{salign*}
+            S(\mathcal{Z}) &\leq S(\mathcal{Z}^*)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{K}\norm{\gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1})}\\
+            &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i = 1}^{K}\norm{\int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t)\d t}\\
+            &\stackrel{\triangle-\text{UGl.}}{\le} \sum_{i = 1}^{K}\int_{x_{i-1}}^{x_i} \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t 
+        \end{salign*}
+        Also ist $\gamma$ rektifizierbar und $S(\gamma) \leq \int_a^b \norm{y'(t)}\d t$.
+        Z.Z. $\forall \epsilon > 0\; \exists$ Zerlegung mit 
+        \[
+            S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon.  
+        \]
+        Fixiere dazu ein $\epsilon > 0$. Wähle dann eine Treppenfunktion $\varphi$ auf $[a,b]$ mit \[\norm{\gamma'(t) - \varphi(t)} \le \frac{\epsilon}{2(b-a)} \quad \forall t\in [a,b]\setminus\{s_0,\dots, s_M\}\]
+        ($\varphi$ existiert, weil $\gamma'(t)$ stückweise stetig ist). Wähle ferner eine (feine) Partition $a = t_0< t_1< \dots < t_N = b$, s.d. $\varphi\big|_{[t_{i-1}, t_i]}$ konstant ist $\forall i = 1,\dots, N$. Dann gilt nämlich 
+        \begin{salign*}
+            S(Z) &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \gamma'(t) \d t}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) + (\gamma'(t) - \varphi(t))\d t}\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} (\gamma'(t) - \varphi(t)) \d t}\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\left( \norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t)\d t} - \frac{\epsilon}{2(b-a)} |t_i-t_{i-1}|\right)\\
+            &\geq \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \sum_{i = 1}^{N}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t_i-t_{i-1}|\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\norm{\int_{t_{i-1}}^{t_i} \varphi(t) \d t} - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\varphi(t) = \mathrm{const}}{=} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\varphi(t)} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'(t) + (\varphi(t) - \gamma'(t))} \d t - \frac{\epsilon}{2}\\
+            &\stackrel{\text{analog}}{\geq} \sum_{i = 1}^{N}\int_{t_{i-1}}^{t_i} \norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon = \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t - \epsilon
+        \end{salign*}
+        Also existiert für ein beliebiges $\epsilon > 0$ eine Zerlegung $\mathcal{Z}$ mit $S(\mathcal{Z}) \geq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t - \epsilon$. Zusammen mit $S(y) \leq \int_a^b\norm{\gamma'(t)}\d t$ folgt $S(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t$.
+     \end{proof}
+     \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \captionsetup[subfigure]{justification=justified,singlelinecheck=false}
+        \begin{subfigure}[b]{0.3\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw[color=white] (-.5,-.5) -- (0,0);
+                \draw[color=black] (1.5,0) -- node[below] {$r$} (0,0) -- node[below] {$r$} (200:1.5);
+                \draw[color=black] (.4,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=.4] node[pos=0.45, below] {$\varphi$};
+                \draw[color=blue] (1.5,0) arc [start angle=0, end angle=200, radius=1.5] node[near start, right] {$\gamma$};
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 1: Kreisbogen}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{0.6\textwidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[axis equal image, axis lines=middle, xticklabels={0, $\pi$, $2\pi$}, xtick={0,3.14,6.28}, ymin=0,ymax=2.2, xmax=6.5, smooth]
+                    \addplot[blue, domain=0:6.28] ({x-sin(180/3.14 * x)},{1-cos(180/3.14 * x)});
+                    \node[blue] at (5.9,1) {$\gamma$};
+                    \draw (3.14,1) circle [radius=1];
+                    \node at (3.14,2) {\textbullet};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \subcaption{Beispiel 2: Zykloide}
+        \end{subfigure}
+     \end{figure}
+     \begin{bsp}
+         \begin{enumerate}
+             \item Kreisbogen: $\gamma(t) = \begin{pmatrix}
+                 r\cos(t)\\
+                 r\sin(t)\\
+             \end{pmatrix},\; \gamma \in C^\infty([0,\varphi], \R^2),\; r > 0,\; \varphi > 0$ fest. Es gilt $S(\gamma) = \int_0^\varphi\norm{\gamma'(t)}_2 \d t = \int_0^\varphi \norm{\begin{pmatrix}
+                 -r\sin(t)\\ r\cos(t)
+             \end{pmatrix}}_2 \d t = \int_0^\varphi r\d t = r\varphi$. Also ist der Umfang des Einheitskreises genau $\int_0^{2\pi} \underbrace{r}_{=1} \d t = 2\pi$.
+             \item Zykloide $\gamma\colon [0,2\pi] \to \R^2,\; r(t) = \begin{pmatrix}
+                 t-\sin(t)\\1-\cos(t)
+             \end{pmatrix}$.
+             Wir erhalten $\gamma'(t) = \begin{pmatrix}
+                 1 - \cos(t)\\\sin(t)
+             \end{pmatrix}$ und daher
+             $\norm{\gamma'(t)}_2^2 = 1 - 2 \cos(t) + \cos^2(t) + \sin^2(t) = 2 - 2\cos(t) = 4 \sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)$. Insgesamt gilt also
+             \[
+                S(\gamma) = \int_0^{2\pi} \left|\smash[b]{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\right| \d t \oldstackrel{x = \frac{t}{2}}{=} 4\int_0^\pi \sin(x) \d x = 8
+                \vphantom{\underbrace{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)}_{\geq 0}}\]
+         \end{enumerate}
+     \end{bsp}
+     \section{Parametertransformationen}
+     \begin{definition}[Parametertransformation]
+        \begin{enumerate}
+            \item Sei $\varphi\colon [\alpha, \beta]\! \to\! [a,b]$ eine $C^k$-Abbildung $(k\in \N_0 \cup +\infty)$ zwischen den Intervallen $[\alpha,\beta]$ und $[a,b]$, 
+            sei außerdem $\varphi$ bijektiv und $\varphi^{-1} \in C^k([a,b],\;[\alpha, \beta])$.
+            Dann heißt $\varphi$ eine $C^k$-Parametertransformation. 
+            \item Sei weiter $\gamma\colon [a,b]\to\R^n$ eine Kurve. Dann heißt die Kurve $\delta:[\alpha, \beta] \to \R^n,\;\delta \coloneqq \gamma\circ \varphi$ die Umparametrisierung von $\gamma$ (mittels $\varphi$).
+            \item Die Parametertransformation $\varphi\colon [\alpha,\beta] \to [a,b]$ heißt orientierungstreu (oder orientierungserhaltend), wenn $\varphi$ streng monoton wächst; $\varphi$ heißt orientierungsumkehrend, wenn $\varphi$ streng monoton fällt.
+        \end{enumerate}
+    \end{definition}
+    \begin{bem}
+        \begin{enumerate}
+            \item Falls $\varphi$ eine $C^1$-Parametertransformation ist, dann gilt \[\varphi'(t) \neq 0,\;\forall t\in I,\]d.h. $\varphi$ ist ein Diffeomorphismus. Ferner heißt $\varphi$ orientierungstreu, falls $\varphi'(t) > 0$ und orientierungsumkehrend, falls $\varphi'(t) < 0$.
+            \item Die Bogenlänge $S(\gamma)$ ändert sich nicht beim Umparametrisieren: Seien $\varphi, \varphi^{-1}$ stetig differenzierbar, $\gamma\in C^1([a,b], \R^n)$. Dann gilt für die Bogenlänge 
+            \begin{salign*}
+                S(\gamma\circ \varphi) &= \int_\alpha^\beta \norm{(\gamma\circ \varphi)'(\tau)} \d \tau\\
+                &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta\norm{\gamma'(\varphi(\tau)) \cdot \varphi'(\tau)} \d \tau\\
+                &= \begin{cases}
+                    \int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                    -\int_\alpha^\beta \norm{\gamma'(\varphi(\tau))}\cdot \varphi'(\tau) \d \tau&\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [\alpha, \beta]\\
+                \end{cases}\\
+                &\stackrel{\substack{t=\varphi(\tau)\\\d t = \varphi'(\tau)\d \tau}}{=}
+                \begin{cases}
+                    \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t&\varphi'(\tau) > 0, \tau \in [a,b]\\
+                    -\int_b^a \norm{\gamma'(t)} \d t &\varphi'(\tau) < 0, \tau \in [a,b]\\
+                \end{cases}\\
+                &= \int_a^b\norm{\gamma'(t)} \d t\\
+                &= S(\gamma)
+            \end{salign*}
+            \item Umparametrisierung auf Bogenlänge. Sei $\gamma\colon [a,b] \to \R^n$ eine reguläre $C^1$-Kurve, d.h. $\gamma'(t) \neq 0 \ \forall t\in [a,b]$. Definiere die Abbildung $\sigma\colon [a,b] \to [0, S(\gamma)]$ durch 
+            \[
+                \sigma(t) \coloneqq \int_a^t\norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \left(= S\left(\gamma(t)\big|_{[a,t]}\right)\right).
+            \]
+            Wir können zeigen, dass $\varphi\coloneqq \sigma^{-1}$ eine orientierungstreue $C^1$-Parametertransformation ist und für die (\glqq auf Bogenlänge\grqq) umparametrisierte Kurve $\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n$ gilt \[S\left(\beta\big|_{[0,x]}\right) = x,\; \norm{\beta'(x)} = 1,\; \forall x\in [0,S(\gamma)].\]
+            \begin{proof}
+                Es gilt $\sigma \in C^1([a,b];\;[0,S(\gamma)])$ mit $\sigma'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$. Daher ist $\sigma$ streng monoton wachsend und bijektiv. Wegen Satz \ref{umkehrfunktion} folgt 
+                \[
+                    \underbrace{\sigma^{-1}}_{\eqqcolon \varphi} \in C^1([0,S(y)];\; [a,b]),\; (\sigma^{-1})'(x) = \varphi'(x) = \frac{1}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}} > 0.
+                \]
+                Also ist $\varphi$ streng monoton wachsend und daher muss $\varphi$ orientierungstreu sein. Für  \[\beta\colon [0,S(\gamma)]\to \R^n,\quad \beta \coloneqq \gamma \circ \varphi\] gilt \[\beta'(x) \oldstackrel{\text{Kettenregel}}{=} \gamma'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x) = \frac{\gamma'(\varphi(x))}{\norm{\gamma'(\varphi(x))}}.\] Also erhalten wir $\norm{\beta'(x)} = 1\;\forall x\in [0,S(\gamma)]$ und damit $S\left(\beta|_{[0,x]}\right) = \int_0^x \norm{\beta'(s)}\d s = x$.
+            \end{proof}
+        \end{enumerate}
+    \end{bem}
+
+    \begin{bsp}
+        Umparametrisierung auf Bogenlänge einer Zykloide: Es gilt $\gamma(t) = (t-\sin t, 1-\cos t)^T$ und damit
+        \begin{align*}
+            \norm{\gamma'(t)} &= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right), \qquad 0\le t \le 2\pi\\
+            \implies \norm{\gamma'(t)} &> 0 \qquad \text{für }  2\varepsilon \le t \le 2\pi-2\varepsilon, \ \varepsilon > 0
+        \end{align*}
+        Betrachte also $\gamma \colon [2\varepsilon, 2\pi-2\varepsilon] \to \R^2$. Wir definieren
+        \begin{salign*}
+            \sigma(t) &= S\left(\gamma\big|_{[2\varepsilon,t]}\right)\\
+            &= \int_{2\varepsilon}^t \norm{\gamma'(\tau)} \d \tau \\
+            &= 2\int_{2\varepsilon}^t \sin\left(\frac{\tau}{2}\right) \d \tau \\
+            &\stackrel{\substack{s=\tau/2\\\mathrm{d} s=\mathrm{d}\tau/2}}{=} 4\int_{\varepsilon}^{t/2} \sin s \d s\\
+            &= -4\cos s\big|_{\varepsilon}^{t/2}
+             = 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)
+        \end{salign*}
+        Somit gilt $\sigma \colon [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon] \to [0,8\cos\varepsilon]$. Ziel:
+        \begin{align*}
+            \varphi \colon [0,8\cos\varepsilon] &\to [2\varepsilon,2\pi-2\varepsilon]\\
+            s &\mapsto \varphi(s)=t
+        \end{align*}
+        Dazu setzen wir $\varphi = \sigma^{-1}$ und bestimmen die Umkehrfunktion von $\sigma$
+        \begin{align*}
+            s &= 4\left(\cos\varepsilon - \cos\frac{t}{2}\right)\\
+            \implies \cos\frac{t}{2} &= \cos\varepsilon - \frac{s}{4}\\
+            \implies t &= \underbrace{2 \arccos\left(\cos\varepsilon-\frac{s}{4}\right)}_{\varphi\mathrlap{(s), \ s \in [0,8\cos\varepsilon]}}
+        \end{align*}
+        Insgesamt erhalten wir $\beta(s) = \gamma(\varphi(s))$.
+    \end{bsp}
+\end{document}

ana21.tex

@@ -0,0 +1,263 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Kurvenintegrale}
+
+\begin{definition}[Integrationsweg]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt Integrationsweg, falls $\gamma$ stetig und stückweise eine $C^1$-Abbildung ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Skalares Kurvenintegral]
+    Sei $D \subset \R^n, \ \gamma \colon [a,b] \to D$ ein Integrationsweg und $f\colon D \to \R$ stetig. Dann heißt
+    \[\int_\gamma f \d s \coloneqq \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \norm{\gamma'(t)} \d t\]
+    das skalare Kurvenintegral von $f$ längs $\gamma$. Dabei heißt $\d s = \norm{\gamma'(t)} \d t$ das skalare Bogenelement von $\gamma$ und $f$ wird \underline{Skalarfeld} genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f \equiv 1$: Das Kurvenintegral $\int_\gamma \d s = \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t = S(\gamma)$ entspricht der Länge von $\gamma$.
+        \item Dichtefunktion $\rho(s)$:
+        \begin{align*}
+            \rho(\gamma(t)) &: \text{ Dichte verteilt auf } \gamma(t)\\
+            \int_\gamma \rho(s) \d s \eqqcolon \mu(\gamma) &: \text{ Gesamtmasse von } \gamma
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Das Kurvenintegral ist linear:
+        \[\int_\gamma (\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2) \d s = \lambda_1 \int_\gamma f_1\d s + \lambda_2 \int_\gamma f_2 \d s\]
+        \item Es gilt die Abschätzung
+        \begin{align*}
+            \left|\int_\gamma f \d s\right| &= \left|\int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\right| \\
+            &\le \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot \int_a^b \norm{\gamma'(t)} \d t \\
+            &= \sup_{s\in [a,b]} \left|f(\gamma(s))\right| \cdot S(\gamma).
+        \end{align*}
+        \item Das Kurvenintegral ist invariant unter $C^1$-Parametertransformation. Sei $\varphi \colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ eine $C^1$ Parametertransformation. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            \int_{\gamma\circ\varphi}f \d s &= \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\gamma(\varphi(s))} \d s \\
+            &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)} \d s \\
+            &= \begin{cases}
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) > 0 \\
+                \int_\alpha^\beta f(\gamma(\varphi(s))) \norm{\gamma'(\varphi(s))} \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \varphi(s)\right) \d s, & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\varphi(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\\d t = \varphi'(s)\d s}}{=}
+            \begin{cases}
+                 \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) > 0 \\
+                -\int_b^a f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t, & \varphi'(s) < 0
+            \end{cases} \\
+            &= \int_a^b f(\gamma(t)) \norm{\gamma'(t)} \d t\\
+            &= \int_\gamma f \d s
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Vektorfeld]
+    Ein Vektorfeld $F$ auf $D\subset \R^n$ ist eine Abbildung von $D$ nach $\R^n$, d.h. jedem $x\in D$ wird ein Vektor $F(x) \in \R^n$ zugeordnet.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld
+        \[W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \quad W(x,y) \coloneqq \frac{1}{\norm{(x,y)}_2^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}\]
+        \item Gravitationsfeld
+        \[G\colon \R^3\setminus \{0\} \to \R^3, \quad G(x,y,z) \coloneqq -\frac{1}{\norm{(x,y,z)}_2^2}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}\]
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)),
+                    blue, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-y/(x^2+y^2)}, v={x/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x)},{\r*cos(x)}); % polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 1: Windungsfeld}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1]
+            \begin{axis}
+                [axis lines=middle,
+                 axis lines=middle,
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 xmin=-1, xmax=1.1, % Axis limits
+                 ymin=-1, ymax=1.1,
+                 ticks=none,
+                 xlabel=$x$,
+                 ylabel=$y$
+                ]
+                \foreach \r in {0.4, 0.6, 0.8}
+                \addplot[domain=0:360*(1-1/(20*\r)), 
+                    red, samples=20*\r,
+                    quiver={u={-x/(x^2+y^2)}, v={-y/(x^2+y^2)}, scale arrows=0.1, every arrow/.append style={-latex} }] ({\r*sin(x+180/(20*\r))},{\r*cos(x+180/(20*\r))}); %polar coordinates
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{Beispiel 2: Gravitationsfeld bei $z=0$.}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Vektorielles Kurvenintegral]
+    Sei $\gamma\colon [a,b] \to D\subset \R^n$ ein Integrationsweg und $F\colon D\to \R^n$ ein stetiges Vektorfeld. Dann ist das (vektorielle) Kurvenintegral von $F$ längs $\gamma$ definiert durch
+    \[\int_\gamma F = \int_\gamma F\d{\vec s} \coloneqq \int_a^b \underbrace{\left(F(\gamma(t)), \gamma'(t)\right)}_{\text{Skalarprodukt}} \d t = \int_a^b \sum_{i=1}^n F_i(\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) \d t\]
+    Alternative Schreibweise: $\int_\gamma F = \int_\gamma F_1\d{x_1} + \dots + F_n\d{x_n} $
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Kurvenintegral des Windungsfelds $W\colon \R^2\setminus \{0\} \to \R^2, \ W(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x  \end{pmatrix}$ längs $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}, \ \gamma \colon [0,2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$.
+    \begin{align*}
+        \int_\gamma W &= \int_\gamma -\frac{y}{x^2+y^2}\d x + \frac{x}{x^+y^2}\d y\\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(-\frac{\sin t}{\cos^2t+\sin^2t}(-\sin t) + \frac{\cos t}{\cos^2t+\sin^2t}\cos t\right) \d t \\
+        &= \int_0^{2\pi} \left(\sin^2t+\cos^2t\right) \d t = 2\pi
+    \end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Das Kurvenintegral ist linear: $$\int_\gamma (\lambda_1F_1+\lambda_2F_2)=\lambda_1\int_\gamma F_1+\lambda_2\int_\gamma F_2$$
+        \item
+        Standard-Abschätzung: $$\left|\int_\gamma F \right|=\left|\int_a^b\bigl(F(\gamma(t)),\gamma'(t)\bigr)\, \d t \right|\leq \sup_{t\in [a,b]}\norm{F(\gamma(t))}\cdot S(\gamma)$$
+        \item
+        Invarianz unter orientierungstreuen $C^1$-Parametertransformationen. Sei $\varphi \colon [\alpha,\beta]\to [a,b]$ eine $C^1$-Parametertransformation mit $\varphi'(s)>0,\ \forall s\in [\alpha,\beta]$ ($\Longleftrightarrow$ orientierungstreu). Dann gilt \begin{salign*}
+            \int_{\gamma \circ \varphi}F&=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\frac{\d}{\d s}\gamma(\varphi(s)) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s))\cdot \frac{\d \varphi}{\d s}(s) \right) \d s\\
+            &=\int_\alpha^\beta \left(F(\gamma(\varphi(s))),\gamma'(\varphi(s)) \right)\frac{\d \varphi}{\d s}(s) \d s\\
+            &\stackrel{\substack{t=\varphi(s)\\ \d t=\varphi'(s)\d s}}{=}\int_a^b\bigl(F(t),\gamma'(t)\bigr)\d t\\
+            &=\int_\gamma F.
+        \end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gebiet]
+    $U\subset \R^n$ heißt Gebiet, falls $U$ offen ist und wegzusammenhängend, d.h. $\forall \,x,y\in U$ existiert $\gamma \in C^0([a,b],U)$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $U\subset \R^n$ offen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \begin{enumerate}
+        \item 
+        $\forall \,x,y\in U$ existiert ein Integrationsweg $\gamma \colon [a,b]\to U$ mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$.
+        \item
+        $U$ ist wegzusammenhängend.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+        Sei $U=K_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\, \cup \, K_1\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$. $U$ ist kein Gebiet, denn es existiert kein stetiger Weg von $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ nach $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $U$.
+        \item
+        $U\subset \R$ Gebiet $\Longleftrightarrow$ $U$ offenes Intervall
+    \end{enumerate} 
+\end{bsp}
+
+\section{Potential}
+
+\begin{definition}[Geschlossene Kurve]
+    Eine Kurve $\gamma \in C^0([a,b],\R^n)$ heißt \underline{geschlossen}, falls $\gamma(a)=\gamma(b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Potential]
+    Sei $D\subset \R^n$ und $F\in C^0(D,\R^n)$ ein stetiges Vektorfeld. $\varphi \in C^1(D,\R)$ heißt \underline{Potential} oder \underline{Stammfunktion} von $F$ in $D$, falls $\nabla \varphi=F$ gilt. $F$ heißt in diesem Fall \underline{konservativ} auf $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale]
+    Sei $D\subset \R^n$ ein Gebiet und $F\in C^0(D,\R^n)$. Dann sind folgend Aussagen äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item F ist konservativ.
+        \item
+        $\int_\gamma F=0$ für alle geschlossenen Integrationswege $\gamma$ in $D$.
+        \item
+        Das Kurvenintegral von $F$ in $D$ ist wegunabhängig, d.h. für beliebige Integrationswege $\gamma_1\colon [a,b]\to D,\ \gamma_2\colon [\alpha,\beta]\to D$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(\alpha)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(\beta)$ gilt $$\int_{\gamma_1}F=\int_{\gamma_2}F.$$
+    \end{enumerate}
+    In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion $\varphi_0\in C^1(D,\R)$ durch $\varphi_0(x)\coloneqq \int_\gamma F$, wobei $\gamma$ ein Integrationsweg von einem gewählten Punkt $x_0\in D$ zu $x\in D$ ist. Die Menge aller Potentiale von $F$ ist gegeben durch $\{\varphi_0+c\,|\,c\in \R\}$.
+    \label{satz:hauptsatz-1-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $F = \nabla \varphi$, $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ und $\gamma\colon [a,b] \to D$
+    geschlossener Integrationsweg. Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \int_{\gamma} F &\stackrel{\text{Def.}}{=} \int_{a}^{b} (F(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &= \int_{a}^{b} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\gamma \text{ stückweise } C^{1}}{=}
+        \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} (\nabla \varphi(\gamma(t)), \gamma'(t)) \d t \\
+        &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \sum_{i=1}^{M} \int_{s_{i-1}}^{s_i} \frac{\d}{\d t} (\varphi \circ \gamma) \d t \\
+        &\stackrel{\text{HDI}}{=} \sum_{i=1}^{M} \left( \varphi(\gamma(s_i)) - \varphi(\gamma(s_{i-1})) \right) \\
+        &= \varphi(\gamma(b)) - \varphi(\gamma(a)) \\
+        &\stackrel{\gamma(b) = \gamma(a)}{=} 0
+    .\end{salign*}
+
+    (ii)$\implies$(iii): Nach Umparametrisierung gelte o.E. $[a,b] = [-1, 0] = [\alpha, \beta]$. Seien
+    $\gamma_1, \gamma_2\colon [-1,0] \to D$ Integrationswege mit gleichem Anfangs und Endpunkt, d.h.
+    $\gamma_1(-1) = \gamma_2(-1)$ und $\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$. Dann betrachte
+    \begin{align*}
+        \gamma &\colon [-1, 1] \to D \\
+               t& \mapsto \begin{cases}
+                   \gamma_1(t) & t \in [-1, 0] \\
+                   \gamma_2(-t) & t \in [0, 1]
+               \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann ist $\gamma$ ein geschlossener Integrationsweg, also folgt
+    \begin{salign*}
+        0 &= \int_{\gamma}^{} F \\
+        &= \int_{-1}^{0} (F(\gamma_1(t)), \gamma_1'(t)) \d t + \int_{0}^{1} (F(\gamma_2(-t)), - \gamma_2'(-t)) \d t \\
+        &\stackrel{s \coloneqq -t}{=} \int_{\gamma_1}^{} F + \int_{0}^{-1} (F(\gamma_2(s)), \gamma_2'(s)) \d s \\
+        &= \int_{\gamma_1}^{} F - \int_{\gamma_2}^{} F  
+    .\end{salign*}
+
+    (iii) $\implies$ (i): Fixiere $x_0 \in D$ und definiere $\varphi_0\colon D \to \R$ durch
+    $\varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma}^{} F$, wobei
+    $\gamma$ irgendein Integrationsweg von $x_0$ nach $x$ ist. Zu $x \in D$ betrachte
+    $x + h e_i \in D$ für $|h| \ll 1$. Nach Umparametrisierung gelte o.E.
+    \begin{align*}
+        &\gamma_x \colon [-1, 0] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i}\colon [-1, 1] \to D \\
+        &\gamma_{x + h e_i} \coloneqq \begin{cases}
+            \gamma_x(t) & t \in [-1, 0] \\
+            x + t h e_i & t \in [0,1]
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Dann folgt
+    \begin{salign*}
+        \frac{\partial \varphi_0(x)}{\partial x_i} &= \lim_{h \to 0} \frac{\varphi_0(x + h e_i) - \varphi_0(x)}{h} \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_{\gamma_{x + h e_i}} F - \int_{\gamma_x}^{} F \right) \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} \left( F(x + t h e_i), \gamma'_{x + h e_i}(t) \right)  \d t \\
+        &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{0}^{1} ( F(\underbrace{x + t h e_i}_{\xrightarrow{h \to 0} F(x)}), h e_i )  \d t \\
+        &= \int_{0}^{1} (F(x), e_i) \d t \\
+        &= F_i(x)
+    .\end{salign*}
+    Damit ist $\varphi_0 \in C^{1}(D, \R)$ und $\nabla \varphi_0 = F$. Das zeigt (i).
+
+    Sei $\gamma$ ein Integrationsweg von $x_0 \in D$ nach $x \in D$. Dann definiere
+    \[
+        \varphi_0(x) \coloneqq \int_{\gamma} F
+    .\]
+    Sei weiter $\varphi \in C^{1}(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$. Dann gilt wegen (i) und (ii):
+    \[
+        \int_{\gamma} F = \varphi(x) - \varphi(x_0)
+    .\] Damit folgt
+    \[
+        \varphi(x) - \varphi(x_0) = \varphi_0(x) \implies \varphi(x) = \varphi_0(x) + \underbrace{\varphi(x_0)}_{\text{konst.}} = \varphi_0(x) + c
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana22.tex

@@ -0,0 +1,269 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:windungsfeld}
+    \begin{enumerate}
+        \item Windungsfeld:
+            \[
+                W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+            .\] $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $. $W$ ist
+            nicht konservativ auf $D$ weil mit $\gamma\colon [0, 2\pi] \to \R^2$,
+            $\gamma(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} $ ist
+            \[
+            \int_{\gamma} W = 2 \pi \neq 0
+            .\] Aber mit $D \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \mid y > 0\right\} $
+            ist
+            \[
+                \varphi(x,y) \coloneqq - \arctan\left( \frac{x}{y} \right) 
+            \] ein Potential von $W$ auf $D$, denn
+            \begin{align*}
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x} &= -\frac{1}{1 + \frac{x^2}{y^2}} \frac{1}{y} = - \frac{y}{x^2 + y^2} \\
+                \frac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y} &= \frac{x}{x^2 + y^2}
+            .\end{align*}
+            Die Existenz eines Potentials hängt also auch von $D$ ab.
+        \item Suche nach einem Potential:
+            $F\colon \R^2 \to \R^2$, $F(x,y) \coloneqq \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $.
+            Falls Potential existiert, dann gilt
+            \[
+                \varphi_0(x,y) \coloneqq \int_{\gamma} F
+            .\] mit z.B. $\gamma(t) \coloneqq t \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $, $t \in [0,1]$.
+            Dann gilt
+            \begin{salign*}
+                \int_{\gamma} F &= \int_{0}^{1} \left( F(\gamma(t)), \gamma'(t) \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( \begin{pmatrix} ty \\ tx \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right)  \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} \left( t y x + tx y \right) \d t \\
+                &= \int_{0}^{1} 2 t x y  \d t \\
+                &= xy
+            .\end{salign*}
+            Definiere $\varphi = xy$. Dann ist $\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y = F_1(x,y)$
+            und $\frac{\partial \varphi}{\partial y} x = F_2(x,y)$. Also $\nabla \varphi = F$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\section{Existenz von Potentialen}
+
+Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ ein konservatives Vektorfeld. Dann existiert
+ein $\varphi \in C^2(D, \R)$ mit $\nabla \varphi = F$, d.h. $\frac{\partial \varphi}{\partial x_i} = F_i$
+für $i = 1, \ldots, n$. Da $\varphi$ zweimal stetig differenzierbar, folgt
+\begin{align*}
+\frac{\partial F_i}{ \partial x_j} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_j \partial x_i}
+= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i}
+.\end{align*}
+
+Ist also $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ konservativ, dann gelten notwendig die \underline{Integrabilitätsbedingungen}
+\[
+\frac{\partial F_i}{\partial x_j} - \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \equiv 0 \qquad \forall i, j = 1,\ldots,n
+.\]
+Speziell für $n = 2$:
+\[
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} = \frac{\partial F_1}{\partial x_2}
+.\] Für $n = 3$:
+\[
+    \text{rot}(F) \coloneqq \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3} \\
+    \frac{\partial F_1}{\partial x_3} - \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \\
+\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\end{pmatrix}  = 0
+.\]
+
+Die Integrabilitätsbedingungen sind nicht hinreichend.
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \[
+        W(x,y) \coloneqq \frac{1}{x^2 + y^2} \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} 
+    .\] Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \frac{\partial W_y}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \\
+        \frac{\partial W_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( - \frac{y}{x^2 + y^2} \right)
+        = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}
+    .\end{align*}
+    Also gilt $\frac{\partial W_y}{\partial x} = \frac{\partial W_x}{\partial y}$ auf $D \coloneqq \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} $, aber auf $D$ existiert kein Potential
+    (vgl. \ref{bsp:windungsfeld}).
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Homotopie]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ und $\gamma_0, \gamma_1 \in C\left( [a,b], D \right) $ stetige
+    Kurven.
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es gelte $\gamma_0(a) = A = \gamma_1(a)$ und
+            $\gamma_0(b) = B = \gamma_1(b)$. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen \underline{homotop} in $D$, falls
+            eine stetige Abbildung $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ (Homotopie) existiert, s.d.
+            $H(t, 0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ sowie
+            $H(a, s) = A$ und $H(b,s) = B$, $\forall s \in [0,1]$.
+
+            Für $s \in [0,1]$ sind
+            $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$, $t \in [a,b]$ mit $\gamma_s(a) = A$ und $\gamma_s(b) = B$
+            stetige Kurven von $A$ nach $B$ in $D$. $H$ heißt stetige Deformation von $\gamma_0$ nach
+            $\gamma_1$.
+        \item $\gamma_0$ und $\gamma_1$ seien geschlossen. $\gamma_0$ und $\gamma_1$ heißen
+            \underline{frei homotop} in $D$, falls eine stetige Abbildung
+            $H\colon [a,b] \times [0,1] \to D$ existiert mit $H(t,0) = \gamma_0(t)$ und $H(t,1) = \gamma_1(t)$, $\forall t \in [a,b]$ und
+            $H(a,s) = H(b,s)$, $\forall s \in [0,1]$, d.h. für $s \in [0,1]$ ist $\gamma_s(t) \coloneqq H(t,s)$
+            eine geschlossene Kurve in $D$.
+
+            $H$ heißt stetige Deformation innerhalb von $D$ der
+            geschlossenen Kurve $\gamma_0$ nach der geschlossenen Kurve $\gamma_1$.
+        \item Eine geschlossene Kurve heißt \underline{zusammenziehbar} in $D$, wenn sie frei homotop zu
+            einer konstanten Kurve ist, d.h. sie sich in $D$ zu einem Punkt zusammenziehen lässt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+
+\begin{figure}[ht!]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (0,0) -- node[left] {$s$} (0,2);
+        \draw (3,0) -- (3,2);
+        \draw[red] (0,0) -- node[below, black] {$t$} (3,0);
+        \draw[blue] (0,2) -- (3,2);
+        \draw[densely dashed] (0,0.67) -- (3,0.67);
+        \draw[densely dotted] (0,1.33) -- (3,1.33);
+        \node[below] at (0.1,0) {$a$};
+        \node[below] at (2.9,0) {$b$};
+        \node[left] at (0,0.15) {$0$};
+        \node[left] at (0,1.85) {$1$};
+
+        \draw[->] (4,1) -- node[above] {$H$} (6,1);
+
+        \draw[blue] (7,0) node[below left, black] {$A$} .. controls (8,2) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2) node[above right, black] {$B$};
+        \draw[red] (7,0) .. controls (9,0) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dashed] (7,0) .. controls (8.7,0.6) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+        \draw[densely dotted] (7,0) .. controls (8.3,1.4) .. node[sloped] {\tiny $\blacktriangleright$} (10,2);
+
+        \node[red ] at (9.5,0.5) {$\gamma_0$};
+        \node[blue] at (7.5,1.5) {$\gamma_1$};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Stetige Deformation von $\gamma_0$ nach $\gamma_1$}
+\end{figure}
+
+
+\begin{bsp}
+    \label{bsp:ellipse-und-kreis}
+    Ellipse: Seien $a, b > 0$.
+    \[
+        \epsilon(t) \coloneqq \begin{pmatrix} a \cos(t)\\ b \sin(t)\end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]
+    \] ist frei homotop zum Kreis
+    \[
+        K(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} 
+    \] via der Homotopie
+    \begin{align*}
+        &H\colon [0, 2\pi] \times [0,1] \to \R^2 \setminus \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \right\} \\
+        &H(t, s) \coloneqq s K(t) + (1 - s) \epsilon(t)
+    .\end{align*}
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        \Vert H(t,s) \Vert^2 &= (s + a(1-s))^2 \cos^2(t) + (s + b (1-s))^2 \sin^2(t) \\
+                             &\ge \min(1, a^2, b^2) (\cos^2(t) + \sin^2(t)) \\
+                             &= \min(1, a^2, b^2) \\
+                             &> 0
+    .\end{align*}
+    Also $H(t,s) \neq 0$ $\forall t, s$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Zweiter Hauptsatz der Kurvenintegrale: Homotopieinvarianz]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle
+    die Integrabilitätsbedingungen und seien $\gamma_0, \gamma_1 \colon [a,b] \to D$ Integrationswege.
+
+    Sind $\gamma_0$ und $\gamma_1$ homotop in $D$ mit gemeinsamem Anfangs- und Endpunkt oder
+    geschlossen und frei homotop in $D$, dann gilt
+    \[
+    \int_{\gamma_1}^{} F = \int_{\gamma_0}^{} F
+    .\]
+    \label{satz:hauptsatz-2-kurven}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}[Windungsfeld]
+    \begin{enumerate}
+        \item Für Ellipse $\epsilon(t)$ und Kreis $K(t)$ (vgl. Beispiele \ref{bsp:ellipse-und-kreis} und
+            \ref{bsp:windungsfeld}) gilt
+            \[
+                \int_{K} W = 2 \pi \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} 
+                \int_{\epsilon}^{} W = \int_{0}^{2 \pi} \frac{ab}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t} \d t
+            .\] 
+            Also folgt
+            \[
+            \int_{0}^{2\pi} \frac{\d t}{a^2 \cos^2t + b^2 \sin^2 t} = \frac{2 \pi}{ab}
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, 2\pi] \to \R^2 \setminus \{0\} $:
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$ und $\gamma_1$ sind nicht frei homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0} W = 2 \pi \neq - 2\pi = \int_{\gamma_1}^{} W
+            .\] 
+        \item Kurven $\gamma_0, \gamma_1\colon [0, \pi] \to \R^2 \setminus \{0\}$
+            \[
+                \gamma_0 \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}
+                \qquad
+                \gamma_1(t) \coloneqq \begin{pmatrix} \cos(t) \\ - \sin(t) \end{pmatrix} 
+            .\] $\gamma_0$, $\gamma_1$ sind nicht homotop in $\R^2 \setminus \{0\} $, weil
+            \[
+            \int_{\gamma_0}^{} W = \int_{0}^{\pi} 1 \d t \neq \int_{0}^{\pi} -1 \d t = \int_{\gamma_1}^{} W \d t  
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Einfach zusammenhängend]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein Gebiet. $D$ heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene
+    Kurve in $D$ frei homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. jede geschlossene Kurve in $D$
+    zusammenziehbar ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Sternförmig]
+    Ein Gebiet $D \subseteq \R^{n}$ heißt sternförmig,
+    wenn ein $x_1 \in D$ existiert, s.d. $\forall x \in D$ gilt:
+    \[
+        x_1 + t(x - x_1) \in D \quad \forall t \in [0,1]
+    .\] D.h. $\forall x \in D$ liegt die Verbindungsstrecke von $x_1$ nach $x$ in $D$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Jedes Sterngebiet ist einfach zusammenhängend.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    $H(t,s) \coloneqq x_1 + s(\gamma(t) - x_1) \in D$, $\forall t$, $\forall s \in [0,1]$.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}[]
+        \item Jede Kugel $K_r(a)$ ist sternförmig bezüglich $a$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item Eine gelochte Kreisscheibe $K_1(0) \setminus \{0\} $, $K_1(0) \subseteq \R^2$
+            ist kein Sterngebiet und nicht einfach zusammenhängend.
+        \item Geschlitzte Scheibe $K_1(0) \setminus \{x \in \R^2  \mid x_1 \le 0, x_2= 0\} \subseteq \R^2$
+            ist sternförmig, also einfach zusammenhängend.
+        \item Jede geschlitzte Ebene $\R^2 \setminus S_v$ mit
+            $S_v \coloneqq \{ t v | t \ge 0, \Vert v \Vert = 1\} $ ist sternförmig mit
+            Mittelpunkt $(-v)$, also auch einfach zusammenhängend.
+        \item $R^{n} \setminus \{0\} $ ist kein Sterngebiet, weil $0 \in$ Strecke von $-a$ nach $a$,
+            aber einfach zusammenhängend für $n \ge 3$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Lemma von Poincaré]
+    Sei $D \subseteq \R^{n}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und
+    $F \in C^{1}(D, \R^{n})$ erfülle die Integrabilitätsbedingunen. Dann
+    ist $F$ konservativ.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\gamma$ geschlossener Integrationsweg in $D$. Da $D$ einfach zusammenhängend, ist
+    $\gamma$ frei homotop zu einem konstanten Weg $\gamma_C$. Damit folgt
+    \[
+        \int_{\gamma} F
+        \; \stackrel{\ref{satz:hauptsatz-2-kurven}}{=} \; \int_{\gamma_C} F
+        \; \stackrel{\text{Def.}}{=} \;
+        \int_{a}^{b} (F(\gamma_C(t)), \gamma_C'(t)) \d t = 0
+    .\] Damit folgt mit \ref{satz:hauptsatz-1-kurven}, dass $F$ konservativ.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Ende]\end{proof}
+
+\end{document}

ana3.tex

@@ -93,7 +93,7 @@ Frage: Hat jede $2\pi$-periodische Funktion die Form $\sum_{k = -n}^{n}c_ke^{ixk
         &= \qnorm{f} - 2\pi \sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2
     \end{align*}
 \end{proof}
-\begin{satz}[Besselsche Umgebung]\label{bessel}
+\begin{satz}[Besselsche Ungleichung]\label{bessel}
     Sei $f \in R[0, 2\pi]$ eine $2\pi$-periodische Funktion mit Fourier-Koeffizienten $c_k,\; k\in \Z$. Dann $$\exists \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2$$ und $$\sum_{k = -\infty}^{\infty} |c_k|^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k = -n}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{\qnorm{f}}{2\pi}$$
 \end{satz}
 \begin{proof}

ana4.tex

@@ -48,9 +48,9 @@
 \begin{definition}
 	(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 
 	\begin{enumerate}[N1]
-		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$.
-		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$.
-		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.
+		\item 	(Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$. \label{def:N1}
+		\item 	(Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$. \label{def:N2}
+		\item 	(Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$. \label{def:N3}
 	\end{enumerate}
 	Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
 \end{definition}
@@ -74,7 +74,7 @@
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
 				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
-		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
+        \item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \xrightarrow{k \to \infty} 0$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -86,19 +86,18 @@
 		&\left| x_{i}^{(k)} - x_{i} \right| \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0, i = 1,...,n.
 	\end{align*}
 	Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$)
-\end{bem}
-
+\end{bem}\vspace*{-3mm}
 \begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß]
-    \label{satz:bolzano}
+    \label{satz:bolzano}\ \vspace*{-3mm}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.
+		\item 	Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. \vspace*{-2mm}
 		\item 	Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
-	\end{enumerate}
+	\end{enumerate}\vspace*{-3mm}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
 	\begin{enumerate}[1)]
-		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
+		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ eine Cauchy-Folge, d.h. $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon}, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}:\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 	Betrachte Komponentenfolge $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, i = 1,...,n$. Die Komponentenfolgen sind Cauchy-Folgen, weil $$\left| x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(l)} \right| \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon, \forall k,l \geq N_{\varepsilon}, \forall i = 1,...,n.$$ 
 	$\implies \lim_{k \to \infty} x_{i}^{(k)} \eqqcolon x_{i} \implies x^{(k)} \overset{k \to \infty}{\longrightarrow} x = \icol{x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}}$ in $\ell_{\infty}$ Norm.
 		\item 	Sei $(x^{(k)})_{k \in \N}$ beschränkt $\implies$ $(x_{i}^{(k)})_{k \in \N}, \forall i = 1,...,n$ auch beschränkt \\
@@ -133,9 +132,9 @@
 	Widerspruch zu $x \in S_{1}$, also $m>0$. Dann für $x \neq 0$ ist Vektor $\frac{x \ }{\norm{x}_{\infty}} \in S_{1}$ und $m \leq \frac{\norm{x} \ }{\norm{x}_{\infty}}$ (nach Definition von $m$) und $0 < m \cdot \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x}, \ x \in \K^{n}$.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{bem}
 	Obiger Satz gilt nicht für unendlich dimensionale Räume (wie z.B. $C[a,b]$ oder $R[a,b]$). Die endliche Dimension von $K^{n}$ ist entscheidend.
@@ -155,7 +154,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[offene Menge]
-	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+	Eine Menge $O \subseteq \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
@@ -181,12 +180,12 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
 		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
 	\end{enumerate}
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
     Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.
@@ -202,7 +201,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
-\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
+\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]\ 
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
 		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.

ana5.tex

@@ -7,8 +7,8 @@
     \[
     A \text{ abgeschlossen}
     \iff
-    \text{Ist } \left(x^{(k)}\right)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
-    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = a\text{, dann } a \in A
+    \text{Ist}\; \big(x^{(k)}\big)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
+    \text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)}\! = a\text{, dann } a \in A
     .\] 
 \end{satz}
 
@@ -70,8 +70,7 @@
         \item Für $K_1(0)$ gilt
             \begin{align*}
                 \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
-                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
-                                & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq}
+                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \quad \quad \text{\glqq Einheitssphäre\grqq}
             .\end{align*}
         \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
             $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
@@ -80,12 +79,12 @@
 
 \begin{definition}[Inneres, Abschluss]
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
-    \begin{itemize}
-        \item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
+    \begin{itemize}\vspace*{-3mm}
+        \item Die Menge $M^{\circ} \coloneqq M \setminus \partial M$ heißt das
             \underline{Innere} von $M$.
-        \item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
+        \item Die Menge $\overline{M} \coloneqq M \cup \partial M$ heißt
             der \underline{Abschluss} von $M$.
-    \end{itemize}
+    \end{itemize}\vspace*{-3mm}
 \end{definition}
 
 \begin{satz}[Inneres ist Offen, Abschluss ist abgeschlossen]
@@ -153,7 +152,7 @@
 
 \begin{definition}[Kompaktheit]
     Eine Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{kompakt}
-    (bzw. \underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
+    (\underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
     konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$ besitzt.
 \end{definition}
 
@@ -162,7 +161,7 @@
         \item Sei
             \[
                 \left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
-            .\] Dann ist $A := \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
+            .\] Dann ist $A \coloneqq \{ x^{(k)}  \mid  k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
         \item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
             $\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
 
@@ -270,14 +269,14 @@
         Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
         $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
         \[
-            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
+            Q_m^{s_1, \ldots, s_n} \coloneqq I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
         .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
         \[
-            Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_m \coloneqq \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
         auch für einen Würfel
         \[
-            Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
+            Q_{m+1} \coloneqq Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
         .\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
 
         Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine
@@ -302,10 +301,10 @@
     In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
 \end{bem}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
     ebenfalls kompakt.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen

ana6.tex

@@ -0,0 +1,200 @@
+\documentclass{lecture}
+
+
+\begin{document}
+
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+
+\section{Geometrie in \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+
+\begin{definition}[Skalarprodukt]
+    Sei $V$ irgendein Raum über dem Körper $\K$. Eine Abbildung $(\cdot,\cdot): V \times V \to \K$ heißt \underline{Skalarprodukt}, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    \begin{enumerate}[S1]
+        \item \label{def:definitheit}
+            (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$
+        \item \label{def:symmetrie}
+            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(y,x)}$
+        \item \label{def:linear}
+            (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq.
+        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
+        \item \ref{def:linear} $\implies 
+            \begin{cases}
+                \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\
+                \text{Homogenität} &(\alpha x, y) = \alpha (x,y), \alpha \in \K
+            \end {cases}$
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[Schwarz-Ungleichung]
+    Für ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ gilt die Schwarz-Ungleichung
+    $$\left| (x,y)^2 \right| \leq (x,x) \cdot (y,y), \quad x,y \in V$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $y = 0 \implies$ trivial.
+    Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig.
+    \begin{align*}
+        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \  \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} \ (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
+        \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$}
+        0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\
+        &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\
+        \implies 0 &\leq (x,x)\cdot(y.y) - \left|(x,y)^2\right|
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
+        \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
+            $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$
+            erzeugt die euklidische Norm
+            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
+            $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
+        \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}^2 &= (x+y,x+y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) \\
+        &\leq \norm{x}^2 + 2\left|(x,y)\right| + \norm{y}^2 \\
+        &\stackrel{\text{Schwarz}}{\leq} \quad \norm{x}^2 + 2\norm{x} \cdot \norm{y} + \norm{y}^2 \\
+        &= \left( \norm{x} + \norm{y}\right)^2 \\
+        \implies \norm{x+y} &\leq \norm{x} + \norm{y}
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+Wichtige Ungleichungen
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Young]
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,y \in \R$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Übung
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Hölder]
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}}}
+    \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}}
+    \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{%
+        \text{\footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}}}$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Falls $x = 0$ oder $y = 0 \implies$ klar.
+    Sei $\norm{x}_p \neq 0, \ \norm{y}_q \neq 0$
+    \begin{align*}
+        \frac{\left|(x,y)_2\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \  \frac{1}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \left|\sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i}\right| \\
+        &\leq \sum_{i=1}^n \frac{\left|x_i \overline{y_i}\right|}{\norm{x}_p \cdot \norm{y}_q} \\
+        &\stackrel{\text{Young-Ungl.}}{\leq} \qquad \  \sum_{i=1}^n \left(\frac{|x_i|^p}{p\cdot \norm{x}_p^p} + \frac{|y_i|^q}{q\cdot \norm{x}_q^q}\right) \\
+        &= \frac{1}{p\cdot \norm{x}_p^p} \underbrace{\sum_{i=1}^n |x_i|^p}_{= \norm{x}_p^p} + \frac{1}{q\cdot \norm{y}_q^q} \underbrace{\sum_{i=1}^n |y_i|^q}_{= \norm{y}_q^q} \\
+        &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
+        \implies \left|(x,y)_2\right| &\leq \norm{x}_p \cdot \norm{y}_q
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski]
+    Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt
+    $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$
+    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $\ell_p$-Norm.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Für $p = 1$
+    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
+    Für $p = \infty$
+    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
+    Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt
+    $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$
+    Dann
+    \begin{align*}
+        \norm{x+y}_p^p \ &\stackrel{\text{Def.}}{=} \ 
+        \sum_{i=1}^n \underbrace{|x_i+y_i|^p}_{\mathrlap{ = \underbrace{|x_i + y_i|^{p-1}}_{\xi_i} \cdot |x_i + y_i|}} \\
+        &= \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|\cdot \xi_i \\
+        &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\
+        & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\
+        &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
+        \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p 
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+
+\begin{definition}[Orthogonalität]
+    $x,y\in \K^n$ heißen \underline{orthogonal} $(x\perp y)$, falls \underline{$(x,y)_2=0$}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Orthogonalsystem/Orthogonalbasis]
+    Ein Satz von Vektoren \\ $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\},\ a^{(i)}\neq0,\ a^{(i)}\in \K^n,\ i=1,\dots,m$ und $\underbrace{(a^{(k)},a^{(l)})_2=0}_{\text{paarweise orthogonal}}$ für $k\neq l$ heißt Orthogonalsystem bzw. falls $m=n$ Orthogonalbasis. \\Falls $(a^{(k)},a^{(k)})_2=1$, dann heißen die Vektoren $\{a^{(1)},\dots,a^{(m)}\}$ ein Orthonormalsystem bzw. Orthonormalbasis.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Die orthogonalen Vektoren (wie in Def.) sind linear unabhängig:
+    $$\text{Sei } \sum_{k=1}^m c_ka^{(k)}=0\Longleftrightarrow \sum_{k=1}^m c_k(a^{(k)},a^{(l)})\overset{\substack{a^{(i)}\\ \text{paarweise}\\ \text{orthog.}}}{=} c_l\underbrace{(a^{(l)},a^{(l)})}_{\substack{\neq0\\ \text{ für } a^{(l)}\neq0}}=0\Longleftrightarrow c_l=0,\ l=1,\dots ,m$$
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $e^{(1)},\dots,e^{(n)}$ ist eine Orthogonalbasis in $\R^n$.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+\label{Lemma 2.3.3.}
+    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
+    \begin{align*}
+        \left(
+        \begin{array}{lll}
+            \sim &\text{Fourierentwicklung}\\
+            &a^{(k)}\sim e^{i xk}&f(x)=\sum_{k\in \Z}c_k\cdot e^{ixk}\\
+            &x\sim f(x)\\
+            &c_k\sim (f,e^{ixk})_{L^2}
+        \end{array}
+        \right)
+    \end{align*}
+    und es gilt die \underline{Vollständigkeitsrelation} (Gleichung von Parseval) $$\| x\|_2^2=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2$$
+    $$\centering \bigl(\sim \| f\|_{L^2}^2=\sum_{k\in \Z} |c_k^2|\cdot 2\pi \bigr)$$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\exists \, \alpha_j, \text{ sodass } x=\sum_{j=1}^n\alpha_j a^{(j)}$
+    \begin{align*}
+        &\Longrightarrow (x,a^{(k)})_2=\sum_{j=1}^n\alpha_j\underbrace{(a^{(j)},a^{(k)})_2}_{\delta_{jk}}=\alpha_k,\ k=1,\dots ,n\\ &\Longrightarrow \text{Darstellung von }x
+    \end{align*}
+    Außerdem gilt 
+    \begin{align*}
+      \|x\|_2^2=(x&,x)_2=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot \overline{(x,a^{(j)})_2}\cdot \underbrace{(a^{(k)},a^{(j)})_2}_{\delta_{jk}}=\sum_{k=1}^n\bigl|(x,a^{(k)})_2\bigr|^2\\ &\Longrightarrow \text{Gleichung von Parseval}  
+    \end{align*} 
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Lemma \ref{Lemma 2.3.3.} gilt in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen mit vollständigem Orthonormalsystem. 
+    Beispiel: Fourier-Reihen in $R[0,2\pi]$, trigonometrische Funktionen $e^{ikx}$ als vollständiges Orthonormalsystem.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Gram-Schmidt-Verfahren]
+    Sei $\{a^{(1)},\dots ,a^{(n)}\}$ eine Basis des $\K^n$. Dann ist $\{b^{(1)},\dots ,b^{(n)}\}$, konstruiert durch das \underline{Orthogonalisierungsverfahren} von Gram und Schmidt, eine \underline{Orhonormalbasis}.
+    \begin{align*}
+        b^{(1)}&\coloneqq\frac{a^{(1)}}{\norm{a^{(1)}}_2}\\
+        \Tilde{b}^{(k)}&\coloneqq a^{(k)}-\sum_{j=1}^{k-1}(a^{(k)},b^{(j)})_2\cdot b^{(j)}\\
+        b^{(k)}&\coloneqq\frac{\Tilde{b}^{(k)}}{\norm{\Tilde{b}^{(k)}}_2},\quad k=2,\dots,n
+    \end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana7.tex

@@ -0,0 +1,227 @@
+\documentclass{lecture}
+
+
+\begin{document}
+
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+
+\section{Lineare Abbildungen auf dem \texorpdfstring{$K^{n}$}{K\unichar{"207F}}}
+\begin{definition}[Lineare Abbildung]
+    Eine lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ heißt linear, falls $\forall \alpha, \beta \in \K$ gilt $$\varphi (\alpha x + \beta y) = \alpha \varphi(x) + \beta \varphi(y)\qquad\forall x,y \in \K^n$$
+\end{definition}
+\begin{bem}
+    Eine lineare Abbildung läßt sich als Matrix darstellen. Betrachte $x\in \K^n$ und euklidische/kartesische Basis $e^{(i)},\; i = 1,\dots n$. Dann $\exists !$ Darstellung von $x$ bezüglich der Basis
+    $$x = \sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}.$$
+    Die Koeffizienten $x_i, i = 1, \dots n$ sind Koordinaten. Wir definieren Koordinatenvektor $\hat x = \begin{pmatrix}
+        x_1\\\vdots\\x_n
+    \end{pmatrix}$. Dann ist $$\varphi(x) = \varphi\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\cdot e^{(i)}\right) = \sum_{i = 1}^{n}x_i \cdot \varphi\left(e^{(i)}\right).$$
+    $\varphi(x)$ hat auch eine (eindeutige) Darstellung bzgl. Basis in $\K^m$.
+    $$\varphi(x) = \sum_{j = 1}^{m} \underbrace{\varphi_j(x)}_{*} \cdot e^{(j)}  = \sum_{j = 1}^{m}\underbrace{\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\overbrace{\varphi_j\left(e^{(i)}\right)}^{a_{ji}}\right)}_{= \varphi_j(x)} \cdot e^{(j)}$$
+    \begin{center}
+        (*) Koordinaten von $\varphi_j(x)$ bzgl. Basis $e^{(j)}, j = 1, \dots, m$
+    \end{center}
+    Dabei sind die $\varphi_j(x)$ Koordinaten und der Koordinatenvektor ist $\hat\varphi(x) = \begin{pmatrix}
+        \varphi_1(x)\\
+        \dots\\
+        \varphi_m(x)
+    \end{pmatrix}$. Dann erhalten wir eine Matrix
+    $$\begin{pmatrix}
+        \varphi_1\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_1\left(e^{(n)}\right)\\
+        &\vdots & & \vdots\\
+        \varphi_m\left(e^{(1)}\right) & \dots & \varphi_m\left(e^{(n)}\right)
+    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+        a_{11} & \dots & a_{1n}\\
+        \vdots & & \vdots \\
+        a_{m1} & \dots & a_{mn}
+    \end{pmatrix} = A \in \K ^{m\times n}$$
+    Für einen Koordinatenvektor bezüglich Basis $e^{(j)}$ gilt $$\varphi(x) = \left(A\hat x\right)_j = \sum_{i = 1}^{n}a_{ij} x_i, \qquad j = 1, \dots, m$$
+    Die lineare Abbildung $\varphi: \K^n \to \K^m$ lässt sich bezüglich festgelegter Basen von $\K^n$ und $\K^m$ eindeutig durch die Matrix $A\in K^{m\times n}$ beschreiben.
+    $$\hat \varphi(x) = A\hat x, \qquad x\in \K^n$$
+    Im folgenden wird der Punkt $x$ mit seiner speziellen kartesischen Darstellung $\hat x$ identifiziert.
+    Konvention: $A\in \K^{m\times n}$
+    \begin{itemize}
+        \item Anzahl an Zeilen $m =$ Dimension des Bildraums $\K^m$
+        \item Anzahl an Spalten $n =$ Dimension des Urbildraums $\K^n$
+    \end{itemize}
+    Falls $m =n$ definiert $A\in K^{n\times n}$ eine lineare Abbildung in $\K^n$.
+\end{bem}
+\begin{lemma}[Lineare Abbildungen in $\K^n$]
+    \label{lemma:linabb}
+    Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^n \in \K^{n\times n}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+    \begin{enumerate}
+        \item $A$ ist regulär
+        \item $Ax = b$ ist eindeutig lösbar $\forall b\in \K^n$ (Bijektivität der linearen Abbildung)
+        \item $Ax = 0$ hat nur eine Lösung $x = 0$ (Injektivität)
+        \item $Ax = b$ ist $\forall b \in \K^n$ lösbar (Surjektivität)
+        \item Rang$(A) = n$
+        \item $\det (A) \neq 0$
+        \item Alle Eigenwerte $\lambda \in \C$ von $A$ sind ungleich Null
+        \item Die (komplex) transponierte Matrix $\bar{A}^T$ ist regulär.
+    \end{enumerate}  
+\end{lemma}
+Weitere Begriffe und Eigenschaften
+\begin{itemize}
+    \item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{identisch} $(a_{ij} = a_{ij}' \ \forall i, j) \Leftrightarrow Ax = A'x \ \forall x \in \K^n$
+    \item $A, A' \in \K^{n\times n}$ sind \textbf{ähnlich}, wenn $\exists T \in \K^{n\times n}$ regulär, sodass $$A' = T^{-1} AT$$
+    Übergang $A \to A'$ heißt Ähnlichkeitstransformation und es gilt für $z \in \C$
+    \begin{align*}
+        \underbrace{\det(A' - z \mathbb{I})}_{\overset{\text{\footnotesize Charakt. Polynom für $A'$}}{\text{\footnotesize Nullstellen $=$ EW von $A'$}}}
+        &= \det\left(T^{-1}AT - z \underbrace{T^{-1}T}_{= \mathbb{I}}\right)\\
+        &= \det(T^{-1}(A- z \mathbb{I})T)\\
+        &\stackrel{\det(AB) = \det(A)\det(B)}{=}\qquad \qquad \det(T^{-1}) \det(A - z \mathbb{I})\det(T)\\
+        &\stackrel{\det(T^{-1})\det(T) = 1 = \det(\mathbb{I}))}{=} \qquad \qquad  \underbrace{\det(A - z \mathbb{I})}_{\mathclap{\text{char. Pol. von $A$}}}
+    \end{align*}
+    Ähnliche Matrizen haben also die gleichen Eigenwerte, aber im Allgemeinen unterschiedliche Eigenvektoren.
+    \item $n \times n$ Matrizen $A\in \K^{m\times n}$ bilden einen Vektorraum.
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Konvergenz} von Folgen von Matrizen ist komponentenweise Konvergenz
+        $$A^{(k)} \to A, k \to \infty \Leftrightarrow a_{ij}^{(k)} \overset{k \to \infty}{\to} a_{ij}\ \forall i = 1, \dots, m, \forall j = 1, \dots n$$
+    \end{itemize}
+    \item Sei $\Vert \cdot \Vert$ eine beliebige Norm auf $\K^n$. Dann 
+    $$\norm{A} \coloneqq \sup\limits_{x \in \K^n\setminus \{0\}} \frac{\norm{Ax}}{\norm{x}} = \sup\limits_{x\in \K ^n} \norm{Ax}\; \text{für}\; \norm{x} = 1$$ ist die von $\norm{\cdot}$ in $\K^n$ erzeugte natürliche \textbf{Matrixnorm}
+    \begin{itemize}
+        \item Für natürliche Matrixnorm gilt notwendig $\norm{\mathbb{I}} = 1$
+        \item Natürliche Matrixnorm ist \underline{verträglich} mit $\norm{\cdot}$, d.h. für $A\in K^{n\times n}$ ist $\norm{Ax} \leq \norm{A}\cdot \norm{x}, x\in \K^n$
+        \item und \underline{submultiplikativ}, d.h.
+        $\norm{AB} \leq \norm{A}\norm{B}$ für $A, B \in \K^{n\times n}$
+    \end{itemize}
+\end{itemize}
+\begin{bsp}
+    $\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2   \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \underline{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
+\end{bsp}
+\begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen]
+    Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($\ell_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($\ell_1$-Norm) in $\K^n$ sind
+    \begin{align*}
+        \norm{A}_\infty &\coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm} \\
+        \norm{A}_1 &\coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}
+    \end{align*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (\ref{def:N1}), (\ref{def:N2}) und (\ref{def:N3}))
+        \item Z.z. Verträglichkeit
+        $$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$
+        $\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$
+        \item Z.Z. $\norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$
+        $$\norm{Ax}_\infty = 0 \implies A = 0\implies \norm{A}_\infty = 0 = \sup\limits_{\norm{x}_\infty = 1} \norm{Ax}_\infty$$
+        Sei $A \neq 0$, dann $\norm{A}_\infty > 0$ (Definitheit von Normen). Sei $$\norm{A}_\infty = \max\limits_{1\leq i\leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}|\text{ für ein }m\in \{1, \dots, n\}.$$ Setze $z_j = \frac{|a_{mj}|}{a_{mj}}$, falls $a_{mj} \neq 0$ und sonst $z_j = 0$. ($z_j = \operatorname{sign}(a_{mj})$). Für   $z = \begin{pmatrix}
+            z_1 \\ \vdots \\ z_n
+        \end{pmatrix}$ gilt dann $\norm{z}_\infty = 1$ und $$(Az)_m = \sum_{j = 1}^{n}a_{mj}z_j = \sum_{j = 1}^{n}|a_{mj}| = \norm{A}_\infty.$$ Es folgt
+        $$\norm{A}_\infty = (Az)_m \leq \norm{Az}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty \leq \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{A}_\infty \cdot \underbrace{\norm{y}_\infty}_{=1} = \norm{A}_\infty$$
+        $$\implies \norm{A}_\infty = \sup\limits_{\norm{y}_\infty = 1} \norm{Ay}_\infty$$
+    \end{enumerate}
+    Beweis für $\ell_1$ analog.
+\end{proof}
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+        \item Eigenwerte $\lambda \in \K$ einer Matrix $A\in \K^{n\times n} = $ Nullstellen des charakteristischen Polynoms
+        $$p(\lambda) = \det(A - \lambda \mathbb{I})$$
+        \item $\sigma(A) = \{\lambda \ |\ \lambda\text{ Eigenwert von } A\}$ heißt \textbf{Spektrum} von $A$.
+        \item $\forall \lambda \in \sigma(A)\ \exists \text{ Eigenvektor } w\in \K^n\setminus\{0\}:$
+        $$A w = \lambda w$$
+        Die Eigenvektoren zu $\lambda$ bilden einen Vektorraum, den \textbf{Eigenraum} zu $\lambda$ mit Dimension = \textbf{geometrische Vielfachheit} von $\lambda$.
+        \item Abschätzung der Eigenwerte: Sei $\lambda \in \sigma(A)$ und $w$ ein Eigenvektor zu $\lambda$ mit $\norm{w} = 1$.
+        Dann $|\lambda| = |\lambda| \cdot \norm{w} = \norm{\lambda w} = \norm{Aw} \underset{\text{Verträglichkeit}}{\leq} \norm{A}\cdot \norm{w} = \norm{A} \implies |\lambda| \leq \norm{A}$
+        \item $A$ heißt \textbf{hermitesch}, falls gilt 
+        $$A = \bar{A}^T\quad (a_{ij} = \overline{a_{ji}})$$
+        Reelle hermitesche Matrizen heißen \textbf{symmetrisch}. Für das Skalarproukt gilt 
+        $$A = \bar{A}^T \Leftrightarrow (Ax, y)_2 = (x, Ay)_2 \ \forall x, y \in \K^n$$
+        Hermitesche Matrizen sind diagonalisierbar = ähnlich zu einer Diagonalmatrix, alle Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind reell. $\exists$ eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren.
+        \item $A\in \K^{n\times n}$ heißt \textbf{positiv definit}, wenn gilt $(Ax, x)_2 \in \R$, $(Ax, x)_2 > 0 \ \forall x \in \K^n\setminus\{0\}$. Eine hermitesche Matrix ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte sind positiv.
+        \item $\norm{\cdot}_2$ ($\ell_2$-Norm) im $\K^n$ erzeugt eine natürliche \textbf{Matrixnorm (Spektralnorm)} $\norm{\cdot}_2$ 
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{lemma}[Spektralnorm]
+    \label{lemma:spektralnorm}
+    Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann ist $\bar{A}^TA \in \K^{n\times n}$ hermitesch und positiv semidefinit. Für die Spektralnorm gilt
+    $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
+    Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{|\lambda|, \lambda\in \sigma(A)\}$
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $\bar{A}^{T}A$ hermitesch, denn
+            \[
+                \overline{\left( \bar{A}^{T}A \right)^{T}}
+                = \left( A^{T}\bar{A} \right)^{T} = \bar{A}^{T}A
+            .\] $\bar{A}^{T}A$ positiv semidefinit, denn
+            \[
+                (\bar{A}^{T}Ax, x)_2 = (Ax, Ax)_2 = \Vert A x \Vert_2^{2} \ge 0 \qquad
+                \forall x \in \mathbb{K}^{n}
+            .\] 
+        \item Es ist nach Definition
+            \[
+            \Vert A \Vert_2^2 = \sup_{\Vert x \Vert_{2} = 1} \Vert A x \Vert_2^{2}
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (Ax, Ax)_2
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2
+        .\] Wegen (1) ist $\bar{A}^{T}A$ hermitesch und positiv
+        semidefinit, d.h. es ex. $U \in \mathbb{K}^{n \times n}$
+        mit $U$ unitär und $U^{T}\bar{A}^{T}AU = D$, wobei
+        $D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, $\lambda \in \sigma(\bar{A}^{T}A)$ und
+        $\lambda_i \ge 0$ reell.
+
+        Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
+        mit $|\lambda_{max}| \coloneqq \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
+        \begin{align*}
+            \Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, \underbrace{\bar{U}^{T}\bar{A}^{T}AU}_{= D}y)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, Dy)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}
+            (\underbrace{\lambda_1 |y_1|^2 + \ldots + \lambda_n |y_n|^2}
+            _{= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i |y_i|^2}) \\
+            &\le \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \sum_{i=1}^{n} |\lambda_{max}| |y_i|^2 \\
+            &= |\lambda_{max}| \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \Vert y \Vert_2^2 \\
+            &= |\lambda_{max}|
+        .\end{align*}
+        Sei $y$ Eigenvektor zu $\lambda_{max}$ und $\Vert y \Vert_2 = 1$. Dann gilt
+        $Dy = \lambda_{max}y$, also $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}\underbrace{(y,y)_2}_{= 1}$. Damit
+        existiert ein $y$, s.d. $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. % ????
+        Also folgt
+        $\displaystyle \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. Damit folgt die
+        Behauptung für $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Behauptung
+        für $A$ hermitesch analog. % ???????
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[orthonormale/unitäre Matrizen]
+    Eine Matrix $Q\in \K^{m\times n}$ heißt \textbf{orthonormal}, wenn ihre Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem im $\K^m$ bilden, d.h.
+    $$Q = (q_1, \dots, q_n)\qquad q_j \in \K^m$$
+    $$(q_i, q_j)_2 = \sum_{k = 1}^{m} q_{ik}\cdot \overline{q_{kj}} = \begin{cases}
+        1, &i =j\\
+        0, &\text{sonst}
+    \end{cases}$$
+    Falls $m =n$ heißt $Q$ unitär.
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+    Sei $Q\in \K^{n\times n}$ unitär. Dann ist $Q$ regulär, $Q^{-1} = \overline{Q}^T$ und $(Qx, Qy)_2 = (x,y)_2,\; x,y\in \K^n$
+    $$\norm{Qx}_2 = \norm{x}_2, \; x\in \K^n$$
+    d.h. euklidisches Skalarproukt und euklidische Norm sind invariant unter unitären Transformationen und folglich $\norm{Q}_2 = \norm{Q^{-1}}_2 = 1$
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Z.Z. $Q^{-1} = \overline{Q}^T$\\
+        Sei $Q = (q_1, \dots, q_n), \overline{Q}^T = \begin{pmatrix}
+            \overline{q}_1^T\\
+            \vdots\\
+            \overline{q}_n^T
+        \end{pmatrix}$. Dann gilt 
+        $$\overline{Q}^T \cdot Q = \begin{pmatrix}
+            \overline{q}_1^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_1^T \cdot q_n\\
+            \vdots & \ddots & \vdots\\
+            \overline{q}_n^T \cdot q_1 & \dots & \overline{q}_n^T \cdot q_n
+        \end{pmatrix} \overset{Q \text{ unitär}}{=} \begin{pmatrix}
+            1 & & 0\\
+            & \ddots & \\
+            0 & & 1
+        \end{pmatrix}$$
+        \item \begin{align*}
+            (Qx, Qy)_2 &= (x, \overline{Q}^TQ y)_2 = (x,y)_2\\
+            \norm{Qx}_2^2 &= (Qx, Qx)_2 = (x,x)_2 = \norm{x}_2^2\\
+            \norm{Q}_2 &= \sup\limits_{\norm{x}_2 =1} \norm{Qx}_2 = \sup\limits_{\norm{x}_2 =1} \norm{x}_2 = 1\\
+            \norm{Q^{-1}}_2 &= \sup\limits_{\norm{x}_2 =1} \norm{Q^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x}_2 =1} \norm{QQ^{-1}x}_2 = \sup\limits_{\norm{x}_2 =1} \norm{x}_2 = 1 
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+\end{document}

ana8.tex

@@ -0,0 +1,255 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{lemma}[Störungssatz]
+    Sei $\Vert \cdot \Vert$ beliebige natürliche Matrixnorm
+    auf $\mathbb{K}^{n \times n}$. Die Störungsmatrix
+    $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ hat $\Vert B \Vert < 1$. Dann ist
+    die Matrix $\mathbb{I} + B$ regulär und es gilt
+    \[
+        \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}
+    .\] 
+    \label{lemma:stoerung}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist
+    \begin{salign*}
+        \Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert 
+        &=  \Vert x + B x\Vert \\
+        &\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge }  \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
+        &\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } 
+         \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
+        &=  ( \underbrace{1  - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
+        \intertext{Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
+            ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
+            Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
+            Es gilt}
+        1 &=  \Vert \mathbb{I}\Vert \\
+        &=  \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &=  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge }  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
+        - \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &\ge  \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &=  (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
+    .\end{salign*}
+    Damit folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    \label{kor:stoerung}
+    Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
+    $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
+    ist $\tilde A$ regulär.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A
+    (\underbrace{A^{-1} (\tilde A - A) }_{=:B} + \mathbb{I})$. Damit folgt
+    $\Vert B \Vert = \Vert A^{-1} (\tilde A - A) \Vert \le \Vert A^{-1} \Vert \cdot \Vert \tilde A
+    - A \Vert < 1$.
+    Mit \ref{lemma:stoerung} folgt $\mathbb{I} + A^{-1}(\tilde A - A)$ regulär. Da
+    A regulär nach Vorraussetzung, folgt $\tilde A = A (\mathbb{I} + A^{-1} (\tilde A - A))$ regulär.
+\end{proof}
+
+\chapter{Funktionen mehrerer Variablen}
+
+Wir betrachten im Folgenden Funktionen $f\colon D \to \mathbb{K}$, mit
+$D \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $D \neq \emptyset$ und Bildbereich $B_f \subseteq \mathbb{K}$.
+
+Zur Erinnerung:
+\begin{itemize}
+    \item \underline{Bild und Urbild}. Seien $M \subseteq D$, $N \subseteq f(D)$
+        Teilmengen. Dann heißt
+        \begin{align*}
+            f(M) &:= \{y \in \mathbb{K}  \mid  \exists x \in M\colon y = f(x)\} 
+            \intertext{das Bild. Weiter heißt}
+            f^{-1}(N) &:= \{ x \in D  \mid \exists y \in N\colon f(x) = y\}
+        .\end{align*} 
+        das Urbild. Dann ist $B_f = f(D)$ und $D = f^{-1}(B_f)$
+    \item \underline{Notation}. $f^{-1}(\cdot )$ meint das Mengen-Urbild, \underline{nicht}
+        eine Umkehrfunktion.
+\end{itemize}
+
+Da alle Normen auf $\mathbb{K}^{n}$ äquivalent sind, sind alle Aussagen unabhängig
+von der gewählten Norm. Standard ist die euklid. Norm.
+
+\section{Stetigkeit}
+
+\begin{definition}[Stetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    \underline{stetig} in einem Punkt $a \in D$, wenn für alle Folgen
+    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq D$ mit
+    $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} a$ gilt
+    \[
+        f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} f(a)
+    .\] Die Funktion $f$ heißt \underline{stetig in $D$}, wenn sie für alle
+    $x \in D$ stetig ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{itemize}
+        \item Falls $f\colon D \to \mathbb{K}$ stetig, dann ist auch
+            $f\colon M \to \mathbb{K}$, $M \subseteq D$ stetig.
+        \item $f$ stetig $\implies \text{Re } f$, $\text{Im } f$, $|f|$ sind stetig.
+    \end{itemize}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium der Stetigkeit]
+    $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist stetig in $a \in D$, genau
+    dann wenn $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, s.d. $\forall x \in D$ gilt
+    \[
+        \Vert x - a \Vert < \delta  \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    wie für $n = 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $f, g\colon  D \to \mathbb{K}$ stetig, dann sind
+    $f + g$, $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ (falls $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$)
+    stetig.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    wie für $n = 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$
+    ist auf jeder kompakten Menge $K \subseteq D$ beschränkt, d.h.
+    \[
+        \exists M_K \text{ s.d. } |f(x)| \le M_K \quad \forall x \in K
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ang.: $f(x)$ nicht beschränkt auf $K$. Dann gilt: $\forall k \in \N$, $\exists x^{(k)} \in K$ mit
+    $|f\left(x^{(k)}\right)| > k$, d.h. $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.
+
+    Die Folge $(x^{(k)})_{k\in\N}$ besitzt auf der kompakten Menge $K$ eine
+    konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+    $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$.
+
+    Da $f$ stetig, folgt $|f\left( x^{(k_j)} \right)| \xrightarrow{j \to \infty} |f(x)|$. Widerspruch
+    zu $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Extremum]
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ nimmt
+    auf jeder nichtleeren kompakten Menge $K \subseteq D$ ihr
+    Maximum und Minimum an, d.h. es ex. $x^{max}$ und $x^{min} \in K$, s.d.
+    \begin{align*}
+        f(x^{max}) &= \sup_{x \in K} f(x) =: \max_{x \in K} f(x) \\
+        f(x^{min}) &= \inf_{x \in K} f(x) =: \min_{x \in K} f(x)
+    .\end{align*}
+    \label{satz:stetigextremum}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $f$ stetig und deshalb beschränkt auf $K$, d.h. es ex. obere Schranke
+    $\displaystyle M := \sup_{x \in K} f(x)$. Außerdem existiert eine Folge
+    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq K$, s.d.
+    $f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} M$. Da $K$ kompakt, existiert
+    eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+    $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} a =: x^{max} \in K$. Wegen der Stetigkeit von
+    $f$, folgt aus $f\left( x^{(k_j)} \right) \xrightarrow{j \to \infty} f\left( x^{max} \right)$:
+    $f(x^{max}) = M$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Anwendung von Satz \ref{satz:stetigextremum}]
+    Seien $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $K_1 \neq \emptyset$, $K_2 \neq \emptyset$
+    kompakt. Dann ist die Menge $K_1 \times K_2$ auch kompakt. Definiere
+    $f(x, y) :=  \Vert x - y \Vert$, $x \in K_1$, $y \in K_2$.
+
+    $f(x,y)$ ist stetig, denn
+    \[
+        |f(x,y) - f(x', y')| = | \Vert x - y \Vert - \Vert x' - y'\Vert |
+        \quad \stackrel{\Delta -\text{ungl.}}{\le} \quad \Vert x - y - x' + y' \Vert \le \Vert x - x' \Vert + \Vert y - y' \Vert
+    .\] $\forall x, x' \in K_1$ und $\forall y, y' \in K_2$ mit
+    $\Vert x - x'\Vert < \delta  = \frac{\epsilon}{2}$ und $\Vert y - y'\Vert < \delta = \frac{\epsilon}{2}$
+    gilt
+    \[
+        |f(x,y) - f(x', y')| < \epsilon
+    .\] Also ist $f(x,y)$ stetig auf $K_1 \times K_2$. Mit \ref{satz:stetigextremum} folgt damit:
+    $\exists a \in K_1$, $b \in K_2$, s.d.
+    \[
+        \Vert a - b \Vert = \inf_{x \in K_1 y \in K_2} \Vert x - y \Vert =: d(K_1, K_2)
+        \quad \text{Abstand zwischen Mengen } K_1 \text{ und } K_2
+    .\] Im Fall $K_1 \cap K_2 = \emptyset$, gilt $d(K_1, K_2) > 0$. Falls
+    $K_1 = \{a\} $, dann heißt $b \in K_2$ die Projektion des Punktes $a$ auf
+    $K_2$ (diese ist im Allg. nicht eindeutig bestimmt).
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gleichmäßige Stetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist gleichmäßig stetig,
+    wenn $\forall \epsilon > 0$
+    $\exists \delta  > 0$, s.d.
+    \[
+        \forall x, y \in D\colon \Vert x - y \Vert < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist
+    auf einer kompakten Menge $K \subseteq D$ gleichmäßig stetig.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ang. $f$ nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d. $\forall k \in \N$,
+    ex. Punkte $x^{(k)}$ und $y^{(k)} \in K$, s.d.
+    \[
+        \Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k} \text{ und }
+        \left|f\left( x^{(k)} \right) - f\left( y^{(k)} \right) \right| > \epsilon
+    .\] Da $K$ kompakt, ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ von
+    $(x^{(k)})_{k \in \N}$ mit $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$. Wir haben
+    $\Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k}$, also
+    \[
+        \Vert x^{(k_j)} - y^{(k_j)} \Vert < \frac{1}{k^{j}} \implies
+        \lim_{j \to \infty} y^{(k_j)} = x = \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)}
+    .\] Da $f$ stetig, folgt
+    \[
+        \left| f\left( x^{(k_j)} \right) - f\left( y^{(k_j)} \right)  \right|
+        \xrightarrow{j \to \infty} |f(x) - f(x)| = 0
+    .\] Widerspruch zu $\left| f\left( x^{(k)}\right) - f\left( y^{(k)} \right)   \right| > \epsilon$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Konvergenz von Funktionenfolgen]
+    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$, $k \in \N$.
+    $(f_k)_{k \in \N}$ konvergiert
+    \begin{itemize}
+        \item \underline{punktweise} gegen eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, falls
+            $\forall x \in D$ gilt $f_k(x) \xrightarrow{k \to \infty} f(x)$.
+        \item \underline{gleichmäßig}, falls $\sup_{x \in D} |f_k(x) - f(x)| \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Gleichmäßige Konvergenz]
+    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ stetig, $f_k \xrightarrow{k \to \infty} f$
+    gleichmäßig mit $f\colon D \to \mathbb{K}$. Dann ist $f$ stetig.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $x \in D$ und $\epsilon > 0$ beliebig. Da $(f_k)_{k\in\N}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert,
+    existiert ein $n = n(\epsilon) \in \N$ s.d.
+    $\displaystyle \sup_{y \in D} |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.
+
+    Da $f_n$ stetig, ex. $\delta > 0$, s.d. $\forall y \in D$ gilt:
+    $\Vert x - y \Vert < \delta  \implies |f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.
+
+    Dann gilt $\forall x, y \in D$ mit $\Vert x - y \Vert < \delta $:
+    \[
+        |f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)|
+        + |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon
+    .\] Also ist $f$ stetig in $x$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Analoge Sätze gelten allgemein für Funktionen auf kompakten Mengen in
+    normierten $(V, \Vert \cdot \Vert)$ oder metrischen $(X, d(\cdot , \cdot ))$ Räumen.
+\end{bem}
+
+\end{document}

ana9.tex

@@ -0,0 +1,85 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
+
+\begin{definition}[Offene, abgeschlossene Menge bzgl. einer Obermenge aus $\K^n$]\ 
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Eine Teilmenge $M\subset G \subset \K^n$ heißt \underline{relativ - offen} bzgl. $G$, falls $\forall a \in M:$ $$\exists \text{ Kugelumgebung } K_r(a)\text{ s.d. } (K_r(a) \cap G)\subset M$$
+        \item $M\subset G \subset \K^n$ heißt \underline{relativ-abgeschlossen} (bzgl. $G$), falls $(M^C\cap G) \subset G$ relativ-offen bzgl. $G$ ist.
+        \item Eine Menge $G \subset \K^n$ heißt \underline{zusammenhängend}, falls \textit{keine} relativ-offene Zerlegung $G = U\cup V$ mit $U, V \neq \emptyset$ und $U \cap V = \emptyset$ existiert. 
+        \item Eine offene und zusammenhängende Menge $G\subset \K^n$ heißt Gebiet.
+    \end{enumerate}   
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Einheitssphäre $S_1(0) \coloneqq \{x\in \K^n \ | \  \norm{x}_2 = 1\}$. Als Teilmenge in $\K^n$ ist $S_1(0)$ abgeschlossen.\\
+    Sei $M\subset \K^n$ und offen: Dann ist $M\cap S_1(0)$ als Teilmenge von $\K^n$ weder offen noch abgeschlossen; als Teilmenge in $S_1(0)$ ist $M\cap S_1(0)$ relativ-offen bzgl. $S_1(0)$.\\
+    Extrembeispiel: $M = S_1(0)$ ist als Teilmenge von $\K^n$ abgeschlossen, aber bzgl. $S_1(0)$ relativ-offen und relativ-abgeschlossen.
+    \begin{itemize}
+        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ offen}), \  G\subset \K^n$, ist immer relativ-offen bzgl. $G$.
+        \item $M\cap G \ (M\subset \K^n, \text{ abgeschlossen}), \ G\subset \K^n$, ist immer relativ-abgeschlossen bzgl. $G$. %S. 37 - 38 RR
+    \end{itemize}
+\end{bsp}
+\begin{lemma} \label{lemma:stetigesurbild}
+    Sei $f:\overline{D} \subset \K^n \to \K$ stetig. Dann gilt:
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Das Urbild $f^{-1}(O)$, wobei $O\subset f(D)$ relativ-offen, ist relativ-offen in $D$.
+        \item Das Urbild $f^{-1}(A)$, wobei $A \subset f(\overline{D})$ abgeschlossen, ist abgeschlossen.
+        \item Das Bild $f(K)$, wobei $K\subset D$ kompakt, ist kompakt.
+        \item Das Bild $f(G)$, wobei $G\subset D$ zusammenhängend, ist zusammenhängend.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}\ 
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $O\subset f(D)$ eine relativ-offene Menge. Für $O$ gilt: $\forall f(a) \in O \ \exists$ relative Kugelumgebung in $O$: $$(K_\epsilon(f(a)) \cap f(D)) \subset O\text{ für ein } \epsilon >0.$$ $f$ stetig in $a \implies$ für dieses $\epsilon \; \exists \delta > 0$ s.d. für $K_\delta(a) \cap D$ gilt $f(K_\delta(a)\cap D) \subset (K_\epsilon(f(a))\cap f(D))\subset O$ $\implies \forall a \in D$ (mit $f(a)\in O$) gilt $$(K_\delta(a) \cap D) \subset f^{-1}(O) \implies f^{-1}(O)$$ relativ-offen.
+        \item Sei $(x^{(k)})_{k\in \N}$ eine konvergente Folge in $f^{-1}(A)$ und $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x \in \overline{D}$.  Aufgrund der Stetigkeit von $f$ konvergiert die Bildfolge $\left(f\left(x^{(k)}\right)\right)_{k\in \N}$ und $\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k)}\right)}_{\in A} = f(x)$. Da $A$ abgeschlossen ist, gilt wegen der Charakterisierung über Folgenkonvergenz auch $f(x) \in A \implies x \in f^{-1}(A) \implies f^{-1}(A)$ abgeschlossen.
+        \item \textbf{Z.Z} $f(K) \subset \K$ beschränkt und abgeschlossen $(\implies$ kompakt).
+        \begin{itemize}
+            \item Die Beschränktheit folgt aus der Beschränktheit von stetigen Funktionen auf kompakten Mengen.
+            \item Abgeschlossenheit: Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N} \subset f(K)$ eine beliebige Folge mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in \K$. Die Urbildfolge $\left(x^{(k)}\right)_{k\in \N} \bigg(= \underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{\text{Urbild von }y^{(k)}}\bigg)$ in $K$ hat aufgrund der Kompaktheit von $K$ eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(k_j)} = x\in K$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x) = \lim\limits_{j\to\infty}\underbrace{f\left(x^{(k_j)}\right)}_{=y^{k_j}} = y \implies y \in f(K) \implies f(K)$ abgeschlossen.
+        \end{itemize} 
+        \item Ann: $f(G)$ nicht zusammenhängend. Nach Definition existieren dann $U,V\in \K^n,\; U\neq \emptyset, V\neq \emptyset,\; U\cap V = \emptyset$, relativ offen, s.d. $f(G) = U \cup V$. Für die Urbildmengen gilt also $$U' = \{x \in G|f(x)\in U\},\; V' = \{x \in G|f(x)\in V\},\; U'\cap V' = \emptyset, U' \neq \emptyset, V'\neq \emptyset,$$ nach 1) sind $U'$ und $V'$ relativ offen und $G = U' \cup V'$
+        \begin{align*}
+            &\implies G\text{ nicht zusammenhängend \lightning}\\
+            &\implies f(G) \text{ zusammenhängend.}
+        \end{align*}
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\begin{satz}[Zwischenwertsatz]
+    Sei $f: D\subset \K^n \to \R$ stetig und $D$ zusammenhängend. Dann nimmt $f$ für alle $a, b \in D$ jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. Insbesondere hat $f$ eine Nullstelle in $D$, falls $f(a)\cdot f(b) < 0$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Wegen Lemma \ref{lemma:stetigesurbild} ist der Bildbereich $f(D)\subset \R$ zusammenhängend.\\
+    \textbf{Z.Z.} $f(D)$ ist ein (zusammenhängendes) Intervall.\\
+    Annahme: $f(D)$ ist kein Intervall $\implies \exists f(x), f(y) \in f(D)$ und $z\notin f(D)$ zwischen $f(x)$ und $f(y)$. Dann sind die Mengen $$U\coloneqq f(D)\cap (-\infty, z),\; V\coloneqq f(D)\cap (z, \infty)$$ disjunkt, $U\cap V = \emptyset,\; U \neq \emptyset,\; V\neq \emptyset$, $U, V$ sind relativ-offen bzgl. $f(D)$ und $U\cap V = f(D)$ $$\implies f(D)\text{ nicht zusammenhängend \lightning.}$$
+\end{proof}
+\section{Vektor- und Matrixwertige Funktionen}
+\begin{align*}
+    f:&D \subset \K^n \to \K^m\\
+    f:&D \subset \K^n \to \K^{r\times s}\\
+    f:&D \subset \K^{m\times n} \to \K^{r\times s}
+\end{align*}
+\begin{itemize}
+    \item Mit Hilfe von Normen in $\K^n$ und $\K^{m\times n}$ sind die Definitionen von Stetigkeit etc. übertragbart auf Vektor- und Matrixwertige Funktionen. $\implies$ solche stetigen Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig und beschränkt.
+    \item $f: D\subset \K^n \to \K^m$ stetig $\Leftrightarrow$ alle Komponenten $f_i:D\subset \K^n \to \K,\; i= 1, \dots, m$ sind stetig (genauso für $f: D\subset \K^{n\times m} \to \K^{r\times s}$ etc.)
+\end{itemize}
+\begin{lemma}
+    Seien $g: D\subset \K^n\to B \subset \K^m$ und $f:B\to \K^r$ stetig. Dann ist die Komposition $f\circ g: D\subset \K^n \to \K^r$ stetig. 
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $x\in D, \ x^{(k)} \subset D$ s.d. $\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)} = x$. Es gilt 
+    \begin{align*}
+        g\text{ stetig }&\implies y^{(k)} = g(x^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} g(x) =: y\\
+        f\text{ stetig }&\implies (f\circ g)\left(x^{(k)}\right) = f\left(g\left(x^{(k)}\right)\right) = f(y^{(k)}) \underset{k\to \infty}{\to} f(y)
+    \end{align*}
+    Also ist $(f\circ g)$ stetig.
+\end{proof}
+\begin{lemma}
+    Sei $D\subset \K^n$ kompakt und $f: D\to B\subset \K^n$ injektiv und stetig. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}: B\to D$ stetig. 
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $\left(y^{(k)}\right)_{k\in \N}$ eine Folge in $B$ mit $\lim\limits_{k\to\infty}y^{(k)} = y \in B$.\\ \textbf{Z.Z.} $\underbrace{f^{-1}\left(y^{(k)}\right)}_{=: x^{(k)}} \underset{k\to \infty}{\to} \underbrace{f^{-1}(y)}_{=: x}\; (\implies f^{-1}$ stetig), d.h. $x^{(k)} \underset{k\to \infty}{\to} x$.\\ Die Folge $\left(x^{(k)}\right)\subset D$ ist aufgrund der Beschränktheit von $D$ auch beschränkt, also existiert eine konvergente Teilfolge $\left(x^{(k_j)}\right)_{j\in \N}$ mit $\lim\limits_{j\to\infty}x^{(k_j)} = \xi \in D$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist $f(x^{(k_j)}) \underset{j\to \infty}{\to} f(\xi)$. Außerdem gilt $$f\left(x^{(k_j)}\right) =y^{(k_j)} \underset{j\to \infty}{\to} y \implies y = f(\xi) \overset{y = f(x)}{\underset{f\text{ injektiv}}{\implies}} x = \xi.$$
+    Also konvergieren alle konvergenten Teilfolgen von $\left(x^{(k)}\right)$ gegen $x \implies x^{(k)} \underset{k\to \infty}{\to} x$.
+\end{proof}
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -1,11 +1,18 @@
-\documentclass[titlepage]{lecture}
+\documentclass{lecture}
 
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
 \usepackage{subcaption}
 
 \title{Analysis II}
-\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina}
+\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina\\[5mm]
+Mitschrift von \\[1mm]
+Christof Gehrig (\href{mailto:christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de}{christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Nico Haaf (\href{mailto:nico.haaf@stud.uni-heidelberg.de}{nico.haaf@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Josua Kugler (\href{mailto:josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de}{josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Christian Merten (\href{mailto:christian.merten@stud.uni-heidelberg.de}{christian.merten@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidelberg.de})\\
+}
 \date{SoSe 2020}
 
 \begin{document}
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+\input{ana6.tex}
+\input{ana7.tex}
+\input{ana8.tex}
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 \end{document}

lecture.cls

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+\usetikzlibrary{quotes, angles, math}
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 \newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
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 % better stackrel
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 % contradiction
 \newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
+
+% people seem to prefer varepsilon over epsilon
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+
+\ExplSyntaxOn
+
+% S-tackrelcompatible ALIGN environment
+% some might also call it the S-uper ALIGN environment
+% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
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+\NewEnviron{salign}
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+\NewEnviron{salign*}
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+\dim_new:N \l_tmp_dim_a
+\dim_new:N \l_tmp_dim_b
+\dim_new:N \l_tmp_dim_c
+\dim_new:N \l_tmp_dim_needed
+
+% function to insert padding according to widest stackrel
+\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
+ {
+  \tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
+  % get all stackrels in this align environment
+  \regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}(\[.*?\])?{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
+  % get number of stackrels
+  \int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
+  \int_set:Nn \l_idx_int { 1 }
+  \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 0pt }
+  % iterate over stackrels
+  \int_while_do:nn { \l_idx_int <= \l_stackrel_count_int }
+  {
+      % calculate width of text
+      \hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 1 }$}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\box_wd:N \l_tmp_box}
+      \hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 2 }$}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_c {\box_wd:N \l_tmp_box}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\dim_max:nn{ \l_tmp_dim_c} {\l_tmp_dim_a}}
+      % calculate width of relation symbol
+      \hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 3 }$}
+      \dim_set:Nn \l_tmp_dim_b {\box_wd:N \l_tmp_box}
+      % check if 0.5*(a-b) > minimum padding, if yes updated minimum padding
+      \dim_compare:nNnTF
+        { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } > { \l_tmp_dim_needed }
+        { \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } }
+        { }
+      % increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
+      \int_incr:N \l_idx_int
+      \int_incr:N \l_idx_int
+      \int_incr:N \l_idx_int
+      \int_incr:N \l_idx_int
+  }
+  % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
+  \regex_replace_all:nnN
+  { (\c{leq}&|&\c{leq}|\c{geq}&|&\c{geq}|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}|\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|>&|&>|<&|&<) }
+      { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
+      \l__lec_text_tl
+  \l__lec_text_tl
+ }
+\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
+
+\NewEnviron{leftright}
+{
+    \lec_replace_parens:V \BODY
+}
+
+% function to replace parens with left right
+\cs_new_protected:Nn \lec_replace_parens:n
+ {
+  \tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
+  % replace all parantheses with \left( \right)
+  \regex_replace_all:nnN { \( } { \c{left}( } \l__lec_text_tl
+  \regex_replace_all:nnN { \) } { \c{right}) } \l__lec_text_tl
+  \regex_replace_all:nnN { \[ } { \c{left}[ } \l__lec_text_tl
+  \regex_replace_all:nnN { \] } { \c{right}] } \l__lec_text_tl
+  \l__lec_text_tl
+ }
+\cs_generate_variant:Nn \lec_replace_parens:n { V }
+
+\ExplSyntaxOff
+
+% add one equation tag to the current line to otherwise unnumbered environment
+\newcommand{\tageq}{\stepcounter{equation}\tag{\theequation}}